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Theorem aalioulem4 21760
Description: Lemma for aaliou 21763. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a  |-  N  =  (deg `  F )
aalioulem2.b  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
aalioulem2.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
aalioulem2.d  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
aalioulem3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
Assertion
Ref Expression
aalioulem4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, p, q    x, A, p, q    x, F, p, q
Allowed substitution hints:    N( x, q, p)

Proof of Theorem aalioulem4
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.a . . 3  |-  N  =  (deg `  F )
2 aalioulem2.b . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
3 aalioulem2.c . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 aalioulem2.d . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5 aalioulem3.e . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
61, 2, 3, 4, 5aalioulem3 21759 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) ) )
7 simp2l 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  p  e.  ZZ )
8 simp2r 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  q  e.  NN )
9 znq 10953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  QQ )
107, 8, 9syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( p  /  q )  e.  QQ )
11 qre 10954 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  /  q )  e.  QQ  ->  (
p  /  q )  e.  RR )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( p  /  q )  e.  RR )
13 simp3r 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)
14 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  ( A  -  a )  =  ( A  -  ( p  /  q
) ) )
1514fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  ( abs `  ( A  -  a ) )  =  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
1615breq1d 4299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  <->  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )
17 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  ( p  /  q
) ) )
1817fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  ( abs `  ( F `  a ) )  =  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )
1918oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  =  ( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q
) ) ) ) )
2019, 15breq12d 4302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  (
( x  x.  ( abs `  ( F `  a ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  a )
)  <->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
2116, 20imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  (
( ( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  <->  ( ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <_ 
1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
2221rspcv 3066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  /  q )  e.  RR  ->  ( A. a  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  (
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
2322com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  /  q )  e.  RR  ->  (
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1  ->  ( A. a  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
2412, 13, 23sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
25 simp1r 1008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  x  e.  RR+ )
268nnrpd 11022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  q  e.  RR+ )
27 simp1l 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ph )
2827, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  N  e.  NN )
2928nnzd 10742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  N  e.  ZZ )
3026, 29rpexpcld 12027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( q ^ N )  e.  RR+ )
3125, 30rpdivcld 11040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
3231rpred 11023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
3332adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
3425rpred 11023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  x  e.  RR )
3527, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
36 plyf 21625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  (Poly `  ZZ )  ->  F : CC --> CC )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  F : CC
--> CC )
3812recnd 9408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( p  /  q )  e.  CC )
3937, 38ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( F `  ( p  /  q
) )  e.  CC )
4039abscld 12918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) )  e.  RR )
4134, 40remulcld 9410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  e.  RR )
4241adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  e.  RR )
4327, 4syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  A  e.  RR )
4443, 12resubcld 9772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  RR )
4544recnd 9408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  CC )
4645abscld 12918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR )
4746adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  e.  RR )
4825rpcnd 11025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  x  e.  CC )
4930rpcnd 11025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( q ^ N )  e.  CC )
5030rpne0d 11028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( q ^ N )  =/=  0
)
5148, 49, 50divrecd 10106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  =  ( x  x.  (
1  /  ( q ^ N ) ) ) )
5249, 39absmuld 12936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
q ^ N ) )  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) )
5330rpred 11023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( q ^ N )  e.  RR )
5430rpge0d 11027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  0  <_  ( q ^ N ) )
5553, 54absidd 12905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( q ^ N
) )  =  ( q ^ N ) )
5655oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( ( abs `  ( q ^ N ) )  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  =  ( ( q ^ N
)  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) )
5752, 56eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  =  ( ( q ^ N
)  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) )
5849, 39mulcomd 9403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q
) ) )  =  ( ( F `  ( p  /  q
) )  x.  (
q ^ N ) ) )
591oveq2i 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( q ^ N )  =  ( q ^ (deg `  F ) )
6059oveq2i 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  ( p  /  q ) )  x.  ( q ^ N ) )  =  ( ( F `  ( p  /  q
) )  x.  (
q ^ (deg `  F ) ) )
6158, 60syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q
) ) )  =  ( ( F `  ( p  /  q
) )  x.  (
q ^ (deg `  F ) ) ) )
6235, 7, 8aalioulem1 21757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( ( F `  ( p  /  q ) )  x.  ( q ^
(deg `  F )
) )  e.  ZZ )
6361, 62eqeltrd 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q
) ) )  e.  ZZ )
64 simp3l 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0
)
6549, 39, 50, 64mulne0d 9984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q
) ) )  =/=  0 )
66 nnabscl 12809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q ) ) )  =/=  0 )  ->  ( abs `  (
( q ^ N
)  x.  ( F `
 ( p  / 
q ) ) ) )  e.  NN )
6763, 65, 66syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  e.  NN )
6857, 67eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
q ^ N )  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  e.  NN )
6968nnge1d 10360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  1  <_  ( ( q ^ N
)  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) )
70 1red 9397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  1  e.  RR )
7170, 40, 30ledivmuld 11072 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
1  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) )  <->  1  <_  (
( q ^ N
)  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) ) )
7269, 71mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( 1  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )
7330rprecred 11034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( 1  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
7473, 40, 25lemul2d 11063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
1  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) )  <->  ( x  x.  ( 1  /  (
q ^ N ) ) )  <_  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) ) )
7572, 74mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  x.  ( 1  /  (
q ^ N ) ) )  <_  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) )
7651, 75eqbrtrd 4309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q
) ) ) ) )
7776adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) ) )
78 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
7933, 42, 47, 77, 78letrd 9524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
8079olcd 393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
8180ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
8224, 81syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) )
83823exp 1181 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)  ->  ( A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) ) ) )
8483com34 83 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( A. a  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  a
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) ) )
8584com23 78 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  (
( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <_ 
1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) ) ) )
8685ralrimdvv 2808 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <_ 
1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) ) )
8786reximdva 2826 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR+  A. a  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <_ 
1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) ) )
886, 87mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   class class class wbr 4289   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    x. cmul 9283    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   ZZcz 10642   QQcq 10949   RR+crp 10987   ^cexp 11861   abscabs 12719  Polycply 21611  degcdgr 21614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-subrg 16843  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-0p 21107  df-limc 21300  df-dv 21301  df-dvn 21302  df-cpn 21303  df-ply 21615  df-coe 21617  df-dgr 21618
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