Theorem aaliou3lem9 22912

Description: Example of a "Liouville number", a very simple definable transcendental real. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	|- F = ( a e. NN |-> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) )
aaliou3lem.d	|- L = sum_ b e. NN ( F ` b )
aaliou3lem.e	|- H = ( c e. NN |-> sum_ b e. ( 1 ... c ) ( F ` b ) )

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem9	|- -. L e. AA

Distinct variable groups:   a, b, c   F, b, c   L, c, a, b

Allowed substitution hints:   F( a)   H( a, b, c)

Proof of Theorem aaliou3lem9

Dummy variables d e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aaliou3lem8 22907	. . . . . 6 |- ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) -> E. e e. NN ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) )
2		aaliou3lem.c	. . . . . . . . 9 |- F = ( a e. NN |-> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) )
3		aaliou3lem.d	. . . . . . . . 9 |- L = sum_ b e. NN ( F ` b )
4		aaliou3lem.e	. . . . . . . . 9 |- H = ( c e. NN |-> sum_ b e. ( 1 ... c ) ( F ` b ) )
5	2, 3, 4	aaliou3lem6 22910	. . . . . . . 8 |- ( e e. NN -> ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) e. ZZ )
6	5	ad2antrl 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) e. ZZ )
7		2nn 10689	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN
8		nnnn0 10798	. . . . . . . . . 10 |- ( e e. NN -> e e. NN0 )
9	8	ad2antrl 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> e e. NN0 )
10		faccl 12345	. . . . . . . . 9 |- ( e e. NN0 -> ( ! ` e ) e. NN )
11		nnnn0 10798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ! ` e ) e. NN -> ( ! ` e ) e. NN0 )
12	9, 10, 11	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ! ` e ) e. NN0 )
13		nnexpcl 12161	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN /\ ( ! ` e ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( ! ` e ) ) e. NN )
14	7, 12, 13	sylancr 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 ^ ( ! ` e ) ) e. NN )
15	2, 3, 4	aaliou3lem5 22909	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e e. NN -> ( H ` e ) e. RR )
16	15	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( H ` e ) e. RR )
17	16	recnd 9611	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( H ` e ) e. CC )
18	14	nncnd 10547	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 ^ ( ! ` e ) ) e. CC )
19	14	nnne0d 10576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 ^ ( ! ` e ) ) =/= 0 )
20	17, 18, 19	divcan4d 10322	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) = ( H ` e ) )
21	2, 3, 4	aaliou3lem7 22911	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e e. NN -> ( ( H ` e ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` e ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) ) )
22	21	simpld 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( e e. NN -> ( H ` e ) =/= L )
23	22	ad2antrl 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( H ` e ) =/= L )
24	20, 23	eqnetrd 2747	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) =/= L )
25	24	necomd 2725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> L =/= ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) )
26	25	neneqd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) )
27	2, 3, 4	aaliou3lem4 22908	. . . . . . . . . . . 12 |- L e. RR
28	14	nnred 10546	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 ^ ( ! ` e ) ) e. RR )
29	16, 28	remulcld 9613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) e. RR )
30	29, 14	nndivred 10580	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) e. RR )
31		resubcl 9874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. RR /\ ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) e. RR ) -> ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) e. RR )
32	27, 30, 31	sylancr 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) e. RR )
33	32	recnd 9611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) e. CC )
34	33	abscld 13349	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) e. RR )
35		2rp 11226	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR+
36		peano2nn0 10832	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( e e. NN0 -> ( e + 1 ) e. NN0 )
37		faccl 12345	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( e + 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( e + 1 ) ) e. NN )
38	9, 36, 37	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ! ` ( e + 1 ) ) e. NN )
39		nnz 10882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ! ` ( e + 1 ) ) e. NN -> ( ! ` ( e + 1 ) ) e. ZZ )
40		znegcl 10895	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ! ` ( e + 1 ) ) e. ZZ -> -u ( ! ` ( e + 1 ) ) e. ZZ )
41	38, 39, 40	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> -u ( ! ` ( e + 1 ) ) e. ZZ )
42		rpexpcl 12167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR+ /\ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) e. RR+ )
43	35, 41, 42	sylancr 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) e. RR+ )
44		rpmulcl 11243	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) e. RR+ ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
45	35, 43, 44	sylancr 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
46	45	rpred 11259	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) e. RR )
47		simplr 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> b e. RR+ )
48		nnnn0 10798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. NN -> a e. NN0 )
49	48	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> a e. NN0 )
50	14, 49	nnexpcld 12313	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) e. NN )
51	50	nnrpd 11257	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) e. RR+ )
52	47, 51	rpdivcld 11276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) e. RR+ )
53	52	rpred 11259	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) e. RR )
54	20	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) = ( L - ( H ` e ) ) )
55	54	fveq2d 5852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) = ( abs ` ( L - ( H ` e ) ) ) )
56	21	simprd 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( e e. NN -> ( abs ` ( L - ( H ` e ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) )
57	56	ad2antrl 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( abs ` ( L - ( H ` e ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) )
