Theorem ablfac 16696

Description: The Fundamental Theorem of (finite) Abelian Groups. Any finite abelian group is a direct product of cyclic p-groups. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfac.b	|- B = ( Base ` G )
ablfac.c	|- C = { r e. (SubGrp ` G ) | ( G ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) }
ablfac.1	|- ( ph -> G e. Abel )
ablfac.2	|- ( ph -> B e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
ablfac	|- ( ph -> E. s e. Word C ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) )

Distinct variable groups:   s, r, B   C, s   ph, s   G, r, s

Allowed substitution hints:   ph( r)   C( r)

Proof of Theorem ablfac

Dummy variables p x g w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablfac.1	. . . 4 |- ( ph -> G e. Abel )
2		ablgrp 16388	. . . 4 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
3		ablfac.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
4	3	subgid 15787	. . . 4 |- ( G e. Grp -> B e. (SubGrp ` G ) )
5		ablfac.c	. . . . 5 |- C = { r e. (SubGrp ` G ) | ( G ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) }
6		ablfac.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. Fin )
7		eqid 2451	. . . . 5 |- ( od ` G ) = ( od ` G )
8		eqid 2451	. . . . 5 |- { w e. Prime | w || ( # ` B ) } = { w e. Prime | w || ( # ` B ) }
9		eqid 2451	. . . . 5 |- ( p e. { w e. Prime | w || ( # ` B ) } |-> { x e. B | ( ( od ` G ) ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } ) = ( p e. { w e. Prime | w || ( # ` B ) } |-> { x e. B | ( ( od ` G ) ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } )
10		eqid 2451	. . . . 5 |- ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } ) = ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } )
11	3, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10	ablfaclem1 16693	. . . 4 |- ( B e. (SubGrp ` G ) -> ( ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } ) ` B ) = { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) } )
12	1, 2, 4, 11	4syl 21	. . 3 |- ( ph -> ( ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } ) ` B ) = { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) } )
13	3, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10	ablfaclem3 16695	. . 3 |- ( ph -> ( ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } ) ` B ) =/= (/) )
14	12, 13	eqnetrrd 2742	. 2 |- ( ph -> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) } =/= (/) )
15		rabn0 3757	. 2 |- ( { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) } =/= (/) <-> E. s e. Word C ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) )
16	14, 15	sylib 196	1 |- ( ph -> E. s e. Word C ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   E.wrex 2796   {crab 2799   i^i cin 3427   (/)c0 3737   class class class wbr 4392   |-> cmpt 4450   dom cdm 4940   ran crn 4941   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   Fincfn 7412   ^cexp 11968   #chash 12206  Word cword 12325   || cdivides 13639   Primecprime 13867   pCnt cpc 14007   Basecbs 14278   ↾_s cress 14279   Grpcgrp 15514  SubGrpcsubg 15779   odcod 16134   pGrp cpgp 16136   Abelcabel 16384  CycGrpccyg 16460   DProd cdprd 16582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-disj 4363  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-rpss 6462  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-tpos 6847  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-omul 7027  df-er 7203  df-ec 7205  df-qs 7209  df-map 7318  df-pm 7319  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-acn 8215  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-mod 11812  df-seq 11910  df-exp 11969  df-fac 12155  df-bc 12182  df-hash 12207  df-word 12333  df-concat 12335  df-s1 12336  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-clim 13070  df-sum 13268  df-dvds 13640  df-gcd 13795  df-prm 13868  df-pc 14008  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-mhm 15568  df-submnd 15569  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-sbg 15651  df-mulg 15652  df-subg 15782  df-eqg 15784  df-ghm 15849  df-gim 15891  df-ga 15912  df-cntz 15939  df-oppg 15965  df-od 16138  df-gex 16139  df-pgp 16140  df-lsm 16241  df-pj1 16242  df-cmn 16385  df-abl 16386  df-cyg 16461  df-dprd 16584

This theorem is referenced by:  ablfac2  16697