Theorem aalioulem2 20203

Description: Lemma for aaliou 20208. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aalioulem2.a	|- N = (deg ` F )
aalioulem2.b	|- ( ph -> F e. (Poly ` ZZ ) )
aalioulem2.c	|- ( ph -> N e. NN )
aalioulem2.d	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
aalioulem2	|- ( ph -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x, p, q   x, A, p, q   x, F, p, q

Allowed substitution hints:   N( x, q, p)

Proof of Theorem aalioulem2

Dummy variables r a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 10572	. . . . . . 7 |- 1 e. RR+
2		snssi 3902	. . . . . . 7 |- ( 1 e. RR+ -> { 1 } C_ RR+ )
3	1, 2	ax-mp 8	. . . . . 6 |- { 1 } C_ RR+
4		ssrab2 3388	. . . . . 6 |- { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } C_ RR+
5	3, 4	unssi 3482	. . . . 5 |- ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR+
6		ltso 9112	. . . . . . . 8 |- < Or RR
7		cnvso 5370	. . . . . . . 8 |- ( < Or RR <-> `' < Or RR )
8	6, 7	mpbi 200	. . . . . . 7 |- `' < Or RR
9	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> `' < Or RR )
10		snfi 7146	. . . . . . 7 |- { 1 } e. Fin
11		aalioulem2.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. (Poly ` ZZ ) )
12		aalioulem2.c	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN )
13	12	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N =/= 0 )
14		aalioulem2.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- N = (deg ` F )
15	14	eqcomi 2408	. . . . . . . . . . . . 13 |- (deg ` F ) = N
16		dgr0 20133	. . . . . . . . . . . . 13 |- (deg ` 0 p ) = 0
17	13, 15, 16	3netr4g 2596	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (deg ` F ) =/= (deg ` 0 p ) )
18		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F = 0 p -> (deg ` F ) = (deg ` 0 p ) )
19	18	necon3i 2606	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (deg ` F ) =/= (deg ` 0 p ) -> F =/= 0 p )
20	17, 19	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F =/= 0 p )
21		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F " { 0 } ) = ( `' F " { 0 } )
22	21	fta1 20178	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. (Poly ` ZZ ) /\ F =/= 0 p ) -> ( ( `' F " { 0 } ) e. Fin /\ ( # ` ( `' F " { 0 } ) ) <_ (deg ` F ) ) )
23	11, 20, 22	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( `' F " { 0 } ) e. Fin /\ ( # ` ( `' F " { 0 } ) ) <_ (deg ` F ) ) )
24	23	simpld 446	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( `' F " { 0 } ) e. Fin )
25		abrexfi 7365	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " { 0 } ) e. Fin -> { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin )
26	24, 25	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin )
27		rabssab 3390	. . . . . . . 8 |- { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } C_ { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) }
28		ssfi 7288	. . . . . . . 8 |- ( ( { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin /\ { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } C_ { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) -> { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin )
29	26, 27, 28	sylancl 644	. . . . . . 7 |- ( ph -> { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin )
30		unfi 7333	. . . . . . 7 |- ( ( { 1 } e. Fin /\ { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin ) -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) e. Fin )
31	10, 29, 30	sylancr 645	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) e. Fin )
32		1ex 9042	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
33	32	snid 3801	. . . . . . . 8 |- 1 e. { 1 }
34		elun1 3474	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. { 1 } -> 1 e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
35		ne0i 3594	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) =/= (/) )
36	33, 34, 35	mp2b 10	. . . . . . 7 |- ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) =/= (/)
37	36	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) =/= (/) )
38		rpssre 10578	. . . . . . . 8 |- RR+ C_ RR
39	5, 38	sstri 3317	. . . . . . 7 |- ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR
40	39	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR )
41		fisupcl 7428	. . . . . 6 |- ( ( `' < Or RR /\ ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) e. Fin /\ ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) =/= (/) /\ ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR ) ) -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
42	9, 31, 37, 40, 41	syl13anc 1186	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
43	5, 42	sseldi 3306	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) e. RR+ )
44	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR )
45		0re 9047	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
46		rpge0 10580	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. RR+ -> 0 <_ d )
47	46	rgen 2731	. . . . . . . . . . . 12 |- A. d e. RR+ 0 <_ d
48		breq1 4175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = 0 -> ( c <_ d <-> 0 <_ d ) )
49	48	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = 0 -> ( A. d e. RR+ c <_ d <-> A. d e. RR+ 0 <_ d ) )
50	49	rspcev 3012	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ A. d e. RR+ 0 <_ d ) -> E. c e. RR A. d e. RR+ c <_ d )
51	45, 47, 50	mp2an 654	. . . . . . . . . . 11 |- E. c e. RR A. d e. RR+ c <_ d
52		ssralv 3367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR+ -> ( A. d e. RR+ c <_ d -> A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d ) )
53	5, 52	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. d e. RR+ c <_ d -> A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d )
54	53	reximi 2773	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. c e. RR A. d e. RR+ c <_ d -> E. c e. RR A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d )
