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Theorem abelth 21791
Description: Abel's theorem. If the power series  sum_ n  e.  NN0 A ( n ) ( x ^ n
) is convergent at  1, then it is equal to the limit from "below", along a Stolz angle  S (note that the  M  =  1 case of a Stolz angle is the real line  [ 0 ,  1 ]). (Continuity on  S  \  { 1 } follows more generally from psercn 21776.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
abelth.2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
abelth.3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abelth.4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
abelth.5  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
abelth.6  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
Assertion
Ref Expression
abelth  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, n, z, M    A, n, x, z    ph, n, x    S, n, x
Allowed substitution hints:    ph( z)    S( z)    F( x, z, n)

Proof of Theorem abelth
Dummy variables  j  w  y  r  t 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
2 abelth.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  A )  e. 
dom 
~~>  )
3 abelth.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4 abelth.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
5 abelth.5 . . . 4  |-  S  =  { z  e.  CC  |  ( abs `  (
1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }
6 abelth.6 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  S  |-> 
sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6abelthlem4 21784 . . 3  |-  ( ph  ->  F : S --> CC )
81, 2, 3, 4, 5, 6abelthlem9 21790 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  r ) )
91, 2, 3, 4, 5abelthlem2 21782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  S  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) ) )
109simpld 456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  S )
1110ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  1  e.  S )
12 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
1311, 12ovresd 6220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  (
1 ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  =  ( 1 ( abs  o.  -  ) y ) )
14 ax-1cn 9328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
15 ssrab2 3425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { z  e.  CC  |  ( abs `  ( 1  -  z ) )  <_  ( M  x.  ( 1  -  ( abs `  z ) ) ) }  C_  CC
165, 15eqsstri 3374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  S  C_  CC
1716, 12sseldi 3342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  CC )
18 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
1918cnmetdval 20192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 1 ( abs 
o.  -  ) y
)  =  ( abs `  ( 1  -  y
) ) )
2014, 17, 19sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  (
1 ( abs  o.  -  ) y )  =  ( abs `  (
1  -  y ) ) )
2113, 20eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  (
1 ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  =  ( abs `  ( 1  -  y ) ) )
2221breq1d 4290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  (
( 1 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) y )  <  w  <->  ( abs `  ( 1  -  y
) )  <  w
) )
237ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  F : S --> CC )
2423, 11ffvelrnd 5832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  1 )  e.  CC )
257adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  F : S
--> CC )
2625ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
2718cnmetdval 20192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  1
)  e.  CC  /\  ( F `  y )  e.  CC )  -> 
( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  =  ( abs `  ( ( F ` 
1 )  -  ( F `  y )
) ) )
2824, 26, 27syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  (
( F `  1
) ( abs  o.  -  ) ( F `
 y ) )  =  ( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) ) )
2928breq1d 4290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  <  r  <->  ( abs `  ( ( F ` 
1 )  -  ( F `  y )
) )  <  r
) )
3022, 29imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( 1 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  <  w  -> 
( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  <  r )  <->  ( ( abs `  (
1  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  1
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  r ) ) )
3130ralbidva 2721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  S  (
( 1 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) ) y )  <  w  ->  (
( F `  1
) ( abs  o.  -  ) ( F `
 y ) )  <  r )  <->  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
w  ->  ( abs `  ( ( F ` 
1 )  -  ( F `  y )
) )  <  r
) ) )
3231rexbidv 2726 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( (
1 ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  <  w  ->  ( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  <  r )  <->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( abs `  ( 1  -  y ) )  < 
w  ->  ( abs `  ( ( F ` 
1 )  -  ( F `  y )
) )  <  r
) ) )
338, 32mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( 1 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  <  w  ->  ( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  <  r )
)
3433ralrimiva 2789 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( (
1 ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  <  w  ->  ( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  <  r )
)
35 cnxmet 20194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
36 xmetres2 19778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  S  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( *Met `  S ) )
3735, 16, 36mp2an 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) )  e.  ( *Met `  S
)
3837a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( *Met `  S ) )
3935a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
40 eqid 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )
41 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
4241cnfldtopn 20203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
43 eqid 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )
4440, 42, 43metrest 19941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  S  C_  CC )  -> 
( ( TopOpen ` fld )t  S )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) ) )
4535, 16, 44mp2an 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) )
4645, 42metcnp 19958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) )  e.  ( *Met `  S )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  1  e.  S )  ->  ( F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  1
)  <->  ( F : S
--> CC  /\  A. r  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( 1 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  <  w  -> 
( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  <  r )
) ) )
4738, 39, 10, 46syl3anc 1211 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  1 )  <->  ( F : S --> CC  /\  A. r  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. y  e.  S  ( ( 1 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( S  X.  S ) ) y )  <  w  ->  ( ( F ` 
1 ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  y )
)  <  r )
) ) )
487, 34, 47mpbir2and 906 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  1
) )
4948ad2antrr 718 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  =  1 )  ->  F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  1
) )
50 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  =  1 )  -> 
y  =  1 )
5150fveq2d 5683 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  =  1 )  -> 
( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  1
) )
5249, 51eleqtrrd 2510 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  =  1 )  ->  F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
53 eldifsn 3988 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( S  \  { 1 } )  <-> 
( y  e.  S  /\  y  =/=  1
) )
549simprd 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
1 } )  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
55 abscl 12751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  CC  ->  ( abs `  w )  e.  RR )
5655adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( abs `  w )  e.  RR )
5756a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( abs `  w )  <  1  ->  ( abs `  w )  e.  RR ) )
58 absge0 12760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  w
) )
5958adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  0  <_ 
( abs `  w
) )
6059a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( abs `  w )  <  1  ->  0  <_  ( abs `  w
) ) )
611, 2abelthlem1 21781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
6261adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0
(  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
t ^ n ) ) ) ) `  r ) )  e. 
