MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablcntzd Structured version   Unicode version

Theorem ablcntzd 17003
Description: All subgroups in an abelian group commute. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablcntzd.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
ablcntzd.a  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
ablcntzd.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
ablcntzd.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
Assertion
Ref Expression
ablcntzd  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )

Proof of Theorem ablcntzd
StepHypRef Expression
1 ablcntzd.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
2 eqid 2396 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
32subgss 16342 . . 3  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
5 ablcntzd.a . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
6 ablcmn 16944 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. CMnd
)
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
8 ablcntzd.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
92subgss 16342 . . . 4  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
11 ablcntzd.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  G )
122, 11cntzcmn 16988 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  U  C_  ( Base `  G
) )  ->  ( Z `  U )  =  ( Base `  G
) )
137, 10, 12syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( Z `  U
)  =  ( Base `  G ) )
144, 13sseqtr4d 3471 1  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1836    C_ wss 3406   ` cfv 5513   Basecbs 14657  SubGrpcsubg 16335  Cntzccntz 16493  CMndccmn 16938   Abelcabl 16939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-id 4726  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-ov 6221  df-subg 16338  df-cntz 16495  df-cmn 16940  df-abl 16941
This theorem is referenced by:  lsmsubg2  17005  ablfacrp2  17254  ablfac1b  17257  pgpfaclem1  17268  pgpfaclem2  17269  pj1lmhm  17882  pj1lmhm2  17883  lvecindp  17920  lvecindp2  17921  pjdm2  18856  pjf2  18859  pjfo  18860  lshpsmreu  35286  lshpkrlem5  35291
  Copyright terms: Public domain W3C validator