Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1b Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ablfac1b 17781
 Description: Any abelian group is the direct product of factors of prime power order (with the exact order further matching the prime factorization of the group order). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b
ablfac1.o
ablfac1.s
ablfac1.g
ablfac1.f
ablfac1.1
Assertion
Ref Expression
ablfac1b DProd
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem ablfac1b
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . 2 Cntz Cntz
2 eqid 2471 . 2
3 eqid 2471 . 2 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
4 ablfac1.g . . 3
5 ablgrp 17513 . . 3
64, 5syl 17 . 2
7 ablfac1.1 . . 3
8 nnex 10637 . . . . 5
9 prmnn 14704 . . . . . 6
109ssriv 3422 . . . . 5
118, 10ssexi 4541 . . . 4
1211ssex 4540 . . 3
137, 12syl 17 . 2
144adantr 472 . . . 4
157sselda 3418 . . . . . . 7
1615, 9syl 17 . . . . . 6
17 ablfac1.b . . . . . . . . . . 11
1817grpbn0 16773 . . . . . . . . . 10
196, 18syl 17 . . . . . . . . 9
20 ablfac1.f . . . . . . . . . 10
21 hashnncl 12585 . . . . . . . . . 10
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9
2319, 22mpbird 240 . . . . . . . 8
2423adantr 472 . . . . . . 7
2515, 24pccld 14879 . . . . . 6
2616, 25nnexpcld 12475 . . . . 5
2726nnzd 11062 . . . 4
28 ablfac1.o . . . . 5
2928, 17oddvdssubg 17571 . . . 4 SubGrp
3014, 27, 29syl2anc 673 . . 3 SubGrp
31 ablfac1.s . . 3
3230, 31fmptd 6061 . 2 SubGrp
3432adantr 472 . . . 4 SubGrp
35 simpr1 1036 . . . 4
3634, 35ffvelrnd 6038 . . 3 SubGrp
37 simpr2 1037 . . . 4
3834, 37ffvelrnd 6038 . . 3 SubGrp
391, 33, 36, 38ablcntzd 17573 . 2 Cntz
40 id 22 . . . . . . . . . 10
41 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10
4240, 41oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
4342breq2d 4407 . . . . . . . 8
4443rabbidv 3022 . . . . . . 7
45 fvex 5889 . . . . . . . . 9
4617, 45eqeltri 2545 . . . . . . . 8
4746rabex 4550 . . . . . . 7
4844, 31, 47fvmpt3i 5968 . . . . . 6
4948adantl 473 . . . . 5
50 eqimss 3470 . . . . 5
5149, 50syl 17 . . . 4
524adantr 472 . . . . . 6
53 eqid 2471 . . . . . . 7
5453subgacs 16930 . . . . . 6 SubGrp ACS
55 acsmre 15636 . . . . . 6 SubGrp ACS SubGrp Moore
5652, 5, 54, 554syl 19 . . . . 5 SubGrp Moore
57 df-ima 4852 . . . . . . 7
587sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5958ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6023ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16
61 pcdvds 14892 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6259, 60, 61syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15
637ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
64 eldifi 3544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6564ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6663, 65sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . 16
67 pcdvds 14892 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6866, 60, 67syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15
69 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
70 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7117, 28, 31, 4, 20, 7, 69, 70ablfac1lem 17779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7271simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7372simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7473ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7574nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7666, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7766, 60pccld 14879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7876, 77nnexpcld 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7978nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8060nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . 16
81 eldifsni 4089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8281ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8382necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
84 prmrp 14737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8559, 66, 84syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8683, 85mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
87 prmz 14705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8859, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89 prmz 14705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9066, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9159, 60pccld 14879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
92 rpexp12i 14753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9388, 90, 91, 77, 92syl112anc 1296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9486, 93mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
95 coprmdvds2 14739 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9675, 79, 80, 94, 95syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . . 15
9762, 68, 96mp2and 693 . . . . . . . . . . . . . 14
9871simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . . 15
9998ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
10097, 99breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . 13
10172simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16
102101ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15
103102nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . 14
10474nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . . 14
105 dvdscmulr 14408 . . . . . . . . . . . . . 14
10679, 103, 75, 104, 105syl112anc 1296 . . . . . . . . . . . . 13
107100, 106mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12
10817, 28odcl 17263 . . . . . . . . . . . . . . 15
109108adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
110109nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . 13
111 dvdstr 14414 . . . . . . . . . . . . 13
112110, 79, 103, 111syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12
113107, 112mpan2d 688 . . . . . . . . . . 11
114113ss2rabdv 3496 . . . . . . . . . 10
11547elpw 3948 . . . . . . . . . 10
116114, 115sylibr 217 . . . . . . . . 9
11731reseq1i 5107 . . . . . . . . . 10
118 difss 3549 . . . . . . . . . . 11
119 resmpt 5160 . . . . . . . . . . 11
120118, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
121117, 120eqtri 2493 . . . . . . . . 9
122116, 121fmptd 6061 . . . . . . . 8
123 frn 5747 . . . . . . . 8
124122, 123syl 17 . . . . . . 7
12557, 124syl5eqss 3462 . . . . . 6
126 sspwuni 4360 . . . . . 6
127125, 126sylib 201 . . . . 5
128101nnzd 11062 . . . . . 6
12928, 17oddvdssubg 17571 . . . . . 6 SubGrp
13052, 128, 129syl2anc 673 . . . . 5 SubGrp
1313mrcsscl 15604 . . . . 5 SubGrp Moore SubGrp mrClsSubGrp
13256, 127, 130, 131syl3anc 1292 . . . 4 mrClsSubGrp
133 ss2in 3650 . . . 4 mrClsSubGrp mrClsSubGrp
13451, 132, 133syl2anc 673 . . 3 mrClsSubGrp
135 eqid 2471 . . . . 5
136 eqid 2471 . . . . 5
13771simp2d 1043 . . . . 5
138 eqid 2471 . . . . 5
13917, 28, 135, 136, 52, 73, 101, 137, 98, 2, 138ablfacrp 17777 . . . 4
140139simpld 466 . . 3
141134, 140sseqtrd 3454 . 2 mrClsSubGrp
1421, 2, 3, 6, 13, 32, 39, 141dmdprdd 17709 1 DProd
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  crab 2760  cvv 3031   cdif 3387   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cpw 3942  csn 3959  cuni 4190   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  cima 4842  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  cc0 9557  c1 9558   cmul 9562   cdiv 10291  cn 10631  cn0 10893  cz 10961  cexp 12310  chash 12553   cdvds 14382   cgcd 14547  cprime 14701   cpc 14865  cbs 15199  c0g 15416  Moorecmre 15566  mrClscmrc 15567  ACScacs 15569  cgrp 16747  SubGrpcsubg 16889  Cntzccntz 17047  cod 17243  clsm 17364  cabl 17509   DProd cdprd 17703 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-eqg 16894  df-cntz 17049  df-od 17250  df-lsm 17366  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-dprd 17705 This theorem is referenced by:  ablfac1c  17782  ablfac1eu  17784  ablfaclem2  17797  ablfaclem3  17798
 Copyright terms: Public domain W3C validator