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Theorem aalioulem6 21921
Description: Lemma for aaliou 21922. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a  |-  N  =  (deg `  F )
aalioulem2.b  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
aalioulem2.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
aalioulem2.d  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
aalioulem3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
Assertion
Ref Expression
aalioulem6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, p, q    x, A, p, q    x, F, p, q    x, N
Allowed substitution hints:    N( q, p)

Proof of Theorem aalioulem6
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.a . . . 4  |-  N  =  (deg `  F )
2 aalioulem2.b . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
3 aalioulem2.c . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 aalioulem2.d . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
51, 2, 3, 4aalioulem2 21917 . . 3  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
6 aalioulem3.e . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
71, 2, 3, 4, 6aalioulem5 21920 . . 3  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
8 reeanv 2986 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )  <->  ( E. a  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  E. b  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
95, 7, 8sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
10 r19.26-2 2948 . . . 4  |-  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )  <-> 
( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) ) )
11 ifcl 3931 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  e.  RR+ )
1211adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  e.  RR+ )
13 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =  0 )  -> 
( F `  (
p  /  q ) )  =  0 )
1411ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  e.  RR+ )
15 nnrp 11103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( q  e.  NN  ->  q  e.  RR+ )
1615ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  q  e.  RR+ )
173ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  N  e.  NN )
1817nnzd 10849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  N  e.  ZZ )
1916, 18rpexpcld 12134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( q ^ N )  e.  RR+ )
2014, 19rpdivcld 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
2120rpred 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
22 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  a  e.  RR+ )
2322, 19rpdivcld 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
2423rpred 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
254ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  A  e.  RR )
26 znq 11060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  QQ )
27 qre 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  /  q )  e.  QQ  ->  (
p  /  q )  e.  RR )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  RR )
2928adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( p  /  q )  e.  RR )
3025, 29resubcld 9879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  RR )
3130recnd 9515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  CC )
3231abscld 13026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR )
3321, 24, 323jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  (
a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  e.  RR ) )
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( a  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR ) )
3514rpred 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  e.  RR )
3622rpred 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  a  e.  RR )
37 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  b  e.  RR+ )
3837rpred 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  b  e.  RR )
39 min1 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  <_  a
)
4036, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  <_  a )
4135, 36, 19, 40lediv1dd 11184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( a  / 
( q ^ N
) ) )
4241anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( a  /  (
q ^ N ) )  /\  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
43 letr 9571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  e.  RR  /\  ( a  /  (
q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( a  / 
( q ^ N
) )  /\  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
4434, 42, 43sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) )
4544ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
4645adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =  0 )  -> 
( ( a  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
4746orim2d 836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =  0 )  -> 
( ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
4813, 47embantd 54 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =  0 )  -> 
( ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
4948adantrd 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =  0 )  -> 
( ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
50 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0 )  -> 
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0 )
5137, 19rpdivcld 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( b  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
5251rpred 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( b  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
5321, 52, 323jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  (
b  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  e.  RR ) )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( b  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( b  /  ( q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR ) )
55 min2 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  <_  b
)
5636, 38, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  <_  b )
5735, 38, 19, 56lediv1dd 11184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( b  / 
( q ^ N
) ) )
5857anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( b  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( b  /  (
q ^ N ) )  /\  ( b  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
59 letr 9571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  e.  RR  /\  ( b  /  (
q ^ N ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( b  / 
( q ^ N
) )  /\  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
6054, 58, 59sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( b  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) )
6160ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0 )  -> 
( ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
6362orim2d 836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0 )  -> 
( ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( b  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
6450, 63embantd 54 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0 )  -> 
( ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
6564adantld 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0 )  -> 
( ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
6649, 65pm2.61dane 2766 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  ( (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
6766anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  p  e.  ZZ )  /\  q  e.  NN )  ->  (
( ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
6867ralimdva 2824 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( A. q  e.  NN  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )  ->  A. q  e.  NN  ( A  =  (
p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
6968ralimdva 2824 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )  ->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
70 oveq1 6199 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( x  /  (
q ^ N ) )  =  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) ) )
7170breq1d 4402 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <->  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
7271orbi2d 701 . . . . . . 7  |-  ( x  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  <->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
73722ralbidv 2866 . . . . . 6  |-  ( x  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  <->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
7473rspcev 3171 . . . . 5  |-  ( ( if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  e.  RR+  /\ 
A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( if ( a  <_  b ,  a ,  b )  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
7512, 69, 74syl6an 545 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( a  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
7610, 75syl5bir 218 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  (
( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
a  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =/=  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( b  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
7776rexlimdvva 2946 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( a  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
b  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) )
789, 77mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   ifcif 3891   class class class wbr 4392   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   RRcr 9384   0cc0 9385    <_ cle 9522    - cmin 9698    / cdiv 10096   NNcn 10425   ZZcz 10749   QQcq 11056   RR+crp 11094   ^cexp 11968   abscabs 12827  Polycply 21770  degcdgr 21773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464  ax-mulf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ioo 11407  df-ico 11409  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-seq 11910  df-exp 11969  df-hash 12207  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-clim 13070  df-rlim 13071  df-sum 13268  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-hom 14366  df-cco 14367  df-rest 14465  df-topn 14466  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-topgen 14486  df-pt 14487  df-prds 14490  df-xrs 14544  df-qtop 14549  df-imas 14550  df-xps 14552  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-mulg 15652  df-subg 15782  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-cring 16756  df-subrg 16971  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-fbas 17925  df-fg 17926  df-cnfld 17930  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-cld 18741  df-ntr 18742  df-cls 18743  df-nei 18820  df-lp 18858  df-perf 18859  df-cn 18949  df-cnp 18950  df-haus 19037  df-cmp 19108  df-tx 19253  df-hmeo 19446  df-fil 19537  df-fm 19629  df-flim 19630  df-flf 19631  df-xms 20013  df-ms 20014  df-tms 20015  df-cncf 20572  df-0p 21266  df-limc 21459  df-dv 21460  df-dvn 21461  df-cpn 21462  df-ply 21774  df-idp 21775  df-coe 21776  df-dgr 21777  df-quot 21875
This theorem is referenced by:  aaliou  21922
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