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Theorem abladdsub4 17468
Description: Abelian group addition/subtraction law. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ablsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
abladdsub4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  =  ( Z 
.+  W )  <->  ( X  .-  Z )  =  ( W  .-  Y ) ) )

Proof of Theorem abladdsub4
StepHypRef Expression
1 ablgrp 17447 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
213ad2ant1 1030 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  G  e.  Grp )
3 simp2l 1035 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
4 simp2r 1036 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
5 ablsubadd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
6 ablsubadd.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
75, 6grpcl 16691 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
82, 3, 4, 7syl3anc 1269 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )
9 simp3l 1037 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
10 simp3r 1038 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  W  e.  B )
115, 6grpcl 16691 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Z  .+  W
)  e.  B )
122, 9, 10, 11syl3anc 1269 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( Z  .+  W )  e.  B )
135, 6grpcl 16691 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Z  .+  Y
)  e.  B )
142, 9, 4, 13syl3anc 1269 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( Z  .+  Y )  e.  B )
15 ablsubadd.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
165, 15grpsubrcan 16747 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( X  .+  Y )  e.  B  /\  ( Z  .+  W
)  e.  B  /\  ( Z  .+  Y )  e.  B ) )  ->  ( ( ( X  .+  Y ) 
.-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( Z  .+  W )  .-  ( Z  .+  Y ) )  <-> 
( X  .+  Y
)  =  ( Z 
.+  W ) ) )
172, 8, 12, 14, 16syl13anc 1271 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( Z 
.+  W )  .-  ( Z  .+  Y ) )  <->  ( X  .+  Y )  =  ( Z  .+  W ) ) )
18 simp1 1009 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  G  e.  Abel )
195, 6, 15ablsub4 17467 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( X  .-  Z )  .+  ( Y  .-  Y ) ) )
2018, 3, 4, 9, 4, 19syl122anc 1278 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( X  .-  Z )  .+  ( Y  .-  Y ) ) )
21 eqid 2453 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
225, 21, 15grpsubid 16750 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .-  Y
)  =  ( 0g
`  G ) )
232, 4, 22syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( Y  .-  Y )  =  ( 0g `  G
) )
2423oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Z
)  .+  ( Y  .-  Y ) )  =  ( ( X  .-  Z )  .+  ( 0g `  G ) ) )
255, 15grpsubcl 16746 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .-  Z
)  e.  B )
262, 3, 9, 25syl3anc 1269 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( X  .-  Z )  e.  B )
275, 6, 21grprid 16709 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  .-  Z )  e.  B )  -> 
( ( X  .-  Z )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( X  .-  Z ) )
282, 26, 27syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Z
)  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( X  .-  Z
) )
2920, 24, 283eqtrd 2491 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( X  .-  Z
) )
305, 6, 15ablsub4 17467 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( Z  .+  W
)  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( Z  .-  Z )  .+  ( W  .-  Y ) ) )
3118, 9, 10, 9, 4, 30syl122anc 1278 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( Z  .+  W
)  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( Z  .-  Z )  .+  ( W  .-  Y ) ) )
325, 21, 15grpsubid 16750 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  ( Z  .-  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )
332, 9, 32syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( Z  .-  Z )  =  ( 0g `  G
) )
3433oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( Z  .-  Z
)  .+  ( W  .-  Y ) )  =  ( ( 0g `  G )  .+  ( W  .-  Y ) ) )
355, 15grpsubcl 16746 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  W  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( W  .-  Y
)  e.  B )
362, 10, 4, 35syl3anc 1269 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( W  .-  Y )  e.  B )
375, 6, 21grplid 16708 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( W  .-  Y )  e.  B )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  ( W  .-  Y ) )  =  ( W  .-  Y ) )
382, 36, 37syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  ( W  .-  Y ) )  =  ( W  .-  Y
) )
3931, 34, 383eqtrd 2491 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( Z  .+  W
)  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( W  .-  Y
) )
4029, 39eqeq12d 2468 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( Z 
.+  W )  .-  ( Z  .+  Y ) )  <->  ( X  .-  Z )  =  ( W  .-  Y ) ) )
4117, 40bitr3d 259 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  =  ( Z 
.+  W )  <->  ( X  .-  Z )  =  ( W  .-  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Basecbs 15133   +g cplusg 15202   0gc0g 15350   Grpcgrp 16681   -gcsg 16683   Abelcabl 17443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-0g 15352  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-cmn 17444  df-abl 17445
This theorem is referenced by:  lmodvaddsub4  18152
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