Theorem abelthlem7 22567

Description: Lemma for abelth 22570. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
abelth.2	|- ( ph -> seq 0 ( + , A ) e. dom ~~> )
abelth.3	|- ( ph -> M e. RR )
abelth.4	|- ( ph -> 0 <_ M )
abelth.5	|- S = { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) }
abelth.6	|- F = ( x e. S |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )
abelth.7	|- ( ph -> seq 0 ( + , A ) ~~> 0 )
abelthlem6.1	|- ( ph -> X e. ( S \ { 1 } ) )
abelthlem7.2	|- ( ph -> R e. RR+ )
abelthlem7.3	|- ( ph -> N e. NN0 )
abelthlem7.4	|- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < R )
abelthlem7.5	|- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) < ( R / ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
abelthlem7	|- ( ph -> ( abs ` ( F ` X ) ) < ( ( M + 1 ) x. R ) )

Distinct variable groups:   k, n, x, z, M   R, k, n, x, z   k, X, n, x, z   A, k, n, x, z   k, N, n   ph, k, n, x   S, k, n, x

Allowed substitution hints:   ph( z)   S( z)   F( x, z, k, n)   N( x, z)

Proof of Theorem abelthlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelth.1	. . . . 5 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
2		abelth.2	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , A ) e. dom ~~> )
3		abelth.3	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
4		abelth.4	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ M )
5		abelth.5	. . . . 5 |- S = { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) }
6		abelth.6	. . . . 5 |- F = ( x e. S |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	abelthlem4 22563	. . . 4 |- ( ph -> F : S --> CC )
8		abelthlem6.1	. . . . 5 |- ( ph -> X e. ( S \ { 1 } ) )
9	8	eldifad 3488	. . . 4 |- ( ph -> X e. S )
10	7, 9	ffvelrnd 6020	. . 3 |- ( ph -> ( F ` X ) e. CC )
11	10	abscld 13226	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` X ) ) e. RR )
12		ax-1cn 9546	. . . . . 6 |- 1 e. CC
13		abelth.7	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq 0 ( + , A ) ~~> 0 )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8	abelthlem7a 22566	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X e. CC /\ ( abs ` ( 1 - X ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
15	14	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. CC )
16		subcl 9815	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. CC /\ X e. CC ) -> ( 1 - X ) e. CC )
17	12, 15, 16	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 - X ) e. CC )
18		fzfid 12047	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
19		elfznn0 11766	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> n e. NN0 )
20		nn0uz 11112	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
21		0zd 10872	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
22	1	ffvelrnda 6019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( A ` n ) e. CC )
23	20, 21, 22	serf 12099	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> seq 0 ( + , A ) : NN0 --> CC )
24	23	ffvelrnda 6019	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , A ) ` n ) e. CC )
25		expcl 12148	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. CC /\ n e. NN0 ) -> ( X ^ n ) e. CC )
26	15, 25	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( X ^ n ) e. CC )
27	24, 26	mulcld 9612	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. CC )
28	19, 27	sylan2 474	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. CC )
29	18, 28	fsumcl 13514	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. CC )
30	17, 29	mulcld 9612	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. CC )
31	30	abscld 13226	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) e. RR )
32		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` N ) = ( ZZ>= ` N )
33		abelthlem7.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
34	33	nn0zd 10960	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
35		eluznn0 11147	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> n e. NN0 )
36	33, 35	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> n e. NN0 )
37		fveq2 5864	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( seq 0 ( + , A ) ` k ) = ( seq 0 ( + , A ) ` n ) )
38		oveq2 6290	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( X ^ k ) = ( X ^ n ) )
39	37, 38	oveq12d 6300	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
40		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) = ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) )
41		ovex 6307	. . . . . . . 8 |- ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. _V
42	39, 40, 41	fvmpt 5948	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
43	36, 42	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
44	36, 27	syldan 470	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. CC )
45	1, 2, 3, 4, 5	abelthlem2 22561	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 e. S /\ ( S \ { 1 } ) C_ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) )
46	45	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S \ { 1 } ) C_ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) )
47	46, 8	sseldd 3505	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) )
48	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13	abelthlem5 22564	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> )
49	47, 48	mpdan 668	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> )
50	42	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
51	50, 27	eqeltrd 2555	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) e. CC )
52	20, 33, 51	iserex 13438	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> <-> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> ) )
53	49, 52	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> )
54	32, 34, 43, 44, 53	isumcl 13535	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. CC )
55	17, 54	mulcld 9612	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. CC )
56	55	abscld 13226	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) e. RR )
57	31, 56	readdcld 9619	. 2 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) + ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) ) e. RR )
58		peano2re 9748	. . . 4 |- ( M e. RR -> ( M + 1 ) e. RR )
59	3, 58	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. RR )
60		abelthlem7.2	. . . 4 |- ( ph -> R e. RR+ )
61	60	rpred 11252	. . 3 |- ( ph -> R e. RR )
62	59, 61	remulcld 9620	. 2 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) x. R ) e. RR )
63	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8	abelthlem6 22565	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` X ) = ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
64	20, 32, 33, 50, 27, 49	isumsplit 13611	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) = ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) + sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
