MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem7 Structured version   Unicode version

Theorem abelthlem7 23125
Description: Lemma for abelth 23128. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
abelth.7  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
abelthlem6.1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( S 
\  { 1 } ) )
abelthlem7.2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
abelthlem7.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
abelthlem7.4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  N ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  R
)
abelthlem7.5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  <  ( R  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
abelthlem7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  <  ( ( M  +  1 )  x.  R ) )
Distinct variable groups:    k, n, x, z, M    R, k, n, x, z    k, X, n, x, z    A, k, n, x, z    k, N, n    ph, k, n, x    S, k, n, x
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, k, n)    N( x, z)

Proof of Theorem abelthlem7
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2 abelth.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
3 abelth.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4 abelth.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
5 abelth.5 . . . . 5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
6 abelth.6 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6abelthlem4 23121 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
8 abelthlem6.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( S 
\  { 1 } ) )
98eldifad 3426 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
107, 9ffvelrnd 6010 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  CC )
1110abscld 13416 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  e.  RR )
12 ax-1cn 9580 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
13 abelth.7 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8abelthlem7a 23124 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  X ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
1514simpld 457 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
16 subcl 9855 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( 1  -  X
)  e.  CC )
1712, 15, 16sylancr 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  X
)  e.  CC )
18 fzfid 12124 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
19 elfznn0 11826 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
20 nn0uz 11161 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
21 0zd 10917 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
221ffvelrnda 6009 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  CC )
2320, 21, 22serf 12179 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC )
2423ffvelrnda 6009 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  e.  CC )
25 expcl 12228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( X ^ n
)  e.  CC )
2615, 25sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( X ^ n )  e.  CC )
2724, 26mulcld 9646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  e.  CC )
2819, 27sylan2 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) )  e.  CC )
2918, 28fsumcl 13704 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC )
3017, 29mulcld 9646 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  CC )
3130abscld 13416 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  e.  RR )
32 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  N )  =  (
ZZ>= `  N )
33 abelthlem7.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3433nn0zd 11006 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
35 eluznn0 11196 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  n  e.  NN0 )
3633, 35sylan 469 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  n  e.  NN0 )
37 fveq2 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )
38 oveq2 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  ( X ^ k )  =  ( X ^ n
) )
3937, 38oveq12d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) )  =  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
40 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) )
41 ovex 6306 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) )  e.  _V
4239, 40, 41fvmpt 5932 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
4336, 42syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
4436, 27syldan 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  e.  CC )
451, 2, 3, 4, 5abelthlem2 23119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
4645simprd 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
4746, 8sseldd 3443 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
481, 2, 3, 4, 5, 6, 13abelthlem5 23122 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq 0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
4947, 48mpdan 666 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
5042adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
5150, 27eqeltrd 2490 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  e.  CC )
5220, 33, 51iserex 13628 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq 0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  <->  seq N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
5349, 52mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
5432, 34, 43, 44, 53isumcl 13727 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC )
5517, 54mulcld 9646 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  CC )
5655abscld 13416 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  e.  RR )
5731, 56readdcld 9653 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )  e.  RR )
58 peano2re 9787 . . . 4  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
593, 58syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
60 abelthlem7.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
6160rpred 11304 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
6259, 61remulcld 9654 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  x.  R
)  e.  RR )
631, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8abelthlem6 23123 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
6420, 32, 33, 50, 27, 49isumsplit 13803 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  NN0  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) )  =  (
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  +  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )
6564oveq2d 6294 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  =  ( ( 1  -  X )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  +  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
6617, 29, 54adddid 9650 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  +  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  +  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
6763, 65, 663eqtrd 2447 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  ( ( ( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  +  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
6867fveq2d 5853 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  =  ( abs `  ( ( ( 1  -  X )  x. 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  +  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) ) ) )
6930, 55abstrid 13436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  +  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( ( 1  -  X )  x. 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) ) )
7068, 69eqbrtrd 4415 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  <_  ( ( abs `  ( ( 1  -  X )  x. 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) ) )
713, 61remulcld 9654 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  x.  R
)  e.  RR )
7217abscld 13416 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  RR )
7324abscld 13416 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  e.  RR )
7419, 73sylan2 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  e.  RR )
7518, 74fsumrecl 13705 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  e.  RR )
76 peano2re 9787 . . . . . . 7  |-  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  e.  RR  ->  (
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 )  e.  RR )
7775, 76syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 )  e.  RR )
7872, 77remulcld 9654 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )  e.  RR )
7917, 29absmuld 13434 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
