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Theorem abelthlem7 20307
Description: Lemma for abelth 20310. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
abelth.7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
abelthlem6.1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( S 
\  { 1 } ) )
abelthlem7.2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
abelthlem7.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
abelthlem7.4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  N ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  R
)
abelthlem7.5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  <  ( R  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
abelthlem7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  <  ( ( M  +  1 )  x.  R ) )
Distinct variable groups:    k, n, x, z, M    R, k, n, x, z    k, X, n, x, z    A, k, n, x, z    k, N, n    ph, k, n, x    S, k, n, x
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, k, n)    N( x, z)

Proof of Theorem abelthlem7
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2 abelth.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
3 abelth.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4 abelth.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
5 abelth.5 . . . . 5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
6 abelth.6 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6abelthlem4 20303 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
8 abelthlem6.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( S 
\  { 1 } ) )
98eldifad 3292 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
107, 9ffvelrnd 5830 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  CC )
1110abscld 12193 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  e.  RR )
12 ax-1cn 9004 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
13 abelth.7 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8abelthlem7a 20306 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  X ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
1514simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
16 subcl 9261 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( 1  -  X
)  e.  CC )
1712, 15, 16sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  X
)  e.  CC )
18 fzfid 11267 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
19 elfznn0 11039 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
20 nn0uz 10476 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
21 0z 10249 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ZZ
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
231ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  CC )
2420, 22, 23serf 11306 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC )
2524ffvelrnda 5829 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  e.  CC )
26 expcl 11354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( X ^ n
)  e.  CC )
2715, 26sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( X ^ n )  e.  CC )
2825, 27mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  e.  CC )
2919, 28sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC )
3018, 29fsumcl 12482 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC )
3117, 30mulcld 9064 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  CC )
3231abscld 12193 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  e.  RR )
33 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  N )  =  (
ZZ>= `  N )
34 abelthlem7.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3534nn0zd 10329 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
36 eluznn0 10502 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  n  e.  NN0 )
3734, 36sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  n  e.  NN0 )
38 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )
39 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  ( X ^ k )  =  ( X ^ n
) )
4038, 39oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )
41 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) )
42 ovex 6065 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) )  e.  _V
4340, 41, 42fvmpt 5765 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
4437, 43syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
4537, 28syldan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  e.  CC )
461, 2, 3, 4, 5abelthlem2 20301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
4746simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
4847, 8sseldd 3309 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
491, 2, 3, 4, 5, 6, 13abelthlem5 20304 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
5048, 49mpdan 650 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
5143adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
5251, 28eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  e.  CC )
5320, 34, 52iserex 12405 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  <->  seq  N (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
5450, 53mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
5533, 35, 44, 45, 54isumcl 12500 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC )
5617, 55mulcld 9064 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  CC )
5756abscld 12193 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  e.  RR )
5832, 57readdcld 9071 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )  e.  RR )
59 peano2re 9195 . . . 4  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
603, 59syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
61 abelthlem7.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
6261rpred 10604 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
6360, 62remulcld 9072 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  x.  R
)  e.  RR )
641, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8abelthlem6 20305 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
6520, 33, 34, 51, 28, 50isumsplit 12575 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) )  =  (
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  +  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )
6665oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  =  ( ( 1  -  X )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  +  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
6717, 30, 55adddid 9068 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  +  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  +  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
6864, 66, 673eqtrd 2440 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  ( ( ( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  +  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
6968fveq2d 5691 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  =  ( abs `  ( ( ( 1  -  X )  x. 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  +  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) ) ) )
7031, 56abstrid 12213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  +  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( ( 1  -  X )  x. 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) ) )
7169, 70eqbrtrd 4192 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  <_  ( ( abs `  ( ( 1  -  X )  x. 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) ) )
723, 62remulcld 9072 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  x.  R
)  e.  RR )
7317abscld 12193 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  RR )
7425abscld 12193 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  e.  RR )
7519, 74sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  e.  RR )
7618, 75fsumrecl 12483 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  e.  RR )
77 peano2re 9195 . . . . . . 7  |-  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  e.  RR  ->  (
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 )  e.  RR )
7876, 77syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 )  e.  RR )
7973, 78remulcld 9072 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )  e.  RR )
8017, 30absmuld 12211 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
8130abscld 12193 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
