Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac Structured version   Unicode version

Theorem ablfac 17459
 Description: The Fundamental Theorem of (finite) Abelian Groups. Any finite abelian group is a direct product of cyclic p-groups. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac.b
ablfac.c SubGrp s CycGrp pGrp
ablfac.1
ablfac.2
Assertion
Ref Expression
ablfac Word DProd DProd
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem ablfac
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac.1 . . . 4
2 ablgrp 17127 . . . 4
3 ablfac.b . . . . 5
43subgid 16527 . . . 4 SubGrp
5 ablfac.c . . . . 5 SubGrp s CycGrp pGrp
6 ablfac.2 . . . . 5
7 eqid 2402 . . . . 5
8 eqid 2402 . . . . 5
9 eqid 2402 . . . . 5
10 eqid 2402 . . . . 5 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
113, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10ablfaclem1 17456 . . . 4 SubGrp SubGrp Word DProd DProd Word DProd DProd
121, 2, 4, 114syl 19 . . 3 SubGrp Word DProd DProd Word DProd DProd
133, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10ablfaclem3 17458 . . 3 SubGrp Word DProd DProd
1412, 13eqnetrrd 2697 . 2 Word DProd DProd
15 rabn0 3759 . 2 Word DProd DProd Word DProd DProd
1614, 15sylib 196 1 Word DProd DProd
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  wrex 2755  crab 2758   cin 3413  c0 3738   class class class wbr 4395   cmpt 4453   cdm 4823   crn 4824  cfv 5569  (class class class)co 6278  cfn 7554  cexp 12210  chash 12452  Word cword 12583   cdvds 14195  cprime 14426   cpc 14569  cbs 14841   ↾s cress 14842  cgrp 16377  SubGrpcsubg 16519  cod 16873   pGrp cpgp 16875  cabl 17123  CycGrpccyg 17204   DProd cdprd 17344 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-rpss 6562  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-omul 7172  df-er 7348  df-ec 7350  df-qs 7354  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-acn 8355  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-word 12591  df-concat 12593  df-s1 12594  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-dvds 14196  df-gcd 14354  df-prm 14427  df-pc 14570  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-mulg 16384  df-subg 16522  df-eqg 16524  df-ghm 16589  df-gim 16631  df-ga 16652  df-cntz 16679  df-oppg 16705  df-od 16877  df-gex 16878  df-pgp 16879  df-lsm 16980  df-pj1 16981  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-cyg 17205  df-dprd 17346 This theorem is referenced by:  ablfac2  17460
 Copyright terms: Public domain W3C validator