Theorem abelthlem7 20307

Description: Lemma for abelth 20310. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
abelth.2	|- ( ph -> seq 0 ( + , A ) e. dom ~~> )
abelth.3	|- ( ph -> M e. RR )
abelth.4	|- ( ph -> 0 <_ M )
abelth.5	|- S = { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) }
abelth.6	|- F = ( x e. S |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )
abelth.7	|- ( ph -> seq 0 ( + , A ) ~~> 0 )
abelthlem6.1	|- ( ph -> X e. ( S \ { 1 } ) )
abelthlem7.2	|- ( ph -> R e. RR+ )
abelthlem7.3	|- ( ph -> N e. NN0 )
abelthlem7.4	|- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < R )
abelthlem7.5	|- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) < ( R / ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
abelthlem7	|- ( ph -> ( abs ` ( F ` X ) ) < ( ( M + 1 ) x. R ) )

Distinct variable groups:   k, n, x, z, M   R, k, n, x, z   k, X, n, x, z   A, k, n, x, z   k, N, n   ph, k, n, x   S, k, n, x

Allowed substitution hints:   ph( z)   S( z)   F( x, z, k, n)   N( x, z)

Proof of Theorem abelthlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelth.1	. . . . 5 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
2		abelth.2	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , A ) e. dom ~~> )
3		abelth.3	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
4		abelth.4	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ M )
5		abelth.5	. . . . 5 |- S = { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) }
6		abelth.6	. . . . 5 |- F = ( x e. S |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	abelthlem4 20303	. . . 4 |- ( ph -> F : S --> CC )
8		abelthlem6.1	. . . . 5 |- ( ph -> X e. ( S \ { 1 } ) )
9	8	eldifad 3292	. . . 4 |- ( ph -> X e. S )
10	7, 9	ffvelrnd 5830	. . 3 |- ( ph -> ( F ` X ) e. CC )
11	10	abscld 12193	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` X ) ) e. RR )
12		ax-1cn 9004	. . . . . 6 |- 1 e. CC
13		abelth.7	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq 0 ( + , A ) ~~> 0 )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8	abelthlem7a 20306	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X e. CC /\ ( abs ` ( 1 - X ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
15	14	simpld 446	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. CC )
16		subcl 9261	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. CC /\ X e. CC ) -> ( 1 - X ) e. CC )
17	12, 15, 16	sylancr 645	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 - X ) e. CC )
18		fzfid 11267	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
19		elfznn0 11039	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> n e. NN0 )
20		nn0uz 10476	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
21		0z 10249	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ZZ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
23	1	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( A ` n ) e. CC )
24	20, 22, 23	serf 11306	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> seq 0 ( + , A ) : NN0 --> CC )
25	24	ffvelrnda 5829	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , A ) ` n ) e. CC )
26		expcl 11354	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. CC /\ n e. NN0 ) -> ( X ^ n ) e. CC )
27	15, 26	sylan 458	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( X ^ n ) e. CC )
28	25, 27	mulcld 9064	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. CC )
29	19, 28	sylan2 461	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. CC )
30	18, 29	fsumcl 12482	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. CC )
31	17, 30	mulcld 9064	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. CC )
32	31	abscld 12193	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) e. RR )
33		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` N ) = ( ZZ>= ` N )
34		abelthlem7.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
35	34	nn0zd 10329	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
36		eluznn0 10502	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> n e. NN0 )
37	34, 36	sylan 458	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> n e. NN0 )
38		fveq2 5687	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( seq 0 ( + , A ) ` k ) = ( seq 0 ( + , A ) ` n ) )
39		oveq2 6048	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( X ^ k ) = ( X ^ n ) )
40	38, 39	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
41		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) = ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) )
42		ovex 6065	. . . . . . . 8 |- ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. _V
43	40, 41, 42	fvmpt 5765	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
44	37, 43	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
45	37, 28	syldan 457	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. CC )
46	1, 2, 3, 4, 5	abelthlem2 20301	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 e. S /\ ( S \ { 1 } ) C_ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) )
47	46	simprd 450	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S \ { 1 } ) C_ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) )
48	47, 8	sseldd 3309	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) )
49	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13	abelthlem5 20304	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> )
50	48, 49	mpdan 650	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> )
51	43	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
52	51, 28	eqeltrd 2478	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) e. CC )
53	20, 34, 52	iserex 12405	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> <-> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> ) )
54	50, 53	mpbid 202	. . . . . 6 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> )
55	33, 35, 44, 45, 54	isumcl 12500	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. CC )
56	17, 55	mulcld 9064	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. CC )
57	56	abscld 12193	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) e. RR )
58	32, 57	readdcld 9071	. 2 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) + ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) ) e. RR )
59		peano2re 9195	. . . 4 |- ( M e. RR -> ( M + 1 ) e. RR )
60	3, 59	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. RR )
61		abelthlem7.2	. . . 4 |- ( ph -> R e. RR+ )
62	61	rpred 10604	. . 3 |- ( ph -> R e. RR )
63	60, 62	remulcld 9072	. 2 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) x. R ) e. RR )
64	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8	abelthlem6 20305	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` X ) = ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