8217absge0d 12201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( 1  -  X
) ) )
8328abscld 12193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  e.  RR )
8419, 83sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
8518, 84fsumrecl 12483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
8618, 29fsumabs 12535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
8715abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  RR )
88 reexpcl 11353 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  X
) ^ n )  e.  RR )
8987, 88sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  X ) ^
n )  e.  RR )
90 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
9225absge0d 12201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
9387adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
9415absge0d 12201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  X ) )
9594adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( abs `  X ) )
96 0cn 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  e.  CC
97 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
9897cnmetdval 18758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( X  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( X  -  0 ) ) )
9915, 96, 98sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( X  -  0 ) ) )
10015subid1d 9356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( X  -  0 )  =  X )
101100fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  -  0 ) )  =  ( abs `  X ) )
10299, 101eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  X ) )
103 cnxmet 18760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
104 1rp 10572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  RR+
105 rpxr 10575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
106104, 105ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR*
107 elbl3 18375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  X  e.  CC ) )  -> 
( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
108103, 106, 107mpanl12 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
10996, 15, 108sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
11048, 109mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  <  1 )
111102, 110eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  1 )
112 ltle 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  ->  ( abs `  X )  <_  1 ) )
11387, 90, 112sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  ->  ( abs `  X )  <_  1 ) )
114111, 113mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <_  1 )
115114adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  X )  <_  1
)
116 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
117 exple1 11394 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  X
)  /\  ( abs `  X )  <_  1
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  X ) ^
n )  <_  1
)
11893, 95, 115, 116, 117syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  X ) ^
n )  <_  1
)
11989, 91, 74, 92, 118lemul2ad 9907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) )  <_  ( ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  1 ) )
12025, 27absmuld 12211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  x.  ( abs `  ( X ^
n ) ) ) )
121 absexp 12064 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( abs `  ( X ^ n ) )  =  ( ( abs `  X ) ^ n
) )
12215, 121sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( X ^ n
) )  =  ( ( abs `  X
) ^ n ) )
123122oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  ( abs `  ( X ^ n
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
124120, 123eqtr2d 2437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) )  =  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
12574recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  e.  CC )
126125mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  1 )  =  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
127119, 124, 1263brtr3d 4201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  <_ 
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
12819, 127sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n ) ) )
12918, 84, 75, 128fsumle 12533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
13081, 85, 76, 86, 129letrd 9183 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
13176ltp1d 9897 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  <  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) )
13281, 76, 78, 130, 131lelttrd 9184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )
13381, 78, 132ltled 9177 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )
13481, 78, 73, 82, 133lemul2ad 9907 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )
13580, 134eqbrtrd 4192 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  <_  (
( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) ) )
136 abelthlem7.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  <  ( R  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )
137 0re 9047 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
138137a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
13919, 92sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
14018, 75, 139fsumge0 12529 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
141138, 76, 78, 140, 131lelttrd 9184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )
142 ltmuldiv 9836 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  RR  /\  R  e.  RR  /\  (
( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) )  <  R  <->  ( abs `  ( 1  -  X ) )  <  ( R  / 
( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) ) )
14373, 62, 78, 141, 142syl112anc 1188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) )  <  R  <->  ( abs `  ( 1  -  X ) )  <  ( R  / 
( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) ) )
144136, 143mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )  <  R )
14532, 79, 62, 135, 144lelttrd 9184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  <  R
)
14617, 55absmuld 12211 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
14755abscld 12193 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
14840fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
149 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) )
150 fvex 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  e. 
_V
151148, 149, 150fvmpt 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n )  =  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
15237, 151syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n )  =  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
15345abscld 12193 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  e.  RR )
154 uzid 10456 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
15535, 154syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
156 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
( abs `  X
) ^ k )  =  ( ( abs `  X ) ^ n
) )
157 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k
) )
158 ovex 6065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  X ) ^ n )  e. 
_V
159156, 157, 158fvmpt 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n )  =  ( ( abs `  X
) ^ n ) )
16037, 159syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n )  =  ( ( abs `  X
) ^ n ) )
16137, 89syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( abs `  X ) ^
n )  e.  RR )
162160, 161eqeltrd 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n )  e.  RR )
163153recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  e.  CC )
164152, 163eqeltrd 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n )  e.  CC )
16587recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  CC )
166 absidm 12082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  ( abs `  ( abs `  X
) )  =  ( abs `  X ) )
16715, 166syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( abs `  X ) )  =  ( abs `  X
) )
168167, 111eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( abs `  X ) )  <  1 )
169165, 168, 34, 160geolim2 12603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) )  ~~>  ( ( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )
170 seqex 11280 . . . . . . . . . . 11  |-  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) )  e.  _V
171 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) )  e. 
