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Theorem aalioulem2 23301
Description: Lemma for aaliou 23306. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 28-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a  |-  N  =  (deg `  F )
aalioulem2.b  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
aalioulem2.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
aalioulem2.d  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
aalioulem2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, p, q    x, A, p, q    x, F, p, q
Allowed substitution hints:    N( x, q, p)

Proof of Theorem aalioulem2
Dummy variables  r 
a  b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 11296 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR+
2 snssi 4085 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR+  ->  { 1 }  C_  RR+ )
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { 1 }  C_  RR+
4 ssrab2 3482 . . . . . 6  |-  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) }  C_  RR+
53, 4unssi 3577 . . . . 5  |-  ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  C_  RR+
6 ltso 9701 . . . . . . 7  |-  <  Or  RR
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  <  Or  RR )
8 snfi 7637 . . . . . . 7  |-  { 1 }  e.  Fin
9 aalioulem2.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
10 aalioulem2.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1110nnne0d 10643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
12 aalioulem2.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  (deg `  F )
1312eqcomi 2461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (deg `  F )  =  N
14 dgr0 23228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (deg ` 
0p )  =  0
1511, 13, 143netr4g 2703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  =/=  (deg `  0p
) )
16 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  =  0p  -> 
(deg `  F )  =  (deg `  0p
) )
1716necon3i 2656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (deg
`  F )  =/=  (deg `  0p
)  ->  F  =/=  0p )
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =/=  0p )
19 eqid 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F " { 0 } )  =  ( `' F " { 0 } )
2019fta1 23273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  (Poly `  ZZ )  /\  F  =/=  0p )  -> 
( ( `' F " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' F " { 0 } ) )  <_  (deg `  F
) ) )
219, 18, 20syl2anc 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' F " { 0 } ) )  <_  (deg `  F
) ) )
2221simpld 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' F " { 0 } )  e.  Fin )
23 abrexfi 7861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " { 0 } )  e.  Fin  ->  { a  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) }  e.  Fin )
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { a  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) }  e.  Fin )
25 rabssab 3484 . . . . . . . 8  |-  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) }  C_  { a  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b )
) }
26 ssfi 7779 . . . . . . . 8  |-  ( ( { a  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) }  e.  Fin  /\  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) }  C_  { a  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b )
) } )  ->  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b )
) }  e.  Fin )
2724, 25, 26sylancl 673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b )
) }  e.  Fin )
28 unfi 7825 . . . . . . 7  |-  ( ( { 1 }  e.  Fin  /\  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) }  e.  Fin )  ->  ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  e.  Fin )
298, 27, 28sylancr 674 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } )  e.  Fin )
30 1ex 9625 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
3130snid 3964 . . . . . . . 8  |-  1  e.  { 1 }
32 elun1 3569 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  { 1 }  ->  1  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) )
33 ne0i 3705 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  ->  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  =/=  (/) )
3431, 32, 33mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  =/=  (/)
3534a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } )  =/=  (/) )
36 rpssre 11302 . . . . . . . 8  |-  RR+  C_  RR
375, 36sstri 3409 . . . . . . 7  |-  ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  C_  RR
3837a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) 
C_  RR )
39 fiinfcl 8004 . . . . . 6  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  e.  Fin  /\  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } )  =/=  (/)  /\  ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  C_  RR ) )  -> inf ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  <  )  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) )
407, 29, 35, 38, 39syl13anc 1273 . . . . 5  |-  ( ph  -> inf ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  <  )  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) )
415, 40sseldi 3398 . . . 4  |-  ( ph  -> inf ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR+ )
4237a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  C_  RR )
43 0re 9630 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
44 rpge0 11304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  RR+  ->  0  <_ 
d )
4544rgen 2747 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. d  e.  RR+  0  <_  d
