Theorem aalioulem2 22479

Description: Lemma for aaliou 22484. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aalioulem2.a	|- N = (deg ` F )
aalioulem2.b	|- ( ph -> F e. (Poly ` ZZ ) )
aalioulem2.c	|- ( ph -> N e. NN )
aalioulem2.d	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
aalioulem2	|- ( ph -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x, p, q   x, A, p, q   x, F, p, q

Allowed substitution hints:   N( x, q, p)

Proof of Theorem aalioulem2

Dummy variables r a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 11223	. . . . . . 7 |- 1 e. RR+
2		snssi 4171	. . . . . . 7 |- ( 1 e. RR+ -> { 1 } C_ RR+ )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { 1 } C_ RR+
4		ssrab2 3585	. . . . . 6 |- { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } C_ RR+
5	3, 4	unssi 3679	. . . . 5 |- ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR+
6		gtso 9665	. . . . . . 7 |- `' < Or RR
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> `' < Or RR )
8		snfi 7596	. . . . . . 7 |- { 1 } e. Fin
9		aalioulem2.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. (Poly ` ZZ ) )
10		aalioulem2.c	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN )
11	10	nnne0d 10579	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N =/= 0 )
12		aalioulem2.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- N = (deg ` F )
13	12	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . . 13 |- (deg ` F ) = N
14		dgr0 22409	. . . . . . . . . . . . 13 |- (deg ` 0p ) = 0
15	11, 13, 14	3netr4g 2775	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (deg ` F ) =/= (deg ` 0p ) )
16		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F = 0p -> (deg ` F ) = (deg ` 0p ) )
17	16	necon3i 2707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (deg ` F ) =/= (deg ` 0p ) -> F =/= 0p )
18	15, 17	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F =/= 0p )
19		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F " { 0 } ) = ( `' F " { 0 } )
20	19	fta1 22454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. (Poly ` ZZ ) /\ F =/= 0p ) -> ( ( `' F " { 0 } ) e. Fin /\ ( # ` ( `' F " { 0 } ) ) <_ (deg ` F ) ) )
21	9, 18, 20	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( `' F " { 0 } ) e. Fin /\ ( # ` ( `' F " { 0 } ) ) <_ (deg ` F ) ) )
22	21	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( `' F " { 0 } ) e. Fin )
23		abrexfi 7819	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " { 0 } ) e. Fin -> { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin )
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin )
25		rabssab 3587	. . . . . . . 8 |- { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } C_ { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) }
26		ssfi 7740	. . . . . . . 8 |- ( ( { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin /\ { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } C_ { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) -> { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin )
27	24, 25, 26	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin )
28		unfi 7786	. . . . . . 7 |- ( ( { 1 } e. Fin /\ { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin ) -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) e. Fin )
29	8, 27, 28	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) e. Fin )
30		1ex 9590	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
31	30	snid 4055	. . . . . . . 8 |- 1 e. { 1 }
32		elun1 3671	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. { 1 } -> 1 e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
33		ne0i 3791	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) =/= (/) )
34	31, 32, 33	mp2b 10	. . . . . . 7 |- ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) =/= (/)
35	34	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) =/= (/) )
36		rpssre 11229	. . . . . . . 8 |- RR+ C_ RR
37	5, 36	sstri 3513	. . . . . . 7 |- ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR
38	37	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR )
39		fisupcl 7926	. . . . . 6 |- ( ( `' < Or RR /\ ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) e. Fin /\ ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) =/= (/) /\ ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR ) ) -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
40	7, 29, 35, 38, 39	syl13anc 1230	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
41	5, 40	sseldi 3502	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) e. RR+ )
42	37	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR )
43		0re 9595	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
44		rpge0 11231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. RR+ -> 0 <_ d )
45	44	rgen 2824	. . . . . . . . . . . 12 |- A. d e. RR+ 0 <_ d
46		breq1 4450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = 0 -> ( c <_ d <-> 0 <_ d ) )
47	46	ralbidv 2903	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = 0 -> ( A. d e. RR+ c <_ d <-> A. d e. RR+ 0 <_ d ) )
48	47	rspcev 3214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ A. d e. RR+ 0 <_ d ) -> E. c e. RR A. d e. RR+ c <_ d )
49	43, 45, 48	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- E. c e. RR A. d e. RR+ c <_ d
50		ssralv 3564	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR+ -> ( A. d e. RR+ c <_ d -> A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d ) )
51	5, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. d e. RR+ c <_ d -> A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d )
52	51	reximi 2932	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. c e. RR A. d e. RR+ c <_ d -> E. c e. RR A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d )
53	49, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- E. c e. RR A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d
54	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> E. c e. RR A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d )
