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Theorem ablfac1eulem 15585
Description: Lemma for ablfac1eu 15586. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
ablfac1.s  |-  S  =  ( p  e.  A  |->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
ablfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
ablfac1.f  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
ablfac1.1  |-  ( ph  ->  A  C_  Prime )
ablfac1c.d  |-  D  =  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }
ablfac1.2  |-  ( ph  ->  D  C_  A )
ablfac1eu.1  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  T  /\  ( G DProd  T )  =  B ) )
ablfac1eu.2  |-  ( ph  ->  dom  T  =  A )
ablfac1eu.3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  e.  NN0 )
ablfac1eu.4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ C
) )
ablfac1eulem.1  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
ablfac1eulem.2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
ablfac1eulem  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    q, p, w, x, B    D, p, q, x    ph, p, q, w, x    S, q    A, p, q, x    O, p, q, x    P, p, q, x    T, q, x    G, p, q, x
Allowed substitution hints:    A( w)    C( x, w, q, p)    D( w)    P( w)    S( x, w, p)    T( w, p)    G( w)    O( w)

Proof of Theorem ablfac1eulem
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3327 . 2  |-  A  C_  A
2 ablfac1eulem.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3329 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
4 difeq1 3418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
\  { P }
)  =  ( (/)  \  { P } ) )
5 0dif 3659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  \  { P } )  =  (/)
64, 5syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
\  { P }
)  =  (/) )
76reseq2d 5105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( T  |`  ( y  \  { P } ) )  =  ( T  |`  (/) ) )
8 res0 5109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  |`  (/) )  =  (/)
97, 8syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( T  |`  ( y  \  { P } ) )  =  (/) )
109oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (/)  ->  ( G DProd 
( T  |`  (
y  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd  (/) ) )
1110fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  (/)  ->  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  =  ( # `  ( G DProd  (/) ) ) )
1211breq2d 4184 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  ( P 
||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( # `  ( G DProd  (/) ) ) ) )
1312notbid 286 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  <->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  (/) ) ) ) )
143, 13imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( y  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) ) )  <->  ( (/)  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  (/) ) ) ) ) )
1514imbi2d 308 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( y  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( (/)  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd 
(/) ) ) ) ) ) )
16 sseq1 3329 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
y  C_  A  <->  z  C_  A ) )
17 difeq1 3418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
y  \  { P } )  =  ( z  \  { P } ) )
1817reseq2d 5105 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  ( T  |`  ( y  \  { P } ) )  =  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) )
1918oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) )
2019fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )
2120breq2d 4184 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) )
2221notbid 286 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  <->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) )
2316, 22imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) ) )  <->  ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
2423imbi2d 308 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  (
( ph  ->  ( y 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
25 sseq1 3329 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( y  C_  A 
<->  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )
26 difeq1 3418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( y  \  { P } )  =  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )
2726reseq2d 5105 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( T  |`  ( y  \  { P } ) )  =  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) )
2827oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd 
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) )
2928fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  =  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) ) ) ) )
3029breq2d 4184 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) ) ) ) ) )
3130notbid 286 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  <->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) )
3225, 31imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( ( y 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) ) )  <->  ( (
z  u.  { q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
3332imbi2d 308 . . . 4  |-  ( y  =  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( ( ph  ->  ( y  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( z  u.  { q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
34 sseq1 3329 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
y  C_  A  <->  A  C_  A
) )
35 difeq1 3418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
y  \  { P } )  =  ( A  \  { P } ) )
3635reseq2d 5105 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( T  |`  ( y  \  { P } ) )  =  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) )
3736oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) )
3837fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) )
3938breq2d 4184 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) ) )
4039notbid 286 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) )  <->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) ) )
4134, 40imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( y  \  { P } ) ) ) ) )  <->  ( A  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P }
) ) ) ) ) ) )
4241imbi2d 308 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( ph  ->  ( y 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
y  \  { P } ) ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
43 ablfac1eulem.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
44 nprmdvds1 13066 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  -.  P  ||  1 )
4543, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  1
)
46 ablfac1.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
47 ablgrp 15372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
48 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4948dprd0 15544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( G dom DProd  (/)  /\  ( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } ) )
5046, 47, 493syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  (/)  /\  ( G DProd 
(/) )  =  {
( 0g `  G
) } ) )
5150simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } )
5251fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  ( G DProd 
(/) ) )  =  ( # `  {
( 0g `  G
) } ) )
53 fvex 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
54 hashsng 11602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0g `  G )  e.  _V  ->  ( # `
 { ( 0g
`  G ) } )  =  1 )
5553, 54ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( # `  { ( 0g `  G ) } )  =  1
5652, 55syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  ( G DProd 
(/) ) )  =  1 )
5756breq2d 4184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  ( # `
 ( G DProd  (/) ) )  <-> 
P  ||  1 ) )
5845, 57mtbird 293 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  (/) ) ) )
5958a1d 23 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  (/) ) ) ) )
60 ssun1 3470 . . . . . . . . . 10  |-  z  C_  ( z  u.  {
q } )
61 sstr 3316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  C_  ( z  u.  { q } )  /\  ( z  u. 
