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Theorem aalioulem4 21823
Description: Lemma for aaliou 21826. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a  |-  N  =  (deg `  F )
aalioulem2.b  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
aalioulem2.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
aalioulem2.d  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
aalioulem3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
Assertion
Ref Expression
aalioulem4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, p, q    x, A, p, q    x, F, p, q
Allowed substitution hints:    N( x, q, p)

Proof of Theorem aalioulem4
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.a . . 3  |-  N  =  (deg `  F )
2 aalioulem2.b . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
3 aalioulem2.c . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 aalioulem2.d . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5 aalioulem3.e . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
61, 2, 3, 4, 5aalioulem3 21822 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) ) )
7 simp2l 1014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  p  e.  ZZ )
8 simp2r 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  q  e.  NN )
9 znq 10978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  QQ )
107, 8, 9syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( p  /  q )  e.  QQ )
11 qre 10979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  /  q )  e.  QQ  ->  (
p  /  q )  e.  RR )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( p  /  q )  e.  RR )
13 simp3r 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)
14 oveq2 6120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  ( A  -  a )  =  ( A  -  ( p  /  q
) ) )
1514fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  ( abs `  ( A  -  a ) )  =  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
1615breq1d 4323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  <->  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )
17 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  ( p  /  q
) ) )
1817fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  ( abs `  ( F `  a ) )  =  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )
1918oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  =  ( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q
) ) ) ) )
2019, 15breq12d 4326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  (
( x  x.  ( abs `  ( F `  a ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  a )
)  <->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
2116, 20imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  (
( ( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  <->  ( ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <_ 
1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
2221rspcv 3090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  /  q )  e.  RR  ->  ( A. a  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  (
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
2322com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  /  q )  e.  RR  ->  (
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1  ->  ( A. a  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
2412, 13, 23sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
25 simp1r 1013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  x  e.  RR+ )
268nnrpd 11047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  q  e.  RR+ )
27 simp1l 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ph )
2827, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  N  e.  NN )
2928nnzd 10767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  N  e.  ZZ )
3026, 29rpexpcld 12052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( q ^ N )  e.  RR+ )
3125, 30rpdivcld 11065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
3231rpred 11048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
3425rpred 11048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  x  e.  RR )
3527, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
36 plyf 21688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  (Poly `  ZZ )  ->  F : CC --> CC )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  F : CC
--> CC )
3812recnd 9433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( p  /  q )  e.  CC )
3937, 38ffvelrnd 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( F `  ( p  /  q
) )  e.  CC )
4039abscld 12943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) )  e.  RR )
4134, 40remulcld 9435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  e.  RR )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  e.  RR )
4327, 4syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  A  e.  RR )
4443, 12resubcld 9797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  RR )
4544recnd 9433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  CC )
4645abscld 12943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  e.  RR )
4825rpcnd 11050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  x  e.  CC )
4930rpcnd 11050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( q ^ N )  e.  CC )
5030rpne0d 11053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( q ^ N )  =/=  0
)
5148, 49, 50divrecd 10131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  =  ( x  x.  (
1  /  ( q ^ N ) ) ) )
5249, 39absmuld 12961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
q ^ N ) )  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) )
5330rpred 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( q ^ N )  e.  RR )
5430rpge0d 11052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  0  <_  ( q ^ N ) )
5553, 54absidd 12930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( q ^ N
) )  =  ( q ^ N ) )
5655oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( ( abs `  ( q ^ N ) )  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  =  ( ( q ^ N
)  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) )
5752, 56eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  =  ( ( q ^ N
)  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) )
5849, 39mulcomd 9428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q
) ) )  =  ( ( F `  ( p  /  q
) )  x.  (
q ^ N ) ) )
591oveq2i 6123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( q ^ N )  =  ( q ^ (deg `  F ) )
6059oveq2i 6123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  ( p  /  q ) )  x.  ( q ^ N ) )  =  ( ( F `  ( p  /  q
) )  x.  (
q ^ (deg `  F ) ) )
6158, 60syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q
) ) )  =  ( ( F `  ( p  /  q
) )  x.  (
q ^ (deg `  F ) ) ) )
6235, 7, 8aalioulem1 21820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( ( F `  ( p  /  q ) )  x.  ( q ^
(deg `  F )
) )  e.  ZZ )
6361, 62eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q
) ) )  e.  ZZ )
64 simp3l 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0
)
6549, 39, 50, 64mulne0d 10009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q
) ) )  =/=  0 )
66 nnabscl 12834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q ) ) )  =/=  0 )  ->  ( abs `  (
( q ^ N
)  x.  ( F `
 ( p  / 
q ) ) ) )  e.  NN )
6763, 65, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  e.  NN )
6857, 67eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
q ^ N )  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  e.  NN )
6968nnge1d 10385 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  1  <_  ( ( q ^ N
)  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) )
70 1red 9422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  1  e.  RR )
7170, 40, 30ledivmuld 11097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
1  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) )  <->  1  <_  (
( q ^ N
)  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) ) )
7269, 71mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( 1  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )
7330rprecred 11059 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( 1  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
7473, 40, 25lemul2d 11088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
1  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) )  <->  ( x  x.  ( 1  /  (
q ^ N ) ) )  <_  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) ) )
7572, 74mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  x.  ( 1  /  (
q ^ N ) ) )  <_  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) )
7651, 75eqbrtrd 4333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q
) ) ) ) )
7776adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) ) )
78 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
7933, 42, 47, 77, 78letrd 9549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
8079olcd 393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
8180ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
8224, 81syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) )
83823exp 1186 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)  ->  ( A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) ) ) )
8483com34 83 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( A. a  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  a
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) ) )
8584com23 78 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  (
( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <_ 
1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) ) ) )
8685ralrimdvv 2831 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <_ 
1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) ) )
8786reximdva 2849 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR+  A. a  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <_ 
1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) ) )
886, 87mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737   class class class wbr 4313   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    x. cmul 9308    <_ cle 9440    - cmin 9616    / cdiv 10014   NNcn 10343   ZZcz 10667   QQcq 10974   RR+crp 11012   ^cexp 11886   abscabs 12744  Polycply 21674  degcdgr 21677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-mulg 15569  df-subg 15699  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-cring 16670  df-subrg 16885  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-lp 18762  df-perf 18763  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-haus 18941  df-cmp 19012  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cncf 20476  df-0p 21170  df-limc 21363  df-dv 21364  df-dvn 21365  df-cpn 21366  df-ply 21678  df-coe 21680  df-dgr 21681
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