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Theorem abelthlem8 23473
Description: Lemma for abelth 23475. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
abelth.7  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
Assertion
Ref Expression
abelthlem8  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z, M    R, n, w, x, y, z    A, n, w, x, y, z    ph, n, w, x, y    w, F, y    S, n, w, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, n)

Proof of Theorem abelthlem8
Dummy variables  i 
j  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11217 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0zd 10973 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  0  e.  ZZ )
3 id 22 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  RR+ )
4 abelth.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
5 abelth.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
64, 5ge0p1rpd 11391 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  RR+ )
7 rpdivcl 11348 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  ( M  +  1 )  e.  RR+ )  ->  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  e.  RR+ )
83, 6, 7syl2anr 486 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  e.  RR+ )
9 eqidd 2472 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )
10 abelth.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
1110adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  seq 0
(  +  ,  A
)  ~~>  0 )
121, 2, 8, 9, 11climi0 13653 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) )
138adantr 472 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  e.  RR+ )
14 fzfid 12224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
j  -  1 ) )  e.  Fin )
15 0zd 10973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
16 abelth.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
1716ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  NN0 )  ->  ( A `  w )  e.  CC )
181, 15, 17serf 12279 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC )
19 elfznn0 11913 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) )  ->  i  e.  NN0 )
20 ffvelrn 6035 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC  /\  i  e.  NN0 )  ->  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
)  e.  CC )
2118, 19, 20syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
)  e.  CC )
2221abscld 13575 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  i )
)  e.  RR )
2314, 22fsumrecl 13877 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  e.  RR )
2423ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  e.  RR )
2521absge0d 13583 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) ) )
2614, 22, 25fsumge0 13932 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) ) )
2726ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  0  <_  sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) ) )
2824, 27ge0p1rpd 11391 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 )  e.  RR+ )
2913, 28rpdivcld 11381 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
30 abelth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
31 abelth.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
3216, 30, 4, 5, 31abelthlem2 23466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
3332simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  S )
34 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  1  ->  (
x ^ n )  =  ( 1 ^ n ) )
35 nn0z 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
36 1exp 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
3834, 37sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  1  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( x ^ n
)  =  1 )
3938oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  1  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) )  =  ( ( A `  n )  x.  1 ) )
4039sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  1 ) )
41 abelth.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
42 sumex 13831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  1 )  e.  _V
4340, 41, 42fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  S  ->  ( F `  1 )  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  1 ) )
4433, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  1 ) )
4516ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  CC )
4645mulid1d 9678 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  1 )  =  ( A `  n ) )
4746eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  =  ( ( A `  n
)  x.  1 ) )
4846, 45eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  1 )  e.  CC )
491, 15, 47, 48, 10isumclim 13895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  1 )  =  0 )
5044, 49eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  0 )
5150adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  1 )  =  0 )
5251oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) )  =  ( 0  -  ( F `  y
) ) )
53 df-neg 9883 . . . . . . . . . . 11  |-  -u ( F `  y )  =  ( 0  -  ( F `  y
) )
5452, 53syl6eqr 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) )  =  -u ( F `  y ) )
5554fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  -u ( F `  y )
) )
5616, 30, 4, 5, 31, 41abelthlem4 23468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
5756ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
5857absnegd 13588 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  -u ( F `  y ) )  =  ( abs `  ( F `  y )
) )
5955, 58eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  ( F `
 y ) ) )
6059adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  =  ( abs `  ( F `
 y ) ) )
6160ad2ant2r 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  =  ( abs `  ( F `  y
) ) )
62 simplll 776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  ph )
63 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  1  ->  ( F `  y )  =  ( F ` 
1 ) )
6463, 50sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  = 
1 )  ->  ( F `  y )  =  0 )
6564abs00bd 13431 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  = 
1 )  ->  ( abs `  ( F `  y ) )  =  0 )
6662, 65sylan 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  /\  y  =  1 )  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  =  0 )
67 simpllr 777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  R  e.  RR+ )
6867rpgt0d 11367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  0  <  R
)
6968adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  /\  y  =  1 )  ->  0  <  R )
7066, 69eqbrtrd 4416 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  /\  y  =  1 )  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <  R
)
7116ad3antrrr 744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  A : NN0 --> CC )
7230ad3antrrr 744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
734ad3antrrr 744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  M  e.  RR )
745ad3antrrr 744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  0  <_  M
)
7510ad3antrrr 744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  seq 0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
76 simprll 780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  y  e.  S
)
77 simprr 774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  y  =/=  1
)
78 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( S  \  { 1 } )  <-> 
( y  e.  S  /\  y  =/=  1
) )
7976, 77, 78sylanbrc 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )
808ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( R  / 
( M  +  1 ) )  e.  RR+ )
81 simplrl 778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  j  e.  NN0 )
82 simplrr 779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) )
83 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  m
) )
8483fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )
)  =  ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  m )
) )
8584breq1d 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  <->  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 m ) )  <  ( R  / 
( M  +  1 ) ) ) )
8685cbvralv 3005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) )  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) )
8782, 86sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  A. m  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  m
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) )
88 simprlr 781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )
89 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  n  ->  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
)  =  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )
9089fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  n  ->  ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  i )
)  =  ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
) )
9190cbvsumv 13839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)
9291oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 )  =  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 )
9392oveq2i 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  =  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )
9488, 93syl6breq 4435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )
9571, 72, 73, 74, 31, 41, 75, 79, 80, 81, 87, 94abelthlem7 23472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <  ( ( M  +  1 )  x.  ( R  / 
( M  +  1 ) ) ) )
96 rpcn 11333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e.  CC )
9796adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  R  e.  CC )
986adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( M  +  1 )  e.  RR+ )
9998rpcnd 11366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
10098rpne0d 11369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( M  +  1 )  =/=  0 )
10197, 99, 100divcan2d 10407 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( ( M  +  1 )  x.  ( R  / 
( M  +  1 ) ) )  =  R )
102101ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( ( M  +  1 )  x.  ( R  /  ( M  +  1 ) ) )  =  R )
10395, 102breqtrd 4420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) )  /\  y  =/=  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <  R )
104103anassrs 660 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  /\  y  =/=  1
)  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <  R
)
10570, 104pm2.61dane 2730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  y )
)  <  R )
10661, 105eqbrtrd 4416 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  ( y  e.  S  /\  ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R )
107106expr 626 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  NN0  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) )
108107ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) )
109 breq2 4399 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  (
( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  <->  ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  (
( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) ) ) )
110109imbi1d 324 . . . . 5  |-  ( w  =  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  (
( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R )  <-> 
( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) ) )
111110ralbidv 2829 . . . 4  |-  ( w  =  ( ( R  /  ( M  + 
1 ) )  / 
( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( A. y  e.  S  ( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R )  <->  A. y  e.  S  ( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) ) )
112111rspcev 3136 . . 3  |-  ( ( ( ( R  / 
( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... ( j  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  S  ( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  ( ( R  /  ( M  +  1 ) )  /  ( sum_ i  e.  ( 0 ... (
j  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  i
) )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 1 )  -  ( F `  y ) ) )  <  R
) )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
11329, 108, 112syl2anc 673 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )
)  <  ( R  /  ( M  + 
1 ) ) ) )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
11412, 113rexlimddv 2875 1  |-  ( (
ph  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    \ cdif 3387    C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810    seqcseq 12251   ^cexp 12310   abscabs 13374    ~~> cli 13625   sum_csu 13829   ballcbl 19034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042
This theorem is referenced by:  abelthlem9  23474
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