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Theorem aalioulem4 22557
Description: Lemma for aaliou 22560. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a  |-  N  =  (deg `  F )
aalioulem2.b  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
aalioulem2.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
aalioulem2.d  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
aalioulem3.e  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
Assertion
Ref Expression
aalioulem4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, p, q    x, A, p, q    x, F, p, q
Allowed substitution hints:    N( x, q, p)

Proof of Theorem aalioulem4
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.a . . 3  |-  N  =  (deg `  F )
2 aalioulem2.b . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
3 aalioulem2.c . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 aalioulem2.d . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5 aalioulem3.e . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
61, 2, 3, 4, 5aalioulem3 22556 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) ) )
7 simp2l 1022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  p  e.  ZZ )
8 simp2r 1023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  q  e.  NN )
9 znq 11187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  QQ )
107, 8, 9syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( p  /  q )  e.  QQ )
11 qre 11188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  /  q )  e.  QQ  ->  (
p  /  q )  e.  RR )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( p  /  q )  e.  RR )
13 simp3r 1025 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)
14 oveq2 6293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  ( A  -  a )  =  ( A  -  ( p  /  q
) ) )
1514fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  ( abs `  ( A  -  a ) )  =  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
1615breq1d 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  <->  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )
17 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  ( p  /  q
) ) )
1817fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  ( abs `  ( F `  a ) )  =  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )
1918oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  =  ( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q
) ) ) ) )
2019, 15breq12d 4460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  (
( x  x.  ( abs `  ( F `  a ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  a )
)  <->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
2116, 20imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( p  / 
q )  ->  (
( ( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  <->  ( ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <_ 
1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
2221rspcv 3210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  /  q )  e.  RR  ->  ( A. a  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  (
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
2322com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  /  q )  e.  RR  ->  (
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1  ->  ( A. a  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
2412, 13, 23sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
25 simp1r 1021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  x  e.  RR+ )
268nnrpd 11256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  q  e.  RR+ )
27 simp1l 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ph )
2827, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  N  e.  NN )
2928nnzd 10966 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  N  e.  ZZ )
3026, 29rpexpcld 12302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( q ^ N )  e.  RR+ )
3125, 30rpdivcld 11274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
3231rpred 11257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
3425rpred 11257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  x  e.  RR )
3527, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
36 plyf 22422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  (Poly `  ZZ )  ->  F : CC --> CC )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  F : CC
--> CC )
3812recnd 9623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( p  /  q )  e.  CC )
3937, 38ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( F `  ( p  /  q
) )  e.  CC )
4039abscld 13233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) )  e.  RR )
4134, 40remulcld 9625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  e.  RR )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  e.  RR )
4327, 4syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  A  e.  RR )
4443, 12resubcld 9988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  RR )
4544recnd 9623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  CC )
4645abscld 13233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  e.  RR )
4825rpcnd 11259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  x  e.  CC )
4930rpcnd 11259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( q ^ N )  e.  CC )
5030rpne0d 11262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( q ^ N )  =/=  0
)
5148, 49, 50divrecd 10324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  =  ( x  x.  (
1  /  ( q ^ N ) ) ) )
5249, 39absmuld 13251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
q ^ N ) )  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) )
5330rpred 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( q ^ N )  e.  RR )
5430rpge0d 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  0  <_  ( q ^ N ) )
5553, 54absidd 13220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( q ^ N
) )  =  ( q ^ N ) )
5655oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( ( abs `  ( q ^ N ) )  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  =  ( ( q ^ N
)  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) )
5752, 56eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  =  ( ( q ^ N
)  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) )
5849, 39mulcomd 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q
) ) )  =  ( ( F `  ( p  /  q
) )  x.  (
q ^ N ) ) )
591oveq2i 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( q ^ N )  =  ( q ^ (deg `  F ) )
6059oveq2i 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  ( p  /  q ) )  x.  ( q ^ N ) )  =  ( ( F `  ( p  /  q
) )  x.  (
q ^ (deg `  F ) ) )
6158, 60syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q
) ) )  =  ( ( F `  ( p  /  q
) )  x.  (
q ^ (deg `  F ) ) ) )
6235, 7, 8aalioulem1 22554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( ( F `  ( p  /  q ) )  x.  ( q ^
(deg `  F )
) )  e.  ZZ )
6361, 62eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q
) ) )  e.  ZZ )
64 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0
)
6549, 39, 50, 64mulne0d 10202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q
) ) )  =/=  0 )
66 nnabscl 13124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q ) ) )  =/=  0 )  ->  ( abs `  (
( q ^ N
)  x.  ( F `
 ( p  / 
q ) ) ) )  e.  NN )
6763, 65, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( q ^ N )  x.  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  e.  NN )
6857, 67eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
q ^ N )  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )  e.  NN )
6968nnge1d 10579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  1  <_  ( ( q ^ N
)  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) )
70 1red 9612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  1  e.  RR )
7170, 40, 30ledivmuld 11306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
1  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) )  <->  1  <_  (
( q ^ N
)  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) ) )
7269, 71mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( 1  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) )
7330rprecred 11268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( 1  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
7473, 40, 25lemul2d 11297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
1  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) )  <->  ( x  x.  ( 1  /  (
q ^ N ) ) )  <_  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) ) )
7572, 74mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  x.  ( 1  /  (
q ^ N ) ) )  <_  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) ) )
7651, 75eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q
) ) ) ) )
7776adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( x  x.  ( abs `  ( F `  ( p  /  q ) ) ) ) )
78 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
7933, 42, 47, 77, 78letrd 9739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
8079olcd 393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
) )  /\  (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
8180ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( (
x  x.  ( abs `  ( F `  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
8224, 81syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  /\  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) )
83823exp 1195 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <_  1
)  ->  ( A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) ) ) )
8483com34 83 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( A. a  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  a
) )  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) ) )
8584com23 78 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  (
( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <_ 
1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) ) ) )
8685ralrimdvv 2887 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. a  e.  RR  (
( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <_ 
1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) ) )
8786reximdva 2938 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR+  A. a  e.  RR  ( ( abs `  ( A  -  a )
)  <_  1  ->  ( x  x.  ( abs `  ( F `  a
) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  a )
) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( ( F `  ( p  /  q ) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  <_ 
1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) ) )
886, 87mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( ( F `  ( p  /  q
) )  =/=  0  /\  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <_  1 )  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   class class class wbr 4447   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494    x. cmul 9498    <_ cle 9630    - cmin 9806    / cdiv 10207   NNcn 10537   ZZcz 10865   QQcq 11183   RR+crp 11221   ^cexp 12135   abscabs 13033  Polycply 22408  degcdgr 22411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ioo 11534  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-sum 13475  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-rest 14681  df-topn 14682  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-topgen 14702  df-pt 14703  df-prds 14706  df-xrs 14760  df-qtop 14765  df-imas 14766  df-xps 14768  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-mulg 15874  df-subg 16012  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-cring 17015  df-subrg 17239  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-cnfld 18232  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cld 19326  df-ntr 19327  df-cls 19328  df-nei 19405  df-lp 19443  df-perf 19444  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-haus 19622  df-cmp 19693  df-tx 19890  df-hmeo 20083  df-fil 20174  df-fm 20266  df-flim 20267  df-flf 20268  df-xms 20650  df-ms 20651  df-tms 20652  df-cncf 21209  df-0p 21904  df-limc 22097  df-dv 22098  df-dvn 22099  df-cpn 22100  df-ply 22412  df-coe 22414  df-dgr 22415
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