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Theorem abelthlem2 22589
Description: Lemma for abelth 22598. The peculiar region  S, known as a Stolz angle , is a teardrop-shaped subset of the closed unit ball containing  1. Indeed, except for  1 itself, the rest of the Stolz angle is enclosed in the open unit ball. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
abelthlem2  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
Distinct variable groups:    z, M    z, A
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)

Proof of Theorem abelthlem2
StepHypRef Expression
1 abelth.3 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
2 abelth.4 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
3 ax-1cn 9550 . . . . 5  |-  1  e.  CC
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
1  e.  CC )
5 0le0 10625 . . . . 5  |-  0  <_  0
6 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  ->  M  e.  RR )
76recnd 9622 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  ->  M  e.  CC )
87mul01d 9778 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
( M  x.  0 )  =  0 )
95, 8syl5breqr 4483 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
0  <_  ( M  x.  0 ) )
10 oveq2 6292 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
1  -  z )  =  ( 1  -  1 ) )
11 1m1e0 10604 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  1 )  =  0
1210, 11syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  ->  (
1  -  z )  =  0 )
1312abs00bd 13087 . . . . . 6  |-  ( z  =  1  ->  ( abs `  ( 1  -  z ) )  =  0 )
14 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  ( abs `  z )  =  ( abs `  1
) )
15 abs1 13093 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  1 )  =  1
1614, 15syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  ( abs `  z )  =  1 )
1716oveq2d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
1  -  ( abs `  z ) )  =  ( 1  -  1 ) )
1817, 11syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  ->  (
1  -  ( abs `  z ) )  =  0 )
1918oveq2d 6300 . . . . . 6  |-  ( z  =  1  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  =  ( M  x.  0 ) )
2013, 19breq12d 4460 . . . . 5  |-  ( z  =  1  ->  (
( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <->  0  <_  ( M  x.  0 ) ) )
21 abelth.5 . . . . 5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
2220, 21elrab2 3263 . . . 4  |-  ( 1  e.  S  <->  ( 1  e.  CC  /\  0  <_  ( M  x.  0 ) ) )
234, 9, 22sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
1  e.  S )
24 elsn 4041 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { 1 }  <-> 
z  =  1 )
2524necon3bbii 2728 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  z  e.  { 1 }  <->  z  =/=  1
)
26 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  z  e.  CC )
27 0cn 9588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  CC
28 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
2928cnmetdval 21041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( z ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( z  -  0 ) ) )
3026, 27, 29sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  (
z  -  0 ) ) )
3126subid1d 9919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z  -  0 )  =  z )
3231fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  ( z  - 
0 ) )  =  ( abs `  z
) )
3330, 32eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  z
) )
34 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_ 
( M  x.  (
1  -  ( abs `  z ) ) ) )
35 subcl 9819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( 1  -  z
)  e.  CC )
363, 26, 35sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  -  z )  e.  CC )
3736abscld 13230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  ( 1  -  z ) )  e.  RR )
38 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  M  e.  RR )
39 1re 9595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
4026abscld 13230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  e.  RR )
41 resubcl 9883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( abs `  z )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( abs `  z ) )  e.  RR )
4239, 40, 41sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  -  ( abs `  z ) )  e.  RR )
4338, 42remulcld 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  e.  RR )
4437, 43lenltd 9730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <->  -.  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <  ( abs `  ( 1  -  z
) ) ) )
4534, 44mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  -.  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  z ) ) )  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
468adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  0 )  =  0 )
47 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  z  =/=  1 )
4847necomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  1  =/=  z )
49 subeq0 9845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  z )  =  0  <->  1  =  z ) )
5049necon3bid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  z )  =/=  0  <->  1  =/=  z ) )
513, 26, 50sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( 1  -  z
)  =/=  0  <->  1  =/=  z ) )
5248, 51mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  -  z )  =/=  0 )
53 absgt0 13120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  -  z )  e.  CC  ->  (
( 1  -  z
)  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) ) )
5436, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( 1  -  z
)  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) ) )
5552, 54mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  0  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
5646, 55eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  0 )  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
57 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  =  ( abs `  z
)  ->  ( 1  -  1 )  =  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )
5811, 57syl5eqr 2522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  =  ( abs `  z
)  ->  0  =  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )
5958oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  =  ( abs `  z
)  ->  ( M  x.  0 )  =  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )
6059breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  =  ( abs `  z
)  ->  ( ( M  x.  0 )  <  ( abs `  (
1  -  z ) )  <->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <  ( abs `  ( 1  -  z
) ) ) )
6156, 60syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  =  ( abs `  z )  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  < 
( abs `  (
1  -  z ) ) ) )
6261necon3bd 2679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( -.  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  z ) ) )  <  ( abs `  (
1  -  z ) )  ->  1  =/=  ( abs `  z ) ) )
6345, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  1  =/=  ( abs `  z
) )
6439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  1  e.  RR )
65 resubcl 9883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( abs `  z
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  z
)  -  1 )  e.  RR )
6640, 39, 65sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  1 )  e.  RR )
6715oveq2i 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( abs `  z )  -  ( abs `  1
) )  =  ( ( abs `  z
)  -  1 )
68 abs2dif 13128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( abs `  z
)  -  ( abs `  1 ) )  <_  ( abs `  (
z  -  1 ) ) )
6926, 3, 68sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  ( abs `  1 ) )  <_  ( abs `  (
z  -  1 ) ) )
7067, 69syl5eqbrr 4481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  1 )  <_  ( abs `  (
z  -  1 ) ) )
71 abssub 13122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( abs `  (
z  -  1 ) )  =  ( abs `  ( 1  -  z
) ) )
