Theorem aalioulem2 21758

Description: Lemma for aaliou 21763. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aalioulem2.a	|- N = (deg ` F )
aalioulem2.b	|- ( ph -> F e. (Poly ` ZZ ) )
aalioulem2.c	|- ( ph -> N e. NN )
aalioulem2.d	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
aalioulem2	|- ( ph -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x, p, q   x, A, p, q   x, F, p, q

Allowed substitution hints:   N( x, q, p)

Proof of Theorem aalioulem2

Dummy variables r a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 10991	. . . . . . 7 |- 1 e. RR+
2		snssi 4014	. . . . . . 7 |- ( 1 e. RR+ -> { 1 } C_ RR+ )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { 1 } C_ RR+
4		ssrab2 3434	. . . . . 6 |- { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } C_ RR+
5	3, 4	unssi 3528	. . . . 5 |- ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR+
6		gtso 9452	. . . . . . 7 |- `' < Or RR
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> `' < Or RR )
8		snfi 7386	. . . . . . 7 |- { 1 } e. Fin
9		aalioulem2.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. (Poly ` ZZ ) )
10		aalioulem2.c	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN )
11	10	nnne0d 10362	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N =/= 0 )
12		aalioulem2.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- N = (deg ` F )
13	12	eqcomi 2445	. . . . . . . . . . . . 13 |- (deg ` F ) = N
14		dgr0 21688	. . . . . . . . . . . . 13 |- (deg ` 0p ) = 0
15	11, 13, 14	3netr4g 2635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (deg ` F ) =/= (deg ` 0p ) )
16		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F = 0p -> (deg ` F ) = (deg ` 0p ) )
17	16	necon3i 2648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (deg ` F ) =/= (deg ` 0p ) -> F =/= 0p )
18	15, 17	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F =/= 0p )
19		eqid 2441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F " { 0 } ) = ( `' F " { 0 } )
20	19	fta1 21733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. (Poly ` ZZ ) /\ F =/= 0p ) -> ( ( `' F " { 0 } ) e. Fin /\ ( # ` ( `' F " { 0 } ) ) <_ (deg ` F ) ) )
21	9, 18, 20	syl2anc 656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( `' F " { 0 } ) e. Fin /\ ( # ` ( `' F " { 0 } ) ) <_ (deg ` F ) ) )
22	21	simpld 456	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( `' F " { 0 } ) e. Fin )
23		abrexfi 7607	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " { 0 } ) e. Fin -> { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin )
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin )
25		rabssab 3436	. . . . . . . 8 |- { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } C_ { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) }
26		ssfi 7529	. . . . . . . 8 |- ( ( { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin /\ { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } C_ { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) -> { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin )
27	24, 25, 26	sylancl 657	. . . . . . 7 |- ( ph -> { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin )
28		unfi 7575	. . . . . . 7 |- ( ( { 1 } e. Fin /\ { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin ) -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) e. Fin )
29	8, 27, 28	sylancr 658	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) e. Fin )
30		1ex 9377	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
31	30	snid 3902	. . . . . . . 8 |- 1 e. { 1 }
32		elun1 3520	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. { 1 } -> 1 e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
33		ne0i 3640	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) =/= (/) )
34	31, 32, 33	mp2b 10	. . . . . . 7 |- ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) =/= (/)
35	34	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) =/= (/) )
36		rpssre 10997	. . . . . . . 8 |- RR+ C_ RR
37	5, 36	sstri 3362	. . . . . . 7 |- ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR
38	37	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR )
39		fisupcl 7713	. . . . . 6 |- ( ( `' < Or RR /\ ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) e. Fin /\ ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) =/= (/) /\ ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR ) ) -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
40	7, 29, 35, 38, 39	syl13anc 1215	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
41	5, 40	sseldi 3351	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) e. RR+ )
42	37	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR )
43		0re 9382	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
44		rpge0 10999	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. RR+ -> 0 <_ d )
45	44	rgen 2779	. . . . . . . . . . . 12 |- A. d e. RR+ 0 <_ d
46		breq1 4292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = 0 -> ( c <_ d <-> 0 <_ d ) )
47	46	ralbidv 2733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = 0 -> ( A. d e. RR+ c <_ d <-> A. d e. RR+ 0 <_ d ) )
48	47	rspcev 3070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ A. d e. RR+ 0 <_ d ) -> E. c e. RR A. d e. RR+ c <_ d )
49	43, 45, 48	mp2an 667	. . . . . . . . . . 11 |- E. c e. RR A. d e. RR+ c <_ d
50		ssralv 3413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR+ -> ( A. d e. RR+ c <_ d -> A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d ) )
51	5, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. d e. RR+ c <_ d -> A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d )
52	51	reximi 2821	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. c e. RR A. d e. RR+ c <_ d -> E. c e. RR A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d )
53	49, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- E. c e. RR A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d
54	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> E. c e. RR A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d )
