MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablcntzd Structured version   Unicode version

Theorem ablcntzd 16429
Description: All subgroups in an abelian group commute. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablcntzd.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
ablcntzd.a  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
ablcntzd.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
ablcntzd.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
Assertion
Ref Expression
ablcntzd  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )

Proof of Theorem ablcntzd
StepHypRef Expression
1 ablcntzd.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
2 eqid 2450 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
32subgss 15770 . . 3  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
5 ablcntzd.a . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
6 ablcmn 16373 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. CMnd
)
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
8 ablcntzd.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
92subgss 15770 . . . 4  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
11 ablcntzd.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  G )
122, 11cntzcmn 16414 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  U  C_  ( Base `  G
) )  ->  ( Z `  U )  =  ( Base `  G
) )
137, 10, 12syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( Z `  U
)  =  ( Base `  G ) )
144, 13sseqtr4d 3477 1  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1757    C_ wss 3412   ` cfv 5502   Basecbs 14262  SubGrpcsubg 15763  Cntzccntz 15921  CMndccmn 16367   Abelcabel 16368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4176  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-id 4720  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-ov 6179  df-subg 15766  df-cntz 15923  df-cmn 16369  df-abl 16370
This theorem is referenced by:  lsmsubg2  16431  ablfacrp2  16659  ablfac1b  16662  pgpfaclem1  16673  pgpfaclem2  16674  pj1lmhm  17273  pj1lmhm2  17274  lvecindp  17311  lvecindp2  17312  pjdm2  18231  pjf2  18234  pjfo  18235  lshpsmreu  33036  lshpkrlem5  33041
  Copyright terms: Public domain W3C validator