Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1c Structured version   Unicode version

Theorem ablfac1c 17639
 Description: The factors of ablfac1b 17638 cover the entire group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b
ablfac1.o
ablfac1.s
ablfac1.g
ablfac1.f
ablfac1.1
ablfac1c.d
ablfac1.2
Assertion
Ref Expression
ablfac1c DProd
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)   ()   ()

Proof of Theorem ablfac1c
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac1.f . 2
2 ablfac1.b . . . 4
32dprdssv 17584 . . 3 DProd
43a1i 11 . 2 DProd
5 ssfi 7798 . . . . . 6 DProd DProd
61, 3, 5sylancl 666 . . . . 5 DProd
7 hashcl 12535 . . . . 5 DProd DProd
86, 7syl 17 . . . 4 DProd
9 hashcl 12535 . . . . 5
101, 9syl 17 . . . 4
11 ablfac1.o . . . . . . 7
12 ablfac1.s . . . . . . 7
13 ablfac1.g . . . . . . 7
14 ablfac1.1 . . . . . . 7
152, 11, 12, 13, 1, 14ablfac1b 17638 . . . . . 6 DProd
16 dprdsubg 17592 . . . . . 6 DProd DProd SubGrp
1715, 16syl 17 . . . . 5 DProd SubGrp
182lagsubg 16830 . . . . 5 DProd SubGrp DProd
1917, 1, 18syl2anc 665 . . . 4 DProd
20 breq1 4429 . . . . . . . . . . 11
21 ablfac1c.d . . . . . . . . . . 11
2220, 21elrab2 3237 . . . . . . . . . 10
23 ablfac1.2 . . . . . . . . . . 11
2423sseld 3469 . . . . . . . . . 10
2522, 24syl5bir 221 . . . . . . . . 9
2625impl 624 . . . . . . . 8
272, 11, 12, 13, 1, 14ablfac1a 17637 . . . . . . . . . . 11
28 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
292, 28eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3029rabex 4576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3130, 12dmmpti 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3315, 32dprdf2 17574 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp
3433ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
3515adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 DProd
3631a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
37 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15
3835, 36, 37dprdub 17593 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd
3917adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 DProd SubGrp
40 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s DProd s DProd
4140subsubg 16791 . . . . . . . . . . . . . . 15 DProd SubGrp SubGrps DProd SubGrp DProd
4239, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrps DProd SubGrp DProd
4334, 38, 42mpbir2and 930 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrps DProd
4440subgbas 16772 . . . . . . . . . . . . . . 15 DProd SubGrp DProd s DProd
4539, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd s DProd
466adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd
4745, 46eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . 13 s DProd
48 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . 14 s DProd s DProd
4948lagsubg 16830 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrps DProd s DProd s DProd
5043, 47, 49syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12 s DProd
5145fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12 DProd s DProd
5250, 51breqtrrd 4452 . . . . . . . . . . 11 DProd
5327, 52eqbrtrrd 4448 . . . . . . . . . 10 DProd
5414sselda 3470 . . . . . . . . . . 11
558nn0zd 11038 . . . . . . . . . . . 12 DProd
5655adantr 466 . . . . . . . . . . 11 DProd
57 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13
58 ablgrp 17370 . . . . . . . . . . . . . . . 16
592grpbn0 16646 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6013, 58, 593syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15
61 hashnncl 12544 . . . . . . . . . . . . . . . 16
621, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
6360, 62mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . 14
6463adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13
6557, 64pccld 14763 . . . . . . . . . . . 12
6654, 65syldan 472 . . . . . . . . . . 11
67 pcdvdsb 14781 . . . . . . . . . . 11 DProd DProd DProd
6854, 56, 66, 67syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10 DProd DProd
6953, 68mpbird 235 . . . . . . . . 9 DProd
7069adantlr 719 . . . . . . . 8 DProd
7126, 70syldan 472 . . . . . . 7 DProd
72 pceq0 14783 . . . . . . . . . 10
7357, 64, 72syl2anc 665 . . . . . . . . 9
7473biimpar 487 . . . . . . . 8
75 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15
7675subg0cl 16776 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd SubGrp DProd
77 ne0i 3773 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd DProd
7817, 76, 773syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 DProd
79 hashnncl 12544 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd DProd DProd
806, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 DProd DProd
8178, 80mpbird 235 . . . . . . . . . . . 12 DProd
8281adantr 466 . . . . . . . . . . 11 DProd
8357, 82pccld 14763 . . . . . . . . . 10 DProd
8483nn0ge0d 10928 . . . . . . . . 9 DProd
8584adantr 466 . . . . . . . 8 DProd
8674, 85eqbrtrd 4446 . . . . . . 7 DProd
8771, 86pm2.61dan 798 . . . . . 6 DProd
8887ralrimiva 2846 . . . . 5 DProd
8910nn0zd 11038 . . . . . 6
90 pc2dvds 14791 . . . . . 6 DProd DProd DProd
9189, 55, 90syl2anc 665 . . . . 5 DProd DProd
9288, 91mpbird 235 . . . 4 DProd
93 dvdseq 14330 . . . 4 DProd DProd DProd DProd
948, 10, 19, 92, 93syl22anc 1265 . . 3 DProd
95 hashen 12527 . . . 4 DProd DProd DProd
966, 1, 95syl2anc 665 . . 3 DProd DProd
9794, 96mpbid 213 . 2 DProd
98 fisseneq 7789 . 2 DProd DProd DProd
991, 4, 97, 98syl3anc 1264 1 DProd
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870   wne 2625  wral 2782  crab 2786  cvv 3087   wss 3442  c0 3767   class class class wbr 4426   cmpt 4484   cdm 4854  cfv 5601  (class class class)co 6305   cen 7574  cfn 7577  cc0 9538   cle 9675  cn 10609  cn0 10869  cz 10937  cexp 12269  chash 12512   cdvds 14283  cprime 14593   cpc 14749  cbs 15084   ↾s cress 15085  c0g 15297  cgrp 16620  SubGrpcsubg 16762  cod 17116  cabl 17366   DProd cdprd 17560 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-ec 7373  df-qs 7377  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-dvds 14284  df-gcd 14443  df-prm 14594  df-pc 14750  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-eqg 16767  df-ghm 16832  df-gim 16874  df-ga 16895  df-cntz 16922  df-oppg 16948  df-od 17120  df-lsm 17223  df-pj1 17224  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-dprd 17562 This theorem is referenced by:  ablfaclem2  17654
 Copyright terms: Public domain W3C validator