65	20, 33, 34, 51, 28, 50	isumsplit 12575	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) = ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) + sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
66	65	oveq2d 6056	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) = ( ( 1 - X ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) + sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
67	17, 30, 55	adddid 9068	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - X ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) + sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) = ( ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) + ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
68	64, 66, 67	3eqtrd 2440	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` X ) = ( ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) + ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
69	68	fveq2d 5691	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` X ) ) = ( abs ` ( ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) + ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) ) )
70	31, 56	abstrid 12213	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) + ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) + ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) ) )
71	69, 70	eqbrtrd 4192	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` X ) ) <_ ( ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) + ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) ) )
72	3, 62	remulcld 9072	. . . 4 |- ( ph -> ( M x. R ) e. RR )
73	17	abscld 12193	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) e. RR )
74	25	abscld 12193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) e. RR )
75	19, 74	sylan2 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) e. RR )
76	18, 75	fsumrecl 12483	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) e. RR )
77		peano2re 9195	. . . . . . 7 |- ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) e. RR -> ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) e. RR )
78	76, 77	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) e. RR )
79	73, 78	remulcld 9072	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) e. RR )
80	17, 30	absmuld 12211	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) = ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
81	30	abscld 12193	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. RR )
82	17	absge0d 12201	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` ( 1 - X ) ) )
83	28	abscld 12193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. RR )
84	19, 83	sylan2 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. RR )
85	18, 84	fsumrecl 12483	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. RR )
86	18, 29	fsumabs 12535	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
87	15	abscld 12193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( abs ` X ) e. RR )
88		reexpcl 11353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` X ) ^ n ) e. RR )
89	87, 88	sylan 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` X ) ^ n ) e. RR )
90		1re 9046	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. RR
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> 1 e. RR )
92	25	absge0d 12201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> 0 <_ ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
93	87	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` X ) e. RR )
94	15	absge0d 12201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` X ) )
95	94	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> 0 <_ ( abs ` X ) )
96		0cn 9040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 e. CC
97		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
98	97	cnmetdval 18758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( X e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( X ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( X - 0 ) ) )
99	15, 96, 98	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( X ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( X - 0 ) ) )
100	15	subid1d 9356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( X - 0 ) = X )
101	100	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( abs ` ( X - 0 ) ) = ( abs ` X ) )
102	99, 101	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( X ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` X ) )
103		cnxmet 18760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( abs o. - ) e. ( * Met ` CC )
104		1rp 10572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. RR+
105		rpxr 10575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1 e. RR+ -> 1 e. RR* )
106	104, 105	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. RR*
107		elbl3 18375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( * Met ` CC ) /\ 1 e. RR* ) /\ ( 0 e. CC /\ X e. CC ) ) -> ( X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( X ( abs o. - ) 0 ) < 1 ) )
108	103, 106, 107	mpanl12 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 e. CC /\ X e. CC ) -> ( X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( X ( abs o. - ) 0 ) < 1 ) )
109	96, 15, 108	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( X ( abs o. - ) 0 ) < 1 ) )
110	48, 109	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( X ( abs o. - ) 0 ) < 1 )
111	102, 110	eqbrtrrd 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( abs ` X ) < 1 )
112		ltle 9119	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` X ) < 1 -> ( abs ` X ) <_ 1 ) )
113	87, 90, 112	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) < 1 -> ( abs ` X ) <_ 1 ) )
114	111, 113	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( abs ` X ) <_ 1 )
115	114	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` X ) <_ 1 )
116		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> n e. NN0 )
117		exple1 11394	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` X ) /\ ( abs ` X ) <_ 1 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` X ) ^ n ) <_ 1 )
118	93, 95, 115, 116, 117	syl31anc 1187	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` X ) ^ n ) <_ 1 )
119	89, 91, 74, 92, 118	lemul2ad 9907	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) <_ ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. 1 ) )
120	25, 27	absmuld 12211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) = ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( abs ` ( X ^ n ) ) ) )
121		absexp 12064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X e. CC /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( X ^ n ) ) = ( ( abs ` X ) ^ n ) )
122	15, 121	sylan 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( X ^ n ) ) = ( ( abs ` X ) ^ n ) )
