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Theorem aalioulem2 22814
Description: Lemma for aaliou 22819. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a  |-  N  =  (deg `  F )
aalioulem2.b  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
aalioulem2.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
aalioulem2.d  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
aalioulem2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, p, q    x, A, p, q    x, F, p, q
Allowed substitution hints:    N( x, q, p)

Proof of Theorem aalioulem2
Dummy variables  r 
a  b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 11143 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR+
2 snssi 4088 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR+  ->  { 1 }  C_  RR+ )
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { 1 }  C_  RR+
4 ssrab2 3499 . . . . . 6  |-  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) }  C_  RR+
53, 4unssi 3593 . . . . 5  |-  ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  C_  RR+
6 gtso 9577 . . . . . . 7  |-  `'  <  Or  RR
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `'  <  Or  RR )
8 snfi 7515 . . . . . . 7  |-  { 1 }  e.  Fin
9 aalioulem2.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  ZZ ) )
10 aalioulem2.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1110nnne0d 10497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
12 aalioulem2.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  (deg `  F )
1312eqcomi 2395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (deg `  F )  =  N
14 dgr0 22744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (deg ` 
0p )  =  0
1511, 13, 143netr4g 2690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  =/=  (deg `  0p
) )
16 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  =  0p  -> 
(deg `  F )  =  (deg `  0p
) )
1716necon3i 2622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (deg
`  F )  =/=  (deg `  0p
)  ->  F  =/=  0p )
1815, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =/=  0p )
19 eqid 2382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F " { 0 } )  =  ( `' F " { 0 } )
2019fta1 22789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  (Poly `  ZZ )  /\  F  =/=  0p )  -> 
( ( `' F " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' F " { 0 } ) )  <_  (deg `  F
) ) )
219, 18, 20syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' F " { 0 } ) )  <_  (deg `  F
) ) )
2221simpld 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' F " { 0 } )  e.  Fin )
23 abrexfi 7735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " { 0 } )  e.  Fin  ->  { a  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) }  e.  Fin )
2422, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { a  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) }  e.  Fin )
25 rabssab 3501 . . . . . . . 8  |-  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) }  C_  { a  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b )
) }
26 ssfi 7656 . . . . . . . 8  |-  ( ( { a  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) }  e.  Fin  /\  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) }  C_  { a  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b )
) } )  ->  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b )
) }  e.  Fin )
2724, 25, 26sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b )
) }  e.  Fin )
28 unfi 7702 . . . . . . 7  |-  ( ( { 1 }  e.  Fin  /\  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) }  e.  Fin )  ->  ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  e.  Fin )
298, 27, 28sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } )  e.  Fin )
30 1ex 9502 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
3130snid 3972 . . . . . . . 8  |-  1  e.  { 1 }
32 elun1 3585 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  { 1 }  ->  1  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) )
33 ne0i 3717 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  ->  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  =/=  (/) )
3431, 32, 33mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  =/=  (/)
3534a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } )  =/=  (/) )
36 rpssre 11149 . . . . . . . 8  |-  RR+  C_  RR
375, 36sstri 3426 . . . . . . 7  |-  ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  C_  RR
3837a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) 
C_  RR )
39 fisupcl 7842 . . . . . 6  |-  ( ( `'  <  Or  RR  /\  ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  e.  Fin  /\  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } )  =/=  (/)  /\  ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  C_  RR ) )  ->  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) )
407, 29, 35, 38, 39syl13anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) )
415, 40sseldi 3415 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR+ )
4237a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  C_  RR )
43 0re 9507 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
44 rpge0 11151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  RR+  ->  0  <_ 
d )
4544rgen 2742 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. d  e.  RR+  0  <_  d
46 breq1 4370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  0  ->  (
c  <_  d  <->  0  <_  d ) )
4746ralbidv 2821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  0  ->  ( A. d  e.  RR+  c  <_  d  <->  A. d  e.  RR+  0  <_  d ) )
4847rspcev 3135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. d  e.  RR+  0  <_  d )  ->  E. c  e.  RR  A. d  e.  RR+  c  <_  d )
4943, 45, 48mp2an 670 . . . . . . . . . . 11  |-  E. c  e.  RR  A. d  e.  RR+  c  <_  d
50 ssralv 3478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } )  C_  RR+  ->  ( A. d  e.  RR+  c  <_  d  ->  A. d  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) c  <_  d )
)
515, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. d  e.  RR+  c  <_ 
d  ->  A. d  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) c  <_  d )
5251reximi 2850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. c  e.  RR  A. d  e.  RR+  c  <_ 
d  ->  E. c  e.  RR  A. d  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) c  <_  d )
5349, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  E. c  e.  RR  A. d  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) c  <_  d
5453a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  E. c  e.  RR  A. d  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) c  <_  d )
55 aalioulem2.d . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5655ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  A  e.  RR )
57 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  r  e.  RR )
5856, 57resubcld 9905 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( A  -  r )  e.  RR )
5958recnd 9533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( A  -  r )  e.  CC )
