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Theorem abelthlem9 20309
Description: Lemma for abelth 20310. By adjusting the constant term, we can assume that the entire series converges to 
0. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
Assertion
Ref Expression
abelthlem9  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z, M    R, n, w, x, y, z    A, n, w, x, y, z    ph, n, w, x, y    w, F, y    S, n, w, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, n)

Proof of Theorem abelthlem9
Dummy variables  i 
k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2 0nn0 10192 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  0  e. 
NN0 )
4 ffvelrn 5827 . . . . . . 7  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( A `  0
)  e.  CC )
51, 3, 4syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  0 )  e.  CC )
6 nn0uz 10476 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
7 0z 10249 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
87a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
9 eqidd 2405 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( A `  m )  =  ( A `  m ) )
101ffvelrnda 5829 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( A `  m )  e.  CC )
11 abelth.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
126, 8, 9, 10, 11isumcl 12500 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  e.  CC )
1312adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ m  e. 
NN0  ( A `  m )  e.  CC )
145, 13subcld 9367 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  e.  CC )
151ffvelrnda 5829 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
16 ifcl 3735 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  e.  CC  /\  ( A `
 k )  e.  CC )  ->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  e.  CC )
1714, 15, 16syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  if (
k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) )  e.  CC )
18 eqid 2404 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) )
1917, 18fmptd 5852 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) : NN0 --> CC )
202a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
2119ffvelrnda 5829 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  e.  CC )
22 1e0p1 10366 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 0  +  1 )
23 1z 10267 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
2422, 23eqeltrri 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  e.  ZZ
2524a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  +  1 )  e.  ZZ )
26 nnuz 10477 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2722fveq2i 5690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
2826, 27eqtri 2424 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) )
2928eleq2i 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  NN  <->  i  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )
30 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  NN0 )
3130adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e. 
NN0 )
32 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  (
k  =  0  <->  i  =  0 ) )
33 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  ( A `  k )  =  ( A `  i ) )
3432, 33ifbieq2d 3719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  =  if ( i  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) ) )
35 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  e.  _V
36 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A `
 i )  e. 
_V
3735, 36ifex 3757 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  e.  _V
3834, 18, 37fvmpt 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  =  if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) ) )
3931, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  =  if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) ) )
40 nnne0 9988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  NN  ->  i  =/=  0 )
4140adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  =/=  0 )
4241neneqd 2583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  -.  i  =  0 )
43 iffalse 3706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  i  =  0  ->  if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  =  ( A `  i ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  =  ( A `  i ) )
4539, 44eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  =  ( A `  i ) )
4629, 45sylan2br 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  =  ( A `  i ) )
4725, 46seqfeq 11303 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) )  =  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  A ) )
486, 8, 9, 10, 11isumclim2 12497 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )
496, 20, 15, 48clim2ser 12403 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  A )  ~~>  ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  0
) ) )
50 seq1 11291 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  0
)  =  ( A `
 0 ) )
517, 50ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  0
)  =  ( A `
 0 )
5251oveq2i 6051 . . . . . . . 8  |-  ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  0
) )  =  (
sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A ` 
0 ) )
5349, 52syl6breq 4211 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  A )  ~~>  ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A `  0 )
) )
5447, 53eqbrtrd 4192 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) )  ~~>  ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A ` 
0 ) ) )
556, 20, 21, 54clim2ser2 12404 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) )  ~~>  ( ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A `  0 )
)  +  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) ) `  0
) ) )
56 seq1 11291 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) ) `  0
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) ` 
0 ) )
577, 56ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) ) `  0
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) ` 
0 )
58 iftrue 3705 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  =  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) )
5958, 18, 35fvmpt 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) ` 
0 )  =  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
602, 59ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) ` 
0 )  =  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )
6157, 60eqtri 2424 . . . . . . 7  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) ) `  0
)  =  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )
6261oveq2i 6051 . . . . . 6  |-  ( (
sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A ` 
0 ) )  +  (  seq  0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) ) `
 0 ) )  =  ( ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A `  0 )
)  +  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
631, 2, 4sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  e.  CC )
64 npncan2 9284 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  e.  CC  /\  ( A `  0 )  e.  CC )  ->  (
( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A ` 
0 ) )  +  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )  =  0 )
6512, 63, 64syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A `  0 )
)  +  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )  =  0 )
6662, 65syl5eq 2448 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  ( A `  0 )
)  +  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) ) `  0
) )  =  0 )
6755, 66breqtrd 4196 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) )  ~~>  0 )
68 seqex 11280 . . . . 5  |-  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) )  e.  _V
