MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abladdsub Structured version   Unicode version

Theorem abladdsub 16295
Description: Associative-type law for group subtraction and addition. (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablsubadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
ablsubadd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
abladdsub  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  Y )  .-  Z )  =  ( ( X  .-  Z
)  .+  Y )
)

Proof of Theorem abladdsub
StepHypRef Expression
1 ablsubadd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 ablsubadd.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
31, 2ablcom 16285 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X
) )
433adant3r3 1198 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X ) )
54oveq1d 6101 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  Y )  .-  Z )  =  ( ( Y  .+  X
)  .-  Z )
)
6 ablgrp 16273 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
76adantr 465 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  G  e.  Grp )
8 simpr2 995 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  Y  e.  B )
9 simpr1 994 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  X  e.  B )
10 simpr3 996 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  Z  e.  B )
11 ablsubadd.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
121, 2, 11grpaddsubass 15606 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( Y  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Y  .+  X
)  .-  Z )  =  ( Y  .+  ( X  .-  Z ) ) )
137, 8, 9, 10, 12syl13anc 1220 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( Y  .+  X )  .-  Z )  =  ( Y  .+  ( X 
.-  Z ) ) )
14 simpl 457 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  G  e.  Abel )
151, 11grpsubcl 15597 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .-  Z
)  e.  B )
167, 9, 10, 15syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X  .-  Z )  e.  B
)
171, 2ablcom 16285 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .-  Z )  e.  B )  ->  ( Y  .+  ( X  .-  Z ) )  =  ( ( X  .-  Z )  .+  Y
) )
1814, 8, 16, 17syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( Y  .+  ( X  .-  Z
) )  =  ( ( X  .-  Z
)  .+  Y )
)
195, 13, 183eqtrd 2474 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  Y )  .-  Z )  =  ( ( X  .-  Z
)  .+  Y )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   Grpcgrp 15402   -gcsg 15405   Abelcabel 16269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-cmn 16270  df-abl 16271
This theorem is referenced by:  ablpncan2  16296  ablsubsub  16298  ip2subdi  18048
  Copyright terms: Public domain W3C validator