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Theorem abelth 22962
Description: Abel's theorem. If the power series  sum_ n  e.  NN0 A ( n ) ( x ^ n
) is convergent at  1, then it is equal to the limit from "below", along a Stolz angle  S (note that the  M  =  1 case of a Stolz angle is the real line  [ 0 ,  1 ]). (Continuity on  S  \  { 1 } follows more generally from psercn 22947.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
Assertion
Ref Expression
abelth  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, n, z, M    A, n, x, z    ph, n, x    S, n, x
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, n)

Proof of Theorem abelth
Dummy variables  j  w  y  r  t 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2 abelth.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
3 abelth.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4 abelth.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
5 abelth.5 . . . 4  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
6 abelth.6 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6abelthlem4 22955 . . 3  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
81, 2, 3, 4, 5, 6abelthlem9 22961 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  r ) )
91, 2, 3, 4, 5abelthlem2 22953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
109simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  S )
1110ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  1  e.  S )
12 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
1311, 12ovresd 6442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  (
1 ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  =  ( 1 ( abs  o.  -  ) y ) )
14 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
15 ssrab2 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }  C_  CC
165, 15eqsstri 3529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  S  C_  CC
1716, 12sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  CC )
18 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
1918cnmetdval 21404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 1 ( abs 
o.  -  ) y
)  =  ( abs `  ( 1  -  y
) ) )
2014, 17, 19sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  (
1 ( abs  o.  -  ) y )  =  ( abs `  (
1  -  y ) ) )
2113, 20eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  (
1 ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  =  ( abs `  ( 1  -  y ) ) )
2221breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  (
( 1 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) y )  <  w  <->  ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w
) )
237ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  F : S --> CC )
2423, 11ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  1 )  e.  CC )
257adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  F : S
--> CC )
2625ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
2718cnmetdval 21404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  1
)  e.  CC  /\  ( F `  y )  e.  CC )  -> 
( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  =  ( abs `  ( ( F ` 
1 )  -  ( F `  y )
) ) )
2824, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  (
( F `  1
) ( abs  o.  -  ) ( F `
 y ) )  =  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) ) )
2928breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  <  r  <->  ( abs `  ( ( F ` 
1 )  -  ( F `  y )
) )  <  r
) )
3022, 29imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( 1 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  <  w  -> 
( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  <  r )  <->  ( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  r ) ) )
3130ralbidva 2893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  S  (
( 1 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) y )  <  w  ->  (
( F `  1
) ( abs  o.  -  ) ( F `
 y ) )  <  r )  <->  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
w  ->  ( abs `  ( ( F ` 
1 )  -  ( F `  y )
) )  <  r
) ) )
3231rexbidv 2968 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( (
1 ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  <  w  ->  ( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  <  r )  <->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
w  ->  ( abs `  ( ( F ` 
1 )  -  ( F `  y )
) )  <  r
) ) )
338, 32mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( 1 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  <  w  ->  ( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  <  r )
)
3433ralrimiva 2871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( (
1 ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  <  w  ->  ( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  <  r )
)
35 cnxmet 21406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
36 xmetres2 20990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  S  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( *Met `  S ) )
3735, 16, 36mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) )  e.  ( *Met `  S
)
3837a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( *Met `  S ) )
3935a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
40 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )
41 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
4241cnfldtopn 21415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
43 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )
4440, 42, 43metrest 21153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  S  C_  CC )  -> 
( ( TopOpen ` fld )t  S )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) )
4535, 16, 44mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )
4645, 42metcnp 21170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( *Met `  S )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  1  e.  S )  ->  ( F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  1
)  <->  ( F : S
--> CC  /\  A. r  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( 1 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  <  w  -> 
( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  <  r )
) ) )
4738, 39, 10, 46syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  1 )  <->  ( F : S --> CC  /\  A. r  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( 1 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  <  w  ->  ( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  <  r )
) ) )
487, 34, 47mpbir2and 922 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  1
) )
4948ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  =  1 )  ->  F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  1
) )
50 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  =  1 )  -> 
y  =  1 )
5150fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  =  1 )  -> 
( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  1
) )
5249, 51eleqtrrd 2548 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  =  1 )  ->  F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
53 eldifsn 4157 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( S  \  { 1 } )  <-> 
( y  e.  S  /\  y  =/=  1
) )
549simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
55 abscl 13123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  CC  ->  ( abs `  w )  e.  RR )
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( abs `  w )  e.  RR )
5756a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( abs `  w )  <  1  ->  ( abs `  w )  e.  RR ) )
58 absge0 13132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  w
) )
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  0  <_ 
( abs `  w
) )
6059a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( abs `  w )  <  1  ->  0  <_  ( abs `  w
) ) )
611, 2abelthlem1 22952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0
(  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
t ^ n ) ) ) ) `  r ) )  e. 