7226, 3, 71sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  ( z  - 
1 ) )  =  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
7370, 72breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  1 )  <_  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
7466, 37, 43, 73, 34letrd 9738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  1 )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )
7540, 64, 43lesubaddd 10149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( ( abs `  z
)  -  1 )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <->  ( abs `  z
)  <_  ( ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  +  1 ) ) )
7674, 75mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  <_ 
( ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  +  1 ) )
777adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  M  e.  CC )
783a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  1  e.  CC )
7938, 40remulcld 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( abs `  z ) )  e.  RR )
8079recnd 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( abs `  z ) )  e.  CC )
8177, 78, 80addsubd 9951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z
) ) )  =  ( ( M  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) )  +  1 ) )
8240recnd 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  e.  CC )
8377, 78, 82subdid 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  =  ( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) )
8477mulid1d 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  1 )  =  M )
8584oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  x.  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z
) ) )  =  ( M  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) )
8683, 85eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  =  ( M  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) )
8786oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  x.  (
1  -  ( abs `  z ) ) )  +  1 )  =  ( ( M  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) )  +  1 ) )
8881, 87eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z
) ) )  =  ( ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  +  1 ) )
8976, 88breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  <_ 
( ( M  + 
1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) )
90 peano2re 9752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
9138, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
9279, 40, 91leaddsub2d 10154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( ( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( abs `  z ) )  <_ 
( M  +  1 )  <->  ( abs `  z
)  <_  ( ( M  +  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) ) )
9389, 92mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( abs `  z
) )  <_  ( M  +  1 ) )
9477, 78, 82adddird 9621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( abs `  z ) )  =  ( ( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( 1  x.  ( abs `  z
) ) ) )
9582mulid2d 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  x.  ( abs `  z ) )  =  ( abs `  z
) )
9695oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( 1  x.  ( abs `  z
) ) )  =  ( ( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( abs `  z ) ) )
9794, 96eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( abs `  z ) )  =  ( ( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( abs `  z ) ) )
9891recnd 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
9998mulid1d 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  x.  1 )  =  ( M  + 
1 ) )
10093, 97, 993brtr4d 4477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( abs `  z ) )  <_ 
( ( M  + 
1 )  x.  1 ) )
101 0red 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  0  e.  RR )
102 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  0  <_  M )
10338ltp1d 10476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
104101, 38, 91, 102, 103lelttrd 9739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  0  <  ( M  +  1 ) )
105 lemul2 10395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  z
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( M  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( M  + 
1 ) ) )  ->  ( ( abs `  z )  <_  1  <->  ( ( M  +  1 )  x.  ( abs `  z ) )  <_ 
( ( M  + 
1 )  x.  1 ) ) )
10640, 64, 91, 104, 105syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  <_  1  <->  ( ( M  +  1 )  x.  ( abs `  z
) )  <_  (
( M  +  1 )  x.  1 ) ) )
107100, 106mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  <_ 
1 )
10840, 64, 107leltned 9735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  <  1  <->  1  =/=  ( abs `  z ) ) )
10963, 108mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  <  1 )
11033, 109eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z ( abs  o.  -  ) 0 )  <  1 )
111 cnxmet 21043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
112 1rp 11224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR+
113 rpxr 11227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
114112, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR*
115 elbl3 20658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( z
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
116111, 114, 115mpanl12 682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( z
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
11727, 26, 116sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( z
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
118110, 117mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
119118expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) ) )  -> 
( z  =/=  1  ->  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
1201193impb 1192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )  ->  (
z  =/=  1  -> 
z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
12125, 120syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )  ->  ( -.  z  e.  { 1 }  ->  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
122121orrd 378 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )  ->  (
z  e.  { 1 }  \/  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
123 elun 3645 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  <->  ( z  e.  { 1 }  \/  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
124122, 123sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )  ->  z  e.  ( { 1 }  u.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 ) ) )
125124rabssdv 3580 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  ->  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }  C_  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
12621, 125syl5eqss 3548 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  ->  S  C_  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
127 ssundif 3910 . . . 4  |-  ( S 
C_  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  <->  ( S  \  { 1 } ) 
C_  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 ) )
128126, 127sylib 196 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
12923, 128jca 532 . 2  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
1301, 2, 129syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2818    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   {csn 4027   class class class wbr 4447   dom cdm 4999    o. ccom 5003   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805   NN0cn0 10795   RR+crp 11220    seqcseq 12075   abscabs 13030    ~~> cli 13270   *Metcxmt 18202   ballcbl 18204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-xadd 11319  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213
This theorem is referenced by:  abelthlem3  22590  abelthlem6  22593  abelthlem7  22595  abelthlem8  22596  abelthlem9  22597  abelth  22598
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