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Theorem abelthlem2 20301
 Description: Lemma for abelth 20310. The peculiar region , known as a Stolz angle , is a teardrop-shaped subset of the closed unit ball containing . Indeed, except for itself, the rest of the Stolz angle is enclosed in the open unit ball. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1
abelth.2
abelth.3
abelth.4
abelth.5
Assertion
Ref Expression
abelthlem2
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem abelthlem2
StepHypRef Expression
1 abelth.3 . 2
2 abelth.4 . 2
3 ax-1cn 9004 . . . . 5
43a1i 11 . . . 4
5 0le0 10037 . . . . 5
6 simpl 444 . . . . . . 7
76recnd 9070 . . . . . 6
87mul01d 9221 . . . . 5
95, 8syl5breqr 4208 . . . 4
10 oveq2 6048 . . . . . . . 8
11 1m1e0 10024 . . . . . . . 8
1210, 11syl6eq 2452 . . . . . . 7
1312abs00bd 12051 . . . . . 6
14 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10
15 abs1 12057 . . . . . . . . . 10
1614, 15syl6eq 2452 . . . . . . . . 9
1716oveq2d 6056 . . . . . . . 8
1817, 11syl6eq 2452 . . . . . . 7
1918oveq2d 6056 . . . . . 6
2013, 19breq12d 4185 . . . . 5
21 abelth.5 . . . . 5
2220, 21elrab2 3054 . . . 4
234, 9, 22sylanbrc 646 . . 3
24 elsn 3789 . . . . . . . . . 10
2524necon3bbii 2598 . . . . . . . . 9
26 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . 15
27 0cn 9040 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2928cnmetdval 18758 . . . . . . . . . . . . . . 15
3026, 27, 29sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14
3126subid1d 9356 . . . . . . . . . . . . . . 15
3231fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14
3330, 32eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13
34 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16
35 subcl 9261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
363, 26, 35sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3736abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
38 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
39 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4026abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
41 resubcl 9321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4239, 40, 41sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4338, 42remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4437, 43lenltd 9175 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4534, 44mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15
468adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
47 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4847necomd 2650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
49 subeq0 9283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5049necon3bid 2602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
513, 26, 50sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5248, 51mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
53 absgt0 12083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5436, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5552, 54mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5646, 55eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
57 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5811, 57syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5958oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6059breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6156, 60syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6261necon3bd 2604 . . . . . . . . . . . . . . 15
6345, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14
6439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 resubcl 9321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6640, 39, 65sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6715oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
68 abs2dif 12091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6926, 3, 68sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7067, 69syl5eqbrr 4206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
71 abssub 12085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7226, 3, 71sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7370, 72breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7466, 37, 43, 73, 34letrd 9183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7540, 64, 43lesubaddd 9579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7674, 75mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
777adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
783a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7938, 40remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8079recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8177, 78, 80addsubd 9388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8240recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8377, 78, 82subdid 9445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8477mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8584oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8683, 85eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8786oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8881, 87eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8976, 88breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
90 peano2re 9195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9138, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9279, 40, 91leaddsub2d 9584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9389, 92mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9477, 78, 82adddird 9069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9582mulid2d 9062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9695oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9794, 96eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9891recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9998mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10093, 97, 993brtr4d 4202 . . . . . . . . . . . . . . . 16
101 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
103 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10438ltp1d 9897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105102, 38, 91, 103, 104lelttrd 9184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
106 lemul2 9819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10740, 64, 91, 105, 106syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108100, 107mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . 15
10940, 64, 108leltned 9180 . . . . . . . . . . . . . 14
11063, 109mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13
11133, 110eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . 12
112 cnxmet 18760 . . . . . . . . . . . . . 14
113 1rp 10572 . . . . . . . . . . . . . . 15
114 rpxr 10575 . . . . . . . . . . . . . . 15
115113, 114ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
116 elbl3 18375 . . . . . . . . . . . . . 14
117112, 115, 116mpanl12 664 . . . . . . . . . . . . 13
11827, 26, 117sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12
119111, 118mpbird 224 . . . . . . . . . . 11
120119expr 599 . . . . . . . . . 10
1211203impb 1149 . . . . . . . . 9
12225, 121syl5bi 209 . . . . . . . 8
123122orrd 368 . . . . . . 7
124 elun 3448 . . . . . . 7
125123, 124sylibr 204 . . . . . 6
126125rabssdv 3383 . . . . 5
12721, 126syl5eqss 3352 . . . 4
128 ssundif 3671 . . . 4
129127, 128sylib 189 . . 3
13023, 129jca 519 . 2
1311, 2, 130syl2anc 643 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  crab 2670   cdif 3277   cun 3278   wss 3280  csn 3774   class class class wbr 4172   cdm 4837   ccom 4841  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc 8944  cr 8945  cc0 8946  c1 8947   caddc 8949   cmul 8951  cxr 9075   clt 9076   cle 9077   cmin 9247  cn0 10177  crp 10568   cseq 11278  cabs 11994   cli 12233  cxmt 16641  cbl 16643 This theorem is referenced by:  abelthlem3  20302  abelthlem6  20305  abelthlem7  20307  abelthlem8  20308  abelthlem9  20309  abelth  20310 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-xadd 10667  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652
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