dom 
~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
6356rexrd 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( abs `  w )  e.  RR* )
64 1re 9373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  RR
65 rexr 9417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
6664, 65mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  1  e. 
RR* )
67 iccssxr 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
68 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) )
69 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
7068, 1, 69radcnvcl 21767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7167, 70sseldi 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR* )
7271adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR* )
73 xrltletr 11119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( abs `  w
)  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e. 
RR* )  ->  (
( ( abs `  w
)  <  1  /\  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( abs `  w
)  <  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )
7463, 66, 72, 73syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  w
)  <  1  /\  1  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( abs `  w
)  <  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )
7562, 74mpan2d 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( abs `  w )  <  1  ->  ( abs `  w )  <  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0
(  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
t ^ n ) ) ) ) `  r ) )  e. 
dom 
~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )
7657, 60, 753jcad 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( abs `  w )  <  1  ->  (
( abs `  w
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  w
)  /\  ( abs `  w )  <  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
77 0cn 9366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  e.  CC
7818cnmetdval 20192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs 
o.  -  ) w
)  =  ( abs `  ( 0  -  w
) ) )
7977, 78mpan 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  CC  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) w )  =  ( abs `  (
0  -  w ) ) )
80 abssub 12798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( abs `  (
0  -  w ) )  =  ( abs `  ( w  -  0 ) ) )
8177, 80mpan 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  CC  ->  ( abs `  ( 0  -  w ) )  =  ( abs `  (
w  -  0 ) ) )
82 subid1 9617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  -  0 )  =  w )
8382fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  CC  ->  ( abs `  ( w  - 
0 ) )  =  ( abs `  w
) )
8479, 81, 833eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  CC  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) w )  =  ( abs `  w
) )
8584breq1d 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( 0 ( abs 
o.  -  ) w
)  <  1  <->  ( abs `  w )  <  1
) )
8685adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( 0 ( abs  o.  -  ) w )  <  1  <->  ( abs `  w )  <  1
) )
87 0re 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  RR
88 elico2 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0
(  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
t ^ n ) ) ) ) `  r ) )  e. 
dom 
~~>  } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  (
( abs `  w
)  e.  ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )  <-> 
( ( abs `  w
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  w
)  /\  ( abs `  w )  <  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
8987, 72, 88sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( abs `  w )  e.  ( 0 [,)
sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )  <-> 
( ( abs `  w
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  w
)  /\  ( abs `  w )  <  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
9076, 86, 893imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( 0 ( abs  o.  -  ) w )  <  1  ->  ( abs `  w )  e.  ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
9190imdistanda 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) w )  <  1 )  ->  (
w  e.  CC  /\  ( abs `  w )  e.  ( 0 [,)
sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) ) )
9264rexri 9424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR*
93 elbl 19805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  (
w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( w  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) w )  <  1 ) ) )
9435, 77, 92, 93mp3an 1307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  <->  ( w  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) w )  <  1 ) )
95 absf 12809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  abs : CC
--> RR
96 ffn 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
97 elpreima 5811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( w  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  <->  ( w  e.  CC  /\  ( abs `  w )  e.  ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) ) )
9895, 96, 97mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  <->  ( w  e.  CC  /\  ( abs `  w )  e.  ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
9991, 94, 983imtr4g 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  ->  w  e.  ( `' abs " (
0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) ) )
10099ssrdv 3350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) 
C_  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
10154, 100sstrd 3354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
1 } )  C_  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
102 resmpt 5144 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  \  { 1 } )  C_  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( x  e.  ( S 
\  { 1 } )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
103101, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( `' abs " (
0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( x  e.  ( S 
\  { 1 } )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
1046reseq1i 5093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  |`  ( S  \  {
1 } ) )  =  ( ( x  e.  S  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) ) )  |`  ( S  \  { 1 } ) )
105 difss 3471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
\  { 1 } )  C_  S
106 resmpt 5144 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  \  { 1 } )  C_  S  ->  ( ( x  e.  S  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( x  e.  ( S 