6055ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  ->  A  e.  RR )
6160recnd 9533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  ->  A  e.  CC )
62 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  -> 
r  e.  RR )
6362recnd 9533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  -> 
r  e.  CC )
6461, 63subeq0ad 9854 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  -> 
( ( A  -  r )  =  0  <-> 
A  =  r ) )
6564necon3abid 2628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  -> 
( ( A  -  r )  =/=  0  <->  -.  A  =  r ) )
6665biimprd 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  -> 
( -.  A  =  r  ->  ( A  -  r )  =/=  0 ) )
6766impr 617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( A  -  r )  =/=  0 )
6859, 67absrpcld 13281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( abs `  ( A  -  r ) )  e.  RR+ )
6957recnd 9533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  r  e.  CC )
70 simprl 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( F `  r )  =  0 )
71 plyf 22680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  (Poly `  ZZ )  ->  F : CC --> CC )
729, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
73 ffn 5639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : CC --> CC  ->  F  Fn  CC )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  Fn  CC )
7574ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  F  Fn  CC )
76 fniniseg 5910 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  CC  ->  (
r  e.  ( `' F " { 0 } )  <->  ( r  e.  CC  /\  ( F `
 r )  =  0 ) ) )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  (
r  e.  ( `' F " { 0 } )  <->  ( r  e.  CC  /\  ( F `
 r )  =  0 ) ) )
7869, 70, 77mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  r  e.  ( `' F " { 0 } ) )
79 eqid 2382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  ( A  -  r
) )  =  ( abs `  ( A  -  r ) )
80 oveq2 6204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  r  ->  ( A  -  b )  =  ( A  -  r ) )
8180fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  r  ->  ( abs `  ( A  -  b ) )  =  ( abs `  ( A  -  r )
) )
8281eqeq2d 2396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  r  ->  (
( abs `  ( A  -  r )
)  =  ( abs `  ( A  -  b
) )  <->  ( abs `  ( A  -  r
) )  =  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )
8382rspcev 3135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  ( `' F " { 0 } )  /\  ( abs `  ( A  -  r ) )  =  ( abs `  ( A  -  r )
) )  ->  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) ( abs `  ( A  -  r )
)  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) )
8478, 79, 83sylancl 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) ( abs `  ( A  -  r )
)  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) )
85 eqeq1 2386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( abs `  ( A  -  r )
)  ->  ( a  =  ( abs `  ( A  -  b )
)  <->  ( abs `  ( A  -  r )
)  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) ) )
8685rexbidv 2893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( abs `  ( A  -  r )
)  ->  ( E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) )  <->  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) ( abs `  ( A  -  r
) )  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) ) )
8786elrab 3182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( A  -  r ) )  e.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) }  <->  ( ( abs `  ( A  -  r ) )  e.  RR+  /\  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) ( abs `  ( A  -  r )
)  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) ) )
8868, 84, 87sylanbrc 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( abs `  ( A  -  r ) )  e. 
{ a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b )
) } )
89 elun2 3586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  ( A  -  r ) )  e.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) }  ->  ( abs `  ( A  -  r ) )  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) )
9088, 89syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  ( abs `  ( A  -  r ) )  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) )
91 infmrlb 10440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) 
C_  RR  /\  E. c  e.  RR  A. d  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) c  <_  d  /\  ( abs `  ( A  -  r ) )  e.  ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) )  ->  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) )
9242, 54, 90, 91syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  (
( F `  r
)  =  0  /\ 
-.  A  =  r ) )  ->  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) )
9392expr 613 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  -> 
( -.  A  =  r  ->  sup (
( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )
9493orrd 376 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR )  /\  ( F `  r )  =  0 )  -> 
( A  =  r  \/  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) )
9594ex 432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( F `  r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
9695ralrimiva 2796 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR  ( ( F `  r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  sup (
( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) ) )
97 breq1 4370 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  -> 
( x  <_  ( abs `  ( A  -  r ) )  <->  sup (
( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b
) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )
9897orbi2d 699 . . . . . . 7  |-  ( x  =  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  -> 
( ( A  =  r  \/  x  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) )  <->  ( A  =  r  \/  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
9998imbi2d 314 . . . . . 6  |-  ( x  =  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  -> 
( ( ( F `
 r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  <->  ( ( F `  r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) ) ) )
10099ralbidv 2821 . . . . 5  |-  ( x  =  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  -> 
( A. r  e.  RR  ( ( F `
 r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  <->  A. r  e.  RR  ( ( F `
 r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) ) ) )
101100rspcev 3135 . . . 4  |-  ( ( sup ( ( { 1 }  u.  {
a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR+  /\  A. r  e.  RR  ( ( F `
 r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  sup ( ( { 1 }  u.  { a  e.  RR+  |  E. b  e.  ( `' F " { 0 } ) a  =  ( abs `  ( A  -  b ) ) } ) ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  (
( F `  r
)  =  0  -> 
( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) )
10241, 96, 101syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  (
( F `  r
)  =  0  -> 
( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) ) )
103 znq 11105 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  QQ )
