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Theorem ablfac1b 16911
Description: Any abelian group is the direct product of factors of prime power order (with the exact order further matching the prime factorization of the group order). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
ablfac1.s  |-  S  =  ( p  e.  A  |->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
ablfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
ablfac1.f  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
ablfac1.1  |-  ( ph  ->  A  C_  Prime )
Assertion
Ref Expression
ablfac1b  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
Distinct variable groups:    x, p, B    ph, p, x    A, p, x    O, p, x    G, p, x
Allowed substitution hints:    S( x, p)

Proof of Theorem ablfac1b
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . 2  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
2 eqid 2467 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 eqid 2467 . 2  |-  (mrCls `  (SubGrp `  G ) )  =  (mrCls `  (SubGrp `  G ) )
4 ablfac1.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
5 ablgrp 16599 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
7 ablfac1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  Prime )
8 nnex 10538 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
9 prmnn 14075 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
109ssriv 3508 . . . . 5  |-  Prime  C_  NN
118, 10ssexi 4592 . . . 4  |-  Prime  e.  _V
1211ssex 4591 . . 3  |-  ( A 
C_  Prime  ->  A  e.  _V )
137, 12syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
144adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  G  e.  Abel )
157sselda 3504 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  Prime )
1615, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  NN )
17 ablfac1.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  G
)
1817grpbn0 15880 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )
196, 18syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
20 ablfac1.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
21 hashnncl 12400 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( # `  B )  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
2319, 22mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN )
2423adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( # `
 B )  e.  NN )
2515, 24pccld 14229 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  (
p  pCnt  ( # `  B
) )  e.  NN0 )
2616, 25nnexpcld 12295 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  NN )
2726nnzd 10961 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  ZZ )
28 ablfac1.o . . . . 5  |-  O  =  ( od `  G
)
2928, 17oddvdssubg 16654 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  ZZ )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) }  e.  (SubGrp `  G
) )
3014, 27, 29syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) }  e.  (SubGrp `  G
) )
31 ablfac1.s . . 3  |-  S  =  ( p  e.  A  |->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
3230, 31fmptd 6043 . 2  |-  ( ph  ->  S : A --> (SubGrp `  G ) )
334adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  a  =/=  b ) )  ->  G  e.  Abel )
3432adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  a  =/=  b ) )  ->  S : A --> (SubGrp `  G ) )
35 simpr1 1002 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  a  =/=  b ) )  -> 
a  e.  A )
3634, 35ffvelrnd 6020 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( S `  a
)  e.  (SubGrp `  G ) )
37 simpr2 1003 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  a  =/=  b ) )  -> 
b  e.  A )
3834, 37ffvelrnd 6020 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( S `  b
)  e.  (SubGrp `  G ) )
391, 33, 36, 38ablcntzd 16656 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  a  =/=  b ) )  -> 
( S `  a
)  C_  ( (Cntz `  G ) `  ( S `  b )
) )
40 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  a  ->  p  =  a )
41 oveq1 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  a  ->  (
p  pCnt  ( # `  B
) )  =  ( a  pCnt  ( # `  B
) ) )
4240, 41oveq12d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  a  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) )  =  ( a ^ (
a  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
4342breq2d 4459 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  a  ->  (
( O `  x
)  ||  ( p ^ ( p  pCnt  (
# `  B )
) )  <->  ( O `  x )  ||  (
a ^ ( a 
pCnt  ( # `  B
) ) ) ) )
4443rabbidv 3105 . . . . . . 7  |-  ( p  =  a  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) }  =  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  ( a ^ (
a  pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
45 fvex 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  G )  e.  _V
4617, 45eqeltri 2551 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
4746rabex 4598 . . . . . . 7  |-  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) }  e.  _V
4844, 31, 47fvmpt3i 5952 . . . . . 6  |-  ( a  e.  A  ->  ( S `  a )  =  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
a ^ ( a 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
4948adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  ( S `  a )  =  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
a ^ ( a 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
50 eqimss 3556 . . . . 5  |-  ( ( S `  a )  =  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  ( a ^ (
a  pCnt  ( # `  B
) ) ) }  ->  ( S `  a )  C_  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( a ^ (
a  pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
5149, 50syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  ( S `  a )  C_ 
{ x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
a ^ ( a 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
524adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  G  e.  Abel )
