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Theorem abelthlem7 23472
Description: Lemma for abelth 23475. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
abelth.7  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
abelthlem6.1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( S 
\  { 1 } ) )
abelthlem7.2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
abelthlem7.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
abelthlem7.4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  N ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  R
)
abelthlem7.5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  <  ( R  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
abelthlem7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  <  ( ( M  +  1 )  x.  R ) )
Distinct variable groups:    k, n, x, z, M    R, k, n, x, z    k, X, n, x, z    A, k, n, x, z    k, N, n    ph, k, n, x    S, k, n, x
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, k, n)    N( x, z)

Proof of Theorem abelthlem7
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2 abelth.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
3 abelth.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4 abelth.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
5 abelth.5 . . . . 5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
6 abelth.6 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6abelthlem4 23468 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
8 abelthlem6.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( S 
\  { 1 } ) )
98eldifad 3402 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
107, 9ffvelrnd 6038 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  CC )
1110abscld 13575 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  e.  RR )
12 ax-1cn 9615 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
13 abelth.7 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8abelthlem7a 23471 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  X ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
1514simpld 466 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
16 subcl 9894 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( 1  -  X
)  e.  CC )
1712, 15, 16sylancr 676 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  X
)  e.  CC )
18 fzfid 12224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
19 elfznn0 11913 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
20 nn0uz 11217 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
21 0zd 10973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
221ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  CC )
2320, 21, 22serf 12279 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC )
2423ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  e.  CC )
25 expcl 12328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( X ^ n
)  e.  CC )
2615, 25sylan 479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( X ^ n )  e.  CC )
2724, 26mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  e.  CC )
2819, 27sylan2 482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) )  e.  CC )
2918, 28fsumcl 13876 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC )
3017, 29mulcld 9681 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  CC )
3130abscld 13575 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  e.  RR )
32 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  N )  =  (
ZZ>= `  N )
33 abelthlem7.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3433nn0zd 11061 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
35 eluznn0 11251 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  n  e.  NN0 )
3633, 35sylan 479 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  n  e.  NN0 )
37 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )
38 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  ( X ^ k )  =  ( X ^ n
) )
3937, 38oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) )  =  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
40 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) )
41 ovex 6336 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) )  e.  _V
4239, 40, 41fvmpt 5963 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
4336, 42syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
4436, 27syldan 478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  e.  CC )
451, 2, 3, 4, 5abelthlem2 23466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
4645simprd 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
4746, 8sseldd 3419 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
481, 2, 3, 4, 5, 6, 13abelthlem5 23469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq 0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
4947, 48mpdan 681 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
5042adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
5150, 27eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  e.  CC )
5220, 33, 51iserex 13797 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq 0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  <->  seq N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
5349, 52mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
5432, 34, 43, 44, 53isumcl 13899 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC )
5517, 54mulcld 9681 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  CC )
5655abscld 13575 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  e.  RR )
5731, 56readdcld 9688 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )  e.  RR )
58 peano2re 9824 . . . 4  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
593, 58syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
60 abelthlem7.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
6160rpred 11364 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
6259, 61remulcld 9689 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  x.  R
)  e.  RR )
631, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8abelthlem6 23470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
6420, 32, 33, 50, 27, 49isumsplit 13975 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  NN0  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) )  =  (
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  +  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )
6564oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  =  ( ( 1  -  X )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  +  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
6617, 29, 54adddid 9685 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  +  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  +  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
6763, 65, 663eqtrd 2509 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  ( ( ( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  +  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
6867fveq2d 5883 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  =  ( abs `  ( ( ( 1  -  X )  x. 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  +  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) ) ) )
6930, 55abstrid 13595 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  +  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( ( 1  -  X )  x. 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) ) )
7068, 69eqbrtrd 4416 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  <_  ( ( abs `  ( ( 1  -  X )  x. 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) ) )
713, 61remulcld 9689 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  x.  R
)  e.  RR )
7217abscld 13575 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  RR )
7324abscld 13575 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  e.  RR )
7419, 73sylan2 482 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  e.  RR )
7518, 74fsumrecl 13877 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  e.  RR )
76 peano2re 9824 . . . . . . 7  |-  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  e.  RR  ->  (
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 )  e.  RR )
7775, 76syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 )  e.  RR )
7872, 77remulcld 9689 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )  e.  RR )
7917, 29absmuld 13593 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