104 qre 11106 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  /  q )  e.  QQ  ->  (
p  /  q )  e.  RR )
105103, 104syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  RR )
106 fveq2 5774 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  ( F `  r )  =  ( F `  ( p  /  q
) ) )
107106eqeq1d 2384 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  (
( F `  r
)  =  0  <->  ( F `  ( p  /  q ) )  =  0 ) )
108 eqeq2 2397 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  ( A  =  r  <->  A  =  ( p  /  q
) ) )
109 oveq2 6204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  ( A  -  r )  =  ( A  -  ( p  /  q
) ) )
110109fveq2d 5778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  ( abs `  ( A  -  r ) )  =  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
111110breq2d 4379 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  (
x  <_  ( abs `  ( A  -  r
) )  <->  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) ) ) )
112108, 111orbi12d 707 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  (
( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) )  <-> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
113107, 112imbi12d 318 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( p  / 
q )  ->  (
( ( F `  r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  x  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) )  <->  ( ( F `  ( p  /  q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) ) )
114113rspcv 3131 . . . . . . 7  |-  ( ( p  /  q )  e.  RR  ->  ( A. r  e.  RR  ( ( F `  r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  x  <_ 
( abs `  ( A  -  r )
) ) )  -> 
( ( F `  ( p  /  q
) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
115105, 114syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( A. r  e.  RR  ( ( F `
 r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  -> 
( ( F `  ( p  /  q
) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
116115com12 31 . . . . 5  |-  ( A. r  e.  RR  (
( F `  r
)  =  0  -> 
( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )  ->  ( (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( p  /  q
) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
117116ralrimivv 2802 . . . 4  |-  ( A. r  e.  RR  (
( F `  r
)  =  0  -> 
( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r ) ) ) )  ->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
118117reximi 2850 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR+  A. r  e.  RR  ( ( F `
 r )  =  0  ->  ( A  =  r  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
119102, 118syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
120 simplr 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  x  e.  RR+ )
121 simprr 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  q  e.  NN )
12210nnnn0d 10769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
123122ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  N  e.  NN0 )
124121, 123nnexpcld 12233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( q ^ N )  e.  NN )
125124nnrpd 11175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( q ^ N )  e.  RR+ )
126120, 125rpdivcld 11194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  e.  RR+ )
127126rpred 11177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
128127adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  /  ( q ^ N ) )  e.  RR )
129 simpllr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
130129rpred 11177 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
13155ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  A  e.  RR )
132105adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( p  /  q )  e.  RR )
133131, 132resubcld 9905 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  RR )
134133recnd 9533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( A  -  ( p  / 
q ) )  e.  CC )
135134abscld 13269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  e.  RR )
136135adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) )  e.  RR )
137 rpre 11145 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
138137ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  x  e.  RR )
139120rpcnne0d 11186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
140 divid 10151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( x  /  x
)  =  1 )
141139, 140syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( x  /  x )  =  1 )
142124nnge1d 10495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  1  <_  ( q ^ N ) )
143141, 142eqbrtrd 4387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( x  /  x )  <_  (
q ^ N ) )
144138, 120, 125, 143lediv23d 11234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_  x )
145144adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  x )
146 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
147128, 130, 136, 145, 146letrd 9650 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  /\  x  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  ->  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
148147ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  ->  ( x  /  ( q ^ N ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
149148orim2d 838 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( ( A  =  ( p  /  q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
150149imim2d 52 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )
)  ->  ( (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )  ->  ( ( F `  ( p  /  q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) ) ) )
151150ralimdvva 2793 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  ->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) ) )
152151reximdva 2857 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  x  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( ( F `
 ( p  / 
q ) )  =  0  ->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
x  /  ( q ^ N ) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) ) )
153119, 152mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  (
( F `  (
p  /  q ) )  =  0  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ N
) )  <_  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   {cab 2367    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   {crab 2736    u. cun 3387    C_ wss 3389   (/)c0 3711   {csn 3944   class class class wbr 4367    Or wor 4713   `'ccnv 4912   "cima 4916    Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Fincfn 7435   supcsup 7815   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718    / cdiv 10123   NNcn 10452   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   QQcq 11101   RR+crp 11139   ^cexp 12069   #chash 12307   abscabs 13069   0pc0p 22161  Polycply 22666  degcdgr 22669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-0p 22162  df-ply 22670  df-idp 22671  df-coe 22672  df-dgr 22673  df-quot 22772
This theorem is referenced by:  aalioulem6  22818
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