55		aalioulem2.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR )
56	55	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> A e. RR )
57		simplr 749	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> r e. RR )
58	56, 57	resubcld 9772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( A - r ) e. RR )
59	58	recnd 9408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( A - r ) e. CC )
60	55	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> A e. RR )
61	60	recnd 9408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> A e. CC )
62		simplr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> r e. RR )
63	62	recnd 9408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> r e. CC )
64	61, 63	subeq0ad 9725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( ( A - r ) = 0 <-> A = r ) )
65	64	necon3abid 2639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( ( A - r ) =/= 0 <-> -. A = r ) )
66	65	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( -. A = r -> ( A - r ) =/= 0 ) )
67	66	impr 616	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( A - r ) =/= 0 )
68	59, 67	absrpcld 12930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( abs ` ( A - r ) ) e. RR+ )
69	57	recnd 9408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> r e. CC )
70		simprl 750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( F ` r ) = 0 )
71		plyf 21625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. (Poly ` ZZ ) -> F : CC --> CC )
72	9, 71	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : CC --> CC )
73		ffn 5556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : CC --> CC -> F Fn CC )
74	72, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F Fn CC )
75	74	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> F Fn CC )
76		fniniseg 5821	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn CC -> ( r e. ( `' F " { 0 } ) <-> ( r e. CC /\ ( F ` r ) = 0 ) ) )
77	75, 76	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( r e. ( `' F " { 0 } ) <-> ( r e. CC /\ ( F ` r ) = 0 ) ) )
78	69, 70, 77	mpbir2and 908	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> r e. ( `' F " { 0 } ) )
79		eqid 2441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - r ) )
80		oveq2 6098	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = r -> ( A - b ) = ( A - r ) )
81	80	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = r -> ( abs ` ( A - b ) ) = ( abs ` ( A - r ) ) )
82	81	eqeq2d 2452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = r -> ( ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) <-> ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - r ) ) ) )
83	82	rspcev 3070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( r e. ( `' F " { 0 } ) /\ ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - r ) ) ) -> E. b e. ( `' F " { 0 } ) ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) )
84	78, 79, 83	sylancl 657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> E. b e. ( `' F " { 0 } ) ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) )
85		eqeq1 2447	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( abs ` ( A - r ) ) -> ( a = ( abs ` ( A - b ) ) <-> ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) ) )
86	85	rexbidv 2734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( abs ` ( A - r ) ) -> ( E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) <-> E. b e. ( `' F " { 0 } ) ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) ) )
87	86	elrab 3114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( A - r ) ) e. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } <-> ( ( abs ` ( A - r ) ) e. RR+ /\ E. b e. ( `' F " { 0 } ) ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) ) )
88	68, 84, 87	sylanbrc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( abs ` ( A - r ) ) e. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } )
89		elun2 3521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs ` ( A - r ) ) e. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } -> ( abs ` ( A - r ) ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
90	88, 89	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( abs ` ( A - r ) ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
91		infmrlb 10307	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR /\ E. c e. RR A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d /\ ( abs ` ( A - r ) ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) ) -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) )
92	42, 54, 90, 91	syl3anc 1213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) )
93	92	expr 612	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( -. A = r -> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
94	93	orrd 378	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
95	94	ex 434	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR ) -> ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
96	95	ralrimiva 2797	. . . 4 |- ( ph -> A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
97		breq1 4292	. . . . . . . 8 |- ( x = sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) -> ( x <_ ( abs ` ( A - r ) ) <-> sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
98	97	orbi2d 696	. . . . . . 7 |- ( x = sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) -> ( ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) <-> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
99	98	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( x = sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) -> ( ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) <-> ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) )
100	99	ralbidv 2733	. . . . 5 |- ( x = sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) -> ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) <-> A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) )
101	100	rspcev 3070	. . . 4 |- ( ( sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) e. RR+ /\ A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ sup ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , `' < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