8029abscld 13575 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
8117absge0d 13583 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( 1  -  X
) ) )
8227abscld 13575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  e.  RR )
8319, 82sylan2 482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
8418, 83fsumrecl 13877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
8518, 28fsumabs 13938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
8615abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  RR )
87 reexpcl 12327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  X
) ^ n )  e.  RR )
8886, 87sylan 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  X ) ^
n )  e.  RR )
89 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
9024absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
9186adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
9215absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  X ) )
9392adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( abs `  X ) )
94 0cn 9653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  e.  CC
95 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
9695cnmetdval 21869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( X  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( X  -  0 ) ) )
9715, 94, 96sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( X  -  0 ) ) )
9815subid1d 9994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( X  -  0 )  =  X )
9998fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  -  0 ) )  =  ( abs `  X ) )
10097, 99eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  X ) )
101 cnxmet 21871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
102 1rp 11329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  RR+
103 rpxr 11332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
104102, 103ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR*
105 elbl3 21485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  X  e.  CC ) )  -> 
( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
106101, 104, 105mpanl12 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
10794, 15, 106sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
10847, 107mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  <  1 )
109100, 108eqbrtrrd 4418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  1 )
110 1re 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
111 ltle 9740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  ->  ( abs `  X )  <_  1 ) )
11286, 110, 111sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  ->  ( abs `  X )  <_  1 ) )
113109, 112mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <_  1 )
114113adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  X )  <_  1
)
115 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
116 exple1 12370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  X
)  /\  ( abs `  X )  <_  1
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  X ) ^
n )  <_  1
)
11791, 93, 114, 115, 116syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  X ) ^
n )  <_  1
)
11888, 89, 73, 90, 117lemul2ad 10569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) )  <_  ( ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  1 ) )
11924, 26absmuld 13593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  x.  ( abs `  ( X ^
n ) ) ) )
120 absexp 13444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( abs `  ( X ^ n ) )  =  ( ( abs `  X ) ^ n
) )
12115, 120sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( X ^ n
) )  =  ( ( abs `  X
) ^ n ) )
122121oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  ( abs `  ( X ^ n
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
123119, 122eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) )  =  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
12473recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  e.  CC )
125124mulid1d 9678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  1 )  =  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
126118, 123, 1253brtr3d 4425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  <_ 
( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
12719, 126sylan2 482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n ) ) )
12818, 83, 74, 127fsumle 13936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
12980, 84, 75, 85, 128letrd 9809 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
13075ltp1d 10559 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  <  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) )
13180, 75, 77, 129, 130lelttrd 9810 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )
13280, 77, 131ltled 9800 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )
13380, 77, 72, 81, 132lemul2ad 10569 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )
13479, 133eqbrtrd 4416 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  <_  (
( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) ) )
135 abelthlem7.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  <  ( R  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )
136 0red 9662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
13719, 90sylan2 482 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
13818, 74, 137fsumge0 13932 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
139136, 75, 77, 138, 130lelttrd 9810 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )
140 ltmuldiv 10500 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  RR  /\  R  e.  RR  /\  (
( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) )  <  R  <->  ( abs `  ( 1  -  X ) )  <  ( R  / 
( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) ) )
14172, 61, 77, 139, 140syl112anc 1296 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) )  <  R  <->  ( abs `  ( 1  -  X ) )  <  ( R  / 
( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) ) )
142135, 141mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )  <  R )
14331, 78, 61, 134, 142lelttrd 9810 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  <  R
)
14417, 54absmuld 13593 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
14554abscld 13575 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
14639fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
147 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )
148 fvex 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  e. 
_V
149146, 147, 148fvmpt 5963 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n )  =  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
15036, 149syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n )  =  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
15144abscld 13575 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  e.  RR )
152 uzid 11197 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
15334, 152syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
154 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
( abs `  X
) ^ k )  =  ( ( abs `  X ) ^ n
) )
155 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k
) )
156 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  X ) ^ n )  e. 
_V
157154, 155, 156fvmpt 5963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n )  =  ( ( abs `  X
) ^ n ) )
15836, 157syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n )  =  ( ( abs `  X
) ^ n ) )
15936, 88syldan 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( abs `  X ) ^
n )  e.  RR )
160158, 159eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n )  e.  RR )
161151recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  e.  CC )
162150, 161eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n )  e.  CC )
16386recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  CC )
164 absidm 13463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  ( abs `  ( abs `  X
) )  =  ( abs `  X ) )
16515, 164syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( abs `  X ) )  =  ( abs `  X
) )
166165, 109eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( abs `  X ) )  <  1 )
167163, 166, 33, 158geolim2 14004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) )  ~~>  ( ( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )
168 seqex 12253 . . . . . . . . . . 11  |-  seq N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) )  e.  _V
169 ovex 6336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) )  e. 