\  { 1 } )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
107105, 106ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  S  |->  sum_
n  e.  NN0  (
( A `  n
)  x.  ( x ^ n ) ) )  |`  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( x  e.  ( S  \  { 1 } ) 
|->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )
108104, 107eqtri 2453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  |`  ( S  \  {
1 } ) )  =  ( x  e.  ( S  \  {
1 } )  |->  sum_
n  e.  NN0  (
( A `  n
)  x.  ( x ^ n ) ) )
109103, 108syl6eqr 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( `' abs " (
0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( F  |`  ( S  \  { 1 } ) ) )
110 cnvimass 5177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  C_  dom  abs
11195fdmi 5552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  abs  =  CC
112110, 111sseqtri 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  C_  CC
113112sseli 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  x  e.  CC )
11468pserval2 21761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  x ) `
 j )  =  ( ( A `  j )  x.  (
x ^ j ) ) )
115114sumeq2dv 13164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  sum_ j  e.  NN0  ( ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  x ) `
 j )  = 
sum_ j  e.  NN0  ( ( A `  j )  x.  (
x ^ j ) ) )
116 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  j  ->  ( A `  n )  =  ( A `  j ) )
117 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  j  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
j ) )
118116, 117oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  j  ->  (
( A `  n
)  x.  ( x ^ n ) )  =  ( ( A `
 j )  x.  ( x ^ j
) ) )
119118cbvsumv 13157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ j  e.  NN0  ( ( A `  j )  x.  ( x ^
j ) )
120115, 119syl6reqr 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ j  e.  NN0  ( ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
t ^ n ) ) ) ) `  x ) `  j
) )
121113, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  sum_ n  e. 
NN0  ( ( A `
 n )  x.  ( x ^ n
) )  =  sum_ j  e.  NN0  ( ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
t ^ n ) ) ) ) `  x ) `  j
) )
122121mpteq2ia 4362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  =  ( x  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ j  e.  NN0  ( ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  x ) `
 j ) )
123 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  =  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )
124 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e.  RR ,  ( ( ( abs `  v
)  +  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )  /  2 ) ,  ( ( abs `  v
)  +  1 ) )  =  if ( sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e.  RR ,  ( ( ( abs `  v
)  +  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) )  /  2 ) ,  ( ( abs `  v
)  +  1 ) )
12568, 122, 1, 69, 123, 124psercn 21776 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  e.  ( ( `' abs " (
0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) -cn-> CC ) )
126 rescncf 20315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  \  { 1 } )  C_  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  e.  ( ( `' abs " (
0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) ) -cn-> CC )  ->  (
( x  e.  ( `' abs " ( 0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( ( t  e.  CC  |->  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A `
 n )  x.  ( t ^ n
) ) ) ) `
 r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( S  \  {
1 } ) -cn-> CC ) ) )
127101, 125, 126sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( `' abs " (
0 [,) sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( ( t  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  ( t ^
n ) ) ) ) `  r ) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  ) ) )  |->  sum_ n  e.  NN0  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) )  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( S  \  {
1 } ) -cn-> CC ) )
128109, 127eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( S  \  {
1 } ) -cn-> CC ) )
129128adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( S  \  {
1 } ) -cn-> CC ) )
130105, 16sstri 3353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
\  { 1 } )  C_  CC
131 ssid 3363 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
132 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( S  \  {
1 } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )
13341cnfldtop 20205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
13441cnfldtopon 20204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
135134toponunii 18379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
136135restid 14355 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
137133, 136ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
138137eqcomi 2437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
13941, 132, 138cncfcn 20327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  \  {
1 } )  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( ( S 
\  { 1 } ) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
140130, 131, 139mp2an 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  \  { 1 } ) -cn-> CC )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( S  \  {
1 } ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
141129, 140syl6eleq 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
142 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
y  e.  ( S 
\  { 1 } ) )
143 resttopon 18607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( S  \  { 1 } )  C_  CC )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  e.  (TopOn `  ( S  \  { 1 } ) ) )
144134, 130, 143mp2an 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( S  \  {
1 } ) )  e.  (TopOn `  ( S  \  { 1 } ) )
145144toponunii 18379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
\  { 1 } )  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )
146145cncnpi 18724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  Cn  ( TopOpen ` fld )
)  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
147141, 142, 146syl2anc 654 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
148 cnex 9351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  e.  _V
149148, 16ssexi 4425 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  e. 
