Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem5 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem abelthlem5 23469
 Description: Lemma for abelth 23475. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1
abelth.2
abelth.3
abelth.4
abelth.5
abelth.6
abelth.7
Assertion
Ref Expression
abelthlem5
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,,)

Proof of Theorem abelthlem5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11217 . . . 4
2 0zd 10973 . . . 4
3 1rp 11329 . . . . 5
43a1i 11 . . . 4
5 eqidd 2472 . . . 4
6 abelth.7 . . . 4
71, 2, 4, 5, 6climi0 13653 . . 3
87adantr 472 . 2
9 simprl 772 . . 3
10 oveq2 6316 . . . . . 6
11 eqid 2471 . . . . . 6
12 ovex 6336 . . . . . 6
1310, 11, 12fvmpt 5963 . . . . 5
1413adantl 473 . . . 4
15 cnxmet 21871 . . . . . . . 8
16 0cn 9653 . . . . . . . 8
17 rpxr 11332 . . . . . . . . 9
183, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8
19 blssm 21511 . . . . . . . 8
2015, 16, 18, 19mp3an 1390 . . . . . . 7
21 simplr 770 . . . . . . 7
2220, 21sseldi 3416 . . . . . 6
2322abscld 13575 . . . . 5
24 reexpcl 12327 . . . . 5
2523, 24sylan 479 . . . 4
2614, 25eqeltrd 2549 . . 3
27 fveq2 5879 . . . . . . 7
28 oveq2 6316 . . . . . . 7
2927, 28oveq12d 6326 . . . . . 6
30 eqid 2471 . . . . . 6
31 ovex 6336 . . . . . 6
3229, 30, 31fvmpt 5963 . . . . 5
3332adantl 473 . . . 4
34 abelth.1 . . . . . . . . 9
3534ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8
361, 2, 35serf 12279 . . . . . . 7
3736ad2antrr 740 . . . . . 6
3837ffvelrnda 6037 . . . . 5
39 expcl 12328 . . . . . 6
4022, 39sylan 479 . . . . 5
4138, 40mulcld 9681 . . . 4
4233, 41eqeltrd 2549 . . 3
4323recnd 9687 . . . . 5
44 absidm 13463 . . . . . . 7
4522, 44syl 17 . . . . . 6
46 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
4746cnmetdval 21869 . . . . . . . . 9
4822, 16, 47sylancl 675 . . . . . . . 8
4922subid1d 9994 . . . . . . . . 9
5049fveq2d 5883 . . . . . . . 8
5148, 50eqtrd 2505 . . . . . . 7
52 elbl3 21485 . . . . . . . . . 10
5315, 18, 52mpanl12 696 . . . . . . . . 9
5416, 22, 53sylancr 676 . . . . . . . 8
5521, 54mpbid 215 . . . . . . 7
5651, 55eqbrtrrd 4418 . . . . . 6
5745, 56eqbrtrd 4416 . . . . 5
5843, 57, 14geolim 14003 . . . 4
59 climrel 13633 . . . . 5
6059releldmi 5077 . . . 4
6158, 60syl 17 . . 3
62 1red 9676 . . 3
6337adantr 472 . . . . . . . 8
64 eluznn0 11251 . . . . . . . . 9
659, 64sylan 479 . . . . . . . 8
6663, 65ffvelrnd 6038 . . . . . . 7
6765, 40syldan 478 . . . . . . 7
6866, 67absmuld 13593 . . . . . 6
6922adantr 472 . . . . . . . 8
7069, 65absexpd 13591 . . . . . . 7
7170oveq2d 6324 . . . . . 6
7268, 71eqtrd 2505 . . . . 5
7366abscld 13575 . . . . . 6
74 1red 9676 . . . . . 6
7565, 25syldan 478 . . . . . 6
7667absge0d 13583 . . . . . . 7
7776, 70breqtrd 4420 . . . . . 6
78 simprr 774 . . . . . . . 8
79 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
8079fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
8180breq1d 4405 . . . . . . . . 9
8281rspccva 3135 . . . . . . . 8
8378, 82sylan 479 . . . . . . 7
84 1re 9660 . . . . . . . 8
85 ltle 9740 . . . . . . . 8
8673, 84, 85sylancl 675 . . . . . . 7
8783, 86mpd 15 . . . . . 6
8873, 74, 75, 77, 87lemul1ad 10568 . . . . 5
8972, 88eqbrtrd 4416 . . . 4
9065, 32syl 17 . . . . 5
9190fveq2d 5883 . . . 4
9265, 13syl 17 . . . . 5
9392oveq2d 6324 . . . 4
9489, 91, 933brtr4d 4426 . . 3
951, 9, 26, 42, 61, 62, 94cvgcmpce 13955 . 2
968, 95rexlimddv 2875 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  crab 2760   wss 3390   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  cn0 10893  cuz 11182  crp 11325   cseq 12251  cexp 12310  cabs 13374   cli 13625  csu 13829  cxmt 19032  cbl 19034 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042 This theorem is referenced by:  abelthlem6  23470  abelthlem7  23472
 Copyright terms: Public domain W3C validator