69 c0ex 9041 . . . . 5  |-  0  e.  _V
7068, 69breldm 5033 . . . 4  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) )  ~~>  0  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
7167, 70syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
72 abelth.3 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
73 abelth.4 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
74 abelth.5 . . 3  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
75 eqid 2404 . . 3  |-  ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) )  =  ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) )
7619, 71, 72, 73, 74, 75, 67abelthlem8 20308 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) ) )  < 
R ) )
771, 11, 72, 73, 74abelthlem2 20301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
7877simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  S )
7978adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  1  e.  S )
8038adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  1  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  =  if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) ) )
81 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  (
x ^ i )  =  ( 1 ^ i ) )
82 nn0z 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  ZZ )
83 1exp 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
1 ^ i )  =  1 )
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( 1 ^ i )  =  1 )
8581, 84sylan9eq 2456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  1  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( x ^ i
)  =  1 )
8680, 85oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  1  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) )  =  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  x.  1 ) )
8786sumeq2dv 12452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) )  =  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  1 ) )
88 sumex 12436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  1 )  e.  _V
8987, 75, 88fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  S  ->  (
( x  e.  S  |-> 
sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  =  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  1 ) )
9079, 89syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  |-> 
sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  =  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  1 ) )
917a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  0  e.  ZZ )
9238adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) `  i )  =  if ( i  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) ) )
9363, 12subcld 9367 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  e.  CC )
9493ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  e.  CC )
951ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
9695adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
97 ifcl 3735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  e.  CC  /\  ( A `
 i )  e.  CC )  ->  if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  e.  CC )
9894, 96, 97syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  e.  CC )
9998mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  x.  1 )  =  if ( i  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 i ) ) )
10092, 99eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) `  i )  =  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  1 ) )
10199, 98eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  x.  1 )  e.  CC )
102 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  1  ->  (
x ^ n )  =  ( 1 ^ n ) )
103 nn0z 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
104 1exp 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
106102, 105sylan9eq 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  =  1  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x ^ n
)  =  1 )
107106oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  1  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) )  =  ( ( A `  n )  x.  1 ) )
108107sumeq2dv 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  1  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  1 ) )
109 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  m  ->  ( A `  n )  =  ( A `  m ) )
110109oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  m  ->  (
( A `  n
)  x.  1 )  =  ( ( A `
 m )  x.  1 ) )
111110cbvsumv 12445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  1 )  =  sum_ m  e.  NN0  ( ( A `  m )  x.  1 )
112108, 111syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  1  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ m  e.  NN0  ( ( A `  m )  x.  1 ) )
113 abelth.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
114 sumex 12436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  sum_ m  e.  NN0  ( ( A `
 m )  x.  1 )  e.  _V
115112, 113, 114fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  S  ->  ( F `  1 )  =  sum_ m  e.  NN0  ( ( A `  m )  x.  1 ) )
11678, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  sum_ m  e.  NN0  ( ( A `
 m )  x.  1 ) )
11710mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  m )  x.  1 )  =  ( A `  m ) )
118117sumeq2dv 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  NN0  ( ( A `  m )  x.  1 )  =  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )
119116, 118eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )
120119oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  =  ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
12112subidd 9355 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  =  0 )
122120, 121eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  =  0 )
12367, 122breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) )  ~~>  ( ( F ` 
1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
124123adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) ) ) )  ~~>  ( ( F `  1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
1256, 91, 100, 101, 124isumclim 12496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  1 )  =  ( ( F `  1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
12690, 125eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  |-> 
sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  =  ( ( F `  1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
127 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
x ^ i )  =  ( y ^
i ) )
12838, 127oveqan12rd 6060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  y  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) )  =  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  x.  ( y ^
i ) ) )
129128sumeq2dv 12452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) )  =  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) ) )
130 sumex 12436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) )  e.  _V
131129, 75, 130fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  S  ->  (
( x  e.  S  |-> 
sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
)  =  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) ) )
132131adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  |-> 
sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
)  =  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) ) )
133 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  i  ->  (
y ^ k )  =  ( y ^
i ) )
13434, 133oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) )  =  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) ) )
135 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) )  x.  (
y ^ k ) ) )
136 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  x.  ( y ^
i ) )  e. 
