Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aannenlem3 Structured version   Unicode version

Theorem aannenlem3 23151
 Description: The algebraic numbers are countable. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
aannenlem.a Poly deg coeff
Assertion
Ref Expression
aannenlem3
Distinct variable group:   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)

Proof of Theorem aannenlem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnso 14277 . . . 4
2 aannenlem.a . . . . . . 7 Poly deg coeff
32aannenlem2 23150 . . . . . 6
4 omelon 8151 . . . . . . . . . . 11
5 nn0ennn 12189 . . . . . . . . . . . . 13
6 nnenom 12190 . . . . . . . . . . . . 13
75, 6entri 7630 . . . . . . . . . . . 12
87ensymi 7626 . . . . . . . . . . 11
9 isnumi 8379 . . . . . . . . . . 11
104, 8, 9mp2an 676 . . . . . . . . . 10
11 cnex 9619 . . . . . . . . . . . . 13
1211rabex 4576 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg coeff
1312, 2fnmpti 5724 . . . . . . . . . . 11
14 dffn4 5816 . . . . . . . . . . 11
1513, 14mpbi 211 . . . . . . . . . 10
16 fodomnum 8486 . . . . . . . . . 10
1710, 15, 16mp2 9 . . . . . . . . 9
18 domentr 7635 . . . . . . . . 9
1917, 7, 18mp2an 676 . . . . . . . 8
2019a1i 11 . . . . . . 7
21 fvelrnb 5928 . . . . . . . . . . 11
2213, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
232aannenlem1 23149 . . . . . . . . . . . 12
24 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . 12
2523, 24syl5ibcom 223 . . . . . . . . . . 11
2625rexlimiv 2918 . . . . . . . . . 10
2722, 26sylbi 198 . . . . . . . . 9
2827ssriv 3474 . . . . . . . 8
2928a1i 11 . . . . . . 7
30 aasscn 23139 . . . . . . . . 9
313, 30eqsstr3i 3501 . . . . . . . 8
32 soss 4793 . . . . . . . 8
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . 7
34 iunfictbso 8543 . . . . . . 7
3520, 29, 33, 34syl3anc 1264 . . . . . 6
363, 35syl5eqbr 4459 . . . . 5
3736exlimiv 1769 . . . 4
381, 37ax-mp 5 . . 3
396ensymi 7626 . . 3
40 domentr 7635 . . 3
4138, 39, 40mp2an 676 . 2
4211, 30ssexi 4570 . . 3
43 nnssq 11273 . . . 4
44 qssaa 23145 . . . 4
4543, 44sstri 3479 . . 3
46 ssdomg 7622 . . 3
4742, 45, 46mp2 9 . 2
48 sbth 7698 . 2
4941, 47, 48mp2an 676 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   w3a 982   wceq 1437  wex 1659   wcel 1870   wne 2625  wral 2782  wrex 2783  crab 2786  cvv 3087   wss 3442  cuni 4222   class class class wbr 4426   cmpt 4484   wor 4774   cdm 4854   crn 4855  con0 5442   wfn 5596  wfo 5599  cfv 5601  com 6706   cen 7574   cdom 7575  cfn 7577  ccrd 8368  cc 9536  cc0 9538   cle 9675  cn 10609  cn0 10869  cz 10937  cq 11264  cabs 13276  c0p 22504  Polycply 23006  coeffccoe 23008  degcdgr 23009  caa 23135 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-0p 22505  df-ply 23010  df-idp 23011  df-coe 23012  df-dgr 23013  df-quot 23112  df-aa 23136 This theorem is referenced by:  aannen  23152
 Copyright terms: Public domain W3C validator