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Theorem abelth 23394
 Description: Abel's theorem. If the power series is convergent at , then it is equal to the limit from "below", along a Stolz angle (note that the case of a Stolz angle is the real line ). (Continuity on follows more generally from psercn 23379.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1
abelth.2
abelth.3
abelth.4
abelth.5
abelth.6
Assertion
Ref Expression
abelth
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)

Proof of Theorem abelth
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . 4
2 abelth.2 . . . 4
3 abelth.3 . . . 4
4 abelth.4 . . . 4
5 abelth.5 . . . 4
6 abelth.6 . . . 4
71, 2, 3, 4, 5, 6abelthlem4 23387 . . 3
81, 2, 3, 4, 5, 6abelthlem9 23393 . . . . . . . . . 10
91, 2, 3, 4, 5abelthlem2 23385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1110ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1311, 12ovresd 6451 . . . . . . . . . . . . . . 15
14 ax-1cn 9604 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15 ssrab2 3546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
165, 15eqsstri 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1716, 12sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . . 16
18 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1918cnmetdval 21789 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2014, 17, 19sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . 15
2113, 20eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . 14
2221breq1d 4433 . . . . . . . . . . . . 13
237ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2423, 11ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15
257adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2625ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15
2718cnmetdval 21789 . . . . . . . . . . . . . . 15
2824, 26, 27syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14
2928breq1d 4433 . . . . . . . . . . . . 13
3022, 29imbi12d 321 . . . . . . . . . . . 12
3130ralbidva 2858 . . . . . . . . . . 11
3231rexbidv 2936 . . . . . . . . . 10
338, 32mpbird 235 . . . . . . . . 9
3433ralrimiva 2836 . . . . . . . 8
35 cnxmet 21791 . . . . . . . . . . 11
36 xmetres2 21374 . . . . . . . . . . 11
3735, 16, 36mp2an 676 . . . . . . . . . 10
3837a1i 11 . . . . . . . . 9
3935a1i 11 . . . . . . . . 9
40 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12
41 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13 fld fld
4241cnfldtopn 21800 . . . . . . . . . . . 12 fld
43 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12
4440, 42, 43metrest 21537 . . . . . . . . . . 11 fldt
4535, 16, 44mp2an 676 . . . . . . . . . 10 fldt
4645, 42metcnp 21554 . . . . . . . . 9 fldt fld
4738, 39, 10, 46syl3anc 1264 . . . . . . . 8 fldt fld
487, 34, 47mpbir2and 930 . . . . . . 7 fldt fld
4948ad2antrr 730 . . . . . 6 fldt fld
50 simpr 462 . . . . . . 7
5150fveq2d 5885 . . . . . 6 fldt fld fldt fld
5249, 51eleqtrrd 2510 . . . . 5 fldt fld
53 eldifsn 4125 . . . . . . 7
549simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 abscl 13341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5655adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5756a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
58 absge0 13350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5958adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6059a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
611, 2abelthlem1 23384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6261adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6356rexrd 9697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
64 1re 9649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
65 rexr 9693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6664, 65mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
67 iccssxr 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
68 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
69 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7068, 1, 69radcnvcl 23370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7167, 70sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7271adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
73 xrltletr 11461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7463, 66, 72, 73syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7562, 74mpan2d 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7657, 60, 753jcad 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
77 0cn 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7818cnmetdval 21789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7977, 78mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
80 abssub 13389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8177, 80mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
82 subid1 9901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8382fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8479, 81, 833eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8584breq1d 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8685adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
87 0re 9650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
88 elico2 11705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8987, 72, 88sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9076, 86, 893imtr4d 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9190imdistanda 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9264rexri 9700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93 elbl 21401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9435, 77, 92, 93mp3an 1360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
95 absf 13400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
96 ffn 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
97 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9895, 96, 97mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9991, 94, 983imtr4g 273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10099ssrdv 3470 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10154, 100sstrd 3474 . . . . . . . . . . . . . . 15
102101resmptd 5175 . . . . . . . . . . . . . 14
1036reseq1i 5120 . . . . . . . . . . . . . . 15
