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Theorem abelthlem7 22567
Description: Lemma for abelth 22570. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
abelth.7  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
abelthlem6.1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( S 
\  { 1 } ) )
abelthlem7.2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
abelthlem7.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
abelthlem7.4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  N ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  R
)
abelthlem7.5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  <  ( R  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
abelthlem7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  <  ( ( M  +  1 )  x.  R ) )
Distinct variable groups:    k, n, x, z, M    R, k, n, x, z    k, X, n, x, z    A, k, n, x, z    k, N, n    ph, k, n, x    S, k, n, x
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, k, n)    N( x, z)

Proof of Theorem abelthlem7
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2 abelth.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
3 abelth.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4 abelth.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
5 abelth.5 . . . . 5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
6 abelth.6 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6abelthlem4 22563 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
8 abelthlem6.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( S 
\  { 1 } ) )
98eldifad 3488 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
107, 9ffvelrnd 6020 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  CC )
1110abscld 13226 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  e.  RR )
12 ax-1cn 9546 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
13 abelth.7 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  ~~>  0 )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8abelthlem7a 22566 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  X ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
1514simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
16 subcl 9815 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( 1  -  X
)  e.  CC )
1712, 15, 16sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  X
)  e.  CC )
18 fzfid 12047 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
19 elfznn0 11766 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
20 nn0uz 11112 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
21 0zd 10872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
221ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  CC )
2320, 21, 22serf 12099 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A ) : NN0 --> CC )
2423ffvelrnda 6019 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  e.  CC )
25 expcl 12148 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( X ^ n
)  e.  CC )
2615, 25sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( X ^ n )  e.  CC )
2724, 26mulcld 9612 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  e.  CC )
2819, 27sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) )  e.  CC )
2918, 28fsumcl 13514 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC )
3017, 29mulcld 9612 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  CC )
3130abscld 13226 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  e.  RR )
32 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  N )  =  (
ZZ>= `  N )
33 abelthlem7.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3433nn0zd 10960 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
35 eluznn0 11147 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  n  e.  NN0 )
3633, 35sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  n  e.  NN0 )
37 fveq2 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
)  =  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )
38 oveq2 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  ( X ^ k )  =  ( X ^ n
) )
3937, 38oveq12d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) )  =  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
40 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) )
41 ovex 6307 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) )  e.  _V
4239, 40, 41fvmpt 5948 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
4336, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
4436, 27syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  e.  CC )
451, 2, 3, 4, 5abelthlem2 22561 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
4645simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
4746, 8sseldd 3505 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
481, 2, 3, 4, 5, 6, 13abelthlem5 22564 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq 0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
4947, 48mpdan 668 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
5042adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  =  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )
5150, 27eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  e.  CC )
5220, 33, 51iserex 13438 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq 0 (  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  <->  seq N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
5349, 52mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
5432, 34, 43, 44, 53isumcl 13535 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC )
5517, 54mulcld 9612 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  CC )
5655abscld 13226 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  e.  RR )
5731, 56readdcld 9619 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )  e.  RR )
58 peano2re 9748 . . . 4  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
593, 58syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
60 abelthlem7.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
6160rpred 11252 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
6259, 61remulcld 9620 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  x.  R
)  e.  RR )
631, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 8abelthlem6 22565 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
6420, 32, 33, 50, 27, 49isumsplit 13611 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  NN0  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) )  =  (
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  +  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )
6564oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  NN0  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  =  ( ( 1  -  X )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  +  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
6617, 29, 54adddid 9616 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  +  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  +  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
6763, 65, 663eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  ( ( ( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  +  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
6867fveq2d 5868 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  =  ( abs `  ( ( ( 1  -  X )  x. 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  +  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) ) ) )
6930, 55abstrid 13246 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  +  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( ( 1  -  X )  x. 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) ) )