58	55, 57	eqbrtrd 4459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) )
59		simprr 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) )
60	34, 46, 53, 58, 59	letrd 9728	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) )
61	34, 53	lenltd 9720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) <-> -. ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) ) )
62	60, 61	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> -. ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) )
63		oveq1 6277	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( f / d ) = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) )
64	63	eqeq2d 2468	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( L = ( f / d ) <-> L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) )
65	64	notbid 292	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( -. L = ( f / d ) <-> -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) )
66	63	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( L - ( f / d ) ) = ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) )
67	66	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) = ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) )
68	67	breq2d 4451	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) <-> ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) ) )
69	68	notbid 292	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) <-> -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) ) )
70	65, 69	anbi12d 708	. . . . . . . 8 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> ( -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) ) ) )
71		oveq2 6278	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) )
72	71	eqeq2d 2468	. . . . . . . . . 10 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) <-> L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) )
73	72	notbid 292	. . . . . . . . 9 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) <-> -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) )
74		oveq1 6277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( d ^ a ) = ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) )
75	74	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( b / ( d ^ a ) ) = ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) )
76	71	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) = ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) )
77	76	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) = ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) )
78	75, 77	breq12d 4452	. . . . . . . . . 10 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) <-> ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) ) )
79	78	notbid 292	. . . . . . . . 9 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) <-> -. ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) ) )
80	73, 79	anbi12d 708	. . . . . . . 8 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( ( -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) ) <-> ( -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) /\ -. ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) ) ) )
81	70, 80	rspc2ev 3218	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) e. ZZ /\ ( 2 ^ ( ! ` e ) ) e. NN /\ ( -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) /\ -. ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) ) ) -> E. f e. ZZ E. d e. NN ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
82	6, 14, 26, 62, 81	syl112anc 1230	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> E. f e. ZZ E. d e. NN ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
83	1, 82	rexlimddv 2950	. . . . 5 |- ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) -> E. f e. ZZ E. d e. NN ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
84		pm4.56 493	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> -. ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
85	84	rexbii 2956	. . . . . . . 8 |- ( E. d e. NN ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> E. d e. NN -. ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
86		rexnal 2902	. . . . . . . 8 |- ( E. d e. NN -. ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> -. A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
87	85, 86	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( E. d e. NN ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> -. A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
88	87	rexbii 2956	. . . . . 6 |- ( E. f e. ZZ E. d e. NN ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> E. f e. ZZ -. A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
89		rexnal 2902	. . . . . 6 |- ( E. f e. ZZ -. A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> -. A. f e. ZZ A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
90	88, 89	bitri 249	. . . . 5 |- ( E. f e. ZZ E. d e. NN ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> -. A. f e. ZZ A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
91	83, 90	sylib 196	. . . 4 |- ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) -> -. A. f e. ZZ A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
92	91	nrexdv 2910	. . 3 |- ( a e. NN -> -. E. b e. RR+ A. f e. ZZ A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
93	92	nrex 2909	. 2 |- -. E. a e. NN E. b e. RR+ A. f e. ZZ A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) )
94		aaliou2b 22903	. 2 |- ( L e. AA -> E. a e. NN E. b e. RR+ A. f e. ZZ A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
95	93, 94	mto 176	1 |- -. L e. AA

Syntax hints:   -. wn 3   \/ wo 366   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   1c1 9482   + caddc 9484   x. cmul 9486   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9796   -ucneg 9797   / cdiv 10202   NNcn 10531   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   RR+crp 11221   ...cfz 11675   ^cexp 12148   !cfa 12335   abscabs 13149   sum_csu 13590   AAcaa 22876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-subrg 17622  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-0p 22243  df-limc 22436  df-dv 22437  df-dvn 22438  df-cpn 22439  df-ply 22751  df-idp 22752  df-coe 22753  df-dgr 22754  df-quot 22853  df-aa 22877

This theorem is referenced by:  aaliou3  22913