dom 
~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
6356rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( abs `  w )  e.  RR* )
64 1re 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  RR
65 rexr 9656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
6664, 65mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  1  e. 
RR* )
67 iccssxr 11632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
68 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) )
69 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
7068, 1, 69radcnvcl 22938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7167, 70sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR* )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR* )
73 xrltletr 11385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( abs `  w
)  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR* )  ->  (
( ( abs `  w
)  <  1  /\  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( abs `  w
)  <  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )
7463, 66, 72, 73syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  w
)  <  1  /\  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( abs `  w
)  <  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )
7562, 74mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( abs `  w )  <  1  ->  ( abs `  w )  <  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0
(  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
t ^ n ) ) ) ) `  r ) )  e. 
dom 
~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )
7657, 60, 753jcad 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( abs `  w )  <  1  ->  (
( abs `  w
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  w
)  /\  ( abs `  w )  <  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
77 0cn 9605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  e.  CC
7818cnmetdval 21404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs 
o.  -  ) w
)  =  ( abs `  ( 0  -  w
) ) )
7977, 78mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  CC  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) w )  =  ( abs `  (
0  -  w ) ) )
80 abssub 13171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( abs `  (
0  -  w ) )  =  ( abs `  ( w  -  0 ) ) )
8177, 80mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  CC  ->  ( abs `  ( 0  -  w ) )  =  ( abs `  (
w  -  0 ) ) )
82 subid1 9858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  -  0 )  =  w )
8382fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  CC  ->  ( abs `  ( w  - 
0 ) )  =  ( abs `  w
) )
8479, 81, 833eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  CC  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) w )  =  ( abs `  w
) )
8584breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( 0 ( abs 
o.  -  ) w
)  <  1  <->  ( abs `  w )  <  1
) )
8685adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( 0 ( abs  o.  -  ) w )  <  1  <->  ( abs `  w )  <  1
) )
87 0re 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  RR
88 elico2 11613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0
(  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
t ^ n ) ) ) ) `  r ) )  e. 
dom 
~~>  } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  (
( abs `  w
)  e.  ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )  <-> 
( ( abs `  w
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  w
)  /\  ( abs `  w )  <  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
8987, 72, 88sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( abs `  w )  e.  ( 0 [,)
sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )  <-> 
( ( abs `  w
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  w
)  /\  ( abs `  w )  <  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
9076, 86, 893imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( 0 ( abs  o.  -  ) w )  <  1  ->  ( abs `  w )  e.  ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
9190imdistanda 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) w )  <  1 )  ->  (
w  e.  CC  /\  ( abs `  w )  e.  ( 0 [,)
sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) ) )
9264rexri 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR*
93 elbl 21017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( w  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) w )  <  1 ) ) )
9435, 77, 92, 93mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  <->  ( w  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) w )  <  1 ) )
95 absf 13182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  abs : CC
--> RR
96 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
97 elpreima 6008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( w  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  <->  ( w  e.  CC  /\  ( abs `  w )  e.  ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) ) )
9895, 96, 97mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  <->  ( w  e.  CC  /\  ( abs `  w )  e.  ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
9991, 94, 983imtr4g 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  ->  w  e.  ( `' abs " (
0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) ) )
10099ssrdv 3505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) 
C_  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
10154, 100sstrd 3509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
1 } )  C_  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
102101resmptd 5335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( `' abs " (
0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( x  e.  ( S 
\  { 1 } )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
1036reseq1i 5279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  |`  ( S  \  {
1 } ) )  =  ( ( x  e.  S  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) ) )  |`  ( S  \  { 1 } ) )
104 difss 3627 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
\  { 1 } )  C_  S
