Theorem ablfac 16922

Description: The Fundamental Theorem of (finite) Abelian Groups. Any finite abelian group is a direct product of cyclic p-groups. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfac.b	|- B = ( Base ` G )
ablfac.c	|- C = { r e. (SubGrp ` G ) | ( G ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) }
ablfac.1	|- ( ph -> G e. Abel )
ablfac.2	|- ( ph -> B e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
ablfac	|- ( ph -> E. s e. Word C ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) )

Distinct variable groups:   s, r, B   C, s   ph, s   G, r, s

Allowed substitution hints:   ph( r)   C( r)

Proof of Theorem ablfac

Dummy variables p x g w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablfac.1	. . . 4 |- ( ph -> G e. Abel )
2		ablgrp 16592	. . . 4 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
3		ablfac.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
4	3	subgid 15991	. . . 4 |- ( G e. Grp -> B e. (SubGrp ` G ) )
5		ablfac.c	. . . . 5 |- C = { r e. (SubGrp ` G ) | ( G ↾s r ) e. (CycGrp i^i ran pGrp ) }
6		ablfac.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. Fin )
7		eqid 2460	. . . . 5 |- ( od ` G ) = ( od ` G )
8		eqid 2460	. . . . 5 |- { w e. Prime | w || ( # ` B ) } = { w e. Prime | w || ( # ` B ) }
9		eqid 2460	. . . . 5 |- ( p e. { w e. Prime | w || ( # ` B ) } |-> { x e. B | ( ( od ` G ) ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } ) = ( p e. { w e. Prime | w || ( # ` B ) } |-> { x e. B | ( ( od ` G ) ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } )
10		eqid 2460	. . . . 5 |- ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } ) = ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } )
11	3, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10	ablfaclem1 16919	. . . 4 |- ( B e. (SubGrp ` G ) -> ( ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } ) ` B ) = { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) } )
12	1, 2, 4, 11	4syl 21	. . 3 |- ( ph -> ( ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } ) ` B ) = { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) } )
13	3, 5, 1, 6, 7, 8, 9, 10	ablfaclem3 16921	. . 3 |- ( ph -> ( ( g e. (SubGrp ` G ) |-> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = g ) } ) ` B ) =/= (/) )
14	12, 13	eqnetrrd 2754	. 2 |- ( ph -> { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) } =/= (/) )
15		rabn0 3798	. 2 |- ( { s e. Word C | ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) } =/= (/) <-> E. s e. Word C ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) )
16	14, 15	sylib 196	1 |- ( ph -> E. s e. Word C ( G dom DProd s /\ ( G DProd s ) = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2655   E.wrex 2808   {crab 2811   i^i cin 3468   (/)c0 3778   class class class wbr 4440   |-> cmpt 4498   dom cdm 4992   ran crn 4993   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Fincfn 7506   ^cexp 12122   #chash 12360  Word cword 12487   || cdivides 13836   Primecprime 14065   pCnt cpc 14208   Basecbs 14479   ↾_s cress 14480   Grpcgrp 15716  SubGrpcsubg 15983   odcod 16338   pGrp cpgp 16340   Abelcabel 16588  CycGrpccyg 16664   DProd cdprd 16808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-disj 4411  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-rpss 6555  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-er 7301  df-ec 7303  df-qs 7307  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-acn 8312  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-word 12495  df-concat 12497  df-s1 12498  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458  df-dvds 13837  df-gcd 13993  df-prm 14066  df-pc 14209  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-mulg 15854  df-subg 15986  df-eqg 15988  df-ghm 16053  df-gim 16095  df-ga 16116  df-cntz 16143  df-oppg 16169  df-od 16342  df-gex 16343  df-pgp 16344  df-lsm 16445  df-pj1 16446  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-cyg 16665  df-dprd 16810

This theorem is referenced by:  ablfac2  16923