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Theorem abladdsub4 16951
Description: Abelian group addition/subtraction law. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ablsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
abladdsub4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  =  ( Z 
.+  W )  <->  ( X  .-  Z )  =  ( W  .-  Y ) ) )

Proof of Theorem abladdsub4
StepHypRef Expression
1 ablgrp 16930 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
213ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  G  e.  Grp )
3 simp2l 1022 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
4 simp2r 1023 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
5 ablsubadd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
6 ablsubadd.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
75, 6grpcl 16190 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
82, 3, 4, 7syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )
9 simp3l 1024 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
10 simp3r 1025 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  W  e.  B )
115, 6grpcl 16190 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Z  .+  W
)  e.  B )
122, 9, 10, 11syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( Z  .+  W )  e.  B )
135, 6grpcl 16190 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Z  .+  Y
)  e.  B )
142, 9, 4, 13syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( Z  .+  Y )  e.  B )
15 ablsubadd.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
165, 15grpsubrcan 16246 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( X  .+  Y )  e.  B  /\  ( Z  .+  W
)  e.  B  /\  ( Z  .+  Y )  e.  B ) )  ->  ( ( ( X  .+  Y ) 
.-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( Z  .+  W )  .-  ( Z  .+  Y ) )  <-> 
( X  .+  Y
)  =  ( Z 
.+  W ) ) )
172, 8, 12, 14, 16syl13anc 1230 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( Z 
.+  W )  .-  ( Z  .+  Y ) )  <->  ( X  .+  Y )  =  ( Z  .+  W ) ) )
18 simp1 996 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  G  e.  Abel )
195, 6, 15ablsub4 16950 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( X  .-  Z )  .+  ( Y  .-  Y ) ) )
2018, 3, 4, 9, 4, 19syl122anc 1237 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( X  .-  Z )  .+  ( Y  .-  Y ) ) )
21 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
225, 21, 15grpsubid 16249 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .-  Y
)  =  ( 0g
`  G ) )
232, 4, 22syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( Y  .-  Y )  =  ( 0g `  G
) )
2423oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Z
)  .+  ( Y  .-  Y ) )  =  ( ( X  .-  Z )  .+  ( 0g `  G ) ) )
255, 15grpsubcl 16245 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .-  Z
)  e.  B )
262, 3, 9, 25syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( X  .-  Z )  e.  B )
275, 6, 21grprid 16208 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( X  .-  Z )  e.  B )  -> 
( ( X  .-  Z )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( X  .-  Z ) )
282, 26, 27syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .-  Z
)  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( X  .-  Z
) )
2920, 24, 283eqtrd 2502 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( X  .-  Z
) )
305, 6, 15ablsub4 16950 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( Z  .+  W
)  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( Z  .-  Z )  .+  ( W  .-  Y ) ) )
3118, 9, 10, 9, 4, 30syl122anc 1237 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( Z  .+  W
)  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( Z  .-  Z )  .+  ( W  .-  Y ) ) )
325, 21, 15grpsubid 16249 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Z  e.  B )  ->  ( Z  .-  Z
)  =  ( 0g
`  G ) )
332, 9, 32syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( Z  .-  Z )  =  ( 0g `  G
) )
3433oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( Z  .-  Z
)  .+  ( W  .-  Y ) )  =  ( ( 0g `  G )  .+  ( W  .-  Y ) ) )
355, 15grpsubcl 16245 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  W  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( W  .-  Y
)  e.  B )
362, 10, 4, 35syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( W  .-  Y )  e.  B )
375, 6, 21grplid 16207 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( W  .-  Y )  e.  B )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  ( W  .-  Y ) )  =  ( W  .-  Y ) )
382, 36, 37syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  ( W  .-  Y ) )  =  ( W  .-  Y
) )
3931, 34, 383eqtrd 2502 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( Z  .+  W
)  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( W  .-  Y
) )
4029, 39eqeq12d 2479 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .-  ( Z  .+  Y ) )  =  ( ( Z 
.+  W )  .-  ( Z  .+  Y ) )  <->  ( X  .-  Z )  =  ( W  .-  Y ) ) )
4117, 40bitr3d 255 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  =  ( Z 
.+  W )  <->  ( X  .-  Z )  =  ( W  .-  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   0gc0g 14857   Grpcgrp 16180   -gcsg 16182   Abelcabl 16926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-cmn 16927  df-abl 16928
This theorem is referenced by:  lmodvaddsub4  17689
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