8029abscld 13416 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
8117absge0d 13424 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( 1  -  X
) ) )
8227abscld 13416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  e.  RR )
8319, 82sylan2 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
8418, 83fsumrecl 13705 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
8518, 28fsumabs 13766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
8615abscld 13416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  RR )
87 reexpcl 12227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  X
) ^ n )  e.  RR )
8886, 87sylan 469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  X ) ^
n )  e.  RR )
89 1red 9641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
9024absge0d 13424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
9186adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
9215absge0d 13424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  X ) )
9392adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( abs `  X ) )
94 0cn 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  e.  CC
95 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
9695cnmetdval 21570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( X  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( X  -  0 ) ) )
9715, 94, 96sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( X  -  0 ) ) )
9815subid1d 9956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( X  -  0 )  =  X )
9998fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  -  0 ) )  =  ( abs `  X ) )
10097, 99eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  X ) )
101 cnxmet 21572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
102 1rp 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  RR+
103 rpxr 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
104102, 103ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR*
105 elbl3 21187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  X  e.  CC ) )  -> 
( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
106101, 104, 105mpanl12 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
10794, 15, 106sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
10847, 107mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  <  1 )
109100, 108eqbrtrrd 4417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  1 )
110 1re 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
111 ltle 9704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  ->  ( abs `  X )  <_  1 ) )
11286, 110, 111sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  ->  ( abs `  X )  <_  1 ) )
113109, 112mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <_  1 )
114113adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  X )  <_  1
)
115 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
116 exple1 12270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  X
)  /\  ( abs `  X )  <_  1
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  X ) ^
n )  <_  1
)
11791, 93, 114, 115, 116syl31anc 1233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  X ) ^
n )  <_  1
)
11888, 89, 73, 90, 117lemul2ad 10526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) )  <_  ( ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  1 ) )
11924, 26absmuld 13434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  x.  ( abs `  ( X ^
n ) ) ) )
120 absexp 13286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( abs `  ( X ^ n ) )  =  ( ( abs `  X ) ^ n
) )
12115, 120sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( X ^ n
) )  =  ( ( abs `  X
) ^ n ) )
122121oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  ( abs `  ( X ^ n
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
123119, 122eqtr2d 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) )  =  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
12473recnd 9652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  e.  CC )
125124mulid1d 9643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  1 )  =  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
126118, 123, 1253brtr3d 4424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  <_ 
( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
12719, 126sylan2 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n ) ) )
12818, 83, 74, 127fsumle 13764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
12980, 84, 75, 85, 128letrd 9773 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
13075ltp1d 10516 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  <  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) )
13180, 75, 77, 129, 130lelttrd 9774 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )
13280, 77, 131ltled 9765 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )
13380, 77, 72, 81, 132lemul2ad 10526 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )
13479, 133eqbrtrd 4415 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  <_  (
( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) ) )
135 abelthlem7.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  <  ( R  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )
136 0red 9627 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
13719, 90sylan2 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
13818, 74, 137fsumge0 13760 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
139136, 75, 77, 138, 130lelttrd 9774 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )
140 ltmuldiv 10456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  RR  /\  R  e.  RR  /\  (
( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) )  <  R  <->  ( abs `  ( 1  -  X ) )  <  ( R  / 
( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) ) )
14172, 61, 77, 139, 140syl112anc 1234 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) )  <  R  <->  ( abs `  ( 1  -  X ) )  <  ( R  / 
( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) ) )
142135, 141mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )  <  R )
14331, 78, 61, 134, 142lelttrd 9774 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  <  R
)
14417, 54absmuld 13434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
14554abscld 13416 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
14639fveq2d 5853 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
147 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )
148 fvex 5859 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  e. 
_V
149146, 147, 148fvmpt 5932 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n )  =  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
15036, 149syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n )  =  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
15144abscld 13416 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  e.  RR )
152 uzid 11141 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
15334, 152syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
154 oveq2 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
( abs `  X
) ^ k )  =  ( ( abs `  X ) ^ n
) )
155 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k
) )
156 ovex 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  X ) ^ n )  e. 
_V
157154, 155, 156fvmpt 5932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n )  =  ( ( abs `  X
) ^ n ) )
15836, 157syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n )  =  ( ( abs `  X
) ^ n ) )
15936, 88syldan 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( abs `  X ) ^
n )  e.  RR )
160158, 159eqeltrd 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n )  e.  RR )
161151recnd 9652 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  e.  CC )
162150, 161eqeltrd 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n )  e.  CC )
16386recnd 9652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  CC )
164 absidm 13305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  ( abs `  ( abs `  X
) )  =  ( abs `  X ) )
16515, 164syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( abs `  X ) )  =  ( abs `  X
) )
166165, 109eqbrtrd 4415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( abs `  X ) )  <  1 )
167163, 166, 33, 158geolim2 13832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) )  ~~>  ( ( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )
168 seqex 12153 . . . . . . . . . . 11  |-  seq N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) )  e.  _V
169 ovex 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) )  e. 