123	122	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( abs ` ( X ^ n ) ) ) = ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
124	120, 123	eqtr2d 2437	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
125	74	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) e. CC )
126	125	mulid1d 9061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. 1 ) = ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
127	119, 124, 126	3brtr3d 4201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
128	19, 127	sylan2 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
129	18, 84, 75, 128	fsumle 12533	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
130	81, 85, 76, 86, 129	letrd 9183	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
131	76	ltp1d 9897	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) < ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) )
132	81, 76, 78, 130, 131	lelttrd 9184	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) < ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) )
133	81, 78, 132	ltled 9177	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) )
134	81, 78, 73, 82, 133	lemul2ad 9907	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) )
135	80, 134	eqbrtrd 4192	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) )
136		abelthlem7.5	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) < ( R / ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) )
137		0re 9047	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
138	137	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. RR )
139	19, 92	sylan2 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
140	18, 75, 139	fsumge0 12529	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
141	138, 76, 78, 140, 131	lelttrd 9184	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) )
142		ltmuldiv 9836	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` ( 1 - X ) ) e. RR /\ R e. RR /\ ( ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) < R <-> ( abs ` ( 1 - X ) ) < ( R / ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) ) )
143	73, 62, 78, 141, 142	syl112anc 1188	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) < R <-> ( abs ` ( 1 - X ) ) < ( R / ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) ) )
144	136, 143	mpbird 224	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) < R )
145	32, 79, 62, 135, 144	lelttrd 9184	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) < R )
146	17, 55	absmuld 12211	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) = ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
147	55	abscld 12193	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. RR )
148	40	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
149		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) = ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) )
150		fvex 5701	. . . . . . . . . 10 |- ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. _V
151	148, 149, 150	fvmpt 5765	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` n ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
152	37, 151	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` n ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
153	45	abscld 12193	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. RR )
154		uzid 10456	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
155	35, 154	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
156		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( ( abs ` X ) ^ k ) = ( ( abs ` X ) ^ n ) )
157		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) = ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) )
158		ovex 6065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` X ) ^ n ) e. _V
159	156, 157, 158	fvmpt 5765	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ` n ) = ( ( abs ` X ) ^ n ) )
160	37, 159	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ` n ) = ( ( abs ` X ) ^ n ) )
161	37, 89	syldan 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( abs ` X ) ^ n ) e. RR )
162	160, 161	eqeltrd 2478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ` n ) e. RR )
163	153	recnd 9070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. CC )
164	152, 163	eqeltrd 2478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` n ) e. CC )
165	87	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` X ) e. CC )
166		absidm 12082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( abs ` ( abs ` X ) ) = ( abs ` X ) )
167	15, 166	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` ( abs ` X ) ) = ( abs ` X ) )
168	167, 111	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` ( abs ` X ) ) < 1 )
169	165, 168, 34, 160	geolim2 12603	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ~~> ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
170		seqex 11280	. . . . . . . . . . 11 |- seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) e. _V
171		ovex 6065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) e. _V
172	170, 171	breldm 5033	. . . . . . . . . 10 |- ( seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ~~> ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) e. dom ~~> )
173	169, 172	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) e. dom ~~> )
174	120, 123	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) = ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
175	37, 174	syldan 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) = ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
176	37, 74	syldan 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) e. RR )
177	62	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> R e. RR )
178	87	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` X ) e. RR )
179	94	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ ( abs ` X ) )
180	178, 37, 179	expge0d 11496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` X ) ^ n ) )
181		abelthlem7.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < R )
182	38	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) = ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
183	182	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = n -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < R <-> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) < R ) )
184	183	rspccva 3011	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < R /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) < R )
185	181, 184	sylan 458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) < R )
186	176, 177, 185	ltled 9177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) <_ R )
187	176, 177, 161, 180, 186	lemul1ad 9906	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) <_ ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
188	175, 187	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
