Theorem abladdsub4 16951

Description: Abelian group addition/subtraction law. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
ablsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
ablsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
abladdsub4	|- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) = ( Z .+ W ) <-> ( X .- Z ) = ( W .- Y ) ) )

Proof of Theorem abladdsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablgrp 16930	. . . 4 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
2	1	3ad2ant1 1017	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. Grp )
3		simp2l 1022	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> X e. B )
4		simp2r 1023	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Y e. B )
5		ablsubadd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
6		ablsubadd.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
7	5, 6	grpcl 16190	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( X .+ Y ) e. B )
9		simp3l 1024	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Z e. B )
10		simp3r 1025	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> W e. B )
11	5, 6	grpcl 16190	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B /\ W e. B ) -> ( Z .+ W ) e. B )
12	2, 9, 10, 11	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Z .+ W ) e. B )
13	5, 6	grpcl 16190	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B /\ Y e. B ) -> ( Z .+ Y ) e. B )
14	2, 9, 4, 13	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Z .+ Y ) e. B )
15		ablsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
16	5, 15	grpsubrcan 16246	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( X .+ Y ) e. B /\ ( Z .+ W ) e. B /\ ( Z .+ Y ) e. B ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Z .+ W ) ) )
17	2, 8, 12, 14, 16	syl13anc 1230	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Z .+ W ) ) )
18		simp1 996	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. Abel )
19	5, 6, 15	ablsub4 16950	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- Y ) ) )
20	18, 3, 4, 9, 4, 19	syl122anc 1237	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- Y ) ) )
21		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
22	5, 21, 15	grpsubid 16249	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( Y .- Y ) = ( 0g ` G ) )
23	2, 4, 22	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Y .- Y ) = ( 0g ` G ) )
24	23	oveq2d 6312	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .+ ( Y .- Y ) ) = ( ( X .- Z ) .+ ( 0g ` G ) ) )
25	5, 15	grpsubcl 16245	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Z e. B ) -> ( X .- Z ) e. B )
26	2, 3, 9, 25	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( X .- Z ) e. B )
27	5, 6, 21	grprid 16208	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X .- Z ) e. B ) -> ( ( X .- Z ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( X .- Z ) )
28	2, 26, 27	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .- Z ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( X .- Z ) )
29	20, 24, 28	3eqtrd 2502	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( X .- Z ) )
30	5, 6, 15	ablsub4 16950	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( Z e. B /\ W e. B ) /\ ( Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( Z .- Z ) .+ ( W .- Y ) ) )
31	18, 9, 10, 9, 4, 30	syl122anc 1237	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( Z .- Z ) .+ ( W .- Y ) ) )
32	5, 21, 15	grpsubid 16249	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( Z .- Z ) = ( 0g ` G ) )
33	2, 9, 32	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Z .- Z ) = ( 0g ` G ) )
34	33	oveq1d 6311	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( Z .- Z ) .+ ( W .- Y ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( W .- Y ) ) )
35	5, 15	grpsubcl 16245	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ W e. B /\ Y e. B ) -> ( W .- Y ) e. B )
36	2, 10, 4, 35	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( W .- Y ) e. B )
37	5, 6, 21	grplid 16207	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( W .- Y ) e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( W .- Y ) ) = ( W .- Y ) )
38	2, 36, 37	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( W .- Y ) ) = ( W .- Y ) )
39	31, 34, 38	3eqtrd 2502	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( W .- Y ) )
40	29, 39	eqeq12d 2479	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( Z .+ W ) .- ( Z .+ Y ) ) <-> ( X .- Z ) = ( W .- Y ) ) )
41	17, 40	bitr3d 255	1 |- ( ( G e. Abel /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) = ( Z .+ W ) <-> ( X .- Z ) = ( W .- Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   0gc0g 14857   Grpcgrp 16180   -gcsg 16182   Abelcabl 16926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-cmn 16927  df-abl 16928

This theorem is referenced by:  lmodvaddsub4  17689