Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abianfplem Unicode version

Theorem abianfplem 6674
 Description: Lemma for abianfp 6675. We prove by transfinite induction that if has a fixed point , then its iterates also equal . This lemma is used for the "trivial" direction of the main theorem. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
abianfp.1
abianfp.2
Assertion
Ref Expression
abianfplem
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,)

Proof of Theorem abianfplem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5687 . . 3
21eqeq1d 2412 . 2
3 fveq2 5687 . . 3
43eqeq1d 2412 . 2
5 fveq2 5687 . . 3
65eqeq1d 2412 . 2
7 abianfp.2 . . . . 5
87fveq1i 5688 . . . 4
9 vex 2919 . . . . 5
109rdg0 6638 . . . 4
118, 10eqtri 2424 . . 3
1211a1i 11 . 2
13 fvex 5701 . . . . 5
14 fveq2 5687 . . . . . 6
15 fveq2 5687 . . . . . 6
167, 14, 15rdgsucmpt2 6647 . . . . 5
1713, 16mpan2 653 . . . 4
18 fveq2 5687 . . . . 5
19 id 20 . . . . 5
2018, 19sylan9eqr 2458 . . . 4
2117, 20sylan9eq 2456 . . 3
2221exp32 589 . 2
23 vex 2919 . . . . . . . 8
24 rdglim2a 6650 . . . . . . . 8
2523, 24mpan 652 . . . . . . 7
267fveq1i 5688 . . . . . . 7
277fveq1i 5688 . . . . . . . . 9
2827a1i 11 . . . . . . . 8
2928iuneq2i 4071 . . . . . . 7
3025, 26, 293eqtr4g 2461 . . . . . 6
3130adantr 452 . . . . 5
32 iuneq2 4069 . . . . . 6
33 df-lim 4546 . . . . . . . 8
3433simp2bi 973 . . . . . . 7
35 iunconst 4061 . . . . . . 7
3634, 35syl 16 . . . . . 6
3732, 36sylan9eqr 2458 . . . . 5
3831, 37eqtrd 2436 . . . 4
3938ex 424 . . 3
4039a1d 23 . 2
412, 4, 6, 12, 22, 40tfinds2 4802 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wral 2666  cvv 2916  c0 3588  cuni 3975  ciun 4053   cmpt 4226   word 4540  con0 4541   wlim 4542   csuc 4543  cfv 5413  crdg 6626 This theorem is referenced by:  abianfp  6675 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-recs 6592  df-rdg 6627
 Copyright terms: Public domain W3C validator