MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem9 Structured version   Unicode version

Theorem aaliou3lem9 21828
Description: Example of a "Liouville number", a very simple definable transcendental real. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
aaliou3lem.d  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
aaliou3lem.e  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem9  |-  -.  L  e.  AA
Distinct variable groups:    a, b,
c    F, b, c    L, c, a, b
Allowed substitution hints:    F( a)    H( a, b, c)

Proof of Theorem aaliou3lem9
Dummy variables  d 
e  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aaliou3lem8 21823 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  ->  E. e  e.  NN  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) )
2 aaliou3lem.c . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
3 aaliou3lem.d . . . . . . . . 9  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
4 aaliou3lem.e . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
52, 3, 4aaliou3lem6 21826 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  NN  ->  (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  e.  ZZ )
65ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  e.  ZZ )
7 2nn 10491 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
8 nnnn0 10598 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  e.  NN  ->  e  e.  NN0 )
98ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  e  e.  NN0 )
10 faccl 12073 . . . . . . . . 9  |-  ( e  e.  NN0  ->  ( ! `
 e )  e.  NN )
11 nnnn0 10598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  e )  e.  NN  ->  ( ! `  e )  e.  NN0 )
129, 10, 113syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( ! `  e )  e.  NN0 )
13 nnexpcl 11890 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( ! `  e )  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( ! `  e )
)  e.  NN )
147, 12, 13sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2 ^ ( ! `
 e ) )  e.  NN )
152, 3, 4aaliou3lem5 21825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  e.  NN  ->  ( H `  e )  e.  RR )
1615ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( H `  e )  e.  RR )
1716recnd 9424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( H `  e )  e.  CC )
1814nncnd 10350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2 ^ ( ! `
 e ) )  e.  CC )
1914nnne0d 10378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2 ^ ( ! `
 e ) )  =/=  0 )
2017, 18, 19divcan4d 10125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  =  ( H `  e ) )
212, 3, 4aaliou3lem7 21827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  e.  NN  ->  (
( H `  e
)  =/=  L  /\  ( abs `  ( L  -  ( H `  e ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) ) ) )
2221simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  NN  ->  ( H `  e )  =/=  L )
2322ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( H `  e )  =/=  L )
2420, 23eqnetrd 2638 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  =/=  L )
2524necomd 2707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  L  =/=  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) )
2625neneqd 2636 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  -.  L  =  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) )
272, 3, 4aaliou3lem4 21824 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  e.  RR
2814nnred 10349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2 ^ ( ! `
 e ) )  e.  RR )
2916, 28remulcld 9426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  e.  RR )
3029, 14nndivred 10382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  e.  RR )
31 resubcl 9685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  RR  /\  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  e.  RR )  ->  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) )  e.  RR )
3227, 30, 31sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) )  e.  RR )
3332recnd 9424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) )  e.  CC )
3433abscld 12934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) ) )  e.  RR )
35 2rp 11008 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR+
36 peano2nn0 10632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  e.  NN0  ->  ( e  +  1 )  e. 