_V
137134, 135, 136fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  =  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) ) )
138137adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  =  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) ) )
139 ssrab2 3388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }  C_  CC
14074, 139eqsstri 3338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S  C_  CC
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
142141sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  CC )
143 expcl 11354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  i  e.  NN0 )  -> 
( y ^ i
)  e.  CC )
144142, 143sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
y ^ i )  e.  CC )
14598, 144mulcld 9064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  x.  ( y ^
i ) )  e.  CC )
1462a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  0  e.  NN0 )
14717adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN0 )  ->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  e.  CC )
148 expcl 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( y ^ k
)  e.  CC )
149142, 148sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
y ^ k )  e.  CC )
150147, 149mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) )  e.  CC )
151150, 135fmptd 5852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) : NN0 --> CC )
152151ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  e.  CC )
15344oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 i ) )  x.  ( y ^
i ) )  =  ( ( A `  i )  x.  (
y ^ i ) ) )
15431, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  =  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) ) )
15533, 133oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  i  ->  (
( A `  k
)  x.  ( y ^ k ) )  =  ( ( A `
 i )  x.  ( y ^ i
) ) )
156 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( y ^ k
) ) )
157 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A `  i )  x.  ( y ^
i ) )  e. 
_V
158155, 156, 157fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  =  ( ( A `  i )  x.  (
y ^ i ) ) )
15931, 158syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  =  ( ( A `  i )  x.  (
y ^ i ) ) )
160153, 154, 1593eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  =  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( y ^ k
) ) ) `  i ) )
16129, 160sylan2br 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 i )  =  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( y ^ k
) ) ) `  i ) )
16225, 161seqfeq 11303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) )  x.  (
y ^ k ) ) ) )  =  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 k )  x.  ( y ^ k
) ) ) ) )
163162adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) )  =  seq  (
0  +  1 ) (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) )
16415adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
165164, 149mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( y ^ k ) )  e.  CC )
166165, 156fmptd 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) ) : NN0 --> CC )
167166ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) `  i
)  e.  CC )
168158adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) `  i
)  =  ( ( A `  i )  x.  ( y ^
i ) ) )
16996, 144mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( A `  i
)  x.  ( y ^ i ) )  e.  CC )
1701, 11, 72, 73, 74abelthlem3 20302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
1716, 91, 168, 169, 170isumclim2 12497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) )  ~~>  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `
 i )  x.  ( y ^ i
) ) )
172 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  i  ->  ( A `  n )  =  ( A `  i ) )
173 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  i  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
i ) )
174172, 173oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  i  ->  (
( A `  n
)  x.  ( x ^ n ) )  =  ( ( A `
 i )  x.  ( x ^ i
) ) )
175174cbvsumv 12445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `  i )  x.  ( x ^
i ) )
176127oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  y  ->  (
( A `  i
)  x.  ( x ^ i ) )  =  ( ( A `
 i )  x.  ( y ^ i
) ) )
177176sumeq2sdv 12453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  y  ->  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `
 i )  x.  ( x ^ i
) )  =  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `  i )  x.  ( y ^
i ) ) )
178175, 177syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  y  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `  i )  x.  ( y ^
i ) ) )
179 sumex 12436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `
 i )  x.  ( y ^ i
) )  e.  _V
180178, 113, 179fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  S  ->  ( F `  y )  =  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `  i )  x.  (
y ^ i ) ) )
181180adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  y )  =  sum_ i  e.  NN0  ( ( A `  i )  x.  (
y ^ i ) ) )
182171, 181breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) )  ~~>  ( F `
 y ) )
1836, 146, 167, 182clim2ser 12403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) )  ~~>  ( ( F `  y )  -  (  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 ) ) )
184 seq1 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) `  0
) )
1857, 184ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) `  0
)
186 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  0  ->  ( A `  k )  =  ( A ` 
0 ) )
187 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  0  ->  (
y ^ k )  =  ( y ^
0 ) )
188186, 187oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  0  ->  (
( A `  k
)  x.  ( y ^ k ) )  =  ( ( A `
 0 )  x.  ( y ^ 0 ) ) )
189 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A `  0 )  x.  ( y ^
0 ) )  e. 
