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Theorem aannenlem1 23284
 Description: Lemma for aannen 23287. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
aannenlem.a Poly deg coeff
Assertion
Ref Expression
aannenlem1
Distinct variable group:   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)

Proof of Theorem aannenlem1
StepHypRef Expression
1 breq2 4406 . . . . . . 7 deg deg
2 breq2 4406 . . . . . . . 8 coeff coeff
32ralbidv 2827 . . . . . . 7 coeff coeff
41, 33anbi23d 1342 . . . . . 6 deg coeff deg coeff
54rabbidv 3036 . . . . 5 Poly deg coeff Poly deg coeff
65rexeqdv 2994 . . . 4 Poly deg coeff Poly deg coeff
76rabbidv 3036 . . 3 Poly deg coeff Poly deg coeff
8 aannenlem.a . . 3 Poly deg coeff
9 cnex 9620 . . . 4
109rabex 4554 . . 3 Poly deg coeff
117, 8, 10fvmpt 5948 . 2 Poly deg coeff
12 iunrab 4325 . . 3 Poly deg coeff Poly deg coeff
13 fzfi 12185 . . . . . . 7
14 fzfi 12185 . . . . . . 7
15 mapfi 7870 . . . . . . 7
1613, 14, 15mp2an 678 . . . . . 6
1716a1i 11 . . . . 5
18 ovex 6318 . . . . . 6
19 neeq1 2686 . . . . . . . . . . 11
20 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . 12 deg deg
2120breq1d 4412 . . . . . . . . . . 11 deg deg
22 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15 coeff coeff
2322fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . . 14 coeff coeff
2423fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13 coeff coeff
2524breq1d 4412 . . . . . . . . . . . 12 coeff coeff
2625ralbidv 2827 . . . . . . . . . . 11 coeff coeff
2719, 21, 263anbi123d 1339 . . . . . . . . . 10 deg coeff deg coeff
2827elrab 3196 . . . . . . . . 9 Poly deg coeff Poly deg coeff
29 simp3 1010 . . . . . . . . . 10 deg coeff coeff
3029anim2i 573 . . . . . . . . 9 Poly deg coeff Poly coeff
3128, 30sylbi 199 . . . . . . . 8 Poly deg coeff Poly coeff
32 0z 10948 . . . . . . . . . . . . . . 15
33 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 coeff coeff
3433coef2 23185 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly coeff
3532, 34mpan2 677 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly coeff
3635ad2antrl 734 . . . . . . . . . . . . 13 Poly coeff coeff
37 ffn 5728 . . . . . . . . . . . . 13 coeff coeff
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 Poly coeff coeff
3935adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly coeff
4039ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly coeff
4140zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly coeff
42 nn0re 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4342ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly
4441, 43absled 13492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly coeff coeff coeff
45 nn0z 10960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4645ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly
4746znegcld 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly
48 elfz 11790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 coeff coeff coeff coeff
4940, 47, 46, 48syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly coeff coeff coeff
5044, 49bitr4d 260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly coeff coeff
5150biimpd 211 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly coeff coeff
5251ralimdva 2796 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly coeff coeff
5352impr 625 . . . . . . . . . . . . 13 Poly coeff coeff
54 fnfvrnss 6051 . . . . . . . . . . . . 13 coeff coeff coeff
5538, 53, 54syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12 Poly coeff coeff
56 df-f 5586 . . . . . . . . . . . 12 coeff coeff coeff
5738, 55, 56sylanbrc 670 . . . . . . . . . . 11 Poly coeff coeff
58 elfznn0 11887 . . . . . . . . . . . 12
5958ssriv 3436 . . . . . . . . . . 11
60 fssres 5749 . . . . . . . . . . 11 coeff coeff
6157, 59, 60sylancl 668 . . . . . . . . . 10 Poly coeff coeff
62 ovex 6318 . . . . . . . . . . 11
63 ovex 6318 . . . . . . . . . . 11
6462, 63elmap 7500 . . . . . . . . . 10 coeff coeff
6561, 64sylibr 216 . . . . . . . . 9 Poly coeff coeff
6665ex 436 . . . . . . . 8 Poly coeff coeff
6731, 66syl5 33 . . . . . . 7 Poly deg coeff coeff