_V
172170, 171breldm 5033 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq 
N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X
) ^ k ) ) )  ~~>  ( ( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) )  ->  seq  N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X
) ^ k ) ) )  e.  dom  ~~>  )
173169, 172syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
174120, 123eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
17537, 174syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
17637, 74syldan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  e.  RR )
17762adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  R  e.  RR )
17887adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
17994adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( abs `  X ) )
180178, 37, 179expge0d 11496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( ( abs `  X
) ^ n ) )
181 abelthlem7.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  N ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  R
)
18238fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )
)  =  ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
) )
183182breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  R  <->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  <  R
) )
184183rspccva 3011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  N ) ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  R  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
) )  <  R
)
185181, 184sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  <  R )
186176, 177, 185ltled 9177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  <_  R )
187176, 177, 161, 180, 186lemul1ad 9906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( abs `  (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) )  <_  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ n ) ) )
188175, 187eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  <_ 
( R  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
189152fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n ) )  =  ( abs `  ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) ) )
190 absidm 12082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  =  ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
19145, 190syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
192189, 191eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n ) )  =  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
193160oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( R  x.  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) `  n
) )  =  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) ) )
194188, 192, 1933brtr4d 4202 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n ) )  <_  ( R  x.  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) `  n
) ) )
19533, 155, 162, 164, 173, 62, 194cvgcmpce 12552 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
19633, 35, 152, 153, 195isumrecl 12504 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
197 eldifsni 3888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  ( S  \  { 1 } )  ->  X  =/=  1
)
1988, 197syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  =/=  1 )
199198necomd 2650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  =/=  X )
200 subeq0 9283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  X )  =  0  <->  1  =  X ) )
201200necon3bid 2602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  X )  =/=  0  <->  1  =/=  X ) )
20212, 15, 201sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  =/=  0  <->  1  =/=  X ) )
203199, 202mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  -  X
)  =/=  0 )
20417, 203absrpcld 12205 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  RR+ )
20572, 204rerpdivcld 10631 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  e.  RR )
20633, 35, 44, 45, 54isumclim2 12497 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  ~~>  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )
20733, 35, 152, 163, 195isumclim2 12497 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )  ~~>  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
20837, 52syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  e.  CC )
20944fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n ) )  =  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
210152, 209eqtr4d 2439 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n )  =  ( abs `  (
( k  e.  NN0  |->  ( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n ) ) )
21133, 206, 207, 35, 208, 210iserabs 12549 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( abs `  (
(  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
21287, 34reexpcld 11495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
) ^ N )  e.  RR )
213 difrp 10601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  <->  ( 1  -  ( abs `  X
) )  e.  RR+ ) )
21487, 90, 213sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  <->  ( 1  -  ( abs `  X
) )  e.  RR+ ) )
215111, 214mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  RR+ )
216212, 215rerpdivcld 10631 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) )  e.  RR )
21762, 216remulcld 9072 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  e.  RR )
218156oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^
k ) )  =  ( R  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
219 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  (
( abs `  X
) ^ k ) ) )
220 ovex 6065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n
) )  e.  _V
221218, 219, 220fvmpt 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) ) )
22237, 221syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) ) )
223177, 161remulcld 9072 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ n ) )  e.  RR )
22461rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
225162recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n )  e.  CC )
226222, 193eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( R  x.  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n ) ) )
22733, 35, 224, 169, 225, 226isermulc2 12406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ k ) ) ) )  ~~>  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N )  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
228 seqex 11280 . . . . . . . . . . . 12  |-  seq  N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) ) )  e.  _V
229 ovex 6065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N )  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )  e.  _V
230228, 229breldm 5033 . . . . . . . . . . 11  |-  (  seq 
N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  (
( abs `  X
) ^ k ) ) ) )  ~~>  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N )  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )  ->  seq  N (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
231227, 230syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ k ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
23233, 35, 152, 153, 222, 223, 188, 195, 231isumle 12579 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( R  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
233223recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ n ) )  e.  CC )
23433, 35, 222, 233, 227isumclim 12496 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) )  =  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) ) )
235232, 234breqtrd 4196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) ) )
23661, 215rpdivcld 10621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  e.  RR+ )
237236rpred 10604 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  e.  RR )
238212recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
) ^ N )  e.  CC )
239215rpcnd 10606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  CC )