NN0 )
37 faccl 12073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( e  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( e  +  1 ) )  e.  NN )
389, 36, 373syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( ! `  ( e  +  1 ) )  e.  NN )
39 nnz 10680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ! `  ( e  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( e  +  1 ) )  e.  ZZ )
40 znegcl 10692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ! `  ( e  +  1 ) )  e.  ZZ  ->  -u ( ! `  ( e  +  1 ) )  e.  ZZ )
4138, 39, 403syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  -u ( ! `  ( e  +  1 ) )  e.  ZZ )
42 rpexpcl 11896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  ( e  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
4335, 41, 42sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
44 rpmulcl 11024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
4535, 43, 44sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( e  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
4645rpred 11039 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( e  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
47 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  b  e.  RR+ )
48 nnnn0 10598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  NN0 )
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  a  e.  NN0 )
5014, 49nnexpcld 12041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( 2 ^ ( ! `  e )
) ^ a )  e.  NN )
5150nnrpd 11038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( 2 ^ ( ! `  e )
) ^ a )  e.  RR+ )
5247, 51rpdivcld 11056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) )  e.  RR+ )
5352rpred 11039 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) )  e.  RR )
5420oveq2d 6119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) )  =  ( L  -  ( H `  e ) ) )
5554fveq2d 5707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) ) )  =  ( abs `  ( L  -  ( H `  e ) ) ) )
5621simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  NN  ->  ( abs `  ( L  -  ( H `  e ) ) )  <_  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( e  +  1 ) ) ) ) )
5756ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( H `  e ) ) )  <_  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( e  +  1 ) ) ) ) )
5855, 57eqbrtrd 4324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) ) )
59 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( e  +  1 ) ) ) )  <_  ( b  /  ( ( 2 ^ ( ! `  e ) ) ^
a ) ) )
6034, 46, 53, 58, 59letrd 9540 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) ) )  <_ 
( b  /  (
( 2 ^ ( ! `  e )
) ^ a ) ) )
6134, 53lenltd 9532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) ) )  <_  ( b  /  ( ( 2 ^ ( ! `  e ) ) ^
a ) )  <->  -.  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) ) ) ) )
6260, 61mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  -.  ( b  /  (
( 2 ^ ( ! `  e )
) ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) ) ) ) )
63 oveq1 6110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  (
f  /  d )  =  ( ( ( H `  e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) )  / 
d ) )
6463eqeq2d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  ( L  =  ( f  /  d )  <->  L  =  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  d
) ) )
6564notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  ( -.  L  =  (
f  /  d )  <->  -.  L  =  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  d ) ) )
6663oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  ( L  -  ( f  /  d ) )  =  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  d
) ) )
6766fveq2d 5707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( f  /  d
) ) )  =  ( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  d ) ) ) )
6867breq2d 4316 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  (
( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
f  /  d ) ) )  <->  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  d ) ) ) ) )
6968notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  ( -.  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
f  /  d ) ) )  <->  -.  (
b  /  ( d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  d ) ) ) ) )
7065, 69anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  (
( -.  L  =  ( f  /  d
)  /\  -.  (
b  /  ( d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) )  <->  ( -.  L  =  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  d )  /\  -.  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  d ) ) ) ) ) )
71 oveq2 6111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  d )  =  ( ( ( H `  e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) )  / 
( 2 ^ ( ! `  e )
) ) )
7271eqeq2d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  ( L  =  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  d )  <->  L  =  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) ) )
7372notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  ( -.  L  =  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  d )  <->  -.  L  =  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) ) ) )
74 oveq1 6110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  (
d ^ a )  =  ( ( 2 ^ ( ! `  e ) ) ^
a ) )
7574oveq2d 6119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  (
b  /  ( d ^ a ) )  =  ( b  / 
( ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ^ a
) ) )
7671oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  d ) )  =  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) ) )
7776fveq2d 5707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  d
) ) )  =  ( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) ) ) )
7875, 77breq12d 4317 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  (
( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  d ) ) )  <->  ( b  /  ( ( 2 ^ ( ! `  e ) ) ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) ) ) ) )
7978notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  ( -.  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  d ) ) )  <->  -.  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) ) ) ) )