65	64	oveq2d 6298	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) = ( ( 1 - X ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) + sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
66	17, 29, 54	adddid 9616	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - X ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) + sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) = ( ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) + ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
67	63, 65, 66	3eqtrd 2512	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` X ) = ( ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) + ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
68	67	fveq2d 5868	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` X ) ) = ( abs ` ( ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) + ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) ) )
69	30, 55	abstrid 13246	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) + ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) + ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) ) )
70	68, 69	eqbrtrd 4467	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` X ) ) <_ ( ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) + ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) ) )
71	3, 61	remulcld 9620	. . . 4 |- ( ph -> ( M x. R ) e. RR )
72	17	abscld 13226	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) e. RR )
73	24	abscld 13226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) e. RR )
74	19, 73	sylan2 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) e. RR )
75	18, 74	fsumrecl 13515	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) e. RR )
76		peano2re 9748	. . . . . . 7 |- ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) e. RR -> ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) e. RR )
77	75, 76	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) e. RR )
78	72, 77	remulcld 9620	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) e. RR )
79	17, 29	absmuld 13244	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) = ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
80	29	abscld 13226	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. RR )
81	17	absge0d 13234	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` ( 1 - X ) ) )
82	27	abscld 13226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. RR )
83	19, 82	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. RR )
84	18, 83	fsumrecl 13515	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. RR )
85	18, 28	fsumabs 13574	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
86	15	abscld 13226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( abs ` X ) e. RR )
87		reexpcl 12147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` X ) ^ n ) e. RR )
88	86, 87	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` X ) ^ n ) e. RR )
89		1red 9607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> 1 e. RR )
90	24	absge0d 13234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> 0 <_ ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
91	86	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` X ) e. RR )
92	15	absge0d 13234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` X ) )
93	92	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> 0 <_ ( abs ` X ) )
94		0cn 9584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 e. CC
95		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
96	95	cnmetdval 21013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( X e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( X ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( X - 0 ) ) )
97	15, 94, 96	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( X ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( X - 0 ) ) )
98	15	subid1d 9915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( X - 0 ) = X )
99	98	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( abs ` ( X - 0 ) ) = ( abs ` X ) )
100	97, 99	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( X ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` X ) )
101		cnxmet 21015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
102		1rp 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. RR+
103		rpxr 11223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1 e. RR+ -> 1 e. RR* )
104	102, 103	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. RR*
105		elbl3 20630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 1 e. RR* ) /\ ( 0 e. CC /\ X e. CC ) ) -> ( X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( X ( abs o. - ) 0 ) < 1 ) )
106	101, 104, 105	mpanl12 682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 e. CC /\ X e. CC ) -> ( X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( X ( abs o. - ) 0 ) < 1 ) )
107	94, 15, 106	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( X ( abs o. - ) 0 ) < 1 ) )
108	47, 107	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( X ( abs o. - ) 0 ) < 1 )
109	100, 108	eqbrtrrd 4469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( abs ` X ) < 1 )
110		1re 9591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR
111		ltle 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` X ) < 1 -> ( abs ` X ) <_ 1 ) )
112	86, 110, 111	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) < 1 -> ( abs ` X ) <_ 1 ) )
113	109, 112	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( abs ` X ) <_ 1 )
114	113	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` X ) <_ 1 )
115		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> n e. NN0 )
116		exple1 12189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` X ) /\ ( abs ` X ) <_ 1 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` X ) ^ n ) <_ 1 )
117	91, 93, 114, 115, 116	syl31anc 1231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` X ) ^ n ) <_ 1 )
118	88, 89, 73, 90, 117	lemul2ad 10482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) <_ ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. 1 ) )
119	24, 26	absmuld 13244	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) = ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( abs ` ( X ^ n ) ) ) )
120		absexp 13096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X e. CC /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( X ^ n ) ) = ( ( abs ` X ) ^ n ) )
121	15, 120	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( X ^ n ) ) = ( ( abs ` X ) ^ n ) )
122	121	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( abs ` ( X ^ n ) ) ) = ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
123	119, 122	eqtr2d 2509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
124	73	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) e. CC )
125	124	mulid1d 9609	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. 1 ) = ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