46 breq1 4377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  0  ->  (
c  <_  d  <->  0  <_  d ) )
4746ralbidv 2810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  0  ->  ( A. d  e.  RR+  c  <_  d  <->  A. d  e.  RR+  0  <_  d ) )
4847rspcev 3118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. d  e.  RR+  0  <_  d )  ->  E. c  e.  RR  A. d  e.  RR+  c  <_  d )
4943, 45, 48mp2an 683 . . . . . . . . . . 11  |-  E. c  e.  RR  A. d  e.  RR+  c  <_  d
50 ssralv 3461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  C_  RR+  ->  ( A. d  e.  RR+  c  <_  d  ->  A. d  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) c  <_  d )
)
515, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. d  e.  RR+  c  <_ 
d  ->  A. d  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) c  <_  d )
5251reximi 2833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. c  e.  RR  A. d  e.  RR+  c  <_ 
d  ->  E. c  e.  RR  A. d  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) c  <_  d )
5349, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  E. c  e.  RR  A. d  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) c  <_  d
5453a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  E. c  e.  RR  A. d  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) c  <_  d )
55 aalioulem2.d . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5655ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  A  e.  RR )
57 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  r  e.  RR )
5856, 57resubcld 10036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( A  -  r )  e.  RR )
5958recnd 9656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( A  -  r )  e.  CC )
6055ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  ->  A  e.  RR )
6160recnd 9656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  ->  A  e.  CC )
62 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  -> 
r  e.  RR )
6362recnd 9656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  -> 
r  e.  CC )
6461, 63subeq0ad 9983 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  -> 
( ( A  -  r )  =  0  <-> 
A  =  r ) )
6564necon3abid 2660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  -> 
( ( A  -  r )  =/=  0  <->  -.  A  =  r ) )
6665biimprd 231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  -> 
( -.  A  =  r  ->  ( A  -  r )  =/=  0 ) )
6766impr 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( A  -  r )  =/=  0 )
6859, 67absrpcld 13521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( abs `  ( A  -  r ) )  e.  RR+ )
6957recnd 9656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  r  e.  CC )
70 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( F `  r )  =  0 )
71 plyf 23164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  (Poly `  ZZ )  ->  F : CC --> CC )
729, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
73 ffn 5711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : CC --> CC  ->  F  Fn  CC )
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  Fn  CC )
7574ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  F  Fn  CC )
76 fniniseg 5987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  CC  ->  (
r  e.  ( `' F " { 0 } )  <->  ( r  e.  CC  /\  ( F `
 r )  =  0 ) ) )
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  (
r  e.  ( `' F " { 0 } )  <->  ( r  e.  CC  /\  ( F `
 r )  =  0 ) ) )
7869, 70, 77mpbir2and 933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  r  e.  ( `' F " { 0 } ) )
79 eqid 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  ( A  -  r
) )  =  ( abs `  ( A  -  r ) )
80 oveq2 6284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  r  ->  ( A  -  b )  =  ( A  -  r ) )
8180fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  r  ->  ( abs `  ( A  -  b ) )  =  ( abs `  ( A  -  r )
) )
8281eqeq2d 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  r  ->  (
( abs `  ( A  -  r )
)  =  ( abs `  ( A  -  b
) )  <->  ( abs `  ( A  -  r
) )  =  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
8382rspcev 3118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  ( `' F " { 0 } )  /\  ( abs `  ( A  -  r ) )  =  ( abs `  ( A  -  r )
) )  ->  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) ( abs `  ( A  -  r )
)  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) )
8478, 79, 83sylancl 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) ( abs `  ( A  -  r )
)  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) )
85 eqeq1 2456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( abs `  ( A  -  r )
)  ->  ( a  =  ( abs `  ( A  -  b )
)  <->  ( abs `  ( A  -  r )
)  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) ) )
8685rexbidv 2873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( abs `  ( A  -  r )
)  ->  ( E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) )  <->  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) ( abs `  ( A  -  r
) )  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) ) )
8786elrab 3164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( A  -  r ) )  e.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) }  <->  ( ( abs `  ( A  -  r ) )  e.  RR+  /\  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) ( abs `  ( A  -  r )
)  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) ) )
8868, 84, 87sylanbrc 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( abs `  ( A  -  r ) )  e. 