53 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
5453subgacs 16031 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) ) )
55 acsmre 14903 . . . . . 6  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) )  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) ) )
5652, 5, 54, 554syl 21 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) ) )
57 df-ima 5012 . . . . . . 7  |-  ( S
" ( A  \  { a } ) )  =  ran  ( S  |`  ( A  \  { a } ) )
587sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  a  e.  Prime )
5958ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  a  e.  Prime )
6023ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( # `
 B )  e.  NN )
61 pcdvds 14242 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  Prime  /\  ( # `
 B )  e.  NN )  ->  (
a ^ ( a 
pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( # `  B ) )
6259, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
a ^ ( a 
pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( # `  B ) )
637ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  A  C_ 
Prime )
64 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  ( A  \  { a } )  ->  p  e.  A
)
6564ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  p  e.  A )
6663, 65sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  p  e.  Prime )
67 pcdvds 14242 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( # `
 B )  e.  NN )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( # `  B ) )
6866, 60, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( # `  B ) )
69 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) )  =  ( a ^ ( a 
pCnt  ( # `  B
) ) )
70 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  B )  /  ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) ) )  =  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) )
7117, 28, 31, 4, 20, 7, 69, 70ablfac1lem 16909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  (
( ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) )  e.  NN  /\  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) )  e.  NN )  /\  (
( a ^ (
a  pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) )  =  1  /\  ( # `
 B )  =  ( ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) )  x.  ( (
# `  B )  /  ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) ) ) ) ) )
7271simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  (
( a ^ (
a  pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  NN  /\  ( (
# `  B )  /  ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) ) )  e.  NN ) )
7372simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  (
a ^ ( a 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  NN )
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
a ^ ( a 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  NN )
7574nnzd 10961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
a ^ ( a 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  ZZ )
7666, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  p  e.  NN )
7766, 60pccld 14229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
p  pCnt  ( # `  B
) )  e.  NN0 )
7876, 77nnexpcld 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  NN )
7978nnzd 10961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  ZZ )
8060nnzd 10961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( # `
 B )  e.  ZZ )
81 eldifsni 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  e.  ( A  \  { a } )  ->  p  =/=  a
)
8281ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  p  =/=  a )
8382necomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  a  =/=  p )
84 prmrp 14097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  Prime  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( a  gcd  p
)  =  1  <->  a  =/=  p ) )
8559, 66, 84syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
( a  gcd  p
)  =  1  <->  a  =/=  p ) )
8683, 85mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
a  gcd  p )  =  1 )
87 prmz 14076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  Prime  ->  a  e.  ZZ )
8859, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  a  e.  ZZ )
89 prmz 14076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
9066, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  p  e.  ZZ )
9159, 60pccld 14229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
a  pCnt  ( # `  B
) )  e.  NN0 )
92 rpexp12i 14118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  p  e.  ZZ  /\  (
( a  pCnt  ( # `
 B ) )  e.  NN0  /\  (
p  pCnt  ( # `  B
) )  e.  NN0 ) )  ->  (
( a  gcd  p
)  =  1  -> 
( ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) )  gcd  ( p ^ ( p  pCnt  (
# `  B )
) ) )  =  1 ) )
9388, 90, 91, 77, 92syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
( a  gcd  p
)  =  1  -> 
( ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) )  gcd  ( p ^ ( p  pCnt  (
# `  B )
) ) )  =  1 ) )
9486, 93mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
( a ^ (
a  pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) )  =  1 )
95 coprmdvds2 14099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  ZZ )  /\  ( ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) )  gcd  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) )  =  1 )  -> 
( ( ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) )  ||  ( # `
 B )  /\  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( # `  B ) )  ->  ( (
a ^ ( a 
pCnt  ( # `  B
) ) )  x.  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) ) 
||  ( # `  B
) ) )
9675, 79, 80, 94, 95syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) )  ||  ( # `  B )  /\  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( # `  B ) )  ->  ( (
a ^ ( a 
pCnt  ( # `  B
) ) )  x.  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) ) 
||  ( # `  B
) ) )