68 simp2 1009 . . . . . . . . . 10 deg coeff deg
6968anim2i 573 . . . . . . . . 9 Poly deg coeff Poly deg
7028, 69sylbi 199 . . . . . . . 8 Poly deg coeff Poly deg
71 neeq1 2686 . . . . . . . . . . 11
72 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . 12 deg deg
7372breq1d 4412 . . . . . . . . . . 11 deg deg
74 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15 coeff coeff
7574fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . . 14 coeff coeff
7675fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13 coeff coeff
7776breq1d 4412 . . . . . . . . . . . 12 coeff coeff
7877ralbidv 2827 . . . . . . . . . . 11 coeff coeff
7971, 73, 783anbi123d 1339 . . . . . . . . . 10 deg coeff deg coeff
8079elrab 3196 . . . . . . . . 9 Poly deg coeff Poly deg coeff
81 simp2 1009 . . . . . . . . . 10 deg coeff deg
8281anim2i 573 . . . . . . . . 9 Poly deg coeff Poly deg
8380, 82sylbi 199 . . . . . . . 8 Poly deg coeff Poly deg
84 simplll 768 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg Poly deg coeff coeff Poly
85 plyf 23152 . . . . . . . . . . . . 13 Poly
86 ffn 5728 . . . . . . . . . . . . 13
8784, 85, 863syl 18 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg Poly deg coeff coeff
88 simplrl 770 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg Poly deg coeff coeff Poly
89 plyf 23152 . . . . . . . . . . . . 13 Poly
90 ffn 5728 . . . . . . . . . . . . 13
9188, 89, 903syl 18 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg Poly deg coeff coeff
92 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly deg Poly deg coeff coeff coeff coeff
9392adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly deg Poly deg coeff coeff coeff coeff
9493fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly deg Poly deg coeff coeff coeff coeff
95 fvres 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 coeff coeff
9695adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly deg Poly deg coeff coeff coeff coeff
97 fvres 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 coeff coeff
9897adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly deg Poly deg coeff coeff coeff coeff
9994, 96, 983eqtr3d 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly deg Poly deg coeff coeff coeff coeff
10099oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg Poly deg coeff coeff coeff coeff
101100sumeq2dv 13769 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg Poly deg coeff coeff coeff coeff
102 simp-4l 776 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg Poly deg coeff coeff Poly
103 simp-4r 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly deg Poly deg coeff coeff deg
104 dgrcl 23187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly deg
105 nn0z 10960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg deg
106102, 104, 1053syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly deg Poly deg coeff coeff deg
107 simplrl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly deg Poly deg coeff coeff
108107nn0zd 11038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly deg Poly deg coeff coeff
109 eluz 11172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg deg deg
110106, 108, 109syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly deg Poly deg coeff coeff deg deg
111103, 110mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg Poly deg coeff coeff deg
112 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg Poly deg coeff coeff
113 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg
11433, 113coeid3 23194 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg coeff
115102, 111, 112, 114syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg Poly deg coeff coeff coeff
116 simp1rl 1073 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly deg Poly deg coeff coeff Poly
1171163expa 1208 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg Poly deg coeff coeff Poly
118 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly deg Poly deg coeff coeff deg
119118adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly deg Poly deg coeff coeff deg