7068, 69eqbrtrd 4467 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  <_  ( ( abs `  ( ( 1  -  X )  x. 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) ) )
713, 61remulcld 9620 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  x.  R
)  e.  RR )
7217abscld 13226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  RR )
7324abscld 13226 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  e.  RR )
7419, 73sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  e.  RR )
7518, 74fsumrecl 13515 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  e.  RR )
76 peano2re 9748 . . . . . . 7  |-  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  e.  RR  ->  (
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 )  e.  RR )
7775, 76syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 )  e.  RR )
7872, 77remulcld 9620 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )  e.  RR )
7917, 29absmuld 13244 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
8029abscld 13226 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
8117absge0d 13234 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( 1  -  X
) ) )
8227abscld 13226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  e.  RR )
8319, 82sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
8418, 83fsumrecl 13515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
8518, 28fsumabs 13574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
8615abscld 13226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  RR )
87 reexpcl 12147 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  X
) ^ n )  e.  RR )
8886, 87sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  X ) ^
n )  e.  RR )
89 1red 9607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
9024absge0d 13234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
9186adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
9215absge0d 13234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  X ) )
9392adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( abs `  X ) )
94 0cn 9584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  e.  CC
95 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
9695cnmetdval 21013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( X  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( X  -  0 ) ) )
9715, 94, 96sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( X  -  0 ) ) )
9815subid1d 9915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( X  -  0 )  =  X )
9998fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  -  0 ) )  =  ( abs `  X ) )
10097, 99eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  X ) )
101 cnxmet 21015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
102 1rp 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  RR+
103 rpxr 11223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
104102, 103ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR*
105 elbl3 20630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  X  e.  CC ) )  -> 
( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
106101, 104, 105mpanl12 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
10794, 15, 106sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
10847, 107mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  <  1 )
109100, 108eqbrtrrd 4469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  1 )
110 1re 9591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
111 ltle 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  ->  ( abs `  X )  <_  1 ) )
11286, 110, 111sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  ->  ( abs `  X )  <_  1 ) )
113109, 112mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <_  1 )
114113adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  X )  <_  1
)
115 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
116 exple1 12189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  X
)  /\  ( abs `  X )  <_  1
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  X ) ^
n )  <_  1
)
11791, 93, 114, 115, 116syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  X ) ^
n )  <_  1
)
11888, 89, 73, 90, 117lemul2ad 10482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) )  <_  ( ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  1 ) )
11924, 26absmuld 13244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  x.  ( abs `  ( X ^
n ) ) ) )
120 absexp 13096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( abs `  ( X ^ n ) )  =  ( ( abs `  X ) ^ n
) )
12115, 120sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( X ^ n
) )  =  ( ( abs `  X
) ^ n ) )
122121oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  ( abs `  ( X ^ n
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
123119, 122eqtr2d 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) )  =  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
12473recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  e.  CC )
125124mulid1d 9609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  1 )  =  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
126118, 123, 1253brtr3d 4476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  <_ 
( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
12719, 126sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n ) ) )
12818, 83, 74, 127fsumle 13572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
12980, 84, 75, 85, 128letrd 9734 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
13075ltp1d 10472 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  <  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) )
13180, 75, 77, 129, 130lelttrd 9735 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )
13280, 77, 131ltled 9728 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )
13380, 77, 72, 81, 132lemul2ad 10482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )
13479, 133eqbrtrd 4467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  <_  (
( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) ) )
135 abelthlem7.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  <  ( R  /  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )
136 0red 9593 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
13719, 90sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
13818, 74, 137fsumge0 13568 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) ) )
139136, 75, 77, 138, 130lelttrd 9735 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )
140 ltmuldiv 10411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  RR  /\  R  e.  RR  /\  (
( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) )  <  R  <->  ( abs `  ( 1  -  X ) )  <  ( R  / 
( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) ) )
14172, 61, 77, 139, 140syl112anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) )  <  R  <->  ( abs `  ( 1  -  X ) )  <  ( R  / 
( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  +  1 ) ) ) )
142135, 141mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  +  1 ) )  <  R )
14331, 78, 61, 134, 142lelttrd 9735 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  <  R
)
14417, 54absmuld 13244 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
14554abscld 13226 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
14639fveq2d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
147 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )
148 fvex 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  e. 