9762, 68, 96mp2and 679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
( a ^ (
a  pCnt  ( # `  B
) ) )  x.  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) ) 
||  ( # `  B
) )
9871simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  ( # `
 B )  =  ( ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) )  x.  ( (
# `  B )  /  ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) ) ) ) )
9998ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( # `
 B )  =  ( ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) )  x.  ( (
# `  B )  /  ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) ) ) ) )
10097, 99breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
( a ^ (
a  pCnt  ( # `  B
) ) )  x.  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) ) 
||  ( ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) )  x.  (
( # `  B )  /  ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) ) ) ) )
10172simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  (
( # `  B )  /  ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) ) )  e.  NN )
102101ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
( # `  B )  /  ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) ) )  e.  NN )
103102nnzd 10961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
( # `  B )  /  ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) ) )  e.  ZZ )
10474nnne0d 10576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
a ^ ( a 
pCnt  ( # `  B
) ) )  =/=  0 )
105 dvdscmulr 13869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  ZZ  /\  ( (
# `  B )  /  ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( a ^ (
a  pCnt  ( # `  B
) ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) )  x.  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) ) 
||  ( ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) )  x.  (
( # `  B )  /  ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) ) ) )  <->  ( p ^ ( p  pCnt  (
# `  B )
) )  ||  (
( # `  B )  /  ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) ) ) ) )
10679, 103, 75, 104, 105syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) )  x.  ( p ^ ( p  pCnt  (
# `  B )
) ) )  ||  ( ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) )  x.  ( (
# `  B )  /  ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) ) ) )  <->  ( p ^ ( p  pCnt  (
# `  B )
) )  ||  (
( # `  B )  /  ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) ) ) ) )
107100, 106mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) )
10817, 28odcl 16356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  B  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
109108adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
110109nn0zd 10960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( O `  x )  e.  ZZ )
111 dvdstr 13874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( O `  x
)  e.  ZZ  /\  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  ZZ  /\  ( (
# `  B )  /  ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( O `  x ) 
||  ( p ^
( p  pCnt  ( # `
 B ) ) )  /\  ( p ^ ( p  pCnt  (
# `  B )
) )  ||  (
( # `  B )  /  ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) ) ) )  -> 
( O `  x
)  ||  ( ( # `
 B )  / 
( a ^ (
a  pCnt  ( # `  B
) ) ) ) ) )
112110, 79, 103, 111syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( O `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) )  /\  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) )  ->  ( O `  x )  ||  (
( # `  B )  /  ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) ) ) ) )
113107, 112mpan2d 674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  { a } ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
( O `  x
)  ||  ( p ^ ( p  pCnt  (
# `  B )
) )  ->  ( O `  x )  ||  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) ) )
114113ss2rabdv 3581 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  {
a } ) )  ->  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) } 
C_  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) } )
11547elpw 4016 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  ( p ^ ( p  pCnt  (
# `  B )
) ) }  e.  ~P { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
( # `  B )  /  ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) ) ) }  <->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) } 
C_  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) } )
116114, 115sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  p  e.  ( A  \  {
a } ) )  ->  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) }  e.  ~P { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) } )
11731reseq1i 5267 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  |`  ( A  \  {
a } ) )  =  ( ( p  e.  A  |->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) } )  |`  ( A  \  { a } ) )
118 difss 3631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  { a } )  C_  A
119 resmpt 5321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  \  { a } )  C_  A  ->  ( ( p  e.  A  |->  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) } )  |`  ( A  \  { a } ) )  =  ( p  e.  ( A  \  { a } ) 
|->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } ) )
120118, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  A  |->  { x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  ( p ^ ( p  pCnt  (
# `  B )
) ) } )  |`  ( A  \  {
a } ) )  =  ( p  e.  ( A  \  {
a } )  |->  { x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  ( p ^ ( p  pCnt  (
# `  B )
) ) } )
121117, 120eqtri 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( S  |`  ( A  \  {
a } ) )  =  ( p  e.  ( A  \  {
a } )  |->  { x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  ( p ^ ( p  pCnt  (
# `  B )
) ) } )
122116, 121fmptd 6043 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  ( S  |`  ( A  \  { a } ) ) : ( A 
