Theorem aalioulem2 22814

Description: Lemma for aaliou 22819. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aalioulem2.a	|- N = (deg ` F )
aalioulem2.b	|- ( ph -> F e. (Poly ` ZZ ) )
aalioulem2.c	|- ( ph -> N e. NN )
aalioulem2.d	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
aalioulem2	|- ( ph -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x, p, q   x, A, p, q   x, F, p, q

Allowed substitution hints:   N( x, q, p)

Proof of Theorem aalioulem2

Dummy variables r a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 11143	. . . . . . 7 |- 1 e. RR+
2		snssi 4088	. . . . . . 7 |- ( 1 e. RR+ -> { 1 } C_ RR+ )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { 1 } C_ RR+
4		ssrab2 3499	. . . . . 6 |- { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } C_ RR+
5	3, 4	unssi 3593	. . . . 5 |- ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR+
6		gtso 9577	. . . . . . 7 |- `' < Or RR
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> `' < Or RR )
8		snfi 7515	. . . . . . 7 |- { 1 } e. Fin
9		aalioulem2.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. (Poly ` ZZ ) )
10		aalioulem2.c	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN )
11	10	nnne0d 10497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N =/= 0 )
12		aalioulem2.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- N = (deg ` F )
13	12	eqcomi 2395	. . . . . . . . . . . . 13 |- (deg ` F ) = N
14		dgr0 22744	. . . . . . . . . . . . 13 |- (deg ` 0p ) = 0
15	11, 13, 14	3netr4g 2690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (deg ` F ) =/= (deg ` 0p ) )
16		fveq2 5774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F = 0p -> (deg ` F ) = (deg ` 0p ) )
17	16	necon3i 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (deg ` F ) =/= (deg ` 0p ) -> F =/= 0p )
18	15, 17	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F =/= 0p )
19		eqid 2382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F " { 0 } ) = ( `' F " { 0 } )
20	19	fta1 22789	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. (Poly ` ZZ ) /\ F =/= 0p ) -> ( ( `' F " { 0 } ) e. Fin /\ ( # ` ( `' F " { 0 } ) ) <_ (deg ` F ) ) )
21	9, 18, 20	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( `' F " { 0 } ) e. Fin /\ ( # ` ( `' F " { 0 } ) ) <_ (deg ` F ) ) )
22	21	simpld 457	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( `' F " { 0 } ) e. Fin )
23		abrexfi 7735	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " { 0 } ) e. Fin -> { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin )
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin )
25		rabssab 3501	. . . . . . . 8 |- { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } C_ { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) }
26		ssfi 7656	. . . . . . . 8 |- ( ( { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin /\ { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } C_ { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) -> { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin )
27	24, 25, 26	sylancl 660	. . . . . . 7 |- ( ph -> { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin )
28		unfi 7702	. . . . . . 7 |- ( ( { 1 } e. Fin /\ { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin ) -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) e. Fin )
29	8, 27, 28	sylancr 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) e. Fin )
30		1ex 9502	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
31	30	snid 3972	. . . . . . . 8 |- 1 e. { 1 }
32		elun1 3585	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. { 1 } -> 1 e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
33		ne0i 3717	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) =/= (/) )
34	31, 32, 33	mp2b 10	. . . . . . 7 |- ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) =/= (/)
35	34	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) =/= (/) )
36		rpssre 11149	. . . . . . . 8 |- RR+ C_ RR
37	5, 36	sstri 3426	. . . . . . 7 |- ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR
38	37	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR )
39		fisupcl 7842	. . . . . 6 |- ( ( `' < Or RR /\ ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) e. Fin /\ ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) =/= (/) /\ ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR ) ) -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
40	7, 29, 35, 38, 39	syl13anc 1228	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
41	5, 40	sseldi 3415	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) e. RR+ )
42	37	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR )
43		0re 9507	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
44		rpge0 11151	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. RR+ -> 0 <_ d )
45	44	rgen 2742	. . . . . . . . . . . 12 |- A. d e. RR+ 0 <_ d
46		breq1 4370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = 0 -> ( c <_ d <-> 0 <_ d ) )
47	46	ralbidv 2821	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = 0 -> ( A. d e. RR+ c <_ d <-> A. d e. RR+ 0 <_ d ) )
48	47	rspcev 3135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ A. d e. RR+ 0 <_ d ) -> E. c e. RR A. d e. RR+ c <_ d )
49	43, 45, 48	mp2an 670	. . . . . . . . . . 11 |- E. c e. RR A. d e. RR+ c <_ d
50		ssralv 3478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR+ -> ( A. d e. RR+ c <_ d -> A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d ) )
51	5, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. d e. RR+ c <_ d -> A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d )
52	51	reximi 2850	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. c e. RR A. d e. RR+ c <_ d -> E. c e. RR A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d )
53	49, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- E. c e. RR A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d
