MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac Structured version   Unicode version

Theorem ablfac 17459
Description: The Fundamental Theorem of (finite) Abelian Groups. Any finite abelian group is a direct product of cyclic p-groups. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablfac.c  |-  C  =  { r  e.  (SubGrp `  G )  |  ( Gs  r )  e.  (CycGrp 
i^i  ran pGrp  ) }
ablfac.1  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
ablfac.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
ablfac  |-  ( ph  ->  E. s  e. Word  C
( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) )
Distinct variable groups:    s, r, B    C, s    ph, s    G, r, s
Allowed substitution hints:    ph( r)    C( r)

Proof of Theorem ablfac
Dummy variables  p  x  g  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
2 ablgrp 17127 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
3 ablfac.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
43subgid 16527 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  e.  (SubGrp `  G )
)
5 ablfac.c . . . . 5  |-  C  =  { r  e.  (SubGrp `  G )  |  ( Gs  r )  e.  (CycGrp 
i^i  ran pGrp  ) }
6 ablfac.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
7 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( od
`  G )  =  ( od `  G
)
8 eqid 2402 . . . . 5  |-  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }  =  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }
9 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( p  e.  { w  e. 
Prime  |  w  ||  ( # `
 B ) } 
|->  { x  e.  B  |  ( ( od
`  G ) `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )  =  ( p  e.  { w  e. 
Prime  |  w  ||  ( # `
 B ) } 
|->  { x  e.  B  |  ( ( od
`  G ) `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
10 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( g  e.  (SubGrp `  G
)  |->  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd 
s )  =  g ) } )  =  ( g  e.  (SubGrp `  G )  |->  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  g ) } )
113, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10ablfaclem1 17456 . . . 4  |-  ( B  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( (
g  e.  (SubGrp `  G )  |->  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  g ) } ) `  B )  =  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd 
s )  =  B ) } )
121, 2, 4, 114syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  (SubGrp `  G )  |->  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s
)  =  g ) } ) `  B
)  =  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) } )
133, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10ablfaclem3 17458 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  (SubGrp `  G )  |->  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s
)  =  g ) } ) `  B
)  =/=  (/) )
1412, 13eqnetrrd 2697 . 2  |-  ( ph  ->  { s  e. Word  C  |  ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s
)  =  B ) }  =/=  (/) )
15 rabn0 3759 . 2  |-  ( { s  e. Word  C  | 
( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) }  =/=  (/)  <->  E. s  e. Word  C ( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) )
1614, 15sylib 196 1  |-  ( ph  ->  E. s  e. Word  C
( G dom DProd  s  /\  ( G DProd  s )  =  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   E.wrex 2755   {crab 2758    i^i cin 3413   (/)c0 3738   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   dom cdm 4823   ran crn 4824   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Fincfn 7554   ^cexp 12210   #chash 12452  Word cword 12583    || cdvds 14195   Primecprime 14426    pCnt cpc 14569   Basecbs 14841   ↾s cress 14842   Grpcgrp 16377  SubGrpcsubg 16519   odcod 16873   pGrp cpgp 16875   Abelcabl 17123  CycGrpccyg 17204   DProd cdprd 17344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-rpss 6562  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-omul 7172  df-er 7348  df-ec 7350  df-qs 7354  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-acn 8355  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-word 12591  df-concat 12593  df-s1 12594  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-dvds 14196  df-gcd 14354  df-prm 14427  df-pc 14570  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-mulg 16384  df-subg 16522  df-eqg 16524  df-ghm 16589  df-gim 16631  df-ga 16652  df-cntz 16679  df-oppg 16705  df-od 16877  df-gex 16878  df-pgp 16879  df-lsm 16980  df-pj1 16981  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-cyg 17205  df-dprd 17346
This theorem is referenced by:  ablfac2  17460
  Copyright terms: Public domain W3C validator