MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem8 Structured version   Unicode version

Theorem abelthlem8 21904
Description: Lemma for abelth 21906. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
abelth.7  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
Assertion
Ref Expression
abelthlem8  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z, M    R, n, w, x, y, z    A, n, w, x, y, z    ph, n, w, x, y    w, F, y    S, n, w, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, n)

Proof of Theorem abelthlem8
Dummy variables  i 
j  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10895 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0zd 10658 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  0  e.  ZZ )
3 id 22 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  RR+ )
4 abelth.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
5 abelth.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
64, 5ge0p1rpd 11053 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  RR+ )
7 rpdivcl 11013 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  ( M  +  1 )  e.  RR+ )  ->  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  e.  RR+ )
83, 6, 7syl2anr 478 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  e.  RR+ )
9 eqidd 2444 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )
10 abelth.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
1110adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  seq 0
(  +  ,  A
)  ~~>  0 )
121, 2, 8, 9, 11climi0 12990 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) )
138adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  e.  RR+ )
14 fzfid 11795 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
j  -  1 ) )  e.  Fin )
15 0zd 10658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
16 abelth.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
1716ffvelrnda 5843 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  NN0 )  ->  ( A `  w )  e.  CC )
181, 15, 17serf 11834 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC )
19 elfznn0 11481 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) )  ->  i  e.  NN0 )
20 ffvelrn 5841 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
)  e.  CC )
2118, 19, 20syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
)  e.  CC )
2221abscld 12922 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  i )
)  e.  RR )
2314, 22fsumrecl 13211 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  e.  RR )
2423ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  e.  RR )
2521absge0d 12930 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) ) )
2614, 22, 25fsumge0 13258 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) ) )
2726ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  0  <_  sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) ) )
2824, 27ge0p1rpd 11053 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 )  e.  RR+ )
2913, 28rpdivcld 11044 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
30 abelth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
31 abelth.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
3216, 30, 4, 5, 31abelthlem2 21897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
3332simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  S )
34 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  1  ->  (
x ^ n )  =  ( 1 ^ n ) )
35 nn0z 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
36 1exp 11893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
3834, 37sylan9eq 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  1  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x ^ n
)  =  1 )
3938oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  1  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) )  =  ( ( A `  n )  x.  1 ) )
4039sumeq2dv 13180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  1 ) )
41 abelth.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
42 sumex 13165 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  1 )  e.  _V
4340, 41, 42fvmpt 5774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  S  ->  ( F `  1 )  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  1 ) )
4433, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  1 ) )
4516ffvelrnda 5843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  CC )
4645mulid1d 9403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  1 )  =  ( A `  n ) )
4746eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  =  ( ( A `  n
)  x.  1 ) )
4846, 45eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  1 )  e.  CC )
491, 15, 47, 48, 10isumclim 13224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  1 )  =  0 )
5044, 49eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  0 )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  1 )  =  0 )
5251oveq1d 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) )  =  ( 0  -  ( F `  y
) ) )
53 df-neg 9598 . . . . . . . . . . 11  |-  -u ( F `  y )  =  ( 0  -  ( F `  y
) )
5452, 53syl6eqr 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) )  =  -u ( F `  y ) )
5554fveq2d 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  -u ( F `  y )
) )
5616, 30, 4, 5, 31, 41abelthlem4 21899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
5756ffvelrnda 5843 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
5857absnegd 12935 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  -u ( F `  y ) )  =  ( abs `  ( F `  y )
) )
5955, 58eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  ( F `
 y ) ) )
6059adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  ( F `
 y ) ) )
6160ad2ant2r 746 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  =  ( abs `  ( F `  y
) ) )
62 simplll 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  ph )
63 fveq2 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  1  ->  ( F `  y )  =  ( F ` 
1 ) )
6463, 50sylan9eqr 2497 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  = 
1 )  ->  ( F `  y )  =  0 )
6564abs00bd 12780 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  = 
1 )  ->  ( abs `  ( F `  y ) )  =  0 )
6662, 65sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  /\  y  =  1 )  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  =  0 )
67 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  R  e.  RR+ )
6867rpgt0d 11030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  0  <  R
)
6968adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  /\  y  =  1 )  ->  0  <  R )
7066, 69eqbrtrd 4312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  /\  y  =  1 )  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <  R
)
7116ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  A : NN0 --> CC )
7230ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
734ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  M  e.  RR )
745ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  0  <_  M
)
7510ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  seq 0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
76 simprll 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  y  e.  S
)
77 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  y  =/=  1
)
78 eldifsn 4000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( S  \  { 1 } )  <-> 
( y  e.  S  /\  y  =/=  1
) )
7976, 77, 78sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )
808ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( R  / 
( M  +  1 ) )  e.  RR+ )
81 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  j  e.  NN0 )
82 simplrr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) )
83 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  m
) )
8483fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )
)  =  ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  m )
) )
8584breq1d 4302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  <->  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 m ) )  <  ( R  / 
( M  +  1 ) ) ) )
8685cbvralv 2947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) )
8782, 86sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) )
88 simprlr 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )
89 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  n  ->  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
)  =  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )
9089fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  n  ->  ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  i )
)  =  ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
) )
9190cbvsumv 13173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)
9291oveq1i 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 )  =  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 )
9392oveq2i 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  =  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )
9488, 93syl6breq 4331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )
9571, 72, 73, 74, 31, 41, 75, 79, 80, 81, 87, 94abelthlem7 21903 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <  ( ( M  +  1 )  x.  ( R  / 
( M  +  1 ) ) ) )
96 rpcn 10999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  CC )
9796adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  R  e.  CC )
986adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( M  +  1 )  e.  RR+ )
9998rpcnd 11029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
10098rpne0d 11032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( M  +  1 )  =/=  0 )
10197, 99, 100divcan2d 10109 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( ( M  +  1 )  x.  ( R  / 
( M  +  1 ) ) )  =  R )
102101ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( ( M  +  1 )  x.  ( R  /  ( M  +  1 ) ) )  =  R )
10395, 102breqtrd 4316 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <  R )
104103anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  /\  y  =/=  1
)  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <  R
)
10570, 104pm2.61dane 2689 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <  R )
10661, 105eqbrtrd 4312 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R )
107106expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) )
108107ralrimiva 2799 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) )
109 breq2 4296 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  (
( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  <->  ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  (
( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )
110109imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( w  =  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  (
( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R )  <-> 
( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) ) )
111110ralbidv 2735 . . . 4  |-  ( w  =  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( A. y  e.  S  ( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R )  <->  A. y  e.  S  ( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) ) )
112111rspcev 3073 . . 3  |-  ( ( ( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  S  ( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
11329, 108, 112syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
11412, 113rexlimddv 2845 1  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719    \ cdif 3325    C_ wss 3328   {csn 3877   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   dom cdm 4840    o. ccom 4844   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    < clt 9418    <_ cle 9419    - cmin 9595   -ucneg 9596    / cdiv 9993   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   RR+crp 10991   ...cfz 11437    seqcseq 11806   ^cexp 11865   abscabs 12723    ~~> cli 12962   sum_csu 13163   ballcbl 17803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-xadd 11090  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-shft 12556  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-limsup 12949  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812
This theorem is referenced by:  abelthlem9  21905
  Copyright terms: Public domain W3C validator