\  { a } ) --> ~P { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) } )
123 frn 5735 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  |`  ( A  \  { a } ) ) : ( A 
\  { a } ) --> ~P { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) }  ->  ran  ( S  |`  ( A  \  {
a } ) ) 
C_  ~P { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) } )
124122, 123syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  ran  ( S  |`  ( A 
\  { a } ) )  C_  ~P { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
( # `  B )  /  ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) ) ) } )
12557, 124syl5eqss 3548 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  ( S " ( A  \  { a } ) )  C_  ~P { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) } )
126 sspwuni 4411 . . . . . 6  |-  ( ( S " ( A 
\  { a } ) )  C_  ~P { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
( # `  B )  /  ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) ) ) }  <->  U. ( S " ( A  \  { a } ) )  C_  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) } )
127125, 126sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  U. ( S " ( A  \  { a } ) )  C_  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) } )
128101nnzd 10961 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  (
( # `  B )  /  ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) ) )  e.  ZZ )
12928, 17oddvdssubg 16654 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
( # `  B )  /  ( a ^
( a  pCnt  ( # `
 B ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) }  e.  (SubGrp `  G
) )
13052, 128, 129syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) }  e.  (SubGrp `  G
) )
1313mrcsscl 14871 . . . . 5  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  U. ( S " ( A  \  { a } ) )  C_  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) }  /\  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) }  e.  (SubGrp `  G
) )  ->  (
(mrCls `  (SubGrp `  G
) ) `  U. ( S " ( A 
\  { a } ) ) )  C_  { x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  ( ( # `
 B )  / 
( a ^ (
a  pCnt  ( # `  B
) ) ) ) } )
13256, 127, 130, 131syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  (
(mrCls `  (SubGrp `  G
) ) `  U. ( S " ( A 
\  { a } ) ) )  C_  { x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  ( ( # `
 B )  / 
( a ^ (
a  pCnt  ( # `  B
) ) ) ) } )
133 ss2in 3725 . . . 4  |-  ( ( ( S `  a
)  C_  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( a ^ (
a  pCnt  ( # `  B
) ) ) }  /\  ( (mrCls `  (SubGrp `  G ) ) `
 U. ( S
" ( A  \  { a } ) ) )  C_  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) } )  ->  ( ( S `  a )  i^i  ( (mrCls `  (SubGrp `  G ) ) `  U. ( S " ( A  \  { a } ) ) ) ) 
C_  ( { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( a ^ (
a  pCnt  ( # `  B
) ) ) }  i^i  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) } ) )
13451, 132, 133syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  (
( S `  a
)  i^i  ( (mrCls `  (SubGrp `  G )
) `  U. ( S
" ( A  \  { a } ) ) ) )  C_  ( { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
a ^ ( a 
pCnt  ( # `  B
) ) ) }  i^i  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) } ) )
135 eqid 2467 . . . . 5  |-  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( a ^ (
a  pCnt  ( # `  B
) ) ) }  =  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  ( a ^ (
a  pCnt  ( # `  B
) ) ) }
136 eqid 2467 . . . . 5  |-  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) }  =  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) }
13771simp2d 1009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  (
( a ^ (
a  pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) )  =  1 )
138 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( LSSum `  G )  =  (
LSSum `  G )
13917, 28, 135, 136, 52, 73, 101, 137, 98, 2, 138ablfacrp 16907 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  (
( { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  ( a ^ (
a  pCnt  ( # `  B
) ) ) }  i^i  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) } )  =  { ( 0g `  G ) }  /\  ( { x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) }  ( LSSum `  G ) { x  e.  B  | 
( O `  x
)  ||  ( ( # `
 B )  / 
( a ^ (
a  pCnt  ( # `  B
) ) ) ) } )  =  B ) )
140139simpld 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  ( { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
a ^ ( a 
pCnt  ( # `  B
) ) ) }  i^i  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  ( ( # `  B
)  /  ( a ^ ( a  pCnt  (
# `  B )
) ) ) } )  =  { ( 0g `  G ) } )
141134, 140sseqtrd 3540 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  (
( S `  a
)  i^i  ( (mrCls `  (SubGrp `  G )
) `  U. ( S
" ( A  \  { a } ) ) ) )  C_  { ( 0g `  G
) } )
1421, 2, 3, 6, 13, 32, 39, 141dmdprdd 16821 1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001   "cima 5002   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   0cc0 9488   1c1 9489    x. cmul 9493    / cdiv 10202   NNcn 10532   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ^cexp 12130   #chash 12369    || cdivides 13843    gcd cgcd 13999   Primecprime 14072    pCnt cpc 14215   Basecbs 14486   0gc0g 14691  Moorecmre 14833  mrClscmrc 14834  ACScacs 14836   Grpcgrp 15723  SubGrpcsubg 15990  Cntzccntz 16148   odcod 16345   LSSumclsm 16450   Abelcabl 16595   DProd cdprd 16815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-ec 7310  df-qs 7314  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-dvds 13844  df-gcd 14000  df-prm 14073  df-pc 14216  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-eqg 15995  df-cntz 16150  df-od 16349  df-lsm 16452  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-dprd 16817
This theorem is referenced by:  ablfac1c  16912  ablfac1eu  16914  ablfaclem2  16927  ablfaclem3  16928
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