55	51, 54	ax-mp 8	. . . . . . . . . 10 |- E. c e. RR A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> E. c e. RR A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d )
57		aalioulem2.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR )
58	57	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> A e. RR )
59		simplr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> r e. RR )
60	58, 59	resubcld 9421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( A - r ) e. RR )
61	60	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( A - r ) e. CC )
62	57	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> A e. RR )
63	62	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> A e. CC )
64		simplr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> r e. RR )
65	64	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> r e. CC )
66	63, 65	subeq0ad 9377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( ( A - r ) = 0 <-> A = r ) )
67	66	necon3abid 2600	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( ( A - r ) =/= 0 <-> -. A = r ) )
68	67	biimprd 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( -. A = r -> ( A - r ) =/= 0 ) )
69	68	impr 603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( A - r ) =/= 0 )
70	61, 69	absrpcld 12205	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( abs ` ( A - r ) ) e. RR+ )
71	59	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> r e. CC )
72		simprl 733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( F ` r ) = 0 )
73		plyf 20070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. (Poly ` ZZ ) -> F : CC --> CC )
74	11, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : CC --> CC )
75		ffn 5550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : CC --> CC -> F Fn CC )
76	74, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F Fn CC )
77	76	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> F Fn CC )
78		fniniseg 5810	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn CC -> ( r e. ( `' F " { 0 } ) <-> ( r e. CC /\ ( F ` r ) = 0 ) ) )
79	77, 78	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( r e. ( `' F " { 0 } ) <-> ( r e. CC /\ ( F ` r ) = 0 ) ) )
80	71, 72, 79	mpbir2and 889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> r e. ( `' F " { 0 } ) )
81		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - r ) )
82		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = r -> ( A - b ) = ( A - r ) )
83	82	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = r -> ( abs ` ( A - b ) ) = ( abs ` ( A - r ) ) )
84	83	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = r -> ( ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) <-> ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - r ) ) ) )
85	84	rspcev 3012	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( r e. ( `' F " { 0 } ) /\ ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - r ) ) ) -> E. b e. ( `' F " { 0 } ) ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) )
86	80, 81, 85	sylancl 644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> E. b e. ( `' F " { 0 } ) ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) )
87		eqeq1 2410	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( abs ` ( A - r ) ) -> ( a = ( abs ` ( A - b ) ) <-> ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) ) )
88	87	rexbidv 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( abs ` ( A - r ) ) -> ( E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) <-> E. b e. ( `' F " { 0 } ) ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) ) )
89	88	elrab 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( A - r ) ) e. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } <-> ( ( abs ` ( A - r ) ) e. RR+ /\ E. b e. ( `' F " { 0 } ) ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) ) )
90	70, 86, 89	sylanbrc 646	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( abs ` ( A - r ) ) e. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } )
91		elun2 3475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs ` ( A - r ) ) e. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } -> ( abs ` ( A - r ) ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
92	90, 91	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( abs ` ( A - r ) ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
93		infmrlb 9945	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR /\ E. c e. RR A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d /\ ( abs ` ( A - r ) ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) ) -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) )
94	44, 56, 92, 93	syl3anc 1184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) )
95	94	expr 599	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( -. A = r -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
96	95	orrd 368	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
97	96	ex 424	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR ) -> ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
98	97	ralrimiva 2749	. . . 4 |- ( ph -> A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
99		breq1 4175	. . . . . . . 8 |- ( x = sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) -> ( x <_ ( abs ` ( A - r ) ) <-> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
100	99	orbi2d 683	. . . . . . 7 |- ( x = sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) -> ( ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) <-> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
101	100	imbi2d 308	. . . . . 6 |- ( x = sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) -> ( ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) <-> ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) )
102	101	ralbidv 2686	. . . . 5 |- ( x = sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) -> ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) <-> A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) )