126	118, 123, 125	3brtr3d 4476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
127	19, 126	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
128	18, 83, 74, 127	fsumle 13572	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
129	80, 84, 75, 85, 128	letrd 9734	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
130	75	ltp1d 10472	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) < ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) )
131	80, 75, 77, 129, 130	lelttrd 9735	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) < ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) )
132	80, 77, 131	ltled 9728	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) )
133	80, 77, 72, 81, 132	lemul2ad 10482	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) )
134	79, 133	eqbrtrd 4467	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) )
135		abelthlem7.5	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) < ( R / ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) )
136		0red 9593	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. RR )
137	19, 90	sylan2 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
138	18, 74, 137	fsumge0 13568	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
139	136, 75, 77, 138, 130	lelttrd 9735	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) )
140		ltmuldiv 10411	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` ( 1 - X ) ) e. RR /\ R e. RR /\ ( ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) < R <-> ( abs ` ( 1 - X ) ) < ( R / ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) ) )
141	72, 61, 77, 139, 140	syl112anc 1232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) < R <-> ( abs ` ( 1 - X ) ) < ( R / ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) ) )
142	135, 141	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) + 1 ) ) < R )
143	31, 78, 61, 134, 142	lelttrd 9735	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) < R )
144	17, 54	absmuld 13244	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) = ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
145	54	abscld 13226	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. RR )
146	39	fveq2d 5868	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
147		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) = ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) )
148		fvex 5874	. . . . . . . . . 10 |- ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. _V
149	146, 147, 148	fvmpt 5948	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` n ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
150	36, 149	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` n ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
151	44	abscld 13226	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. RR )
152		uzid 11092	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
153	34, 152	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
154		oveq2 6290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( ( abs ` X ) ^ k ) = ( ( abs ` X ) ^ n ) )
155		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) = ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) )
156		ovex 6307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` X ) ^ n ) e. _V
157	154, 155, 156	fvmpt 5948	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ` n ) = ( ( abs ` X ) ^ n ) )
158	36, 157	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ` n ) = ( ( abs ` X ) ^ n ) )
159	36, 88	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( abs ` X ) ^ n ) e. RR )
160	158, 159	eqeltrd 2555	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ` n ) e. RR )
161	151	recnd 9618	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. CC )
162	150, 161	eqeltrd 2555	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` n ) e. CC )
163	86	recnd 9618	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` X ) e. CC )
164		absidm 13115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( abs ` ( abs ` X ) ) = ( abs ` X ) )
165	15, 164	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` ( abs ` X ) ) = ( abs ` X ) )
166	165, 109	eqbrtrd 4467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` ( abs ` X ) ) < 1 )
167	163, 166, 33, 158	geolim2 13639	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ~~> ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
168		seqex 12073	. . . . . . . . . . 11 |- seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) e. _V
169		ovex 6307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) e. _V
170	168, 169	breldm 5205	. . . . . . . . . 10 |- ( seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ~~> ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) e. dom ~~> )
171	167, 170	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) e. dom ~~> )
172	119, 122	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) = ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
173	36, 172	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) = ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
174	36, 73	syldan 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) e. RR )
175	61	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> R e. RR )
176	86	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` X ) e. RR )
177	92	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ ( abs ` X ) )
178	176, 36, 177	expge0d 12292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` X ) ^ n ) )
179		abelthlem7.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < R )
180	37	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) = ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) )
181	180	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = n -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < R <-> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) < R ) )
182	181	rspccva 3213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` k ) ) < R /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) < R )
183	179, 182	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) < R )
184	174, 175, 183	ltled 9728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) <_ R )
185	174, 175, 159, 178, 184	lemul1ad 10481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( abs ` ( seq 0 ( + , A ) ` n ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) <_ ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
186	173, 185	eqbrtrd 4467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
187	150	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` n ) ) = ( abs ` ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
188		absidm 13115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. CC -> ( abs ` ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
189	44, 188	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
190	187, 189	eqtrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` n ) ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
