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Theorem aalioulem6 22917
Description: Lemma for aaliou 22918. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a  |-  N  =  (deg `  F )
aalioulem2.b  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
aalioulem2.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
aalioulem2.d  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
aalioulem3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
Assertion
Ref Expression
aalioulem6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, p, q    x, A, p, q    x, F, p, q    x, N
Allowed substitution hints:    N( q, p)

Proof of Theorem aalioulem6
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.a . . . 4  |-  N  =  (deg `  F )
2 aalioulem2.b . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
3 aalioulem2.c . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 aalioulem2.d . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
51, 2, 3, 4aalioulem2 22913 . . 3  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
6 aalioulem3.e . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
71, 2, 3, 4, 6aalioulem5 22916 . . 3  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
8 reeanv 2974 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )  <->  ( E. a  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  E. b  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
95, 7, 8sylanbrc 662 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
10 r19.26-2 2934 . . . 4  |-  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )  <-> 
( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) ) )
11 ifcl 3926 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  e.  RR+ )
1211adantl 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  e.  RR+ )
13 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =  0 )  -> 
( F `  (
p  /  q ) )  =  0 )
1411ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  e.  RR+ )
15 nnrp 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q  e.  NN  ->  q  e.  RR+ )
1615ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  q  e.  RR+ )
173ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  N  e.  NN )
1817nnzd 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  N  e.  ZZ )
1916, 18rpexpcld 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( q ^ N )  e.  RR+ )
2014, 19rpdivcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
2120rpred 11222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
22 simplrl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  a  e.  RR+ )
2322, 19rpdivcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
2423rpred 11222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
254ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  A  e.  RR )
26 znq 11149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  QQ )
27 qre 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  /  q )  e.  QQ  ->  (
p  /  q )  e.  RR )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  RR )
2928adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( p  /  q )  e.  RR )
3025, 29resubcld 9948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  RR )
3130recnd 9572 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  CC )
3231abscld 13323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR )
3321, 24, 323jca 1177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  (
a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  e.  RR ) )
3433adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR ) )
3514rpred 11222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  e.  RR )
3622rpred 11222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  a  e.  RR )
37 simplrr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  b  e.  RR+ )
3837rpred 11222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  b  e.  RR )
39 min1 11360 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  <_  a
)
4036, 38, 39syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  <_  a )
4135, 36, 19, 40lediv1dd 11276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( a  / 
( q ^ N
) ) )
4241anim1i 566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( a  /  (
q ^ N ) )  /\  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
43 letr 9629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  e.  RR  /\  ( a  /  (
q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( a  / 
( q ^ N
) )  /\  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
4434, 42, 43sylc 59 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) )
4544ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
4645adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =  0 )  -> 
( ( a  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
4746orim2d 841 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =  0 )  -> 
( ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
4813, 47embantd 53 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =  0 )  -> 
( ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
4948adantrd 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =  0 )  -> 
( ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
50 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0 )  -> 
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0 )
5137, 19rpdivcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( b  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
5251rpred 11222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( b  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
5321, 52, 323jca 1177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  (
b  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  e.  RR ) )
5453adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( b  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( b  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR ) )
55 min2 11361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  <_  b
)
5636, 38, 55syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  <_  b )
5735, 38, 19, 56lediv1dd 11276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( b  / 
( q ^ N
) ) )
5857anim1i 566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( b  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( b  /  (
q ^ N ) )  /\  ( b  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
59 letr 9629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  e.  RR  /\  ( b  /  (
q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( b  / 
( q ^ N
) )  /\  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
6054, 58, 59sylc 59 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( b  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) )
6160ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
6261adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0 )  -> 
( ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
6362orim2d 841 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0 )  -> 
( ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( b  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
6450, 63embantd 53 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0 )  -> 
( ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
6564adantld 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
6649, 65pm2.61dane 2721 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
6766ralimdvva 2814 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )  ->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
68 oveq1 6241 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( x  /  (
q ^ N ) )  =  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) ) )
6968breq1d 4404 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
7069orbi2d 700 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  <->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
71702ralbidv 2847 . . . . . 6  |-  ( x  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  <->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
7271rspcev 3159 . . . . 5  |-  ( ( if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  e.  RR+  /\ 
A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
7312, 67, 72syl6an 543 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
7410, 73syl5bir 218 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  (
( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
7574rexlimdvva 2902 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) )
769, 75mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754   ifcif 3884   class class class wbr 4394   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   RRcr 9441   0cc0 9442    <_ cle 9579    - cmin 9761    / cdiv 10167   NNcn 10496   ZZcz 10825   QQcq 11145   RR+crp 11183   ^cexp 12120   abscabs 13123  Polycply 22765  degcdgr 22768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520  ax-addf 9521  ax-mulf 9522
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-fi 7825  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-xneg 11289  df-xadd 11290  df-xmul 11291  df-ioo 11504  df-ico 11506  df-icc 11507  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-seq 12062  df-exp 12121  df-hash 12360  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-clim 13367  df-rlim 13368  df-sum 13565  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-hom 14825  df-cco 14826  df-rest 14929  df-topn 14930  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-topgen 14950  df-pt 14951  df-prds 14954  df-xrs 15008  df-qtop 15013  df-imas 15014  df-xps 15016  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-mulg 16276  df-subg 16414  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-cring 17413  df-subrg 17639  df-psmet 18623  df-xmet 18624  df-met 18625  df-bl 18626  df-mopn 18627  df-fbas 18628  df-fg 18629  df-cnfld 18633  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-topsp 19587  df-cld 19704  df-ntr 19705  df-cls 19706  df-nei 19784  df-lp 19822  df-perf 19823  df-cn 19913  df-cnp 19914  df-haus 20001  df-cmp 20072  df-tx 20247  df-hmeo 20440  df-fil 20531  df-fm 20623  df-flim 20624  df-flf 20625  df-xms 21007  df-ms 21008  df-tms 21009  df-cncf 21566  df-0p 22261  df-limc 22454  df-dv 22455  df-dvn 22456  df-cpn 22457  df-ply 22769  df-idp 22770  df-coe 22771  df-dgr 22772  df-quot 22871
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