MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem1 Structured version   Unicode version

Theorem abelthlem1 21901
Description: Lemma for abelth 21911. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
abelthlem1  |-  ( ph  ->  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    z, n, r, A    ph, n, r
Allowed substitution hint:    ph( z)

Proof of Theorem abelthlem1
StepHypRef Expression
1 abs1 12791 . 2  |-  ( abs `  1 )  =  1
2 eqid 2443 . . 3  |-  ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) )
3 abelth.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
4 eqid 2443 . . 3  |-  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( z  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( z ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
5 1cnd 9407 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
63feqmptd 5749 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =  ( n  e.  NN0  |->  ( A `
 n ) ) )
73ffvelrnda 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A `  n )  e.  CC )
87mulid1d 9408 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  1 )  =  ( A `  n ) )
98mpteq2dva 4383 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  1 ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( A `
 n ) ) )
106, 9eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  1 ) ) )
11 ax-1cn 9345 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
12 oveq1 6103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  1  ->  (
z ^ n )  =  ( 1 ^ n ) )
13 nn0z 10674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
14 1exp 11898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
1612, 15sylan9eq 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  1  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( z ^ n
)  =  1 )
1716oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  1  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  n )  x.  (
z ^ n ) )  =  ( ( A `  n )  x.  1 ) )
1817mpteq2dva 4383 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  1 ) ) )
19 nn0ex 10590 . . . . . . . . 9  |-  NN0  e.  _V
2019mptex 5953 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  1 ) )  e.  _V
2118, 2, 20fvmpt 5779 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
z ^ n ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  1 ) ) )
2211, 21ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  1 )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  1 ) )
2310, 22syl6eqr 2493 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  1 ) )
2423seqeq3d 11819 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  =  seq 0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  1 ) ) )
25 abelth.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
2624, 25eqeltrrd 2518 . . 3  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  1 ) )  e.  dom  ~~>  )
272, 3, 4, 5, 26radcnvle 21890 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  1
)  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
281, 27syl5eqbrr 4331 1  |-  ( ph  ->  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( z  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( z ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2724   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   dom cdm 4845   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   supcsup 7695   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292   RR*cxr 9422    < clt 9423    <_ cle 9424   NN0cn0 10584   ZZcz 10651    seqcseq 11811   ^cexp 11870   abscabs 12728    ~~> cli 12967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169
This theorem is referenced by:  abelthlem3  21903  abelth  21911
  Copyright terms: Public domain W3C validator