_V
170168, 169breldm 5028 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X
) ^ k ) ) )  ~~>  ( ( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) )  ->  seq N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X
) ^ k ) ) )  e.  dom  ~~>  )
171167, 170syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
172119, 122eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
17336, 172syldan 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
17436, 73syldan 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  e.  RR )
17561adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  R  e.  RR )
17686adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
17792adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( abs `  X ) )
178176, 36, 177expge0d 12372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( ( abs `  X
) ^ n ) )
179 abelthlem7.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  N ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  R
)
18037fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )
)  =  ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
) )
181180breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  R  <->  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  <  R
) )
182181rspccva 3159 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  N ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  R  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  <  R
)
183179, 182sylan 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  <  R )
184174, 175, 183ltled 9765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  <_  R )
185174, 175, 159, 178, 184lemul1ad 10525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) )  <_  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ n ) ) )
186173, 185eqbrtrd 4415 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  <_ 
( R  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
187150fveq2d 5853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  n
) )  =  ( abs `  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
188 absidm 13305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  =  ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
18944, 188syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )  =  ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
190187, 189eqtrd 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  n
) )  =  ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
191158oveq2d 6294 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( R  x.  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) `  n
) )  =  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) ) )
192186, 190, 1913brtr4d 4425 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  n
) )  <_  ( R  x.  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n ) ) )
19332, 153, 160, 162, 171, 61, 192cvgcmpce 13783 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
19432, 34, 150, 151, 193isumrecl 13731 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
195 eldifsni 4098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  ( S  \  { 1 } )  ->  X  =/=  1
)
1968, 195syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  =/=  1 )
197196necomd 2674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  =/=  X )
198 subeq0 9881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  X )  =  0  <->  1  =  X ) )
199198necon3bid 2661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  X )  =/=  0  <->  1  =/=  X ) )
20012, 15, 199sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  =/=  0  <->  1  =/=  X ) )
201197, 200mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  -  X
)  =/=  0 )
20217, 201absrpcld 13428 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  RR+ )
20371, 202rerpdivcld 11331 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  e.  RR )
20432, 34, 43, 44, 53isumclim2 13724 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  ~~>  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )
20532, 34, 150, 161, 193isumclim2 13724 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )  ~~>  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
20636, 51syldan 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  e.  CC )
20743fveq2d 5853 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n ) )  =  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
208150, 207eqtr4d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n )  =  ( abs `  (
( k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n ) ) )
20932, 204, 205, 34, 206, 208iserabs 13780 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
21086, 33reexpcld 12371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
) ^ N )  e.  RR )
211 difrp 11300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  <->  ( 1  -  ( abs `  X
) )  e.  RR+ ) )
21286, 110, 211sylancl 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  <->  ( 1  -  ( abs `  X
) )  e.  RR+ ) )
213109, 212mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  RR+ )
214210, 213rerpdivcld 11331 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) )  e.  RR )
21561, 214remulcld 9654 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  e.  RR )
216154oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^
k ) )  =  ( R  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
217 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  (
( abs `  X
) ^ k ) ) )
218 ovex 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n
) )  e.  _V
219216, 217, 218fvmpt 5932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) ) )
22036, 219syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) ) )
221175, 159remulcld 9654 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ n ) )  e.  RR )
22260rpcnd 11306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
223160recnd 9652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n )  e.  CC )
224220, 191eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( R  x.  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n ) ) )
22532, 34, 222, 167, 223, 224isermulc2 13629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ k ) ) ) )  ~~>  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N )  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
226 seqex 12153 . . . . . . . . . . . 12  |-  seq N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) ) )  e.  _V
227 ovex 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N )  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )  e.  _V
228226, 227breldm 5028 . . . . . . . . . . 11  |-  (  seq N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  (
( abs `  X
) ^ k ) ) ) )  ~~>  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N )  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )  ->  seq N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  (
( abs `  X
) ^ k ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
229225, 228syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ k ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
23032, 34, 150, 151, 220, 221, 186, 193, 229isumle 13807 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( R  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
231221recnd 9652 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ n ) )  e.  CC )
23232, 34, 220, 231, 225isumclim 13723 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) )  =  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) ) )
233230, 232breqtrd 4419 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) ) )
23460, 213rpdivcld 11321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  e.  RR+ )
235234rpred 11304 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  e.  RR )
236210recnd 9652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
) ^ N )  e.  CC )
237213rpcnd 11306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  CC )
238213rpne0d 11309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( abs `  X ) )  =/=  0 )