_V
150 restabs 18611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )t  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( S  \  {
1 } ) ) )
151133, 105, 149, 150mp3an 1307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )t  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( (
TopOpen ` fld )t  ( S  \  {
1 } ) )
152151oveq1i 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )t  ( S  \  { 1 } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
)  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
)
153152fveq1i 5680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)t  ( S  \  {
1 } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
)  =  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( S  \  { 1 } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
154147, 153syl6eleqr 2524 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )t  ( S  \  { 1 } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
)
155 resttop 18606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
156133, 149, 155mp2an 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top
157156a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top )
158105a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( S  \  {
1 } )  C_  S )
15910snssd 4006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { 1 }  C_  S )
16041cnfldhaus 20206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
161135sncld 18817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Haus  /\  1  e.  CC )  ->  { 1 }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
162160, 14, 161mp2an 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { 1 }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
163135restcldi 18619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  {
1 }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  {
1 }  C_  S
)  ->  { 1 }  e.  ( Clsd `  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) ) )
16416, 162, 163mp3an12 1297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { 1 }  C_  S  ->  { 1 }  e.  ( Clsd `  ( ( TopOpen
` fld
)t 
S ) ) )
165135restuni 18608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  S  C_  CC )  ->  S  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  S ) )
166133, 16, 165mp2an 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  S
)
167166cldopn 18477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { 1 }  e.  (
Clsd `  ( ( TopOpen
` fld
)t 
S ) )  -> 
( S  \  {
1 } )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
168159, 164, 1673syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  \  {
1 } )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
169166isopn3 18512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  Top  /\  ( S  \  {
1 } )  C_  S )  ->  (
( S  \  {
1 } )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  <->  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) ) `  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( S  \  { 1 } ) ) )
170156, 105, 169mp2an 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  \  { 1 } )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S )  <->  ( ( int `  ( ( TopOpen ` fld )t  S
) ) `  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( S  \  { 1 } ) )
171168, 170sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( S  \  { 1 } ) )  =  ( S  \  {
1 } ) )
172171eleq2d 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( S  \  { 1 } ) )  <->  y  e.  ( S  \  { 1 } ) ) )
173172biimpar 482 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
y  e.  ( ( int `  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( S  \  { 1 } ) ) )
1747adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  ->  F : S --> CC )
175166, 135cnprest 18735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  e.  Top  /\  ( S  \  { 1 } )  C_  S
)  /\  ( y  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  S ) ) `  ( S  \  { 1 } ) )  /\  F : S --> CC ) )  ->  ( F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
)  <->  ( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )t  ( S  \  { 1 } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )
) )
176157, 158, 173, 174, 175syl22anc 1212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  -> 
( F  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  y )  <->  ( F  |`  ( S  \  { 1 } ) )  e.  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S
)t  ( S  \  {
1 } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  y
) ) )
177154, 176mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( S  \  { 1 } ) )  ->  F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
17853, 177sylan2br 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  y  =/=  1 ) )  ->  F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
179178anassrs 641 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  =/=  1 )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
18052, 179pm2.61dane 2679 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
181180ralrimiva 2789 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  F  e.  ( (
( ( TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
182 resttopon 18607 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S ) )
183134, 16, 182mp2an 665 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )
184 cncnp 18726 . . . 4  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  e.  (TopOn `  S )  /\  ( TopOpen
` fld
)  e.  (TopOn `  CC ) )  ->  ( F  e.  ( (
( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( F : S --> CC  /\  A. y  e.  S  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) ) ) )
185183, 134, 184mp2an 665 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( F : S --> CC  /\  A. y  e.  S  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  S )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) ) )
1867, 181, 185sylanbrc 657 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
187 eqid 2433 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  S )
18841, 187, 138cncfcn 20327 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( S -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
18916, 131, 188mp2an 665 . 2  |-  ( S
-cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  S )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
190186, 189syl6eleqr 2524 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2962    \ cdif 3313    C_ wss 3316   ifcif 3779   {csn 3865   U.cuni 4079   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338    X. cxp 4825   `'ccnv 4826   dom cdm 4827    |` cres 4829   "cima 4830    o. ccom 4831    Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   supcsup 7678   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275   +oocpnf 9403   RR*cxr 9405    < clt 9406    <_ cle 9407    - cmin 9583    / cdiv 9981   2c2 10359   NN0cn0 10567   RR+crp 10979   [,)cico 11290   [,]cicc 11291    seqcseq 11790   ^cexp 11849   abscabs 12707    ~~> cli 12946   sum_csu 13147   ↾t crest 14342   TopOpenctopn 14343   *Metcxmt 17645   ballcbl 17647   MetOpencmopn 17650  ℂfldccnfld 17662   Topctop 18340  TopOnctopon 18341   Clsdccld 18462   intcnt 18463    Cn ccn 18670    CnP ccnp 18671   Hauscha 18754   -cn->ccncf 20294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-shft 12540  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-sum 13148  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-t1 18760  df-haus 18761  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-ulm 21727
This theorem is referenced by:  abelth2  21792
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