{ q } ) 
C_  A )  -> 
z  C_  A )
6260, 61mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  u.  { q } )  C_  A  ->  z  C_  A )
6362imim1i 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )  ->  (
( z  u.  {
q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) )
64 ablfac1eu.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  T  /\  ( G DProd  T )  =  B ) )
6564simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  G dom DProd  T )
66 ablfac1eu.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  T  =  A )
6765, 66dprdf2 15520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  T : A --> (SubGrp `  G ) )
6867adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  T : A --> (SubGrp `  G ) )
69 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( z  u.  {
q } )  C_  A )
7069ssdifssd 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
)  C_  A )
71 fssres 5569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T : A --> (SubGrp `  G )  /\  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } )  C_  A )  ->  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) : ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) --> (SubGrp `  G )
)
7268, 70, 71syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) : ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) --> (SubGrp `  G ) )
73 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  -.  q  e.  z
)
74 disjsn 3828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  i^i  { q } )  =  (/)  <->  -.  q  e.  z )
7573, 74sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( z  i^i  {
q } )  =  (/) )
7675difeq1d 3424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( z  i^i 
{ q } ) 
\  { P }
)  =  ( (/)  \  { P } ) )
77 difindir 3556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  i^i  { q } )  \  { P } )  =  ( ( z  \  { P } )  i^i  ( { q }  \  { P } ) )
7876, 77, 53eqtr3g 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( z  \  { P } )  i^i  ( { q } 
\  { P }
) )  =  (/) )
79 difundir 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } )  =  ( ( z  \  { P } )  u.  ( { q }  \  { P } ) )
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
)  =  ( ( z  \  { P } )  u.  ( { q }  \  { P } ) ) )
81 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( LSSum `  G )  =  (
LSSum `  G )
8265adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  G dom DProd  T )
8366adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  dom  T  =  A )
8482, 83, 70dprdres 15541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G dom DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  /\  ( G DProd  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) )  C_  ( G DProd  T ) ) )
8584simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  G dom DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) ) )
8672, 78, 80, 81, 85dprdsplit 15561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) ) )  =  ( ( G DProd  (
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )
8786fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  ( ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) )
88 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
89 fdm 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) ) : ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  =  ( ( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )
9072, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  dom  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  =  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )
91 ssdif 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z 
C_  ( z  u. 