102	41, 96, 101	syl2anc 656	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR+ A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
103		znq 10953	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( p / q ) e. QQ )
104		qre 10954	. . . . . . . 8 |- ( ( p / q ) e. QQ -> ( p / q ) e. RR )
105	103, 104	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( p / q ) e. RR )
106		fveq2 5688	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( p / q ) -> ( F ` r ) = ( F ` ( p / q ) ) )
107	106	eqeq1d 2449	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( p / q ) -> ( ( F ` r ) = 0 <-> ( F ` ( p / q ) ) = 0 ) )
108		eqeq2 2450	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( p / q ) -> ( A = r <-> A = ( p / q ) ) )
109		oveq2 6098	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = ( p / q ) -> ( A - r ) = ( A - ( p / q ) ) )
110	109	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( p / q ) -> ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
111	110	breq2d 4301	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( p / q ) -> ( x <_ ( abs ` ( A - r ) ) <-> x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
112	108, 111	orbi12d 704	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( p / q ) -> ( ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) <-> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
113	107, 112	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( r = ( p / q ) -> ( ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) <-> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
114	113	rspcv 3066	. . . . . . 7 |- ( ( p / q ) e. RR -> ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
115	105, 114	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
116	115	com12 31	. . . . 5 |- ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
117	116	ralrimivv 2805	. . . 4 |- ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
118	117	reximi 2821	. . 3 |- ( E. x e. RR+ A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
119	102, 118	syl 16	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
120		simplr 749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> x e. RR+ )
121		simprr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> q e. NN )
122	10	nnnn0d 10632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. NN0 )
123	122	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> N e. NN0 )
124	121, 123	nnexpcld 12025	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( q ^ N ) e. NN )
125	124	nnrpd 11022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( q ^ N ) e. RR+ )
126	120, 125	rpdivcld 11040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) e. RR+ )
127	126	rpred 11023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) e. RR )
128	127	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) e. RR )
129		simpllr 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> x e. RR+ )
130	129	rpred 11023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> x e. RR )
131	55	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> A e. RR )
132	105	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( p / q ) e. RR )
133	131, 132	resubcld 9772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( A - ( p / q ) ) e. RR )
134	133	recnd 9408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( A - ( p / q ) ) e. CC )
135	134	abscld 12918	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR )
136	135	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR )
137		rpre 10993	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
138	137	ad2antlr 721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> x e. RR )
139	120	rpcnne0d 11032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
140		divid 10017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ x =/= 0 ) -> ( x / x ) = 1 )
141	139, 140	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / x ) = 1 )
142	124	nnge1d 10360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> 1 <_ ( q ^ N ) )
143	141, 142	eqbrtrd 4309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / x ) <_ ( q ^ N ) )
144	138, 120, 125, 143	lediv23d 11080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) <_ x )
145	144	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) <_ x )
146		simpr 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
147	128, 130, 136, 145, 146	letrd 9524	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
148	147	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
149	148	orim2d 831	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
150	149	imim2d 52	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
151	150	anassrs 643	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ p e. ZZ ) /\ q e. NN ) -> ( ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
152	151	ralimdva 2792	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ p e. ZZ ) -> ( A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
153	152	ralimdva 2792	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
154	153	reximdva 2826	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
155	119, 154	mpd 15	1 |- ( ph -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   {cab 2427   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   u. cun 3323   C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   class class class wbr 4289   Or wor 4636   `'ccnv 4835   "cima 4839   Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   supcsup 7686   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   < clt 9414   <_ cle 9415   - cmin 9591   / cdiv 9989   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   QQcq 10949   RR+crp 10987   ^cexp 11861   #chash 12099   abscabs 12719   0pc0p 21106  Polycply 21611  degcdgr 21614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-0p 21107  df-ply 21615  df-idp 21616  df-coe 21617  df-dgr 21618  df-quot 21716

This theorem is referenced by:  aalioulem6  21762