Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem8 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem abelthlem8 23473
 Description: Lemma for abelth 23475. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1
abelth.2
abelth.3
abelth.4
abelth.5
abelth.6
abelth.7
Assertion
Ref Expression
abelthlem8
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,   ,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)

Proof of Theorem abelthlem8
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11217 . . 3
2 0zd 10973 . . 3
3 id 22 . . . 4
4 abelth.3 . . . . 5
5 abelth.4 . . . . 5
64, 5ge0p1rpd 11391 . . . 4
7 rpdivcl 11348 . . . 4
83, 6, 7syl2anr 486 . . 3
9 eqidd 2472 . . 3
10 abelth.7 . . . 4
121, 2, 8, 9, 11climi0 13653 . 2
138adantr 472 . . . 4
14 fzfid 12224 . . . . . . 7
15 0zd 10973 . . . . . . . . . 10
16 abelth.1 . . . . . . . . . . 11
1716ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10
181, 15, 17serf 12279 . . . . . . . . 9
19 elfznn0 11913 . . . . . . . . 9
20 ffvelrn 6035 . . . . . . . . 9
2118, 19, 20syl2an 485 . . . . . . . 8
2221abscld 13575 . . . . . . 7
2314, 22fsumrecl 13877 . . . . . 6
2423ad2antrr 740 . . . . 5
2521absge0d 13583 . . . . . . 7
2614, 22, 25fsumge0 13932 . . . . . 6
2726ad2antrr 740 . . . . 5
2824, 27ge0p1rpd 11391 . . . 4
2913, 28rpdivcld 11381 . . 3
30 abelth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
31 abelth.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3216, 30, 4, 5, 31abelthlem2 23466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3332simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
35 nn0z 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
36 1exp 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3834, 37sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3938oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4039sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . . . . . . 16
41 abelth.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16
42 sumex 13831 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4340, 41, 42fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . 15
4433, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
4516ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645mulid1d 9678 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15
4846, 45eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15
491, 15, 47, 48, 10isumclim 13895 . . . . . . . . . . . . . 14
5044, 49eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13
5150adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
5251oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11
53 df-neg 9883 . . . . . . . . . . 11
5452, 53syl6eqr 2523 . . . . . . . . . 10
5554fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
5616, 30, 4, 5, 31, 41abelthlem4 23468 . . . . . . . . . . 11
5756ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10
5857absnegd 13588 . . . . . . . . 9
5955, 58eqtrd 2505 . . . . . . . 8
6059adantlr 729 . . . . . . 7
6160ad2ant2r 761 . . . . . 6
62 simplll 776 . . . . . . . . 9
63 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
6463, 50sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . 10
6564abs00bd 13431 . . . . . . . . 9
6662, 65sylan 479 . . . . . . . 8
67 simpllr 777 . . . . . . . . . 10
6867rpgt0d 11367 . . . . . . . . 9
6968adantr 472 . . . . . . . 8
7066, 69eqbrtrd 4416 . . . . . . 7
7116ad3antrrr 744 . . . . . . . . . 10
7230ad3antrrr 744 . . . . . . . . . 10
734ad3antrrr 744 . . . . . . . . . 10
745ad3antrrr 744 . . . . . . . . . 10
7510ad3antrrr 744 . . . . . . . . . 10
76 simprll 780 . . . . . . . . . . 11
77 simprr 774 . . . . . . . . . . 11
78 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . 11
7976, 77, 78sylanbrc 677 . . . . . . . . . 10
808ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
81 simplrl 778 . . . . . . . . . 10
82 simplrr 779 . . . . . . . . . . 11
83 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
8483fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13
8584breq1d 4405 . . . . . . . . . . . 12
8685cbvralv 3005 . . . . . . . . . . 11
8782, 86sylib 201 . . . . . . . . . 10
88 simprlr 781 . . . . . . . . . . 11
89 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
9089fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14
9190cbvsumv 13839 . . . . . . . . . . . . 13
9291oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . 12
9392oveq2i 6319 . . . . . . . . . . 11
9488, 93syl6breq 4435 . . . . . . . . . 10
9571, 72, 73, 74, 31, 41, 75, 79, 80, 81, 87, 94abelthlem7 23472 . . . . . . . . 9
96 rpcn 11333 . . . . . . . . . . . 12
9796adantl 473 . . . . . . . . . . 11
986adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
9998rpcnd 11366 . . . . . . . . . . 11
10098rpne0d 11369 . . . . . . . . . . 11
10197, 99, 100divcan2d 10407 . . . . . . . . . 10
102101ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
10395, 102breqtrd 4420 . . . . . . . 8
104103anassrs 660 . . . . . . 7
10570, 104pm2.61dane 2730 . . . . . 6
10661, 105eqbrtrd 4416 . . . . 5
107106expr 626 . . . 4
108107ralrimiva 2809 . . 3
109 breq2 4399 . . . . . 6
110109imbi1d 324 . . . . 5
111110ralbidv 2829 . . . 4
112111rspcev 3136 . . 3
11329, 108, 112syl2anc 673 . 2
11412, 113rexlimddv 2875 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760   cdif 3387   wss 3390  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cneg 9881   cdiv 10291  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  crp 11325  cfz 11810   cseq 12251  cexp 12310  cabs 13374   cli 13625  csu 13829  cbl 19034 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042 This theorem is referenced by:  abelthlem9  23474
 Copyright terms: Public domain W3C validator