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Theorem abelthlem2 23379
Description: Lemma for abelth 23388. The peculiar region  S, known as a Stolz angle , is a teardrop-shaped subset of the closed unit ball containing  1. Indeed, except for  1 itself, the rest of the Stolz angle is enclosed in the open unit ball. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
abelthlem2  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
Distinct variable groups:    z, M    z, A
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)

Proof of Theorem abelthlem2
StepHypRef Expression
1 abelth.3 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
2 abelth.4 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
3 1cnd 9661 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
1  e.  CC )
4 0le0 10701 . . . . 5  |-  0  <_  0
5 simpl 459 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  ->  M  e.  RR )
65recnd 9671 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  ->  M  e.  CC )
76mul01d 9834 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
( M  x.  0 )  =  0 )
84, 7syl5breqr 4458 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
0  <_  ( M  x.  0 ) )
9 oveq2 6311 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
1  -  z )  =  ( 1  -  1 ) )
10 1m1e0 10680 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  1 )  =  0
119, 10syl6eq 2480 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  ->  (
1  -  z )  =  0 )
1211abs00bd 13348 . . . . . 6  |-  ( z  =  1  ->  ( abs `  ( 1  -  z ) )  =  0 )
13 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  ( abs `  z )  =  ( abs `  1
) )
14 abs1 13354 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  1 )  =  1
1513, 14syl6eq 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  ( abs `  z )  =  1 )
1615oveq2d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
1  -  ( abs `  z ) )  =  ( 1  -  1 ) )
1716, 10syl6eq 2480 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  ->  (
1  -  ( abs `  z ) )  =  0 )
1817oveq2d 6319 . . . . . 6  |-  ( z  =  1  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  =  ( M  x.  0 ) )
1912, 18breq12d 4434 . . . . 5  |-  ( z  =  1  ->  (
( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <->  0  <_  ( M  x.  0 ) ) )
20 abelth.5 . . . . 5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
2119, 20elrab2 3232 . . . 4  |-  ( 1  e.  S  <->  ( 1  e.  CC  /\  0  <_  ( M  x.  0 ) ) )
223, 8, 21sylanbrc 669 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
1  e.  S )
23 elsn 4011 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { 1 }  <-> 
z  =  1 )
2423necon3bbii 2686 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  z  e.  { 1 }  <->  z  =/=  1
)
25 simprll 771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  z  e.  CC )
26 0cn 9637 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  CC
27 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
2827cnmetdval 21783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( z ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( z  -  0 ) ) )
2925, 26, 28sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  (
z  -  0 ) ) )
3025subid1d 9977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z  -  0 )  =  z )
3130fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  ( z  - 
0 ) )  =  ( abs `  z
) )
3229, 31eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  z
) )
33 simprlr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_ 
( M  x.  (
1  -  ( abs `  z ) ) ) )
34 ax-1cn 9599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
35 subcl 9876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( 1  -  z
)  e.  CC )
3634, 25, 35sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  -  z )  e.  CC )
3736abscld 13491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  ( 1  -  z ) )  e.  RR )
38 simpll 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  M  e.  RR )
39 1re 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
4025abscld 13491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  e.  RR )
41 resubcl 9940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( abs `  z )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( abs `  z ) )  e.  RR )
4239, 40, 41sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  -  ( abs `  z ) )  e.  RR )
4338, 42remulcld 9673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  e.  RR )
4437, 43lenltd 9783 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <->  -.  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <  ( abs `  ( 1  -  z
) ) ) )
4533, 44mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  -.  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  z ) ) )  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
467adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  0 )  =  0 )
47 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  z  =/=  1 )
4847necomd 2696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  1  =/=  z )
49 subeq0 9902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  z )  =  0  <->  1  =  z ) )
5049necon3bid 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  z )  =/=  0  <->  1  =/=  z ) )
5134, 25, 50sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( 1  -  z
)  =/=  0  <->  1  =/=  z ) )
5248, 51mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  -  z )  =/=  0 )
53 absgt0 13381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  -  z )  e.  CC  ->  (
( 1  -  z
)  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) ) )
5436, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( 1  -  z
)  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) ) )
5552, 54mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  0  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
5646, 55eqbrtrd 4442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  0 )  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
57 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  =  ( abs `  z
)  ->  ( 1  -  1 )  =  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )
5810, 57syl5eqr 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  =  ( abs `  z
)  ->  0  =  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )
5958oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  =  ( abs `  z
)  ->  ( M  x.  0 )  =  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )
6059breq1d 4431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  =  ( abs `  z
)  ->  ( ( M  x.  0 )  <  ( abs `  (
1  -  z ) )  <->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <  ( abs `  ( 1  -  z
) ) ) )
6156, 60syl5ibcom 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  =  ( abs `  z )  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  < 
( abs `  (
1  -  z ) ) ) )
6261necon3bd 2637 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( -.  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  z ) ) )  <  ( abs `  (
1  -  z ) )  ->  1  =/=  ( abs `  z ) ) )
6345, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  1  =/=  ( abs `  z
) )
64 1red 9660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  1  e.  RR )
65 resubcl 9940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( abs `  z
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  z
)  -  1 )  e.  RR )
6640, 39, 65sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  1 )  e.  RR )
6714oveq2i 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( abs `  z )  -  ( abs `  1
) )  =  ( ( abs `  z
)  -  1 )
68 abs2dif 13389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( abs `  z
)  -  ( abs `  1 ) )  <_  ( abs `  (
z  -  1 ) ) )
6925, 34, 68sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  ( abs `  1 ) )  <_  ( abs `  (
z  -  1 ) ) )
7067, 69syl5eqbrr 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  1 )  <_  ( abs `  (
z  -  1 ) ) )
71 abssub 13383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( abs `  (
z  -  1 ) )  =  ( abs `  ( 1  -  z
) ) )
7225, 34, 71sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  ( z  - 