{ q } )  ->  ( z  \  { P } )  C_  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )
9260, 91mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( z  \  { P } )  C_  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )
9385, 90, 92dprdres 15541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G dom DProd  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) )  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) )
9493simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  G dom DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) )
95 dprdsubg 15537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G dom DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
97 ssun2 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { q }  C_  ( z  u.  { q } )
98 ssdif 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( { q }  C_  (
z  u.  { q } )  ->  ( { q }  \  { P } )  C_  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )
9997, 98mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( { q } 
\  { P }
)  C_  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )
10085, 90, 99dprdres 15541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G dom DProd  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) )  /\  ( G DProd  (
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  C_  ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) ) ) ) )
101100simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  G dom DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )
102 dprdsubg 15537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G dom DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) )  ->  ( G DProd  (
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
103101, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
10485, 90, 92, 99, 78, 48dprddisj2 15552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( G DProd  (
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  i^i  ( G DProd  (
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) )  =  { ( 0g
`  G ) } )
10585, 90, 92, 99, 78, 88dprdcntz2 15551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) ) 
C_  ( (Cntz `  G ) `  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )
106 ablfac1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
107106adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  B  e.  Fin )
108 ablfac1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  =  ( Base `  G
)
109108dprdssv 15529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G DProd 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) 
C_  B
110 ssfi 7288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) ) 
C_  B )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
111107, 109, 110sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
112108dprdssv 15529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G DProd 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  C_  B
113 ssfi 7288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  C_  B )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
114107, 112, 113sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
11581, 48, 88, 96, 103, 104, 105, 111, 114lsmhash 15292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )  =  ( ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) )
116 resabs1 5134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  \  { P } )  C_  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } )  -> 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) )  =  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) )
11792, 116syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) )  =  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) )
118117oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( z  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) )
119118fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  =  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )
120 resabs1 5134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { q }  \  { P } )  C_  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
)  ->  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) )  =  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )
12199, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) )  =  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )
122121oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  =  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )
123122fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  ( G DProd  ( T  |`  ( {
q }  \  { P } ) ) ) ) )
124119, 123oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  ( ( z  u. 
{ q } ) 
\  { P }
) )  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  ( (
z  u.  { q } )  \  { P } ) )  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )  =  ( ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) ) )
12587, 115, 1243eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) )  =  ( ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) ) )
126125breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( (
# `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
12743adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  P  e.  Prime )
128108dprdssv 15529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) 
C_  B
129 ssfi 7288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) 
C_  B )  -> 
( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
130107, 128, 129sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
131 hashcl 11594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) )  e.  NN0 )
132130, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  e.  NN0 )
133132nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  e.  ZZ )
134108dprdssv 15529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  C_  B
135 ssfi 7288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  C_  B )  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  e.  Fin )
136107, 134, 135sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  e. 
Fin )
137 hashcl 11594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) )  e.  Fin  ->  (
# `  ( G DProd  ( T  |`  ( {
q }  \  { P } ) ) ) )  e.  NN0 )
138136, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  e.  NN0 )
139138nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  e.  ZZ )
140 euclemma 13063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) )  <->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  \/  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
141127, 133, 139, 140syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  (
( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) )  <->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  \/  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
142126, 141bitrd 245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) )  <->  ( P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  \/  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
14345ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  -.  P  ||  1
)
144 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  q  =  P )
145144sneqd 3787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  { q }  =  { P } )
146145difeq1d 3424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( { q } 
\  { P }
)  =  ( { P }  \  { P } ) )
147 difid 3656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( { P }  \  { P } )  =  (/)
148146, 147syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( { q } 
\  { P }
)  =  (/) )
149148reseq2d 5105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) )  =  ( T  |`  (/) ) )
150149, 8syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) )  =  (/) )
151150oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  =  ( G DProd  (/) ) )
15251ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } )
153151, 152eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  =  { ( 0g `  G ) } )
154153fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  { ( 0g `  G ) } ) )
155154, 55syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  =  1 )
156155breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  ( P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  1 ) )
157143, 156mtbird 293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =  P )  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )
158 ablfac1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A  C_  Prime )
159158adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  A  C_  Prime )
16069unssbd 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  { q }  C_  A )
161 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  q  e. 
