MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aannenlem3 Structured version   Unicode version

Theorem aannenlem3 23151
Description: The algebraic numbers are countable. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
aannenlem.a  |-  H  =  ( a  e.  NN0  |->  { b  e.  CC  |  E. c  e.  {
d  e.  (Poly `  ZZ )  |  (
d  =/=  0p  /\  (deg `  d
)  <_  a  /\  A. e  e.  NN0  ( abs `  ( (coeff `  d ) `  e
) )  <_  a
) }  ( c `
 b )  =  0 } )
Assertion
Ref Expression
aannenlem3  |-  AA  ~~  NN
Distinct variable group:    a, b, c, d, e
Allowed substitution hints:    H( e, a, b, c, d)

Proof of Theorem aannenlem3
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnso 14277 . . . 4  |-  E. f 
f  Or  CC
2 aannenlem.a . . . . . . 7  |-  H  =  ( a  e.  NN0  |->  { b  e.  CC  |  E. c  e.  {
d  e.  (Poly `  ZZ )  |  (
d  =/=  0p  /\  (deg `  d
)  <_  a  /\  A. e  e.  NN0  ( abs `  ( (coeff `  d ) `  e
) )  <_  a
) }  ( c `
 b )  =  0 } )
32aannenlem2 23150 . . . . . 6  |-  AA  =  U. ran  H
4 omelon 8151 . . . . . . . . . . 11  |-  om  e.  On
5 nn0ennn 12189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  ~~  NN
6 nnenom 12190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  ~~  om
75, 6entri 7630 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  ~~  om
87ensymi 7626 . . . . . . . . . . 11  |-  om  ~~  NN0
9 isnumi 8379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN0 )  ->  NN0  e.  dom  card )
104, 8, 9mp2an 676 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  e.  dom  card
11 cnex 9619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  e.  _V
1211rabex 4576 . . . . . . . . . . . 12  |-  { b  e.  CC  |  E. c  e.  { d  e.  (Poly `  ZZ )  |  ( d  =/=  0p  /\  (deg `  d )  <_  a  /\  A. e  e.  NN0  ( abs `  ( (coeff `  d ) `  e
) )  <_  a
) }  ( c `
 b )  =  0 }  e.  _V
1312, 2fnmpti 5724 . . . . . . . . . . 11  |-  H  Fn  NN0
14 dffn4 5816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  Fn  NN0  <->  H : NN0 -onto-> ran  H )
1513, 14mpbi 211 . . . . . . . . . 10  |-  H : NN0 -onto-> ran  H
16 fodomnum 8486 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
e.  dom  card  ->  ( H : NN0 -onto-> ran  H  ->  ran  H  ~<_  NN0 )
)
1710, 15, 16mp2 9 . . . . . . . . 9  |-  ran  H  ~<_  NN0
18 domentr 7635 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  H  ~<_  NN0  /\  NN0  ~~  om )  ->  ran  H  ~<_  om )
1917, 7, 18mp2an 676 . . . . . . . 8  |-  ran  H  ~<_  om
2019a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( f  Or  CC  ->  ran  H  ~<_  om )
21 fvelrnb 5928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  Fn  NN0  ->  ( f  e.  ran  H  <->  E. g  e.  NN0  ( H `  g )  =  f ) )
2213, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ran  H  <->  E. g  e.  NN0  ( H `  g )  =  f )
232aannenlem1 23149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  NN0  ->  ( H `
 g )  e. 
Fin )
24 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H `  g )  =  f  ->  (
( H `  g
)  e.  Fin  <->  f  e.  Fin ) )
2523, 24syl5ibcom 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  NN0  ->  ( ( H `  g )  =  f  ->  f  e.  Fin ) )
2625rexlimiv 2918 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. g  e.  NN0  ( H `  g )  =  f  ->  f  e. 
Fin )
2722, 26sylbi 198 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ran  H  -> 
f  e.  Fin )
2827ssriv 3474 . . . . . . . 8  |-  ran  H  C_ 
Fin
2928a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( f  Or  CC  ->  ran  H 
C_  Fin )
30 aasscn 23139 . . . . . . . . 9  |-  AA  C_  CC
313, 30eqsstr3i 3501 . . . . . . . 8  |-  U. ran  H 
C_  CC
32 soss 4793 . . . . . . . 8  |-  ( U. ran  H  C_  CC  ->  ( f  Or  CC  ->  f  Or  U. ran  H
) )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( f  Or  CC  ->  f  Or  U. ran  H )
34 iunfictbso 8543 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  H  ~<_  om  /\  ran  H  C_  Fin  /\  f  Or  U. ran  H )  ->  U. ran  H  ~<_  om )
3520, 29, 33, 34syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( f  Or  CC  ->  U. ran  H  ~<_  om )
363, 35syl5eqbr 4459 . . . . 5  |-  ( f  Or  CC  ->  AA  ~<_  om )
3736exlimiv 1769 . . . 4  |-  ( E. f  f  Or  CC  ->  AA  ~<_  om )
381, 37ax-mp 5 . . 3  |-  AA  ~<_  om
396ensymi 7626 . . 3  |-  om  ~~  NN
40 domentr 7635 . . 3  |-  ( ( AA  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  AA  ~<_  NN )
4138, 39, 40mp2an 676 . 2  |-  AA  ~<_  NN
4211, 30ssexi 4570 . . 3  |-  AA  e.  _V
43 nnssq 11273 . . . 4  |-  NN  C_  QQ
44 qssaa 23145 . . . 4  |-  QQ  C_  AA
4543, 44sstri 3479 . . 3  |-  NN  C_  AA
46 ssdomg 7622 . . 3  |-  ( AA  e.  _V  ->  ( NN  C_  AA  ->  NN  ~<_  AA ) )
4742, 45, 46mp2 9 . 2  |-  NN  ~<_  AA
48 sbth 7698 . 2  |-  ( ( AA  ~<_  NN  /\  NN  ~<_  AA )  ->  AA  ~~  NN )
4941, 47, 48mp2an 676 1  |-  AA  ~~  NN
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   U.cuni 4222   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484    Or wor 4774   dom cdm 4854   ran crn 4855   Oncon0 5442    Fn wfn 5596   -onto->wfo 5599   ` cfv 5601   omcom 6706    ~~ cen 7574    ~<_ cdom 7575   Fincfn 7577   cardccrd 8368   CCcc 9536   0cc0 9538    <_ cle 9675   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   QQcq 11264   abscabs 13276   0pc0p 22504  Polycply 23006  coeffccoe 23008  degcdgr 23009   AAcaa 23135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-0p 22505  df-ply 23010  df-idp 23011  df-coe 23012  df-dgr 23013  df-quot 23112  df-aa 23136
This theorem is referenced by:  aannen  23152
  Copyright terms: Public domain W3C validator