_V
149146, 147, 148fvmpt 5948 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n )  =  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
15036, 149syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n )  =  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
15144abscld 13226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  e.  RR )
152 uzid 11092 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
15334, 152syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
154 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
( abs `  X
) ^ k )  =  ( ( abs `  X ) ^ n
) )
155 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k
) )
156 ovex 6307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  X ) ^ n )  e. 
_V
157154, 155, 156fvmpt 5948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n )  =  ( ( abs `  X
) ^ n ) )
15836, 157syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n )  =  ( ( abs `  X
) ^ n ) )
15936, 88syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( abs `  X ) ^
n )  e.  RR )
160158, 159eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n )  e.  RR )
161151recnd 9618 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  e.  CC )
162150, 161eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n )  e.  CC )
16386recnd 9618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  CC )
164 absidm 13115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  ( abs `  ( abs `  X
) )  =  ( abs `  X ) )
16515, 164syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( abs `  X ) )  =  ( abs `  X
) )
166165, 109eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( abs `  X ) )  <  1 )
167163, 166, 33, 158geolim2 13639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) )  ~~>  ( ( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )
168 seqex 12073 . . . . . . . . . . 11  |-  seq N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) )  e.  _V
169 ovex 6307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) )  e. 
_V
170168, 169breldm 5205 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X
) ^ k ) ) )  ~~>  ( ( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) )  ->  seq N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X
) ^ k ) ) )  e.  dom  ~~>  )
171167, 170syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
172119, 122eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
17336, 172syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  =  ( ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
17436, 73syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  e.  RR )
17561adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  R  e.  RR )
17686adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
17792adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( abs `  X ) )
178176, 36, 177expge0d 12292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  0  <_  ( ( abs `  X
) ^ n ) )
179 abelthlem7.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  N ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  R
)
18037fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )
)  =  ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
) )
181180breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  R  <->  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  <  R
) )
182181rspccva 3213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  N ) ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
) )  <  R  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  N ) )  ->  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
) )  <  R
)
183179, 182sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  <  R )
184174, 175, 183ltled 9728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n ) )  <_  R )
185174, 175, 159, 178, 184lemul1ad 10481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( abs `  (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )
)  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) )  <_  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ n ) ) )
186173, 185eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )  <_ 
( R  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
187150fveq2d 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  n
) )  =  ( abs `  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
188 absidm 13115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  =  ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
18944, 188syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )  =  ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
190187, 189eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  n
) )  =  ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
191158oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( R  x.  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) `  n
) )  =  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) ) )
192186, 190, 1913brtr4d 4477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) `  n
) )  <_  ( R  x.  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n ) ) )
19332, 153, 160, 162, 171, 61, 192cvgcmpce 13591 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
19432, 34, 150, 151, 193isumrecl 13539 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  e.  RR )
195 eldifsni 4153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  ( S  \  { 1 } )  ->  X  =/=  1
)
1968, 195syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  =/=  1 )
197196necomd 2738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  =/=  X )
198 subeq0 9841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  X )  =  0  <->  1  =  X ) )
199198necon3bid 2725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  X )  =/=  0  <->  1  =/=  X ) )
20012, 15, 199sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  =/=  0  <->  1  =/=  X ) )
201197, 200mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  -  X
)  =/=  0 )
20217, 201absrpcld 13238 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  RR+ )
20371, 202rerpdivcld 11279 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  e.  RR )
20432, 34, 43, 44, 53isumclim2 13532 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )  ~~>  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) )
20532, 34, 150, 161, 193isumclim2 13532 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )  ~~>  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