{ a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b )
) } )
89 elun2 3570 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  ( A  -  r ) )  e.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) }  ->  ( abs `  ( A  -  r ) )  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) )
9088, 89syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( abs `  ( A  -  r ) )  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) )
91 infrelb 10585 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) 
C_  RR  /\  E. c  e.  RR  A. d  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) c  <_  d  /\  ( abs `  ( A  -  r ) )  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) )  -> inf ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  <  )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
9242, 54, 90, 91syl3anc 1271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  -> inf ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  <  )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
9392expr 624 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  -> 
( -.  A  =  r  -> inf ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  <  )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
9493orrd 384 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  -> 
( A  =  r  \/ inf ( ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  <  )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
9594ex 440 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( F `  r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/ inf ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  <  )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) )
9695ralrimiva 2790 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR  ( ( F `  r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/ inf ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  <  )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) )
97 breq1 4377 . . . . . . . 8  |-  ( x  = inf ( ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  <  )  ->  (
x  <_  ( abs `  ( A  -  r
) )  <-> inf ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  <  )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
9897orbi2d 713 . . . . . . 7  |-  ( x  = inf ( ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  <  )  ->  (
( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )  <-> 
( A  =  r  \/ inf ( ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  <  )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) )
9998imbi2d 322 . . . . . 6  |-  ( x  = inf ( ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  <  )  ->  (
( ( F `  r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  x  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) )  <->  ( ( F `  r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/ inf ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  <  )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) ) )
10099ralbidv 2810 . . . . 5  |-  ( x  = inf ( ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  <  )  ->  ( A. r  e.  RR  ( ( F `  r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  x  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) )  <->  A. r  e.  RR  ( ( F `
 r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/ inf ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  <  )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) ) )
101100rspcev 3118 . . . 4  |-  ( (inf ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR+  /\ 
A. r  e.  RR  ( ( F `  r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/ inf ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  <  )  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  ( ( F `
 r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
10241, 96, 101syl2anc 671 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  (
( F `  r
)  =  0  -> 
( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) )
103 znq 11258 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  QQ )
104 qre 11259 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  /  q )  e.  QQ  ->  (
p  /  q )  e.  RR )
105103, 104syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  RR )
106 fveq2 5848 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  ( F `  r )  =  ( F `  ( p  /  q
) ) )
107106eqeq1d 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  (
( F `  r
)  =  0  <->  ( F `  ( p  /  q ) )  =  0 ) )
108 eqeq2 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  ( A  =  r  <->  A  =  ( p  /  q
) ) )
109 oveq2 6284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  ( A  -  r )  =  ( A  -  ( p  /  q
) ) )
110109fveq2d 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  ( abs `  ( A  -  r ) )  =  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
111110breq2d 4386 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  (
x  <_  ( abs `  ( A  -  r
) )  <->  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) ) ) )
112108, 111orbi12d 721 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  (
( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )  <-> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
113107, 112imbi12d 326 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  (
( ( F `  r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  x  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) )  <->  ( ( F `  ( p  /  q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) ) )
114113rspcv 3114 . . . . . . 7  |-  ( ( p  /  q )  e.  RR  ->  ( A. r  e.  RR  ( ( F `  r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  x  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) )  -> 
( ( F `  ( p  /  q
) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
115105, 114syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( A. r  e.  RR  ( ( F `
 r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  -> 
( ( F `  ( p  /  q
) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
116115com12 32 . . . . 5  |-  ( A. r  e.  RR  (
( F `  r
)  =  0  -> 
( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )  ->  ( (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
117116ralrimivv 2794 . . . 4  |-  ( A. r  e.  RR  (
( F `  r
)  =  0  -> 
( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )  ->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
118117reximi 2833 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  ( ( F `
 r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
119102, 118syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
120 simplr 767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  x  e.  RR+ )
121 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  q  e.  NN )
12210nnnn0d 10915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
123122ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  N  e.  NN0 )
124121, 123nnexpcld 12431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( q ^ N )  e.  NN )
125124nnrpd 11329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( q ^ N )  e.  RR+ )
126120, 125rpdivcld 11348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
127126rpred 11331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
128127adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
129 simpllr 774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
130129rpred 11331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
13155ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  A  e.  RR )
132105adantl 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( p  /  q )  e.  RR )
133131, 132resubcld 10036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  RR )
134133recnd 9656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  CC )
135134abscld 13509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR )
136135adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  e.  RR )
137 rpre 11298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
138137ad2antlr 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  x  e.  RR )
139120rpcnne0d 11340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
140 divid 10286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( x  /  x
)  =  1 )
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( x  /  x )  =  1 )
142124nnge1d 10641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  1  <_  ( q ^ N ) )
143141, 142eqbrtrd 4395 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( x  /  x )  <_  (
q ^ N ) )
144138, 120, 125, 143lediv23d 11394 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_  x )
145144adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  x )
146 simpr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
147128, 130, 136, 145, 146letrd 9779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
148147ex 440 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
149148orim2d 855 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( ( A  =  ( p  /  q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
150149imim2d 54 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )  ->  ( ( F `  ( p  /  q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) ) )
151150ralimdvva 2788 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  ->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) ) )
152151reximdva 2839 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
153119, 152mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    = wceq 1448    e. wcel 1891   {cab 2438    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741    u. cun 3370    C_ wss 3372   (/)c0 3699   {csn 3936   class class class wbr 4374    Or wor 4732   `'ccnv 4811   "cima 4815    Fn wfn 5556   -->wf 5557   ` cfv 5561  (class class class)co 6276   Fincfn 7556  infcinf 7942   CCcc 9524   RRcr 9525   0cc0 9526   1c1 9527    < clt 9662    <_ cle 9663    - cmin 9847    / cdiv 10258   NNcn 10598   NN0cn0 10859   ZZcz 10927   QQcq 11254   RR+crp 11292   ^cexp 12266   #chash 12509   abscabs 13308   0pc0p 22639  Polycply 23150  degcdgr 23153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pow 4554  ax-pr 4612  ax-un 6571  ax-inf2 8133  ax-cnex 9582  ax-resscn 9583  ax-1cn 9584  ax-icn 9585  ax-addcl 9586  ax-addrcl 9587  ax-mulcl 9588  ax-mulrcl 9589  ax-mulcom 9590  ax-addass 9591  ax-mulass 9592  ax-distr 9593  ax-i2m1 9594  ax-1ne0 9595  ax-1rid 9596  ax-rnegex 9597  ax-rrecex 9598  ax-cnre 9599  ax-pre-lttri 9600  ax-pre-lttrn 9601  ax-pre-ltadd 9602  ax-pre-mulgt0 9603  ax-pre-sup 9604  ax-addf 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1451  df-fal 1454  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3015  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4169  df-int 4205  df-iun 4250  df-br 4375  df-opab 4434  df-mpt 4435  df-tr 4470  df-eprel 4723  df-id 4727  df-po 4733  df-so 4734  df-fr 4771  df-se 4772  df-we 4773  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-pred 5359  df-ord 5405  df-on 5406  df-lim 5407  df-suc 5408  df-iota 5525  df-fun 5563  df-fn 5564  df-f 5565  df-f1 5566  df-fo 5567  df-f1o 5568  df-fv 5569  df-isom 5570  df-riota 6238  df-ov 6279  df-oprab 6280  df-mpt2 6281  df-of 6519  df-om 6681  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-sup 7943  df-inf 7944  df-oi 8012  df-card 8360  df-cda 8585  df-pnf 9664  df-mnf 9665  df-xr 9666  df-ltxr 9667  df-le 9668  df-sub 9849  df-neg 9850  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-n0 10860  df-z 10928  df-uz 11150  df-q 11255  df-rp 11293  df-fz 11776  df-fzo 11909  df-fl 12022  df-seq 12208  df-exp 12267  df-hash 12510  df-cj 13173  df-re 13174  df-im 13175  df-sqrt 13309  df-abs 13310  df-clim 13563  df-rlim 13564  df-sum 13764  df-0p 22640  df-ply 23154  df-idp 23155  df-coe 23156  df-dgr 23157  df-quot 23256
This theorem is referenced by:  aalioulem6  23305
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