120 dgrcl 23187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly deg
121 nn0z 10960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg deg
122117, 120, 1213syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly deg Poly deg coeff coeff deg
123 eluz 11172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg deg deg
124122, 108, 123syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly deg Poly deg coeff coeff deg deg
125119, 124mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg Poly deg coeff coeff deg
126 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15 coeff coeff
127 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg
128126, 127coeid3 23194 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg coeff
129117, 125, 112, 128syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg Poly deg coeff coeff coeff
130101, 115, 1293eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg Poly deg coeff coeff
13187, 91, 130eqfnfvd 5979 . . . . . . . . . . 11 Poly deg Poly deg coeff coeff
132131expr 620 . . . . . . . . . 10 Poly deg Poly deg coeff coeff
133 fveq2 5865 . . . . . . . . . . 11 coeff coeff
134133reseq1d 5104 . . . . . . . . . 10 coeff coeff
135132, 134impbid1 207 . . . . . . . . 9 Poly deg Poly deg coeff coeff
136135expcom 437 . . . . . . . 8 Poly deg Poly deg coeff coeff
13770, 83, 136syl2ani 662 . . . . . . 7 Poly deg coeff Poly deg coeff coeff coeff
13867, 137dom2d 7610 . . . . . 6 Poly deg coeff
13918, 138mpi 20 . . . . 5 Poly deg coeff
140 domfi 7793 . . . . 5 Poly deg coeff Poly deg coeff
14117, 139, 140syl2anc 667 . . . 4 Poly deg coeff
142 neeq1 2686 . . . . . . . . 9
143 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10 deg deg
144143breq1d 4412 . . . . . . . . 9 deg deg
145 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13 coeff coeff
146145fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . 12 coeff coeff
147146fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11 coeff coeff
148147breq1d 4412 . . . . . . . . . 10 coeff coeff
149148ralbidv 2827 . . . . . . . . 9 coeff coeff
150142, 144, 1493anbi123d 1339 . . . . . . . 8 deg coeff deg coeff
151150elrab 3196 . . . . . . 7 Poly deg coeff Poly deg coeff
152 simp1 1008 . . . . . . . 8 deg coeff
153152anim2i 573 . . . . . . 7 Poly deg coeff Poly
154151, 153sylbi 199 . . . . . 6 Poly deg coeff Poly
155 plyf 23152 . . . . . . . . . . . . 13 Poly
156 ffn 5728 . . . . . . . . . . . . 13
157155, 156syl 17 . . . . . . . . . . . 12 Poly
158157adantr 467 . . . . . . . . . . 11 Poly
159 fniniseg 6003 . . . . . . . . . . 11
160158, 159syl 17 . . . . . . . . . 10 Poly
161 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . 12
162161eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . 11
163162elrab 3196 . . . . . . . . . 10
164160, 163syl6rbbr 268 . . . . . . . . 9 Poly
165164eqrdv 2449 . . . . . . . 8 Poly
166 eqid 2451 . . . . . . . . . 10
167166fta1 23261 . . . . . . . . 9 Poly deg
168167simpld 461 . . . . . . . 8 Poly
169165, 168eqeltrd 2529 . . . . . . 7 Poly
170169a1i 11 . . . . . 6 Poly
171154, 170syl5 33 . . . . 5 Poly deg coeff
172171ralrimiv 2800 . . . 4 Poly deg coeff
173 iunfi 7862 . . . 4 Poly deg coeff Poly deg coeff Poly deg coeff
174141, 172, 173syl2anc 667 . . 3 Poly deg coeff
17512, 174syl5eqelr 2534 . 2 Poly deg coeff
17611, 175eqeltrd 2529 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wral 2737  wrex 2738  crab 2741  cvv 3045   wss 3404  csn 3968  ciun 4278   class class class wbr 4402   cmpt 4461  ccnv 4833   crn 4835   cres 4836  cima 4837   wfn 5577  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290   cmap 7472   cdom 7567  cfn 7569  cc 9537  cr 9538  cc0 9539   cmul 9544   cle 9676  cneg 9861  cn0 10869  cz 10937  cuz 11159  cfz 11784  cexp 12272  chash 12515  cabs 13297  csu 13752  c0p 22627  Polycply 23138  coeffccoe 23140  degcdgr 23141 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-0p 22628  df-ply 23142  df-idp 23143  df-coe 23144  df-dgr 23145  df-quot 23244 This theorem is referenced by:  aannenlem3  23286
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