105 resmpt 5333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  \  { 1 } )  C_  S  ->  ( ( x  e.  S  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( x  e.  ( S 
\  { 1 } )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
106104, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  S  |->  sum_
n  e.  NN0  (
( A `  n
)  x.  ( x ^ n ) ) )  |`  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( x  e.  ( S  \  { 1 } ) 
|->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
107103, 106eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  |`  ( S  \  {
1 } ) )  =  ( x  e.  ( S  \  {
1 } )  |->  sum_
n  e.  NN0  (
( A `  n
)  x.  ( x ^ n ) ) )
108102, 107syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( `' abs " (
0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( F  |`  ( S  \  { 1 } ) ) )
109 cnvimass 5367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  C_  dom  abs
11095fdmi 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  abs  =  CC
111109, 110sseqtri 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  C_  CC
112111sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  x  e.  CC )
11368pserval2 22932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  x ) `
 j )  =  ( ( A `  j )  x.  (
x ^ j ) ) )
114113sumeq2dv 13537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  sum_ j  e.  NN0  ( ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  x ) `
 j )  = 
sum_ j  e.  NN0  ( ( A `  j )  x.  (
x ^ j ) ) )
115 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  j  ->  ( A `  n )  =  ( A `  j ) )
116 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  j  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
j ) )
117115, 116oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  j  ->  (
( A `  n
)  x.  ( x ^ n ) )  =  ( ( A `
 j )  x.  ( x ^ j
) ) )
118117cbvsumv 13530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ j  e.  NN0  ( ( A `  j )  x.  ( x ^
j ) )
119114, 118syl6reqr 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ j  e.  NN0  ( ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
t ^ n ) ) ) ) `  x ) `  j
) )
120112, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  sum_ n  e. 
NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ j  e.  NN0  ( ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
t ^ n ) ) ) ) `  x ) `  j
) )
121120mpteq2ia 4539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  =  ( x  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  x ) `
 j ) )
122 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  =  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )
123 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e.  RR ,  ( ( ( abs `  v
)  +  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )  /  2 ) ,  ( ( abs `  v
)  +  1 ) )  =  if ( sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e.  RR ,  ( ( ( abs `  v
)  +  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )  /  2 ) ,  ( ( abs `  v
)  +  1 ) )
12468, 121, 1, 69, 122, 123psercn 22947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  e.  ( ( `' abs " (
0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) -cn-> CC ) )
125 rescncf 21527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  \  { 1 } )  C_  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  e.  ( ( `' abs " (
0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) -cn-> CC )  ->  (
( x  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( S  \  {
1 } ) -cn-> CC ) ) )
126101, 124, 125sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( `' abs " (
0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( S  \  {
1 } ) -cn-> CC ) )
127108, 126eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( S  \  {
1 } ) -cn-> CC ) )
128127adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( S  \  {
1 } ) -cn-> CC ) )
129104, 16sstri 3508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
\  { 1 } )  C_  CC
130 ssid 3518 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
131 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( S  \  {
1 } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )
13241cnfldtop 21417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
13341cnfldtopon 21416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
134133toponunii 19560 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
135134restid 14851 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
136132, 135ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
137136eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
13841, 131, 137cncfcn 21539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  \  {
1 } )  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( ( S 
\  { 1 } ) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
139129, 130, 138mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  \  { 1 } ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( S  \  {
1 } ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
140128, 139syl6eleq 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
141 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
y  e.  ( S 
\  { 1 } ) )
142 resttopon 19789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( S  \  { 1 } )  C_  CC )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  e.  (TopOn `  ( S  \  { 1 } ) ) )
143133, 129, 142mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( S  \  {
1 } ) )  e.  (TopOn `  ( S  \  { 1 } ) )
144143toponunii 19560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
\  { 1 } )  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )
145144cncnpi 19906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  Cn  ( TopOpen ` fld )
)  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
146140, 141, 145syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
147 cnex 9590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  e.  _V
148147, 16ssexi 4601 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  e. 