54	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> E. c e. RR A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d )
55		aalioulem2.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR )
56	55	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> A e. RR )
57		simplr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> r e. RR )
58	56, 57	resubcld 9905	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( A - r ) e. RR )
59	58	recnd 9533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( A - r ) e. CC )
60	55	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> A e. RR )
61	60	recnd 9533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> A e. CC )
62		simplr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> r e. RR )
63	62	recnd 9533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> r e. CC )
64	61, 63	subeq0ad 9854	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( ( A - r ) = 0 <-> A = r ) )
65	64	necon3abid 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( ( A - r ) =/= 0 <-> -. A = r ) )
66	65	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( -. A = r -> ( A - r ) =/= 0 ) )
67	66	impr 617	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( A - r ) =/= 0 )
68	59, 67	absrpcld 13281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( abs ` ( A - r ) ) e. RR+ )
69	57	recnd 9533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> r e. CC )
70		simprl 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( F ` r ) = 0 )
71		plyf 22680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. (Poly ` ZZ ) -> F : CC --> CC )
72	9, 71	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : CC --> CC )
73		ffn 5639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : CC --> CC -> F Fn CC )
74	72, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F Fn CC )
75	74	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> F Fn CC )
76		fniniseg 5910	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn CC -> ( r e. ( `' F " { 0 } ) <-> ( r e. CC /\ ( F ` r ) = 0 ) ) )
77	75, 76	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( r e. ( `' F " { 0 } ) <-> ( r e. CC /\ ( F ` r ) = 0 ) ) )
78	69, 70, 77	mpbir2and 920	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> r e. ( `' F " { 0 } ) )
79		eqid 2382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - r ) )
80		oveq2 6204	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = r -> ( A - b ) = ( A - r ) )
81	80	fveq2d 5778	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = r -> ( abs ` ( A - b ) ) = ( abs ` ( A - r ) ) )
82	81	eqeq2d 2396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = r -> ( ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) <-> ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - r ) ) ) )
83	82	rspcev 3135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( r e. ( `' F " { 0 } ) /\ ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - r ) ) ) -> E. b e. ( `' F " { 0 } ) ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) )
84	78, 79, 83	sylancl 660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> E. b e. ( `' F " { 0 } ) ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) )
85		eqeq1 2386	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( abs ` ( A - r ) ) -> ( a = ( abs ` ( A - b ) ) <-> ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) ) )
86	85	rexbidv 2893	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( abs ` ( A - r ) ) -> ( E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) <-> E. b e. ( `' F " { 0 } ) ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) ) )
87	86	elrab 3182	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( A - r ) ) e. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } <-> ( ( abs ` ( A - r ) ) e. RR+ /\ E. b e. ( `' F " { 0 } ) ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) ) )
88	68, 84, 87	sylanbrc 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( abs ` ( A - r ) ) e. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } )
89		elun2 3586	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs ` ( A - r ) ) e. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } -> ( abs ` ( A - r ) ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
90	88, 89	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( abs ` ( A - r ) ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
91		infmrlb 10440	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR /\ E. c e. RR A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d /\ ( abs ` ( A - r ) ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) ) -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) )
92	42, 54, 90, 91	syl3anc 1226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) )
93	92	expr 613	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( -. A = r -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
94	93	orrd 376	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
95	94	ex 432	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR ) -> ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
96	95	ralrimiva 2796	. . . 4 |- ( ph -> A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
97		breq1 4370	. . . . . . . 8 |- ( x = sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) -> ( x <_ ( abs ` ( A - r ) ) <-> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
98	97	orbi2d 699	. . . . . . 7 |- ( x = sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) -> ( ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) <-> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
99	98	imbi2d 314	. . . . . 6 |- ( x = sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) -> ( ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) <-> ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) )
100	99	ralbidv 2821	. . . . 5 |- ( x = sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) -> ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) <-> A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) )