_V
170168, 169breldm 5045 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X
) ^ k ) ) )  ~~>  ( ( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) )  ->  seq N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X
) ^ k ) ) )  e.  dom  ~~>  )
171167, 170syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
172119, 122eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
17336, 172syldan 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
17436, 73syldan 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  e.  RR )
17561adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  R  e.  RR )
17686adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
17792adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( abs `  X ) )
178176, 36, 177expge0d 12472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( ( abs `  X
) ^ n ) )
179 abelthlem7.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  N ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  R
)
18037fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )
)  =  ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
) )
181180breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  R  <->  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  <  R
) )
182181rspccva 3135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  N ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  R  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  <  R
)
183179, 182sylan 479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  <  R )
184174, 175, 183ltled 9800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  <_  R )
185174, 175, 159, 178, 184lemul1ad 10568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) )  <_  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ n ) ) )
186173, 185eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  <_ 
( R  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
187150fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  n
) )  =  ( abs `  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
188 absidm 13463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  =  ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
18944, 188syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )  =  ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
190187, 189eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  n
) )  =  ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
191158oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( R  x.  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) `  n
) )  =  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) ) )
192186, 190, 1913brtr4d 4426 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  n
) )  <_  ( R  x.  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n ) ) )
19332, 153, 160, 162, 171, 61, 192cvgcmpce 13955 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
19432, 34, 150, 151, 193isumrecl 13903 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
195 eldifsni 4089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  ( S  \  { 1 } )  ->  X  =/=  1
)
1968, 195syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  =/=  1 )
197196necomd 2698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  =/=  X )
198 subeq0 9920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  X )  =  0  <->  1  =  X ) )
199198necon3bid 2687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  X )  =/=  0  <->  1  =/=  X ) )
20012, 15, 199sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  =/=  0  <->  1  =/=  X ) )
201197, 200mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  -  X
)  =/=  0 )
20217, 201absrpcld 13587 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  RR+ )
20371, 202rerpdivcld 11392 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  e.  RR )
20432, 34, 43, 44, 53isumclim2 13896 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  ~~>  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )
20532, 34, 150, 161, 193isumclim2 13896 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )  ~~>  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
20636, 51syldan 478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  e.  CC )
20743fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n ) )  =  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
208150, 207eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n )  =  ( abs `  (
( k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n ) ) )
20932, 204, 205, 34, 206, 208iserabs 13952 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
21086, 33reexpcld 12471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
) ^ N )  e.  RR )
211 difrp 11360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  <->  ( 1  -  ( abs `  X
) )  e.  RR+ ) )
21286, 110, 211sylancl 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  <->  ( 1  -  ( abs `  X
) )  e.  RR+ ) )
213109, 212mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  RR+ )
214210, 213rerpdivcld 11392 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) )  e.  RR )
21561, 214remulcld 9689 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  e.  RR )
216154oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^
k ) )  =  ( R  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
217 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  (
( abs `  X
) ^ k ) ) )
218 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n
) )  e.  _V
219216, 217, 218fvmpt 5963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) ) )
22036, 219syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) ) )
221175, 159remulcld 9689 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ n ) )  e.  RR )
22260rpcnd 11366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
223160recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n )  e.  CC )
224220, 191eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( R  x.  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n ) ) )
22532, 34, 222, 167, 223, 224isermulc2 13798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ k ) ) ) )  ~~>  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N )  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
226 seqex 12253 . . . . . . . . . . . 12  |-  seq N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) ) )  e.  _V
227 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N )  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )  e.  _V
228226, 227breldm 5045 . . . . . . . . . . 11  |-  (  seq N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  (
( abs `  X
) ^ k ) ) ) )  ~~>  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N )  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )  ->  seq N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  (
( abs `  X
) ^ k ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
229225, 228syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ k ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
23032, 34, 150, 151, 220, 221, 186, 193, 229isumle 13979 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( R  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
231221recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ n ) )  e.  CC )
23232, 34, 220, 231, 225isumclim 13895 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) )  =  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) ) )
233230, 232breqtrd 4420 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) ) )
23460, 213rpdivcld 11381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  e.  RR+ )
235234rpred 11364 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  e.  RR )
236210recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