55		aalioulem2.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR )
56	55	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> A e. RR )
57		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> r e. RR )
58	56, 57	resubcld 9986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( A - r ) e. RR )
59	58	recnd 9621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( A - r ) e. CC )
60	55	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> A e. RR )
61	60	recnd 9621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> A e. CC )
62		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> r e. RR )
63	62	recnd 9621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> r e. CC )
64	61, 63	subeq0ad 9939	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( ( A - r ) = 0 <-> A = r ) )
65	64	necon3abid 2713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( ( A - r ) =/= 0 <-> -. A = r ) )
66	65	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( -. A = r -> ( A - r ) =/= 0 ) )
67	66	impr 619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( A - r ) =/= 0 )
68	59, 67	absrpcld 13241	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( abs ` ( A - r ) ) e. RR+ )
69	57	recnd 9621	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> r e. CC )
70		simprl 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( F ` r ) = 0 )
71		plyf 22346	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. (Poly ` ZZ ) -> F : CC --> CC )
72	9, 71	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : CC --> CC )
73		ffn 5730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : CC --> CC -> F Fn CC )
74	72, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F Fn CC )
75	74	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> F Fn CC )
76		fniniseg 6001	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn CC -> ( r e. ( `' F " { 0 } ) <-> ( r e. CC /\ ( F ` r ) = 0 ) ) )
77	75, 76	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( r e. ( `' F " { 0 } ) <-> ( r e. CC /\ ( F ` r ) = 0 ) ) )
78	69, 70, 77	mpbir2and 920	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> r e. ( `' F " { 0 } ) )
79		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - r ) )
80		oveq2 6291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = r -> ( A - b ) = ( A - r ) )
81	80	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = r -> ( abs ` ( A - b ) ) = ( abs ` ( A - r ) ) )
82	81	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = r -> ( ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) <-> ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - r ) ) ) )
83	82	rspcev 3214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( r e. ( `' F " { 0 } ) /\ ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - r ) ) ) -> E. b e. ( `' F " { 0 } ) ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) )
84	78, 79, 83	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> E. b e. ( `' F " { 0 } ) ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) )
85		eqeq1 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( abs ` ( A - r ) ) -> ( a = ( abs ` ( A - b ) ) <-> ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) ) )
86	85	rexbidv 2973	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( abs ` ( A - r ) ) -> ( E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) <-> E. b e. ( `' F " { 0 } ) ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) ) )
87	86	elrab 3261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( A - r ) ) e. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } <-> ( ( abs ` ( A - r ) ) e. RR+ /\ E. b e. ( `' F " { 0 } ) ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) ) )
88	68, 84, 87	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( abs ` ( A - r ) ) e. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } )
89		elun2 3672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs ` ( A - r ) ) e. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } -> ( abs ` ( A - r ) ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
90	88, 89	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( abs ` ( A - r ) ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
91		infmrlb 10523	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR /\ E. c e. RR A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d /\ ( abs ` ( A - r ) ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) ) -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) )
92	42, 54, 90, 91	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) )
93	92	expr 615	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( -. A = r -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
94	93	orrd 378	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
95	94	ex 434	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR ) -> ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
96	95	ralrimiva 2878	. . . 4 |- ( ph -> A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
97		breq1 4450	. . . . . . . 8 |- ( x = sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) -> ( x <_ ( abs ` ( A - r ) ) <-> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
98	97	orbi2d 701	. . . . . . 7 |- ( x = sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) -> ( ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) <-> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
99	98	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( x = sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) -> ( ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) <-> ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) )
100	99	ralbidv 2903	. . . . 5 |- ( x = sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) -> ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) <-> A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) )
101	100	rspcev 3214	. . . 4 |- ( ( sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) e. RR+ /\ A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