8073, 79anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  (
( -.  L  =  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  d
)  /\  -.  (
b  /  ( d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  d ) ) ) )  <->  ( -.  L  =  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) )  /\  -.  ( b  /  (
( 2 ^ ( ! `  e )
) ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) ) ) ) ) ) )
8170, 80rspc2ev 3093 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ ( ! `  e )
)  e.  NN  /\  ( -.  L  =  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /\  -.  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) ) ) ) )  ->  E. f  e.  ZZ  E. d  e.  NN  ( -.  L  =  (
f  /  d )  /\  -.  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
826, 14, 26, 62, 81syl112anc 1222 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  E. f  e.  ZZ  E. d  e.  NN  ( -.  L  =  ( f  / 
d )  /\  -.  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
f  /  d ) ) ) ) )
831, 82rexlimddv 2857 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  ZZ  E. d  e.  NN  ( -.  L  =  (
f  /  d )  /\  -.  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
84 pm4.56 495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  L  =  ( f  /  d )  /\  -.  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) )  <->  -.  ( L  =  ( f  /  d )  \/  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
f  /  d ) ) ) ) )
8584rexbii 2752 . . . . . . . 8  |-  ( E. d  e.  NN  ( -.  L  =  (
f  /  d )  /\  -.  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) )  <->  E. d  e.  NN  -.  ( L  =  ( f  / 
d )  \/  (
b  /  ( d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
86 rexnal 2738 . . . . . . . 8  |-  ( E. d  e.  NN  -.  ( L  =  (
f  /  d )  \/  ( b  / 
( d ^ a
) )  <  ( abs `  ( L  -  ( f  /  d
) ) ) )  <->  -.  A. d  e.  NN  ( L  =  (
f  /  d )  \/  ( b  / 
( d ^ a
) )  <  ( abs `  ( L  -  ( f  /  d
) ) ) ) )
8785, 86bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( E. d  e.  NN  ( -.  L  =  (
f  /  d )  /\  -.  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) )  <->  -.  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d
)  \/  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
8887rexbii 2752 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  ZZ  E. d  e.  NN  ( -.  L  =  (
f  /  d )  /\  -.  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) )  <->  E. f  e.  ZZ  -.  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d
)  \/  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
89 rexnal 2738 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  ZZ  -.  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d )  \/  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
f  /  d ) ) ) )  <->  -.  A. f  e.  ZZ  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d
)  \/  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
9088, 89bitri 249 . . . . 5  |-  ( E. f  e.  ZZ  E. d  e.  NN  ( -.  L  =  (
f  /  d )  /\  -.  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) )  <->  -.  A. f  e.  ZZ  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d
)  \/  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
9183, 90sylib 196 . . . 4  |-  ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  ->  -.  A. f  e.  ZZ  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d )  \/  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
f  /  d ) ) ) ) )
9291nrexdv 2831 . . 3  |-  ( a  e.  NN  ->  -.  E. b  e.  RR+  A. f  e.  ZZ  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d
)  \/  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
9392nrex 2830 . 2  |-  -.  E. a  e.  NN  E. b  e.  RR+  A. f  e.  ZZ  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d
)  \/  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) )
94 aaliou2b 21819 . 2  |-  ( L  e.  AA  ->  E. a  e.  NN  E. b  e.  RR+  A. f  e.  ZZ  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d )  \/  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
f  /  d ) ) ) ) )
9593, 94mto 176 1  |-  -.  L  e.  AA
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   A.wral 2727   E.wrex 2728   class class class wbr 4304    e. cmpt 4362   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   RRcr 9293   1c1 9295    + caddc 9297    x. cmul 9299    < clt 9430    <_ cle 9431    - cmin 9607   -ucneg 9608    / cdiv 10005   NNcn 10334   2c2 10383   NN0cn0 10591   ZZcz 10658   RR+crp 11003   ...cfz 11449   ^cexp 11877   !cfa 12063   abscabs 12735   sum_csu 13175   AAcaa 21792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ioo 11316  df-ioc 11317  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-seq 11819  df-exp 11878  df-fac 12064  df-hash 12116  df-shft 12568  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-limsup 12961  df-clim 12978  df-rlim 12979  df-sum 13176  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-hom 14274  df-cco 14275  df-rest 14373  df-topn 14374  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-topgen 14394  df-pt 14395  df-prds 14398  df-xrs 14452  df-qtop 14457  df-imas 14458  df-xps 14460  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-mulg 15560  df-subg 15690  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-cring 16660  df-subrg 16875  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-cnfld 17831  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-cld 18635  df-ntr 18636  df-cls 18637  df-nei 18714  df-lp 18752  df-perf 18753  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-haus 18931  df-cmp 19002  df-tx 19147  df-hmeo 19340  df-fil 19431  df-fm 19523  df-flim 19524  df-flf 19525  df-xms 19907  df-ms 19908  df-tms 19909  df-cncf 20466  df-0p 21160  df-limc 21353  df-dv 21354  df-dvn 21355  df-cpn 21356  df-ply 21668  df-idp 21669  df-coe 21670  df-dgr 21671  df-quot 21769  df-aa 21793
This theorem is referenced by:  aaliou3  21829
  Copyright terms: Public domain W3C validator