239222, 236, 237, 238div12d 10397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  X ) ^ N )  x.  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
240 1red 9641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
241234rpge0d 11308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( R  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )
242 exple1 12270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  X
)  /\  ( abs `  X )  <_  1
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  X ) ^ N )  <_  1
)
24386, 92, 113, 33, 242syl31anc 1233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
) ^ N )  <_  1 )
244210, 240, 235, 241, 243lemul1ad 10525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  x.  ( R  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  <_  ( 1  x.  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
245234rpcnd 11306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  e.  CC )
246245mulid2d 9644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( R  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( R  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
247244, 246breqtrd 4419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  x.  ( R  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  <_  ( R  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
248239, 247eqbrtrd 4415 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  <_  ( R  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
24914simprd 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
250 resubcl 9919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( abs `  X )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  RR )
251110, 86, 250sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  RR )
2523, 251remulcld 9654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  e.  RR )
25372, 252, 60lemul2d 11344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X ) ) )  <->  ( R  x.  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  <_  ( R  x.  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) ) )
254249, 253mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( R  x.  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  <_  ( R  x.  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
2553recnd 9652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
256222, 255, 237mul12d 9823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( R  x.  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( M  x.  ( R  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
257222, 237mulcomd 9647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  =  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  R
) )
258257oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( R  x.  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( M  x.  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  R
) ) )
259255, 237, 222mul12d 9823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( 1  -  ( abs `  X ) )  x.  R ) )  =  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
) )
260256, 258, 2593eqtrd 2447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( R  x.  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
) )
261254, 260breqtrd 4419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( R  x.  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  <_  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
) )
262251, 71remulcld 9654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
)  e.  RR )
26361, 262, 202lemuldivd 11349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( R  x.  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  <_  ( (
1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( M  x.  R
) )  <->  R  <_  ( ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
)  /  ( abs `  ( 1  -  X
) ) ) ) )
264261, 263mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  <_  ( (
( 1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( M  x.  R ) )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
26571recnd 9652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  x.  R
)  e.  CC )
26672recnd 9652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  CC )
267202rpne0d 11309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  =/=  0 )
268237, 265, 266, 267divassd 10396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
)  /  ( abs `  ( 1  -  X
) ) )  =  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  (
( M  x.  R
)  /  ( abs `  ( 1  -  X
) ) ) ) )
269264, 268breqtrd 4419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  <_  ( (
1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  ( 1  -  X ) ) ) ) )
270 posdif 10086 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
27186, 110, 270sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
272109, 271mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  ( abs `  X
) ) )
273 ledivmul 10459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR  /\  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  e.  RR  /\  (
( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )  ->  (
( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) )  <->  R  <_  ( ( 1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) ) ) )
27461, 203, 251, 272, 273syl112anc 1234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  (
1  -  X ) ) )  <->  R  <_  ( ( 1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) ) ) )
275269, 274mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
276215, 235, 203, 248, 275letrd 9773 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
277194, 215, 203, 233, 276letrd 9773 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
278145, 194, 203, 209, 277letrd 9773 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
279145, 71, 202lemuldiv2d 11350 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  <_  ( M  x.  R )  <->  ( abs ` 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  <_ 
( ( M  x.  R )  /  ( abs `  ( 1  -  X ) ) ) ) )
280278, 279mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  <_  ( M  x.  R ) )
281144, 280eqbrtrd 4415 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  <_  ( M  x.  R ) )
28231, 56, 61, 71, 143, 281ltleaddd 10212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )  <  ( R  +  ( M  x.  R ) ) )
283 1cnd 9642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
284255, 283, 222adddird 9651 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  x.  R
)  =  ( ( M  x.  R )  +  ( 1  x.  R ) ) )
285222mulid2d 9644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  R
)  =  R )
286285oveq2d 6294 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  R )  +  ( 1  x.  R ) )  =  ( ( M  x.  R )  +  R ) )
287265, 222addcomd 9816 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  R )  +  R
)  =  ( R  +  ( M  x.  R ) ) )
288284, 286, 2873eqtrd 2447 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  x.  R
)  =  ( R  +  ( M  x.  R ) ) )
289282, 288breqtrrd 4421 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )  <  ( ( M  +  1 )  x.  R ) )
29011, 57, 62, 70, 289lelttrd 9774 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  <  ( ( M  +  1 )  x.  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   {crab 2758    \ cdif 3411    C_ wss 3414   {csn 3972   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   dom cdm 4823    o. ccom 4827   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525    x. cmul 9527   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659    - cmin 9841    / cdiv 10247   NN0cn0 10836   ZZcz 10905   ZZ>=cuz 11127   RR+crp 11265   ...cfz 11726    seqcseq 12151   ^cexp 12210   abscabs 13216    ~~> cli 13456   sum_csu 13657   *Metcxmt 18723   ballcbl 18725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-xadd 11372  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734
This theorem is referenced by:  abelthlem8  23126
  Copyright terms: Public domain W3C validator