MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelth2 Structured version   Unicode version

Theorem abelth2 21910
Description: Abel's theorem, restricted to the  [ 0 ,  1 ] interval. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth2.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth2.2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth2.3  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
Assertion
Ref Expression
abelth2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, n, A    ph, n, x
Allowed substitution hints:    F( x, n)

Proof of Theorem abelth2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unitssre 11435 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
2 ax-resscn 9342 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
31, 2sstri 3368 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  CC
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] 1
)  C_  CC )
5 1re 9388 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
6 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  z  e.  ( 0 [,] 1
) )
7 0re 9389 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
87, 5elicc2i 11364 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( z  e.  RR  /\  0  <_ 
z  /\  z  <_  1 ) )
96, 8sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
z  e.  RR  /\  0  <_  z  /\  z  <_  1 ) )
109simp1d 1000 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  z  e.  RR )
11 resubcl 9676 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( 1  -  z
)  e.  RR )
125, 10, 11sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1  -  z )  e.  RR )
1312leidd 9909 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1  -  z )  <_  ( 1  -  z ) )
14 1red 9404 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  1  e.  RR )
159simp3d 1002 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  z  <_  1 )
1610, 14, 15abssubge0d 12921 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( abs `  ( 1  -  z ) )  =  ( 1  -  z
) )
179simp2d 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  0  <_  z )
1810, 17absidd 12912 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( abs `  z )  =  z )
1918oveq2d 6110 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1  -  ( abs `  z ) )  =  ( 1  -  z
) )
2019oveq2d 6110 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  =  ( 1  x.  (
1  -  z ) ) )
2112recnd 9415 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1  -  z )  e.  CC )
2221mulid2d 9407 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1  x.  ( 1  -  z ) )  =  ( 1  -  z ) )
2320, 22eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) )  =  ( 1  -  z
) )
2413, 16, 233brtr4d 4325 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_ 
( 1  x.  (
1  -  ( abs `  z ) ) ) )
254, 24ssrabdv 3434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] 1
)  C_  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  (
1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) } )
26 resmpt 5159 . . . 4  |-  ( ( 0 [,] 1 ) 
C_  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  (
1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) }  ->  ( ( x  e.  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  (
1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) } 
|->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  (
0 [,] 1 ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) ) ) )
2725, 26syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
{ z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( 1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) } 
|->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  (
0 [,] 1 ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) ) ) )
28 abelth2.3 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
2927, 28syl6eqr 2493 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
{ z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( 1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) } 
|->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  (
0 [,] 1 ) )  =  F )
30 abelth2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
31 abelth2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
32 1red 9404 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
33 0le1 9866 . . . . 5  |-  0  <_  1
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
35 eqid 2443 . . . 4  |-  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_  ( 1  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }  =  {
z  e.  CC  | 
( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( 1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) }
36 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  (
1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) } 
|->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  =  ( x  e.  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_  ( 1  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) ) )
3730, 31, 32, 34, 35, 36abelth 21909 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
z  e.  CC  | 
( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( 1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) } 
|->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  e.  ( { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( 1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) }
-cn-> CC ) )
38 rescncf 20476 . . 3  |-  ( ( 0 [,] 1 ) 
C_  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  (
1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) }  ->  ( ( x  e.  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z
) )  <_  (
1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) } 
|->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  e.  ( { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( 1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) }
-cn-> CC )  ->  (
( x  e.  {
z  e.  CC  | 
( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( 1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) } 
|->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  (
0 [,] 1 ) )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) ) )
3925, 37, 38sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
{ z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( 1  x.  ( 1  -  ( abs `  z
) ) ) } 
|->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  (
0 [,] 1 ) )  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
4029, 39eqeltrrd 2518 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( 0 [,] 1 )
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2722    C_ wss 3331   class class class wbr 4295    e. cmpt 4353   dom cdm 4843    |` cres 4845   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   CCcc 9283   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286    + caddc 9288    x. cmul 9290    <_ cle 9422    - cmin 9598   NN0cn0 10582   [,]cicc 11306    seqcseq 11809   ^cexp 11868   abscabs 12726    ~~> cli 12965   sum_csu 13166   -cn->ccncf 20455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-seq 11810  df-exp 11869  df-hash 12107  df-shft 12559  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-limsup 12952  df-clim 12969  df-rlim 12970  df-sum 13167  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-hom 14265  df-cco 14266  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-prds 14389  df-xrs 14443  df-qtop 14448  df-imas 14449  df-xps 14451  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-submnd 15468  df-mulg 15551  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-cnfld 17822  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-t1 18921  df-haus 18922  df-tx 19138  df-hmeo 19331  df-xms 19898  df-ms 19899  df-tms 19900  df-cncf 20457  df-ulm 21845
This theorem is referenced by:  leibpi  22340
  Copyright terms: Public domain W3C validator