189	152	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` n ) ) = ( abs ` ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
190		absidm 12082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. CC -> ( abs ` ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
191	45, 190	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
192	189, 191	eqtrd 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` n ) ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
193	160	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( R x. ( ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ` n ) ) = ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
194	188, 192, 193	3brtr4d 4202	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` n ) ) <_ ( R x. ( ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ` n ) ) )
195	33, 155, 162, 164, 173, 62, 194	cvgcmpce 12552	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ) e. dom ~~> )
196	33, 35, 152, 153, 195	isumrecl 12504	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. RR )
197		eldifsni 3888	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. ( S \ { 1 } ) -> X =/= 1 )
198	8, 197	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X =/= 1 )
199	198	necomd 2650	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 =/= X )
200		subeq0 9283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ X e. CC ) -> ( ( 1 - X ) = 0 <-> 1 = X ) )
201	200	necon3bid 2602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ X e. CC ) -> ( ( 1 - X ) =/= 0 <-> 1 =/= X ) )
202	12, 15, 201	sylancr 645	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 - X ) =/= 0 <-> 1 =/= X ) )
203	199, 202	mpbird 224	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 - X ) =/= 0 )
204	17, 203	absrpcld 12205	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) e. RR+ )
205	72, 204	rerpdivcld 10631	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) e. RR )
206	33, 35, 44, 45, 54	isumclim2 12497	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ~~> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
207	33, 35, 152, 163, 195	isumclim2 12497	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ) ~~> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
208	37, 52	syldan 457	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) e. CC )
209	44	fveq2d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
210	152, 209	eqtr4d 2439	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` n ) = ( abs ` ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) ) )
211	33, 206, 207, 35, 208, 210	iserabs 12549	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
212	87, 34	reexpcld 11495	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) ^ N ) e. RR )
213		difrp 10601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` X ) < 1 <-> ( 1 - ( abs ` X ) ) e. RR+ ) )
214	87, 90, 213	sylancl 644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) < 1 <-> ( 1 - ( abs ` X ) ) e. RR+ ) )
215	111, 214	mpbid 202	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 - ( abs ` X ) ) e. RR+ )
216	212, 215	rerpdivcld 10631	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) e. RR )
217	62, 216	remulcld 9072	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) e. RR )
218	156	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) = ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
219		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) = ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) )
220		ovex 6065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) e. _V
221	218, 219, 220	fvmpt 5765	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ` n ) = ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
222	37, 221	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ` n ) = ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
223	177, 161	remulcld 9072	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) e. RR )
224	61	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R e. CC )
225	162	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ` n ) e. CC )
226	222, 193	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ` n ) = ( R x. ( ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ` n ) ) )
227	33, 35, 224, 169, 225, 226	isermulc2 12406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ) ~~> ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
228		seqex 11280	. . . . . . . . . . . 12 |- seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ) e. _V
229		ovex 6065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) e. _V
230	228, 229	breldm 5033	. . . . . . . . . . 11 |- ( seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ) ~~> ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> )
231	227, 230	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> )
232	33, 35, 152, 153, 222, 223, 188, 195, 231	isumle 12579	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
233	223	recnd 9070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) e. CC )
234	33, 35, 222, 233, 227	isumclim 12496	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) = ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
235	232, 234	breqtrd 4196	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
236	61, 215	rpdivcld 10621	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) e. RR+ )
237	236	rpred 10604	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) e. RR )
238	212	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) ^ N ) e. CC )
239	215	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 - ( abs ` X ) ) e. CC )
240	215	rpne0d 10609	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 - ( abs ` X ) ) =/= 0 )
241	224, 238, 239, 240	div12d 9782	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) = ( ( ( abs ` X ) ^ N ) x. ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
242	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. RR )
243	236	rpge0d 10608	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
244		exple1 11394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` X ) /\ ( abs ` X ) <_ 1 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( abs ` X ) ^ N ) <_ 1 )
245	87, 94, 114, 34, 244	syl31anc 1187	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) ^ N ) <_ 1 )
246	212, 242, 237, 243, 245	lemul1ad 9906	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( abs ` X ) ^ N ) x. ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) <_ ( 1 x. ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
247	236	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) e. CC )
248	247	mulid2d 9062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 x. ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) = ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