20636, 51syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k )  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n )  e.  CC )
20743fveq2d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( abs `  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) `  n ) )  =  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
208150, 207eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( abs `  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) `
 n )  =  ( abs `  (
( k  e.  NN0  |->  ( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  k )  x.  ( X ^ k
) ) ) `  n ) ) )
20932, 204, 205, 34, 206, 208iserabs 13588 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( abs `  (
(  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
21086, 33reexpcld 12291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
) ^ N )  e.  RR )
211 difrp 11249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  <->  ( 1  -  ( abs `  X
) )  e.  RR+ ) )
21286, 110, 211sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  <->  ( 1  -  ( abs `  X
) )  e.  RR+ ) )
213109, 212mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  RR+ )
214210, 213rerpdivcld 11279 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) )  e.  RR )
21561, 214remulcld 9620 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  e.  RR )
216154oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^
k ) )  =  ( R  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
217 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  (
( abs `  X
) ^ k ) ) )
218 ovex 6307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n
) )  e.  _V
219216, 217, 218fvmpt 5948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) ) )
22036, 219syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) ) )
221175, 159remulcld 9620 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ n ) )  e.  RR )
22260rpcnd 11254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
223160recnd 9618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n )  e.  CC )
224220, 191eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( R  x.  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( abs `  X ) ^ k ) ) `
 n ) ) )
22532, 34, 222, 167, 223, 224isermulc2 13439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ k ) ) ) )  ~~>  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N )  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
226 seqex 12073 . . . . . . . . . . . 12  |-  seq N
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ k
) ) ) )  e.  _V
227 ovex 6307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N )  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )  e.  _V
228226, 227breldm 5205 . . . . . . . . . . 11  |-  (  seq N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  (
( abs `  X
) ^ k ) ) ) )  ~~>  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N )  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )  ->  seq N (  +  , 
( k  e.  NN0  |->  ( R  x.  (
( abs `  X
) ^ k ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
229225, 228syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ k ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
23032, 34, 150, 151, 220, 221, 186, 193, 229isumle 13615 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( R  x.  (
( abs `  X
) ^ n ) ) )
231221recnd 9618 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( R  x.  ( ( abs `  X
) ^ n ) )  e.  CC )
23232, 34, 220, 231, 225isumclim 13531 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( R  x.  ( ( abs `  X ) ^ n ) )  =  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) ) )
233230, 232breqtrd 4471 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( R  x.  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) ) )
23460, 213rpdivcld 11269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  e.  RR+ )
235234rpred 11252 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  e.  RR )
236210recnd 9618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
) ^ N )  e.  CC )
237213rpcnd 11254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  CC )
238213rpne0d 11257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( abs `  X ) )  =/=  0 )
239222, 236, 237, 238div12d 10352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  X ) ^ N )  x.  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
240 1red 9607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
241234rpge0d 11256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( R  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )
242 exple1 12189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  X
)  /\  ( abs `  X )  <_  1
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  X ) ^ N )  <_  1
)
24386, 92, 113, 33, 242syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
) ^ N )  <_  1 )
244210, 240, 235, 241, 243lemul1ad 10481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  x.  ( R  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  <_  ( 1  x.  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
245234rpcnd 11254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  e.  CC )
246245mulid2d 9610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( R  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( R  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
247244, 246breqtrd 4471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  X ) ^ N
)  x.  ( R  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  <_  ( R  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
248239, 247eqbrtrd 4467 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  <_  ( R  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
24914simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
250 resubcl 9879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( abs `  X )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  RR )
251110, 86, 250sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  RR )
2523, 251remulcld 9620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  e.  RR )
25372, 252, 60lemul2d 11292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X ) ) )  <->  ( R  x.  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  <_  ( R  x.  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) ) )
254249, 253mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( R  x.  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  <_  ( R  x.  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
2553recnd 9618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