101	100	rspcev 3135	. . . 4 |- ( ( sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) e. RR+ /\ A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
102	41, 96, 101	syl2anc 659	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR+ A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
103		znq 11105	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( p / q ) e. QQ )
104		qre 11106	. . . . . . . 8 |- ( ( p / q ) e. QQ -> ( p / q ) e. RR )
105	103, 104	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( p / q ) e. RR )
106		fveq2 5774	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( p / q ) -> ( F ` r ) = ( F ` ( p / q ) ) )
107	106	eqeq1d 2384	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( p / q ) -> ( ( F ` r ) = 0 <-> ( F ` ( p / q ) ) = 0 ) )
108		eqeq2 2397	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( p / q ) -> ( A = r <-> A = ( p / q ) ) )
109		oveq2 6204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = ( p / q ) -> ( A - r ) = ( A - ( p / q ) ) )
110	109	fveq2d 5778	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( p / q ) -> ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
111	110	breq2d 4379	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( p / q ) -> ( x <_ ( abs ` ( A - r ) ) <-> x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
112	108, 111	orbi12d 707	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( p / q ) -> ( ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) <-> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
113	107, 112	imbi12d 318	. . . . . . . 8 |- ( r = ( p / q ) -> ( ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) <-> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
114	113	rspcv 3131	. . . . . . 7 |- ( ( p / q ) e. RR -> ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
115	105, 114	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
116	115	com12 31	. . . . 5 |- ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
117	116	ralrimivv 2802	. . . 4 |- ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
118	117	reximi 2850	. . 3 |- ( E. x e. RR+ A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
119	102, 118	syl 16	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
120		simplr 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> x e. RR+ )
121		simprr 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> q e. NN )
122	10	nnnn0d 10769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN0 )
123	122	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> N e. NN0 )
124	121, 123	nnexpcld 12233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( q ^ N ) e. NN )
125	124	nnrpd 11175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( q ^ N ) e. RR+ )
126	120, 125	rpdivcld 11194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) e. RR+ )
127	126	rpred 11177	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) e. RR )
128	127	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) e. RR )
129		simpllr 758	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> x e. RR+ )
130	129	rpred 11177	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> x e. RR )
131	55	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> A e. RR )
132	105	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( p / q ) e. RR )
133	131, 132	resubcld 9905	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( A - ( p / q ) ) e. RR )
134	133	recnd 9533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( A - ( p / q ) ) e. CC )
135	134	abscld 13269	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR )
136	135	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR )
137		rpre 11145	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
138	137	ad2antlr 724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> x e. RR )
139	120	rpcnne0d 11186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
140		divid 10151	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ x =/= 0 ) -> ( x / x ) = 1 )
141	139, 140	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / x ) = 1 )
142	124	nnge1d 10495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> 1 <_ ( q ^ N ) )
143	141, 142	eqbrtrd 4387	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / x ) <_ ( q ^ N ) )
144	138, 120, 125, 143	lediv23d 11234	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) <_ x )
145	144	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) <_ x )
146		simpr 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
147	128, 130, 136, 145, 146	letrd 9650	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
148	147	ex 432	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
149	148	orim2d 838	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
150	149	imim2d 52	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
151	150	ralimdvva 2793	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
152	151	reximdva 2857	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
153	119, 152	mpd 15	1 |- ( ph -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   = wceq 1399   e. wcel 1826   {cab 2367   =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   {crab 2736   u. cun 3387   C_ wss 3389   (/)c0 3711   {csn 3944   class class class wbr 4367   Or wor 4713   `'ccnv 4912   "cima 4916   Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Fincfn 7435   supcsup 7815   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404   < clt 9539   <_ cle 9540   - cmin 9718   / cdiv 10123   NNcn 10452   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   QQcq 11101   RR+crp 11139   ^cexp 12069   #chash 12307   abscabs 13069   0pc0p 22161  Polycply 22666  degcdgr 22669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-0p 22162  df-ply 22670  df-idp 22671  df-coe 22672  df-dgr 22673  df-quot 22772

This theorem is referenced by:  aalioulem6  22818