MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aannenlem3 Structured version   Unicode version

Theorem aannenlem3 21932
Description: The algebraic numbers are countable. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
aannenlem.a  |-  H  =  ( a  e.  NN0  |->  { b  e.  CC  |  E. c  e.  {
d  e.  (Poly `  ZZ )  |  (
d  =/=  0p  /\  (deg `  d
)  <_  a  /\  A. e  e.  NN0  ( abs `  ( (coeff `  d ) `  e
) )  <_  a
) }  ( c `
 b )  =  0 } )
Assertion
Ref Expression
aannenlem3  |-  AA  ~~  NN
Distinct variable group:    a, b, c, d, e
Allowed substitution hints:    H( e, a, b, c, d)

Proof of Theorem aannenlem3
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnso 13650 . . . 4  |-  E. f 
f  Or  CC
2 aannenlem.a . . . . . . 7  |-  H  =  ( a  e.  NN0  |->  { b  e.  CC  |  E. c  e.  {
d  e.  (Poly `  ZZ )  |  (
d  =/=  0p  /\  (deg `  d
)  <_  a  /\  A. e  e.  NN0  ( abs `  ( (coeff `  d ) `  e
) )  <_  a
) }  ( c `
 b )  =  0 } )
32aannenlem2 21931 . . . . . 6  |-  AA  =  U. ran  H
4 omelon 7966 . . . . . . . . . . 11  |-  om  e.  On
5 nn0ennn 11921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  ~~  NN
6 nnenom 11922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  ~~  om
75, 6entri 7476 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  ~~  om
87ensymi 7472 . . . . . . . . . . 11  |-  om  ~~  NN0
9 isnumi 8230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN0 )  ->  NN0  e.  dom  card )
104, 8, 9mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  e.  dom  card
11 cnex 9477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  e.  _V
1211rabex 4554 . . . . . . . . . . . 12  |-  { b  e.  CC  |  E. c  e.  { d  e.  (Poly `  ZZ )  |  ( d  =/=  0p  /\  (deg `  d )  <_  a  /\  A. e  e.  NN0  ( abs `  ( (coeff `  d ) `  e
) )  <_  a
) }  ( c `
 b )  =  0 }  e.  _V
1312, 2fnmpti 5650 . . . . . . . . . . 11  |-  H  Fn  NN0
14 dffn4 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  Fn  NN0  <->  H : NN0 -onto-> ran  H )
1513, 14mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  H : NN0 -onto-> ran  H
16 fodomnum 8341 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
e.  dom  card  ->  ( H : NN0 -onto-> ran  H  ->  ran  H  ~<_  NN0 )
)
1710, 15, 16mp2 9 . . . . . . . . 9  |-  ran  H  ~<_  NN0
18 domentr 7481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  H  ~<_  NN0  /\  NN0  ~~  om )  ->  ran  H  ~<_  om )
1917, 7, 18mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ran  H  ~<_  om
2019a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( f  Or  CC  ->  ran  H  ~<_  om )
21 fvelrnb 5851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  Fn  NN0  ->  ( f  e.  ran  H  <->  E. g  e.  NN0  ( H `  g )  =  f ) )
2213, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ran  H  <->  E. g  e.  NN0  ( H `  g )  =  f )
232aannenlem1 21930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  NN0  ->  ( H `
 g )  e. 
Fin )
24 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H `  g )  =  f  ->  (
( H `  g
)  e.  Fin  <->  f  e.  Fin ) )
2523, 24syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  NN0  ->  ( ( H `  g )  =  f  ->  f  e.  Fin ) )
2625rexlimiv 2941 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. g  e.  NN0  ( H `  g )  =  f  ->  f  e. 
Fin )
2722, 26sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ran  H  -> 
f  e.  Fin )
2827ssriv 3471 . . . . . . . 8  |-  ran  H  C_ 
Fin
2928a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( f  Or  CC  ->  ran  H 
C_  Fin )
30 aasscn 21920 . . . . . . . . 9  |-  AA  C_  CC
313, 30eqsstr3i 3498 . . . . . . . 8  |-  U. ran  H 
C_  CC
32 soss 4770 . . . . . . . 8  |-  ( U. ran  H  C_  CC  ->  ( f  Or  CC  ->  f  Or  U. ran  H
) )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( f  Or  CC  ->  f  Or  U. ran  H )
34 iunfictbso 8398 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  H  ~<_  om  /\  ran  H  C_  Fin  /\  f  Or  U. ran  H )  ->  U. ran  H  ~<_  om )
3520, 29, 33, 34syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( f  Or  CC  ->  U. ran  H  ~<_  om )
363, 35syl5eqbr 4436 . . . . 5  |-  ( f  Or  CC  ->  AA  ~<_  om )
3736exlimiv 1689 . . . 4  |-  ( E. f  f  Or  CC  ->  AA  ~<_  om )
381, 37ax-mp 5 . . 3  |-  AA  ~<_  om
396ensymi 7472 . . 3  |-  om  ~~  NN
40 domentr 7481 . . 3  |-  ( ( AA  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  AA  ~<_  NN )
4138, 39, 40mp2an 672 . 2  |-  AA  ~<_  NN
4211, 30ssexi 4548 . . 3  |-  AA  e.  _V
43 nnssq 11076 . . . 4  |-  NN  C_  QQ
44 qssaa 21926 . . . 4  |-  QQ  C_  AA
4543, 44sstri 3476 . . 3  |-  NN  C_  AA
46 ssdomg 7468 . . 3  |-  ( AA  e.  _V  ->  ( NN  C_  AA  ->  NN  ~<_  AA ) )
4742, 45, 46mp2 9 . 2  |-  NN  ~<_  AA
48 sbth 7544 . 2  |-  ( ( AA  ~<_  NN  /\  NN  ~<_  AA )  ->  AA  ~~  NN )
4941, 47, 48mp2an 672 1  |-  AA  ~~  NN
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   U.cuni 4202   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461    Or wor 4751   Oncon0 4830   dom cdm 4951   ran crn 4952    Fn wfn 5524   -onto->wfo 5527   ` cfv 5529   omcom 6589    ~~ cen 7420    ~<_ cdom 7421   Fincfn 7423   cardccrd 8219   CCcc 9394   0cc0 9396    <_ cle 9533   NNcn 10436   NN0cn0 10693   ZZcz 10760   QQcq 11067   abscabs 12844   0pc0p 21283  Polycply 21788  coeffccoe 21790  degcdgr 21791   AAcaa 21916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-acn 8226  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-mod 11829  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-limsup 13070  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-sum 13285  df-0p 21284  df-ply 21792  df-idp 21793  df-coe 21794  df-dgr 21795  df-quot 21893  df-aa 21917
This theorem is referenced by:  aannen  21933
  Copyright terms: Public domain W3C validator