191	158	oveq2d 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( R x. ( ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ` n ) ) = ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
192	186, 190, 191	3brtr4d 4477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` n ) ) <_ ( R x. ( ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ` n ) ) )
193	32, 153, 160, 162, 171, 61, 192	cvgcmpce 13591	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ) e. dom ~~> )
194	32, 34, 150, 151, 193	isumrecl 13539	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. RR )
195		eldifsni 4153	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. ( S \ { 1 } ) -> X =/= 1 )
196	8, 195	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X =/= 1 )
197	196	necomd 2738	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 =/= X )
198		subeq0 9841	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ X e. CC ) -> ( ( 1 - X ) = 0 <-> 1 = X ) )
199	198	necon3bid 2725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ X e. CC ) -> ( ( 1 - X ) =/= 0 <-> 1 =/= X ) )
200	12, 15, 199	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 - X ) =/= 0 <-> 1 =/= X ) )
201	197, 200	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 - X ) =/= 0 )
202	17, 201	absrpcld 13238	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) e. RR+ )
203	71, 202	rerpdivcld 11279	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) e. RR )
204	32, 34, 43, 44, 53	isumclim2 13532	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ~~> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
205	32, 34, 150, 161, 193	isumclim2 13532	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ) ~~> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
206	36, 51	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) e. CC )
207	43	fveq2d 5868	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) ) = ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
208	150, 207	eqtr4d 2511	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` n ) = ( abs ` ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) ) )
209	32, 204, 205, 34, 206, 208	iserabs 13588	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
210	86, 33	reexpcld 12291	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) ^ N ) e. RR )
211		difrp 11249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` X ) < 1 <-> ( 1 - ( abs ` X ) ) e. RR+ ) )
212	86, 110, 211	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) < 1 <-> ( 1 - ( abs ` X ) ) e. RR+ ) )
213	109, 212	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 - ( abs ` X ) ) e. RR+ )
214	210, 213	rerpdivcld 11279	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) e. RR )
215	61, 214	remulcld 9620	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) e. RR )
216	154	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) = ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
217		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) = ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) )
218		ovex 6307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) e. _V
219	216, 217, 218	fvmpt 5948	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ` n ) = ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
220	36, 219	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ` n ) = ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
221	175, 159	remulcld 9620	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) e. RR )
222	60	rpcnd 11254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R e. CC )
223	160	recnd 9618	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ` n ) e. CC )
224	220, 191	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ` n ) = ( R x. ( ( k e. NN0 |-> ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ` n ) ) )
225	32, 34, 222, 167, 223, 224	isermulc2 13439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ) ~~> ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
226		seqex 12073	. . . . . . . . . . . 12 |- seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ) e. _V
227		ovex 6307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) e. _V
228	226, 227	breldm 5205	. . . . . . . . . . 11 |- ( seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ) ~~> ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> )
229	225, 228	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> seq N ( + , ( k e. NN0 |-> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> )
230	32, 34, 150, 151, 220, 221, 186, 193, 229	isumle 13615	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) )
231	221	recnd 9618	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) e. CC )
232	32, 34, 220, 231, 225	isumclim 13531	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( R x. ( ( abs ` X ) ^ n ) ) = ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
233	230, 232	breqtrd 4471	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
234	60, 213	rpdivcld 11269	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) e. RR+ )
235	234	rpred 11252	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) e. RR )
236	210	recnd 9618	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) ^ N ) e. CC )
237	213	rpcnd 11254	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 - ( abs ` X ) ) e. CC )
238	213	rpne0d 11257	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 - ( abs ` X ) ) =/= 0 )
239	222, 236, 237, 238	div12d 10352	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) = ( ( ( abs ` X ) ^ N ) x. ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
240		1red 9607	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. RR )
241	234	rpge0d 11256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
242		exple1 12189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` X ) /\ ( abs ` X ) <_ 1 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( abs ` X ) ^ N ) <_ 1 )
243	86, 92, 113, 33, 242	syl31anc 1231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) ^ N ) <_ 1 )
244	210, 240, 235, 241, 243	lemul1ad 10481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( abs ` X ) ^ N ) x. ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) <_ ( 1 x. ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
245	234	rpcnd 11254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) e. CC )
246	245	mulid2d 9610	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 x. ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) = ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
247	244, 246	breqtrd 4471	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( abs ` X ) ^ N ) x. ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) <_ ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
248	239, 247	eqbrtrd 4467	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) <_ ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
