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Theorem abelthlem2 21897
Description: Lemma for abelth 21906. The peculiar region  S, known as a Stolz angle , is a teardrop-shaped subset of the closed unit ball containing  1. Indeed, except for  1 itself, the rest of the Stolz angle is enclosed in the open unit ball. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
abelthlem2  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
Distinct variable groups:    z, M    z, A
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)

Proof of Theorem abelthlem2
StepHypRef Expression
1 abelth.3 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
2 abelth.4 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
3 ax-1cn 9340 . . . . 5  |-  1  e.  CC
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
1  e.  CC )
5 0le0 10411 . . . . 5  |-  0  <_  0
6 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  ->  M  e.  RR )
76recnd 9412 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  ->  M  e.  CC )
87mul01d 9568 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
( M  x.  0 )  =  0 )
95, 8syl5breqr 4328 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
0  <_  ( M  x.  0 ) )
10 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
1  -  z )  =  ( 1  -  1 ) )
11 1m1e0 10390 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  1 )  =  0
1210, 11syl6eq 2491 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  ->  (
1  -  z )  =  0 )
1312abs00bd 12780 . . . . . 6  |-  ( z  =  1  ->  ( abs `  ( 1  -  z ) )  =  0 )
14 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  ( abs `  z )  =  ( abs `  1
) )
15 abs1 12786 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  1 )  =  1
1614, 15syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  ( abs `  z )  =  1 )
1716oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
1  -  ( abs `  z ) )  =  ( 1  -  1 ) )
1817, 11syl6eq 2491 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  ->  (
1  -  ( abs `  z ) )  =  0 )
1918oveq2d 6107 . . . . . 6  |-  ( z  =  1  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  =  ( M  x.  0 ) )
2013, 19breq12d 4305 . . . . 5  |-  ( z  =  1  ->  (
( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <->  0  <_  ( M  x.  0 ) ) )
21 abelth.5 . . . . 5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
2220, 21elrab2 3119 . . . 4  |-  ( 1  e.  S  <->  ( 1  e.  CC  /\  0  <_  ( M  x.  0 ) ) )
234, 9, 22sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
1  e.  S )
24 elsn 3891 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  { 1 }  <-> 
z  =  1 )
2524necon3bbii 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  z  e.  { 1 }  <->  z  =/=  1
)
26 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  z  e.  CC )
27 0cn 9378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  CC
28 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
2928cnmetdval 20350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( z ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( z  -  0 ) ) )
3026, 27, 29sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  (
z  -  0 ) ) )
3126subid1d 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z  -  0 )  =  z )
3231fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  ( z  - 
0 ) )  =  ( abs `  z
) )
3330, 32eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  z
) )
34 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_ 
( M  x.  (
1  -  ( abs `  z ) ) ) )
35 subcl 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( 1  -  z
)  e.  CC )
363, 26, 35sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  -  z )  e.  CC )
3736abscld 12922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  ( 1  -  z ) )  e.  RR )
38 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  M  e.  RR )
39 1re 9385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
4026abscld 12922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  e.  RR )
41 resubcl 9673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( abs `  z )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( abs `  z ) )  e.  RR )
4239, 40, 41sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  -  ( abs `  z ) )  e.  RR )
4338, 42remulcld 9414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  e.  RR )
4437, 43lenltd 9520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <->  -.  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <  ( abs `  ( 1  -  z
) ) ) )
4534, 44mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  -.  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  z ) ) )  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
468adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  0 )  =  0 )
47 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  z  =/=  1 )
4847necomd 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  1  =/=  z )
49 subeq0 9635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  z )  =  0  <->  1  =  z ) )
5049necon3bid 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  z )  =/=  0  <->  1  =/=  z ) )
513, 26, 50sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( 1  -  z
)  =/=  0  <->  1  =/=  z ) )
5248, 51mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  -  z )  =/=  0 )
53 absgt0 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  -  z )  e.  CC  ->  (
( 1  -  z
)  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) ) )
5436, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( 1  -  z
)  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) ) )
5552, 54mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  0  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
5646, 55eqbrtrd 4312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  0 )  <  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
57 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  =  ( abs `  z
)  ->  ( 1  -  1 )  =  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )
5811, 57syl5eqr 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  =  ( abs `  z
)  ->  0  =  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )
5958oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  =  ( abs `  z
)  ->  ( M  x.  0 )  =  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )
6059breq1d 4302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  =  ( abs `  z
)  ->  ( ( M  x.  0 )  <  ( abs `  (
1  -  z ) )  <->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <  ( abs `  ( 1  -  z
) ) ) )
6156, 60syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  =  ( abs `  z )  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  < 
( abs `  (
1  -  z ) ) ) )
6261necon3bd 2645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( -.  ( M  x.  (
1  -  ( abs `  z ) ) )  <  ( abs `  (
1  -  z ) )  ->  1  =/=  ( abs `  z ) ) )
6345, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  1  =/=  ( abs `  z
) )
6439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  1  e.  RR )
65 resubcl 9673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( abs `  z
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  z
)  -  1 )  e.  RR )
6640, 39, 65sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  1 )  e.  RR )
6715oveq2i 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( abs `  z )  -  ( abs `  1
) )  =  ( ( abs `  z
)  -  1 )
68 abs2dif 12820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( abs `  z
)  -  ( abs `  1 ) )  <_  ( abs `  (
z  -  1 ) ) )
6926, 3, 68sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  ( abs `  1 ) )  <_  ( abs `  (
z  -  1 ) ) )
7067, 69syl5eqbrr 4326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  1 )  <_  ( abs `  (
z  -  1 ) ) )
71 abssub 12814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( abs `  (
z  -  1 ) )  =  ( abs `  ( 1  -  z
) ) )
7226, 3, 71sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  ( z  - 
1 ) )  =  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
7370, 72breqtrd 4316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  1 )  <_  ( abs `  (