_V
162161snss 3886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( q  e.  A  <->  { q }  C_  A )
163160, 162sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
q  e.  A )
164159, 163sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
q  e.  Prime )
165 ablfac1eu.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  e.  NN0 )
166163, 165syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  C  e.  NN0 )
167 prmdvdsexpr 13071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  q  e.  Prime  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( P  ||  ( q ^ C
)  ->  P  =  q ) )
168127, 164, 166, 167syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  (
q ^ C )  ->  P  =  q ) )
169 eqcom 2406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  =  q  <->  q  =  P )
170168, 169syl6ib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  (
q ^ C )  ->  q  =  P ) )
171170necon3ad 2603 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( q  =/=  P  ->  -.  P  ||  (
q ^ C ) ) )
172171imp 419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  ->  -.  P  ||  ( q ^ C ) )
173 disjsn2 3829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( q  =/=  P  ->  ( { q }  i^i  { P } )  =  (/) )
174173adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( { q }  i^i  { P }
)  =  (/) )
175 disj3 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( { q }  i^i  { P } )  =  (/) 
<->  { q }  =  ( { q }  \  { P } ) )
176174, 175sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  ->  { q }  =  ( { q }  \  { P } ) )
177176reseq2d 5105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( T  |`  { q } )  =  ( T  |`  ( {
q }  \  { P } ) ) )
178177oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( G DProd  ( T  |` 
{ q } ) )  =  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )
17965ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  ->  G dom DProd  T )
18066ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  ->  dom  T  =  A )
181163adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
q  e.  A )
182179, 180, 181dpjlem 15564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( G DProd  ( T  |` 
{ q } ) )  =  ( T `
 q ) )
183178, 182eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) )  =  ( T `  q
) )
184183fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  =  (
# `  ( T `  q ) ) )
185 ablfac1eu.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ C
) )
186163, 185syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( # `  ( T `
 q ) )  =  ( q ^ C ) )
187186adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( # `  ( T `
 q ) )  =  ( q ^ C ) )
188184, 187eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  =  ( q ^ C ) )
189188breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  -> 
( P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) )  <->  P  ||  ( q ^ C ) ) )
190172, 189mtbird 293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  /\  q  =/=  P )  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) )
191157, 190pm2.61dane 2645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) ) )
192 orel2 373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( { q } 
\  { P }
) ) ) )  ->  ( ( P 
||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  \/  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )  ->  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ) ) )
193191, 192syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( ( P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  \/  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  ( { q }  \  { P } ) ) ) ) )  ->  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ) ) )
194142, 193sylbid 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) )  ->  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) )
195194con3d 127 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( -.  q  e.  z  /\  ( z  u.  {
q } )  C_  A ) )  -> 
( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd 
( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) ) ) )
196195expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  q  e.  z )  ->  (
( z  u.  {
q } )  C_  A  ->  ( -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) )  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
197196a2d 24 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  q  e.  z )  ->  (
( ( z  u. 
{ q } ) 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
z  \  { P } ) ) ) ) )  ->  (
( z  u.  {
q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
19863, 197syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  q  e.  z )  ->  (
( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )  -> 
( ( z  u. 
{ q } ) 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
199198expcom 425 . . . . . 6  |-  ( -.  q  e.  z  -> 
( ph  ->  ( ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )  ->  (
( z  u.  {
q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
200199adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  -.  q  e.  z
)  ->  ( ph  ->  ( ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) )  -> 
( ( z  u. 
{ q } ) 
C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `  ( G DProd  ( T  |`  (
( z  u.  {
q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
201200a2d 24 . . . 4  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  -.  q  e.  z
)  ->  ( ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( z  \  { P } ) ) ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( z  u.  {
q } )  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( ( z  u.  { q } )  \  { P } ) ) ) ) ) ) ) )
20215, 24, 33, 42, 59, 201findcard2s 7308 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) ) ) )
2032, 202mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) ) )
2041, 203mpi 17 1  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  { P } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837    |` cres 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   1c1 8947    x. cmul 8951   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ^cexp 11337   #chash 11573    || cdivides 12807   Primecprime 13034    pCnt cpc 13165   Basecbs 13424   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640  SubGrpcsubg 14893  Cntzccntz 15069   odcod 15118   LSSumclsm 15223   Abelcabel 15368   DProd cdprd 15509
This theorem is referenced by:  ablfac1eu  15586
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-gim 15001  df-cntz 15071  df-oppg 15097  df-lsm 15225  df-pj1 15226  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-dprd 15511
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