249	246, 248	breqtrd 4196	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( abs ` X ) ^ N ) x. ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) <_ ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
250	241, 249	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) <_ ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
251	14	simprd 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
252		resubcl 9321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. RR /\ ( abs ` X ) e. RR ) -> ( 1 - ( abs ` X ) ) e. RR )
253	90, 87, 252	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 - ( abs ` X ) ) e. RR )
254	3, 253	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) e. RR )
255	73, 254, 61	lemul2d 10644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( abs ` ( 1 - X ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) <-> ( R x. ( abs ` ( 1 - X ) ) ) <_ ( R x. ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) ) )
256	251, 255	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( R x. ( abs ` ( 1 - X ) ) ) <_ ( R x. ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
257	3	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. CC )
258	224, 257, 239	mul12d 9231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( R x. ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) = ( M x. ( R x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
259	224, 239	mulcomd 9065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( R x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) = ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. R ) )
260	259	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M x. ( R x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) = ( M x. ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. R ) ) )
261	257, 239, 224	mul12d 9231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M x. ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. R ) ) = ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) )
262	258, 260, 261	3eqtrd 2440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( R x. ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) = ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) )
263	256, 262	breqtrd 4196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( R x. ( abs ` ( 1 - X ) ) ) <_ ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) )
264	253, 72	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) e. RR )
265	62, 264, 204	lemuldivd 10649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( R x. ( abs ` ( 1 - X ) ) ) <_ ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) <-> R <_ ( ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) ) )
266	263, 265	mpbid 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R <_ ( ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) )
267	72	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( M x. R ) e. CC )
268	73	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) e. CC )
269	204	rpne0d 10609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) =/= 0 )
270	239, 267, 268, 269	divassd 9781	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) = ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) ) )
271	266, 270	breqtrd 4196	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R <_ ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) ) )
272		posdif 9477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` X ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
273	87, 90, 272	sylancl 644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
274	111, 273	mpbid 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( 1 - ( abs ` X ) ) )
275		ledivmul 9839	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR /\ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) e. RR /\ ( ( 1 - ( abs ` X ) ) e. RR /\ 0 < ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) -> ( ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) <_ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) <-> R <_ ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) ) ) )
276	62, 205, 253, 274, 275	syl112anc 1188	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) <_ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) <-> R <_ ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) ) ) )
277	271, 276	mpbird 224	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) <_ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) )
278	217, 237, 205, 250, 277	letrd 9183	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) <_ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) )
279	196, 217, 205, 235, 278	letrd 9183	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) )
280	147, 196, 205, 211, 279	letrd 9183	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) )
281	147, 72, 204	lemuldiv2d 10650	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) <_ ( M x. R ) <-> ( abs ` sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) ) )
282	280, 281	mpbird 224	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) <_ ( M x. R ) )
283	146, 282	eqbrtrd 4192	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) <_ ( M x. R ) )
284	32, 57, 62, 72, 145, 283	ltleaddd 9602	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) + ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) ) < ( R + ( M x. R ) ) )
285	12	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. CC )
286	257, 285, 224	adddird 9069	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) x. R ) = ( ( M x. R ) + ( 1 x. R ) ) )
287	224	mulid2d 9062	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 x. R ) = R )
288	287	oveq2d 6056	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M x. R ) + ( 1 x. R ) ) = ( ( M x. R ) + R ) )
289	267, 224	addcomd 9224	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M x. R ) + R ) = ( R + ( M x. R ) ) )
290	286, 288, 289	3eqtrd 2440	. . 3 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) x. R ) = ( R + ( M x. R ) ) )
291	284, 290	breqtrrd 4198	. 2 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) + ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) ) < ( ( M + 1 ) x. R ) )
292	11, 58, 63, 71, 291	lelttrd 9184	1 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` X ) ) < ( ( M + 1 ) x. R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   {crab 2670   \ cdif 3277   C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   dom cdm 4837   o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999   seq cseq 11278   ^cexp 11337   abscabs 11994   ~~> cli 12233   sum_csu 12434   * Metcxmt 16641   ballcbl 16643

This theorem is referenced by:  abelthlem8  20308

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-xadd 10667  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652