256222, 255, 237mul12d 9784 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( R  x.  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( M  x.  ( R  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) ) ) )
257222, 237mulcomd 9613 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  =  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  R
) )
258257oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( R  x.  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( M  x.  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  R
) ) )
259255, 237, 222mul12d 9784 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( 1  -  ( abs `  X ) )  x.  R ) )  =  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
) )
260256, 258, 2593eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( R  x.  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  =  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
) )
261254, 260breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( R  x.  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  <_  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
) )
262251, 71remulcld 9620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
)  e.  RR )
26361, 262, 202lemuldivd 11297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( R  x.  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  <_  ( (
1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( M  x.  R
) )  <->  R  <_  ( ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
)  /  ( abs `  ( 1  -  X
) ) ) ) )
264261, 263mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  <_  ( (
( 1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( M  x.  R ) )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
26571recnd 9618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  x.  R
)  e.  CC )
26672recnd 9618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  CC )
267202rpne0d 11257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  =/=  0 )
268237, 265, 266, 267divassd 10351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  ( M  x.  R )
)  /  ( abs `  ( 1  -  X
) ) )  =  ( ( 1  -  ( abs `  X
) )  x.  (
( M  x.  R
)  /  ( abs `  ( 1  -  X
) ) ) ) )
269264, 268breqtrd 4471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  <_  ( (
1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  ( 1  -  X ) ) ) ) )
270 posdif 10041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
27186, 110, 270sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )
272109, 271mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  ( abs `  X
) ) )
273 ledivmul 10414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR  /\  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  ( 1  -  X ) ) )  e.  RR  /\  (
( 1  -  ( abs `  X ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  ( abs `  X ) ) ) )  ->  (
( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) )  <->  R  <_  ( ( 1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) ) ) )
27461, 203, 251, 272, 273syl112anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
( 1  -  ( abs `  X ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  (
1  -  X ) ) )  <->  R  <_  ( ( 1  -  ( abs `  X ) )  x.  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) ) ) )
275269, 274mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  /  (
1  -  ( abs `  X ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
276215, 235, 203, 248, 275letrd 9734 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( ( abs `  X
) ^ N )  /  ( 1  -  ( abs `  X
) ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  / 
( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
277194, 215, 203, 233, 276letrd 9734 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( abs `  ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n )  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
278145, 194, 203, 209, 277letrd 9734 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N
) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) )  <_  ( ( M  x.  R )  /  ( abs `  (
1  -  X ) ) ) )
279145, 71, 202lemuldiv2d 11298 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  <_  ( M  x.  R )  <->  ( abs ` 
sum_ n  e.  ( ZZ>=
`  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  <_ 
( ( M  x.  R )  /  ( abs `  ( 1  -  X ) ) ) ) )
280278, 279mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( abs `  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  <_  ( M  x.  R ) )
281144, 280eqbrtrd 4467 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( ZZ>= `  N )
( (  seq 0
(  +  ,  A
) `  n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  <_  ( M  x.  R ) )
28231, 56, 61, 71, 143, 281ltleaddd 10168 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )  <  ( R  +  ( M  x.  R ) ) )
28312a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
284255, 283, 222adddird 9617 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  x.  R
)  =  ( ( M  x.  R )  +  ( 1  x.  R ) ) )
285222mulid2d 9610 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  R
)  =  R )
286285oveq2d 6298 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  R )  +  ( 1  x.  R ) )  =  ( ( M  x.  R )  +  R ) )
287265, 222addcomd 9777 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  R )  +  R
)  =  ( R  +  ( M  x.  R ) ) )
288284, 286, 2873eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  x.  R
)  =  ( R  +  ( M  x.  R ) ) )
289282, 288breqtrrd 4473 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `  n
)  x.  ( X ^ n ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( 1  -  X )  x.  sum_ n  e.  (
ZZ>= `  N ) ( (  seq 0 (  +  ,  A ) `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )  <  ( ( M  +  1 )  x.  R ) )
29011, 57, 62, 70, 289lelttrd 9735 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  <  ( ( M  +  1 )  x.  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818    \ cdif 3473    C_ wss 3476   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999    o. ccom 5003   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801    / cdiv 10202   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   ...cfz 11668    seqcseq 12071   ^cexp 12130   abscabs 13026    ~~> cli 13266   sum_csu 13467   *Metcxmt 18174   ballcbl 18176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-xadd 11315  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185
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