_V
149 restabs 19793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )t  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( S  \  {
1 } ) ) )
150132, 104, 148, 149mp3an 1324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )t  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( S  \  {
1 } ) )
151150oveq1i 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )t  ( S  \  { 1 } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
)  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
)
152151fveq1i 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)t  ( S  \  {
1 } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
153146, 152syl6eleqr 2556 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )t  ( S  \  { 1 } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
)
154 resttop 19788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
155132, 148, 154mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top
156155a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
157104a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( S  \  {
1 } )  C_  S )
15810snssd 4177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { 1 }  C_  S )
15941cnfldhaus 21418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
160134sncld 19999 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Haus  /\  1  e.  CC )  ->  { 1 }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
161159, 14, 160mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { 1 }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
162134restcldi 19801 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  {
1 }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  {
1 }  C_  S
)  ->  { 1 }  e.  ( Clsd `  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) ) )
16316, 161, 162mp3an12 1314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { 1 }  C_  S  ->  { 1 }  e.  ( Clsd `  ( ( TopOpen
` fld
)t 
S ) ) )
164134restuni 19790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  C_  CC )  ->  S  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
165132, 16, 164mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  S
)
166165cldopn 19659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { 1 }  e.  (
Clsd `  ( ( TopOpen
` fld
)t 
S ) )  -> 
( S  \  {
1 } )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
167158, 163, 1663syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
1 } )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
168165isopn3 19694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  S )  ->  (
( S  \  {
1 } )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  <->  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) ) `  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( S  \  { 1 } ) ) )
169155, 104, 168mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  \  { 1 } )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  <->  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) ) `  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( S  \  { 1 } ) )
170167, 169sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( S  \  {
1 } ) )
171170eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( S  \  { 1 } ) )  <->  y  e.  ( S  \  { 1 } ) ) )
172171biimpar 485 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
y  e.  ( ( int `  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( S  \  { 1 } ) ) )
1737adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  ->  F : S --> CC )
174165, 134cnprest 19917 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  e.  Top  /\  ( S  \  { 1 } )  C_  S
)  /\  ( y  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( S  \  { 1 } ) )  /\  F : S --> CC ) )  ->  ( F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
)  <->  ( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )t  ( S  \  { 1 } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
) )
175156, 157, 172, 173, 174syl22anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )  <->  ( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)t  ( S  \  {
1 } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) )
176153, 175mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  ->  F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
17753, 176sylan2br 476 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  y  =/=  1 ) )  ->  F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
178177anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  =/=  1 )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
17952, 178pm2.61dane 2775 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
180179ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
181 resttopon 19789 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
182133, 16, 181mp2an 672 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )
183 cncnp 19908 . . . 4  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  /\  ( TopOpen
` fld
)  e.  (TopOn `  CC ) )  ->  ( F  e.  ( (
( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( F : S --> CC  /\  A. y  e.  S  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) ) ) )
184182, 133, 183mp2an 672 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( F : S --> CC  /\  A. y  e.  S  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) ) )
1857, 180, 184sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
186 eqid 2457 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  S )
18741, 186, 137cncfcn 21539 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( S -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
18816, 130, 187mp2an 672 . 2  |-  ( S
-cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
189185, 188syl6eleqr 2556 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   `'ccnv 5007   dom cdm 5008    |` cres 5010   "cima 5011    o. ccom 5012    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   2c2 10606   NN0cn0 10816   RR+crp 11245   [,)cico 11556   [,]cicc 11557    seqcseq 12110   ^cexp 12169   abscabs 13079    ~~> cli 13319   sum_csu 13520   ↾t crest 14838   TopOpenctopn 14839   *Metcxmt 18530   ballcbl 18532   MetOpencmopn 18535  ℂfldccnfld 18547   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   Clsdccld 19644   intcnt 19645    Cn ccn 19852    CnP ccnp 19853   Hauscha 19936   -cn->ccncf 21506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-t1 19942  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-ulm 22898
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