) ^ N )  e.  CC )
237213rpcnd 11366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  CC )
238213rpne0d 11369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( abs `  X ) )  =/=  0 )
239222, 236, 237, 238div12d 10441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  X ) ^ N )  x.  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
240 1red 9676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
241234rpge0d 11368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( R  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )
242 exple1 12370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  X
)  /\  ( abs `  X )  <_  1
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  X ) ^ N )  <_  1
)
24386, 92, 113, 33, 242syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
) ^ N )  <_  1 )
244210, 240, 235, 241, 243lemul1ad 10568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  x.  ( R  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  <_  ( 1  x.  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
245234rpcnd 11366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  e.  CC )
246245mulid2d 9679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( R  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( R  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
247244, 246breqtrd 4420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  x.  ( R  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  <_  ( R  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
248239, 247eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  <_  ( R  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
24914simprd 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
250 resubcl 9958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( abs `  X )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  RR )
251110, 86, 250sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  RR )
2523, 251remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  e.  RR )
25372, 252, 60lemul2d 11405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X ) ) )  <->  ( R  x.  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  <_  ( R  x.  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) ) )
254249, 253mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( R  x.  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  <_  ( R  x.  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
2553recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
256222, 255, 237mul12d 9860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( R  x.  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( M  x.  ( R  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
257222, 237mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  =  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  R
) )
258257oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( R  x.  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( M  x.  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  R
) ) )
259255, 237, 222mul12d 9860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( 1  -  ( abs `  X ) )  x.  R ) )  =  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
) )
260256, 258, 2593eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( R  x.  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
) )
261254, 260breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( R  x.  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  <_  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
) )
262251, 71remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
)  e.  RR )
26361, 262, 202lemuldivd 11410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( R  x.  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  <_  ( (
1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( M  x.  R
) )  <->  R  <_  ( ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
)  /  ( abs `  ( 1  -  X
) ) ) ) )
264261, 263mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  <_  ( (
( 1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( M  x.  R ) )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
26571recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  x.  R
)  e.  CC )
26672recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  CC )
267202rpne0d 11369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  =/=  0 )
268237, 265, 266, 267divassd 10440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
)  /  ( abs `  ( 1  -  X
) ) )  =  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  (
( M  x.  R
)  /  ( abs `  ( 1  -  X
) ) ) ) )
269264, 268breqtrd 4420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  <_  ( (
1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  ( 1  -  X ) ) ) ) )
270 posdif 10128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
27186, 110, 270sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
272109, 271mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  ( abs `  X
) ) )
273 ledivmul 10503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR  /\  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  e.  RR  /\  (
( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )  ->  (
( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) )  <->  R  <_  ( ( 1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) ) ) )
27461, 203, 251, 272, 273syl112anc 1296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  (
1  -  X ) ) )  <->  R  <_  ( ( 1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) ) ) )
275269, 274mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
276215, 235, 203, 248, 275letrd 9809 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
277194, 215, 203, 233, 276letrd 9809 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
278145, 194, 203, 209, 277letrd 9809 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
279145, 71, 202lemuldiv2d 11411 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  <_  ( M  x.  R )  <->  ( abs ` 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  <_ 
( ( M  x.  R )  /  ( abs `  ( 1  -  X ) ) ) ) )
280278, 279mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  <_  ( M  x.  R ) )
281144, 280eqbrtrd 4416 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  <_  ( M  x.  R ) )
28231, 56, 61, 71, 143, 281ltleaddd 10255 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )  <  ( R  +  ( M  x.  R ) ) )
283 1cnd 9677 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
284255, 283, 222adddird 9686 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  x.  R
)  =  ( ( M  x.  R )  +  ( 1  x.  R ) ) )
285222mulid2d 9679 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  R
)  =  R )
286285oveq2d 6324 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  R )  +  ( 1  x.  R ) )  =  ( ( M  x.  R )  +  R ) )
287265, 222addcomd 9853 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  R )  +  R
)  =  ( R  +  ( M  x.  R ) ) )
288284, 286, 2873eqtrd 2509 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  x.  R
)  =  ( R  +  ( M  x.  R ) ) )
289282, 288breqtrrd 4422 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )  <  ( ( M  +  1 )  x.  R ) )
29011, 57, 62, 70, 289lelttrd 9810 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  <  ( ( M  +  1 )  x.  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   {crab 2760    \ cdif 3387    C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810    seqcseq 12251   ^cexp 12310   abscabs 13374    ~~> cli 13625   sum_csu 13829   *Metcxmt 19032   ballcbl 19034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042
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