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Theorem abelthlem3 23253
Description: Lemma for abelth 23261. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
abelthlem3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable groups:    z, n, M    n, X, z    A, n, z    ph, n    S, n
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)

Proof of Theorem abelthlem3
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2 abelth.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
3 abelth.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4 abelth.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
5 abelth.5 . . . . . . 7  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
61, 2, 3, 4, 5abelthlem2 23252 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
76simprd 464 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
8 ssundif 3885 . . . . 5  |-  ( S 
C_  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  <->  ( S  \  { 1 } ) 
C_  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 ) )
97, 8sylibr 215 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  ( {
1 }  u.  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
109sselda 3470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  ( { 1 }  u.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 ) ) )
11 elun 3612 . . 3  |-  ( X  e.  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  <->  ( X  e.  { 1 }  \/  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
1210, 11sylib 199 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  ( X  e.  { 1 }  \/  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
131feqmptd 5934 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =  ( n  e.  NN0  |->  ( A `
 n ) ) )
141ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  CC )
1514mulid1d 9659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  1 )  =  ( A `  n ) )
1615mpteq2dva 4512 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  1 ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( A `
 n ) ) )
1713, 16eqtr4d 2473 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  1 ) ) )
18 elsni 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  { 1 }  ->  X  =  1 )
1918oveq1d 6320 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  { 1 }  ->  ( X ^
n )  =  ( 1 ^ n ) )
20 nn0z 10960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
21 1exp 12298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
2319, 22sylan9eq 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  { 1 }  /\  n  e. 
NN0 )  ->  ( X ^ n )  =  1 )
2423oveq2d 6321 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  { 1 }  /\  n  e. 
NN0 )  ->  (
( A `  n
)  x.  ( X ^ n ) )  =  ( ( A `
 n )  x.  1 ) )
2524mpteq2dva 4512 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  { 1 }  ->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  1 ) ) )
2625eqcomd 2437 . . . . . 6  |-  ( X  e.  { 1 }  ->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  1 ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )
2717, 26sylan9eq 2490 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  { 1 } )  ->  A  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
2827seqeq3d 12218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  { 1 } )  ->  seq 0 (  +  ,  A )  =  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) ) )
292adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  { 1 } )  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e.  dom  ~~>  )
3028, 29eqeltrrd 2518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  { 1 } )  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
31 cnxmet 21704 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
32 0cn 9634 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
33 1re 9641 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
3433rexri 9692 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR*
35 blssm 21364 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  C_  CC )
3631, 32, 34, 35mp3an 1360 . . . . . . 7  |-  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  C_  CC
37 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
3836, 37sseldi 3468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  X  e.  CC )
39 oveq1 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  X  ->  (
z ^ n )  =  ( X ^
n ) )
4039oveq2d 6321 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  X  ->  (
( A `  n
)  x.  ( z ^ n ) )  =  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) )
4140mpteq2dv 4513 . . . . . . 7  |-  ( z  =  X  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
42 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) )
43 nn0ex 10875 . . . . . . . 8  |-  NN0  e.  _V
4443mptex 6151 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^
n ) ) )  e.  _V
4541, 42, 44fvmpt 5964 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) ) `  X )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^
n ) ) ) )
4638, 45syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( (
z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  X )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )
4746seqeq3d 12218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq 0
(  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) ) `  X ) )  =  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) ) )
481adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  A : NN0
--> CC )
49 eqid 2429 . . . . 5  |-  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( z  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
5038abscld 13476 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
5150rexrd 9689 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( abs `  X )  e.  RR* )
52 rexr 9685 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
5333, 52mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  1  e.  RR* )
54 iccssxr 11717 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
5542, 48, 49radcnvcl 23237 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5654, 55sseldi 3468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR* )
57 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
5857cnmetdval 21702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( X  -  0 ) ) )
5938, 32, 58sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  =  ( abs `  ( X  -  0 ) ) )
6038subid1d 9974 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( X  -  0 )  =  X )
6160fveq2d 5885 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( abs `  ( X  -  0 ) )  =  ( abs `  X ) )
6259, 61eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  =  ( abs `  X ) )
63 elbl3 21338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  X  e.  CC ) )  -> 
( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
6431, 34, 63mpanl12 686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
6532, 38, 64sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <-> 
( X ( abs 
o.  -  ) 0 )  <  1 ) )
6637, 65mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( X
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
)
6762, 66eqbrtrrd 4448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( abs `  X )  <  1
)
681, 2abelthlem1 23251 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
6968adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0
(  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) ) `  r ) )  e. 
dom 
~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
7051, 53, 56, 67, 69xrltletrd 11458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  ( abs `  X )  <  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
7142, 48, 49, 38, 70radcnvlt2 23239 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq 0
(  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) ) `  X ) )  e. 
dom 
~~>  )
7247, 71eqeltrrd 2518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  ->  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^
n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
7330, 72jaodan 792 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  { 1 }  \/  X  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )  ->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( X ^ n
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
7412, 73syldan 472 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( X ^ n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   {crab 2786    \ cdif 3439    u. cun 3440    C_ wss 3442   {csn 4002   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   dom cdm 4854    o. ccom 4858   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supcsup 7960   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543   +oocpnf 9671   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   [,]cicc 11638    seqcseq 12210   ^cexp 12269   abscabs 13276    ~~> cli 13526   *Metcxmt 18890   ballcbl 18892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900
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