103	102	rspcev 3012	. . . 4 |- ( ( sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) e. RR+ /\ A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
104	43, 98, 103	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR+ A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
105		znq 10534	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( p / q ) e. QQ )
106		qre 10535	. . . . . . . 8 |- ( ( p / q ) e. QQ -> ( p / q ) e. RR )
107	105, 106	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( p / q ) e. RR )
108		fveq2 5687	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( p / q ) -> ( F ` r ) = ( F ` ( p / q ) ) )
109	108	eqeq1d 2412	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( p / q ) -> ( ( F ` r ) = 0 <-> ( F ` ( p / q ) ) = 0 ) )
110		eqeq2 2413	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( p / q ) -> ( A = r <-> A = ( p / q ) ) )
111		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = ( p / q ) -> ( A - r ) = ( A - ( p / q ) ) )
112	111	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( p / q ) -> ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
113	112	breq2d 4184	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( p / q ) -> ( x <_ ( abs ` ( A - r ) ) <-> x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
114	110, 113	orbi12d 691	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( p / q ) -> ( ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) <-> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
115	109, 114	imbi12d 312	. . . . . . . 8 |- ( r = ( p / q ) -> ( ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) <-> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
116	115	rspcv 3008	. . . . . . 7 |- ( ( p / q ) e. RR -> ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
117	107, 116	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
118	117	com12 29	. . . . 5 |- ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
119	118	ralrimivv 2757	. . . 4 |- ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
120	119	reximi 2773	. . 3 |- ( E. x e. RR+ A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
121	104, 120	syl 16	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
122		simplr 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> x e. RR+ )
123		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> q e. NN )
124	12	nnnn0d 10230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. NN0 )
125	124	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> N e. NN0 )
126	123, 125	nnexpcld 11499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( q ^ N ) e. NN )
127	126	nnrpd 10603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( q ^ N ) e. RR+ )
128	122, 127	rpdivcld 10621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) e. RR+ )
129	128	rpred 10604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) e. RR )
130	129	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) e. RR )
131		simpllr 736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> x e. RR+ )
132	131	rpred 10604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> x e. RR )
133	57	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> A e. RR )
134	107	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( p / q ) e. RR )
135	133, 134	resubcld 9421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( A - ( p / q ) ) e. RR )
136	135	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( A - ( p / q ) ) e. CC )
137	136	abscld 12193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR )
138	137	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR )
139		rpre 10574	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
140	139	ad2antlr 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> x e. RR )
141	122	rpcnne0d 10613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
142		divid 9661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ x =/= 0 ) -> ( x / x ) = 1 )
143	141, 142	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / x ) = 1 )
144	126	nnge1d 9998	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> 1 <_ ( q ^ N ) )
145	143, 144	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / x ) <_ ( q ^ N ) )
146	140, 122, 127, 145	lediv23d 10661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) <_ x )
147	146	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) <_ x )
148		simpr 448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
149	130, 132, 138, 147, 148	letrd 9183	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
150	149	ex 424	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
151	150	orim2d 814	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
152	151	imim2d 50	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
153	152	anassrs 630	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ p e. ZZ ) /\ q e. NN ) -> ( ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
154	153	ralimdva 2744	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ p e. ZZ ) -> ( A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
155	154	ralimdva 2744	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
156	155	reximdva 2778	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
157	121, 156	mpd 15	1 |- ( ph -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   {cab 2390   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   u. cun 3278   C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   class class class wbr 4172   Or wor 4462   `'ccnv 4836   "cima 4840   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   QQcq 10530   RR+crp 10568   ^cexp 11337   #chash 11573   abscabs 11994   0 pc0p 19514  Polycply 20056  degcdgr 20059

This theorem is referenced by:  aalioulem6  20207

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-0p 19515  df-ply 20060  df-idp 20061  df-coe 20062  df-dgr 20063  df-quot 20161