104 difss 3592 . . . . . . . . . . . . . . . 16
105 resmpt 5173 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106104, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
107103, 106eqtri 2451 . . . . . . . . . . . . . 14
108102, 107syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . . . 13
109 cnvimass 5207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11095fdmi 5751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
111109, 110sseqtri 3496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112111sseli 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11368pserval2 23364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114113sumeq2dv 13768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
115 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
116 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
117115, 116oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
118117cbvsumv 13761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119114, 118syl6reqr 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
120112, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121120mpteq2ia 4506 . . . . . . . . . . . . . . 15
122 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . 15
123 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . 15
12468, 121, 1, 69, 122, 123psercn 23379 . . . . . . . . . . . . . 14
125 rescncf 21927 . . . . . . . . . . . . . 14
126101, 124, 125sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13
127108, 126eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . . . 12
128127adantr 466 . . . . . . . . . . 11
129104, 16sstri 3473 . . . . . . . . . . . 12
130 ssid 3483 . . . . . . . . . . . 12
131 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13 fldt fldt
13241cnfldtop 21802 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld
13341cnfldtopon 21801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 fld TopOn
134133toponunii 19945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 fld
135134restid 15331 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld fldt fld
136132, 135ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt fld
137136eqcomi 2435 . . . . . . . . . . . . 13 fld fldt
13841, 131, 137cncfcn 21939 . . . . . . . . . . . 12 fldt fld
139129, 130, 138mp2an 676 . . . . . . . . . . 11 fldt fld
140128, 139syl6eleq 2517 . . . . . . . . . 10 fldt fld
141 simpr 462 . . . . . . . . . 10
142 resttopon 20175 . . . . . . . . . . . . 13 fld TopOn fldt TopOn
143133, 129, 142mp2an 676 . . . . . . . . . . . 12 fldt TopOn
144143toponunii 19945 . . . . . . . . . . 11 fldt
145144cncnpi 20292 . . . . . . . . . 10 fldt fld fldt fld
146140, 141, 145syl2anc 665 . . . . . . . . 9 fldt fld
147 cnex 9627 . . . . . . . . . . . . 13
148147, 16ssexi 4569 . . . . . . . . . . . 12
149 restabs 20179 . . . . . . . . . . . 12 fld fldt t fldt
150132, 104, 148, 149mp3an 1360 . . . . . . . . . . 11 fldt t fldt
151150oveq1i 6315 . . . . . . . . . 10 fldt t fld fldt fld
152151fveq1i 5882 . . . . . . . . 9 fldt t fld fldt fld
153146, 152syl6eleqr 2518 . . . . . . . 8 fldt t fld
154 resttop 20174 . . . . . . . . . . 11 fld fldt
155132, 148, 154mp2an 676 . . . . . . . . . 10 fldt
156155a1i 11 . . . . . . . . 9 fldt
157104a1i 11 . . . . . . . . 9
15810snssd 4145 . . . . . . . . . . . . 13
15941cnfldhaus 21803 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld
160134sncld 20385 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld fld
161159, 14, 160mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . 14 fld
162134restcldi 20187 . . . . . . . . . . . . . 14 fld fldt
16316, 161, 162mp3an12 1350 . . . . . . . . . . . . 13 fldt
164134restuni 20176 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld fldt
165132, 16, 164mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt
166165cldopn 20044 . . . . . . . . . . . . 13 fldt fldt
167158, 163, 1663syl 18 . . . . . . . . . . . 12 fldt
168165isopn3 20080 . . . . . . . . . . . . 13 fldt fldt fldt
169155, 104, 168mp2an 676 . . . . . . . . . . . 12 fldt fldt
170167, 169sylib 199 . . . . . . . . . . 11 fldt
171170eleq2d 2492 . . . . . . . . . 10 fldt
172171biimpar 487 . . . . . . . . 9 fldt
1737adantr 466 . . . . . . . . 9
174165, 134cnprest 20303 . . . . . . . . 9 fldt fldt fldt fld fldt t fld
175156, 157, 172, 173, 174syl22anc 1265 . . . . . . . 8 fldt fld fldt t fld
176153, 175mpbird 235 . . . . . . 7 fldt fld
17753, 176sylan2br 478 . . . . . 6 fldt fld
178177anassrs 652 . . . . 5 fldt fld
17952, 178pm2.61dane 2738 . . . 4 fldt fld
180179ralrimiva 2836 . . 3 fldt fld
181 resttopon 20175 . . . . 5 fld TopOn fldt TopOn
182133, 16, 181mp2an 676 . . . 4 fldt TopOn
183 cncnp 20294 . . . 4 fldt TopOn fld TopOn fldt fld fldt fld
184182, 133, 183mp2an 676 . . 3 fldt fld fldt fld
1857, 180, 184sylanbrc 668 . 2 fldt fld
186 eqid 2422 . . . 4 fldt fldt
18741, 186, 137cncfcn 21939 . . 3 fldt fld
18816, 130, 187mp2an 676 . 2 fldt fld
189185, 188syl6eleqr 2518 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872   wne 2614  wral 2771  wrex 2772  crab 2775  cvv 3080   cdif 3433   wss 3436  cif 3911  csn 3998  cuni 4219   class class class wbr 4423   cmpt 4482   cxp 4851  ccnv 4852   cdm 4853   cres 4855  cima 4856   ccom 4857   wfn 5596  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  csup 7963  cc 9544  cr 9545  cc0 9546  c1 9547   caddc 9549   cmul 9551   cpnf 9679  cxr 9681   clt 9682   cle 9683   cmin 9867   cdiv 10276  c2 10666  cn0 10876  crp 11309  cico 11644  cicc 11645   cseq 12219  cexp 12278  cabs 13297   cli 13547  csu 13751   ↾t crest 15318  ctopn 15319  cxmt 18954  cbl 18956  cmopn 18959  ℂfldccnfld 18969  ctop 19915  TopOnctopon 19916  ccld 20029  cnt 20030   ccn 20238   ccnp 20239  cha 20322  ccncf 21906 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13525  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-xrs 15399  df-qtop 15405  df-imas 15406  df-xps 15409  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-submnd 16582  df-mulg 16675  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-t1 20328  df-haus 20329  df-tx 20575  df-hmeo 20768  df-xms 21333  df-ms 21334  df-tms 21335  df-cncf 21908  df-ulm 23330 This theorem is referenced by:  abelth2  23395
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