249	14	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
250		resubcl 9879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. RR /\ ( abs ` X ) e. RR ) -> ( 1 - ( abs ` X ) ) e. RR )
251	110, 86, 250	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 - ( abs ` X ) ) e. RR )
252	3, 251	remulcld 9620	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) e. RR )
253	72, 252, 60	lemul2d 11292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( abs ` ( 1 - X ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) <-> ( R x. ( abs ` ( 1 - X ) ) ) <_ ( R x. ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) ) )
254	249, 253	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( R x. ( abs ` ( 1 - X ) ) ) <_ ( R x. ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
255	3	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. CC )
256	222, 255, 237	mul12d 9784	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( R x. ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) = ( M x. ( R x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) )
257	222, 237	mulcomd 9613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( R x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) = ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. R ) )
258	257	oveq2d 6298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M x. ( R x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) = ( M x. ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. R ) ) )
259	255, 237, 222	mul12d 9784	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M x. ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. R ) ) = ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) )
260	256, 258, 259	3eqtrd 2512	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( R x. ( M x. ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) = ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) )
261	254, 260	breqtrd 4471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( R x. ( abs ` ( 1 - X ) ) ) <_ ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) )
262	251, 71	remulcld 9620	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) e. RR )
263	61, 262, 202	lemuldivd 11297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( R x. ( abs ` ( 1 - X ) ) ) <_ ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) <-> R <_ ( ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) ) )
264	261, 263	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R <_ ( ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) )
265	71	recnd 9618	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( M x. R ) e. CC )
266	72	recnd 9618	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) e. CC )
267	202	rpne0d 11257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - X ) ) =/= 0 )
268	237, 265, 266, 267	divassd 10351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( M x. R ) ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) = ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) ) )
269	264, 268	breqtrd 4471	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R <_ ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) ) )
270		posdif 10041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` X ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
271	86, 110, 270	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( abs ` X ) ) ) )
272	109, 271	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( 1 - ( abs ` X ) ) )
273		ledivmul 10414	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR /\ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) e. RR /\ ( ( 1 - ( abs ` X ) ) e. RR /\ 0 < ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) -> ( ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) <_ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) <-> R <_ ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) ) ) )
274	61, 203, 251, 272, 273	syl112anc 1232	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) <_ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) <-> R <_ ( ( 1 - ( abs ` X ) ) x. ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) ) ) )
275	269, 274	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) <_ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) )
276	215, 235, 203, 248, 275	letrd 9734	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R x. ( ( ( abs ` X ) ^ N ) / ( 1 - ( abs ` X ) ) ) ) <_ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) )
277	194, 215, 203, 233, 276	letrd 9734	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) )
278	145, 194, 203, 209, 277	letrd 9734	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) )
279	145, 71, 202	lemuldiv2d 11298	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) <_ ( M x. R ) <-> ( abs ` sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <_ ( ( M x. R ) / ( abs ` ( 1 - X ) ) ) ) )
280	278, 279	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( 1 - X ) ) x. ( abs ` sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) <_ ( M x. R ) )
281	144, 280	eqbrtrd 4467	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) <_ ( M x. R ) )
282	31, 56, 61, 71, 143, 281	ltleaddd 10168	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) + ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) ) < ( R + ( M x. R ) ) )
283	12	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. CC )
284	255, 283, 222	adddird 9617	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) x. R ) = ( ( M x. R ) + ( 1 x. R ) ) )
285	222	mulid2d 9610	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 x. R ) = R )
286	285	oveq2d 6298	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M x. R ) + ( 1 x. R ) ) = ( ( M x. R ) + R ) )
287	265, 222	addcomd 9777	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M x. R ) + R ) = ( R + ( M x. R ) ) )
288	284, 286, 287	3eqtrd 2512	. . 3 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) x. R ) = ( R + ( M x. R ) ) )
289	282, 288	breqtrrd 4473	. 2 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) + ( abs ` ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) ) < ( ( M + 1 ) x. R ) )
290	11, 57, 62, 70, 289	lelttrd 9735	1 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` X ) ) < ( ( M + 1 ) x. R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818   \ cdif 3473   C_ wss 3476   {csn 4027   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   o. ccom 5003   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   x. cmul 9493   RR*cxr 9623   < clt 9624   <_ cle 9625   - cmin 9801   / cdiv 10202   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   ...cfz 11668   seqcseq 12071   ^cexp 12130   abscabs 13026   ~~> cli 13266   sum_csu 13467   *Metcxmt 18174   ballcbl 18176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-xadd 11315  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185

This theorem is referenced by:  abelthlem8  22568