1  -  z ) ) )
7466, 37, 43, 73, 34letrd 9528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  -  1 )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )
7540, 64, 43lesubaddd 9936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( ( abs `  z
)  -  1 )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  <->  ( abs `  z
)  <_  ( ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  +  1 ) ) )
7674, 75mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  <_ 
( ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  +  1 ) )
777adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  M  e.  CC )
783a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  1  e.  CC )
7938, 40remulcld 9414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( abs `  z ) )  e.  RR )
8079recnd 9412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( abs `  z ) )  e.  CC )
8177, 78, 80addsubd 9740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z
) ) )  =  ( ( M  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) )  +  1 ) )
8240recnd 9412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  e.  CC )
8377, 78, 82subdid 9800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  =  ( ( M  x.  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) )
8477mulid1d 9403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  1 )  =  M )
8584oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  x.  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z
) ) )  =  ( M  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) )
8683, 85eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  =  ( M  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) )
8786oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  x.  (
1  -  ( abs `  z ) ) )  +  1 )  =  ( ( M  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) )  +  1 ) )
8881, 87eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z
) ) )  =  ( ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) )  +  1 ) )
8976, 88breqtrrd 4318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  <_ 
( ( M  + 
1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) )
90 peano2re 9542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
9138, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
9279, 40, 91leaddsub2d 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( ( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( abs `  z ) )  <_ 
( M  +  1 )  <->  ( abs `  z
)  <_  ( ( M  +  1 )  -  ( M  x.  ( abs `  z ) ) ) ) )
9389, 92mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( abs `  z
) )  <_  ( M  +  1 ) )
9477, 78, 82adddird 9411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( abs `  z ) )  =  ( ( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( 1  x.  ( abs `  z
) ) ) )
9582mulid2d 9404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
1  x.  ( abs `  z ) )  =  ( abs `  z
) )
9695oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( 1  x.  ( abs `  z
) ) )  =  ( ( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( abs `  z ) ) )
9794, 96eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( abs `  z ) )  =  ( ( M  x.  ( abs `  z ) )  +  ( abs `  z ) ) )
9891recnd 9412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
9998mulid1d 9403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  x.  1 )  =  ( M  + 
1 ) )
10093, 97, 993brtr4d 4322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( M  +  1 )  x.  ( abs `  z ) )  <_ 
( ( M  + 
1 )  x.  1 ) )
101 0red 9387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  0  e.  RR )
102 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  0  <_  M )
10338ltp1d 10263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
104101, 38, 91, 102, 103lelttrd 9529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  0  <  ( M  +  1 ) )
105 lemul2 10182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  z
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( M  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( M  + 
1 ) ) )  ->  ( ( abs `  z )  <_  1  <->  ( ( M  +  1 )  x.  ( abs `  z ) )  <_ 
( ( M  + 
1 )  x.  1 ) ) )
10640, 64, 91, 104, 105syl112anc 1222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  <_  1  <->  ( ( M  +  1 )  x.  ( abs `  z
) )  <_  (
( M  +  1 )  x.  1 ) ) )
107100, 106mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  <_ 
1 )
10840, 64, 107leltned 9525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
( abs `  z
)  <  1  <->  1  =/=  ( abs `  z ) ) )
10963, 108mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  ( abs `  z )  <  1 )
11033, 109eqbrtrd 4312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z ( abs  o.  -  ) 0 )  <  1 )
111 cnxmet 20352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
112 1rp 10995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR+
113 rpxr 10998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
114112, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR*
115 elbl3 19967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( z
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
116111, 114, 115mpanl12 682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( z
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
11727, 26, 116sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  (
z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( z
( abs  o.  -  )
0 )  <  1
) )
118110, 117mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( ( z  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) )  /\  z  =/=  1
) )  ->  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
119118expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) ) )  -> 
( z  =/=  1  ->  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
1201193impb 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )  ->  (
z  =/=  1  -> 
z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
12125, 120syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )  ->  ( -.  z  e.  { 1 }  ->  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
122121orrd 378 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )  ->  (
z  e.  { 1 }  \/  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
123 elun 3497 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  <->  ( z  e.  { 1 }  \/  z  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
124122, 123sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  z  e.  CC  /\  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) )  ->  z  e.  ( { 1 }  u.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 ) ) )
125124rabssdv 3432 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  ->  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }  C_  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
12621, 125syl5eqss 3400 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  ->  S  C_  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
127 ssundif 3762 . . . 4  |-  ( S 
C_  ( { 1 }  u.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )  <->  ( S  \  { 1 } ) 
C_  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 ) )
128126, 127sylib 196 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
12923, 128jca 532 . 2  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
1301, 2, 129syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   {crab 2719    \ cdif 3325    u. cun 3326    C_ wss 3328   {csn 3877   class class class wbr 4292   dom cdm 4840    o. ccom 4844   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419    - cmin 9595   NN0cn0 10579   RR+crp 10991    seqcseq 11806   abscabs 12723    ~~> cli 12962   *Metcxmt 17801   ballcbl 17803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-xadd 11090  df-seq 11807  df-exp 11866  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812
This theorem is referenced by:  abelthlem3  21898  abelthlem6  21901  abelthlem7  21903  abelthlem8  21904  abelthlem9  21905  abelth  21906
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