1 ) )  =  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
7370, 72breqtrd 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  1 )  <_  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
7466, 37, 43, 73, 33letrd 9794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  1 )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )
7540, 64, 43lesubaddd 10212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( ( abs `  z
)  -  1 )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <->  ( abs `  z
)  <_  ( ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  +  1 ) ) )
7674, 75mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  <_ 
( ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  +  1 ) )
776adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  M  e.  CC )
78 1cnd 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  1  e.  CC )
7938, 40remulcld 9673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( abs `  z ) )  e.  RR )
8079recnd 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( abs `  z ) )  e.  CC )
8177, 78, 80addsubd 10009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z
) ) )  =  ( ( M  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) )  +  1 ) )
8240recnd 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  e.  CC )
8377, 78, 82subdid 10076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  =  ( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) )
8477mulid1d 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  1 )  =  M )
8584oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  x.  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z
) ) )  =  ( M  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) )
8683, 85eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  =  ( M  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) )
8786oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  x.  (
1  -  ( abs `  z ) ) )  +  1 )  =  ( ( M  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) )  +  1 ) )
8881, 87eqtr4d 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z
) ) )  =  ( ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  +  1 ) )
8976, 88breqtrrd 4448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  <_ 
( ( M  + 
1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) )
90 peano2re 9808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
9138, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
9279, 40, 91leaddsub2d 10217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( ( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( abs `  z ) )  <_ 
( M  +  1 )  <->  ( abs `  z
)  <_  ( ( M  +  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) ) )
9389, 92mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( abs `  z
) )  <_  ( M  +  1 ) )
9477, 78, 82adddird 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( abs `  z ) )  =  ( ( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( 1  x.  ( abs `  z
) ) ) )
9582mulid2d 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  x.  ( abs `  z ) )  =  ( abs `  z
) )
9695oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( 1  x.  ( abs `  z
) ) )  =  ( ( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( abs `  z ) ) )
9794, 96eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( abs `  z ) )  =  ( ( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( abs `  z ) ) )
9891recnd 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
9998mulid1d 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  x.  1 )  =  ( M  + 
1 ) )
10093, 97, 993brtr4d 4452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( abs `  z ) )  <_ 
( ( M  + 
1 )  x.  1 ) )
101 0red 9646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  0  e.  RR )
102 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  0  <_  M )
10338ltp1d 10539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
104101, 38, 91, 102, 103lelttrd 9795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  0  <  ( M  +  1 ) )
105 lemul2 10460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  z
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( M  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( M  + 
1 ) ) )  ->  ( ( abs `  z )  <_  1  <->  ( ( M  +  1 )  x.  ( abs `  z ) )  <_ 
( ( M  + 
1 )  x.  1 ) ) )
10640, 64, 91, 104, 105syl112anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  <_  1  <->  ( ( M  +  1 )  x.  ( abs `  z
) )  <_  (
( M  +  1 )  x.  1 ) ) )
107100, 106mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  <_ 
1 )
10840, 64, 107leltned 9790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  <  1  <->  1  =/=  ( abs `  z ) ) )
10963, 108mpbird 236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  <  1 )
11032, 109eqbrtrd 4442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z ( abs  o.  -  ) 0 )  <  1 )
111 cnxmet 21785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
112 1rp 11308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR+
113 rpxr 11311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
114112, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR*
115 elbl3 21399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( z
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
116111, 114, 115mpanl12 687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( z
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
11726, 25, 116sylancr 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( z
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
118110, 117mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
119118expr 619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) ) )  -> 
( z  =/=  1  ->  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
1201193impb 1202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )  ->  (
z  =/=  1  -> 
z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
12124, 120syl5bi 221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )  ->  ( -.  z  e.  { 1 }  ->  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
122121orrd 380 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )  ->  (
z  e.  { 1 }  \/  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
123 elun 3607 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  <->  ( z  e.  { 1 }  \/  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
124122, 123sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )  ->  z  e.  ( { 1 }  u.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 ) ) )
125124rabssdv 3542 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  ->  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }  C_  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
12620, 125syl5eqss 3509 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  ->  S  C_  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
127 ssundif 3880 . . . 4  |-  ( S 
C_  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  <->  ( S  \  { 1 } ) 
C_  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 ) )
128126, 127sylib 200 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
12922, 128jca 535 . 2  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
1301, 2, 129syl2anc 666 1  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   {crab 2780    \ cdif 3434    u. cun 3435    C_ wss 3437   {csn 3997   class class class wbr 4421   dom cdm 4851    o. ccom 4855   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544    x. cmul 9546   RR*cxr 9676    < clt 9677    <_ cle 9678    - cmin 9862   NN0cn0 10871   RR+crp 11304    seqcseq 12214   abscabs 13291    ~~> cli 13541   *Metcxmt 18948   ballcbl 18950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-sup 7960  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-xadd 11412  df-seq 12215  df-exp 12274  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958
This theorem is referenced by:  abelthlem3  23380  abelthlem6  23383  abelthlem7  23385  abelthlem8  23386  abelthlem9  23387  abelth  23388
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