240215rpne0d 10609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( abs `  X ) )  =/=  0 )
241224, 238, 239, 240div12d 9782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  X ) ^ N )  x.  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
24290a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
243236rpge0d 10608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( R  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )
244 exple1 11394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  X
)  /\  ( abs `  X )  <_  1
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  X ) ^ N )  <_  1
)
24587, 94, 114, 34, 244syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
) ^ N )  <_  1 )
246212, 242, 237, 243, 245lemul1ad 9906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  x.  ( R  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  <_  ( 1  x.  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
247236rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  e.  CC )
248247mulid2d 9062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( R  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( R  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
249246, 248breqtrd 4196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  x.  ( R  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  <_  ( R  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
250241, 249eqbrtrd 4192 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  <_  ( R  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
25114simprd 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
252 resubcl 9321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( abs `  X )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  RR )
25390, 87, 252sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  RR )
2543, 253remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  e.  RR )
25573, 254, 61lemul2d 10644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X ) ) )  <->  ( R  x.  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  <_  ( R  x.  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) ) )
256251, 255mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( R  x.  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  <_  ( R  x.  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
2573recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
258224, 257, 239mul12d 9231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( R  x.  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( M  x.  ( R  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
259224, 239mulcomd 9065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  =  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  R
) )
260259oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( R  x.  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( M  x.  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  R
) ) )
261257, 239, 224mul12d 9231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( 1  -  ( abs `  X ) )  x.  R ) )  =  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
) )
262258, 260, 2613eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( R  x.  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
) )
263256, 262breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( R  x.  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  <_  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
) )
264253, 72remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
)  e.  RR )
26562, 264, 204lemuldivd 10649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( R  x.  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  <_  ( (
1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( M  x.  R
) )  <->  R  <_  ( ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
)  /  ( abs `  ( 1  -  X
) ) ) ) )
266263, 265mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  <_  ( (
( 1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( M  x.  R ) )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
26772recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  x.  R
)  e.  CC )
26873recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  CC )
269204rpne0d 10609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  =/=  0 )
270239, 267, 268, 269divassd 9781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
)  /  ( abs `  ( 1  -  X
) ) )  =  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  (
( M  x.  R
)  /  ( abs `  ( 1  -  X
) ) ) ) )
271266, 270breqtrd 4196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  <_  ( (
1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  ( 1  -  X ) ) ) ) )
272 posdif 9477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
27387, 90, 272sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
274111, 273mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  ( abs `  X
) ) )
275 ledivmul 9839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR  /\  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  e.  RR  /\  (
( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )  ->  (
( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) )  <->  R  <_  ( ( 1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) ) ) )
27662, 205, 253, 274, 275syl112anc 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  (
1  -  X ) ) )  <->  R  <_  ( ( 1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) ) ) )
277271, 276mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
278217, 237, 205, 250, 277letrd 9183 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
279196, 217, 205, 235, 278letrd 9183 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( abs `  ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
280147, 196, 205, 211, 279letrd 9183 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
281147, 72, 204lemuldiv2d 10650 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  <_  ( M  x.  R )  <->  ( abs ` 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  <_ 
( ( M  x.  R )  /  ( abs `  ( 1  -  X ) ) ) ) )
282280, 281mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  <_  ( M  x.  R ) )
283146, 282eqbrtrd 4192 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq  0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  <_  ( M  x.  R ) )
28432, 57, 62, 72, 145, 283ltleaddd 9602 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )  <  ( R  +  ( M  x.  R ) ) )
28512a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
286257, 285, 224adddird 9069 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  x.  R
)  =  ( ( M  x.  R )  +  ( 1  x.  R ) ) )
287224mulid2d 9062 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  R
)  =  R )
288287oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  R )  +  ( 1  x.  R ) )  =  ( ( M  x.  R )  +  R ) )
289267, 224addcomd 9224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  R )  +  R
)  =  ( R  +  ( M  x.  R ) ) )
290286, 288, 2893eqtrd 2440 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  x.  R
)  =  ( R  +  ( M  x.  R ) ) )
291284, 290breqtrrd 4198 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq  0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )  <  ( ( M  +  1 )  x.  R ) )
29211, 58, 63, 71, 291lelttrd 9184 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  <  ( ( M  +  1 )  x.  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   {crab 2670    \ cdif 3277    C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837    o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999    seq cseq 11278   ^cexp 11337   abscabs 11994    ~~> cli 12233   sum_csu 12434   * Metcxmt 16641   ballcbl 16643
This theorem is referenced by:  abelthlem8  20308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-xadd 10667  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652
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