102	41, 96, 101	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR+ A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
103		znq 11185	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( p / q ) e. QQ )
104		qre 11186	. . . . . . . 8 |- ( ( p / q ) e. QQ -> ( p / q ) e. RR )
105	103, 104	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( p / q ) e. RR )
106		fveq2 5865	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( p / q ) -> ( F ` r ) = ( F ` ( p / q ) ) )
107	106	eqeq1d 2469	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( p / q ) -> ( ( F ` r ) = 0 <-> ( F ` ( p / q ) ) = 0 ) )
108		eqeq2 2482	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( p / q ) -> ( A = r <-> A = ( p / q ) ) )
109		oveq2 6291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = ( p / q ) -> ( A - r ) = ( A - ( p / q ) ) )
110	109	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( p / q ) -> ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
111	110	breq2d 4459	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( p / q ) -> ( x <_ ( abs ` ( A - r ) ) <-> x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
112	108, 111	orbi12d 709	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( p / q ) -> ( ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) <-> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
113	107, 112	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( r = ( p / q ) -> ( ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) <-> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
114	113	rspcv 3210	. . . . . . 7 |- ( ( p / q ) e. RR -> ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
115	105, 114	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
116	115	com12 31	. . . . 5 |- ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
117	116	ralrimivv 2884	. . . 4 |- ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
118	117	reximi 2932	. . 3 |- ( E. x e. RR+ A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
119	102, 118	syl 16	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
120		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> x e. RR+ )
121		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> q e. NN )
122	10	nnnn0d 10851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. NN0 )
123	122	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> N e. NN0 )
124	121, 123	nnexpcld 12298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( q ^ N ) e. NN )
125	124	nnrpd 11254	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( q ^ N ) e. RR+ )
126	120, 125	rpdivcld 11272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) e. RR+ )
127	126	rpred 11255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) e. RR )
128	127	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) e. RR )
129		simpllr 758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> x e. RR+ )
130	129	rpred 11255	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> x e. RR )
131	55	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> A e. RR )
132	105	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( p / q ) e. RR )
133	131, 132	resubcld 9986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( A - ( p / q ) ) e. RR )
134	133	recnd 9621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( A - ( p / q ) ) e. CC )
135	134	abscld 13229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR )
136	135	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR )
137		rpre 11225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
138	137	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> x e. RR )
139	120	rpcnne0d 11264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
140		divid 10233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ x =/= 0 ) -> ( x / x ) = 1 )
141	139, 140	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / x ) = 1 )
142	124	nnge1d 10577	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> 1 <_ ( q ^ N ) )
143	141, 142	eqbrtrd 4467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / x ) <_ ( q ^ N ) )
144	138, 120, 125, 143	lediv23d 11312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) <_ x )
145	144	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) <_ x )
146		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
147	128, 130, 136, 145, 146	letrd 9737	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
148	147	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
149	148	orim2d 838	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
150	149	imim2d 52	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
151	150	anassrs 648	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ p e. ZZ ) /\ q e. NN ) -> ( ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
152	151	ralimdva 2872	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ p e. ZZ ) -> ( A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
153	152	ralimdva 2872	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
154	153	reximdva 2938	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
155	119, 154	mpd 15	1 |- ( ph -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   {cab 2452   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   u. cun 3474   C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447   Or wor 4799   `'ccnv 4998   "cima 5002   Fn wfn 5582   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   Fincfn 7516   supcsup 7899   CCcc 9489   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492   < clt 9627   <_ cle 9628   - cmin 9804   / cdiv 10205   NNcn 10535   NN0cn0 10794   ZZcz 10863   QQcq 11181   RR+crp 11219   ^cexp 12133   #chash 12372   abscabs 13029   0pc0p 21827  Polycply 22332  degcdgr 22335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-addf 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-fl 11896  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-clim 13273  df-rlim 13274  df-sum 13471  df-0p 21828  df-ply 22336  df-idp 22337  df-coe 22338  df-dgr 22339  df-quot 22437

This theorem is referenced by:  aalioulem6  22483