_V
190188, 156, 189fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 0 )  =  ( ( A ` 
0 )  x.  (
y ^ 0 ) ) )
1912, 190ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 0 )  =  ( ( A ` 
0 )  x.  (
y ^ 0 ) )
192185, 191eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( A `  0
)  x.  ( y ^ 0 ) )
193142exp0d 11472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
y ^ 0 )  =  1 )
194193oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( A `  0
)  x.  ( y ^ 0 ) )  =  ( ( A `
 0 )  x.  1 ) )
19563adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( A `  0 )  e.  CC )
196195mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( A `  0
)  x.  1 )  =  ( A ` 
0 ) )
197194, 196eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( A `  0
)  x.  ( y ^ 0 ) )  =  ( A ` 
0 ) )
198192, 197syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) ) ` 
0 )  =  ( A `  0 ) )
199198oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( F `  y
)  -  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) ) ` 
0 ) )  =  ( ( F `  y )  -  ( A `  0 )
) )
200183, 199breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( A `  k )  x.  (
y ^ k ) ) ) )  ~~>  ( ( F `  y )  -  ( A ` 
0 ) ) )
201163, 200eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) )  ~~>  ( ( F `
 y )  -  ( A `  0 ) ) )
2026, 146, 152, 201clim2ser2 12404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) )  ~~>  ( ( ( F `  y )  -  ( A ` 
0 ) )  +  (  seq  0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 ) ) )
203 seq1 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 )  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 0 ) )
2047, 203ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 )  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 0 )
20558, 187oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  0  ->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) )  =  ( ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
)  x.  ( y ^ 0 ) ) )
206 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  x.  ( y ^ 0 ) )  e.  _V
207205, 135, 206fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 0 )  =  ( ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
)  x.  ( y ^ 0 ) ) )
2082, 207ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) `
 0 )  =  ( ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
)  x.  ( y ^ 0 ) )
209204, 208eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 )  =  ( ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  x.  ( y ^ 0 ) )
210193oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  x.  ( y ^ 0 ) )  =  ( ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  x.  1 ) )
21112adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )  e.  CC )
212195, 211subcld 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  e.  CC )
213212mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  x.  1 )  =  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
214210, 213eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  x.  ( y ^ 0 ) )  =  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
215209, 214syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 )  =  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) )
216215oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( F `  y )  -  ( A `  0 )
)  +  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 ) )  =  ( ( ( F `  y
)  -  ( A `
 0 ) )  +  ( ( A `
 0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) ) )
2171, 11, 72, 73, 74, 113abelthlem4 20303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
218217ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
219218, 195, 211npncand 9391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( F `  y )  -  ( A `  0 )
)  +  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )  =  ( ( F `  y
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
220216, 219eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( F `  y )  -  ( A `  0 )
)  +  (  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) ) `  0 ) )  =  ( ( F `  y )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
221202, 220breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  seq  0 (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `
 k ) )  x.  ( y ^
k ) ) ) )  ~~>  ( ( F `
 y )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m )
) )
2226, 91, 138, 145, 221isumclim 12496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  sum_ i  e.  NN0  ( if ( i  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  i
) )  x.  (
y ^ i ) )  =  ( ( F `  y )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
223132, 222eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  |-> 
sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
)  =  ( ( F `  y )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )
224126, 223oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) )  =  ( ( ( F ` 
1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  -  ( ( F `  y )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ) )
225217adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  F : S --> CC )
226225, 79ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  1 )  e.  CC )
227226, 218, 211nnncan2d 9402 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( F ` 
1 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) )  -  ( ( F `  y )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) )  =  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )
228224, 227eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) )  =  ( ( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )
229228fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) ) )  =  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) ) )
230229breq1d 4182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) ) )  < 
R  <->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
231230imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) ) )  < 
R )  <->  ( ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
w  ->  ( abs `  ( ( F ` 
1 )  -  ( F `  y )
) )  <  R
) ) )
232231ralbidva 2682 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) ) )  < 
R )  <->  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
w  ->  ( abs `  ( ( F ` 
1 )  -  ( F `  y )
) )  <  R
) ) )
233232rexbidv 2687 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) ) )  < 
R )  <->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) ) )
234233adantr 452 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
w  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A ` 
0 )  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  1
)  -  ( ( x  e.  S  |->  sum_ i  e.  NN0  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  =  0 ,  ( ( A `  0
)  -  sum_ m  e.  NN0  ( A `  m ) ) ,  ( A `  k
) ) ) `  i )  x.  (
x ^ i ) ) ) `  y
) ) )  < 
R )  <->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) ) )
23576, 234mpbid 202 1  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670    \ cdif 3277    C_ wss 3280   ifcif 3699   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837    o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568    seq cseq 11278   ^cexp 11337   abscabs 11994    ~~> cli 12233   sum_csu 12434   ballcbl 16643
This theorem is referenced by:  abelth  20310
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-xadd 10667  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652
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