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Theorem aaliou3lem9 22496
Description: Example of a "Liouville number", a very simple definable transcendental real. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
aaliou3lem.d  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
aaliou3lem.e  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem9  |-  -.  L  e.  AA
Distinct variable groups:    a, b,
c    F, b, c    L, c, a, b
Allowed substitution hints:    F( a)    H( a, b, c)

Proof of Theorem aaliou3lem9
Dummy variables  d 
e  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aaliou3lem8 22491 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  ->  E. e  e.  NN  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) )
2 aaliou3lem.c . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
3 aaliou3lem.d . . . . . . . . 9  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
4 aaliou3lem.e . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
52, 3, 4aaliou3lem6 22494 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  NN  ->  (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  e.  ZZ )
65ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  e.  ZZ )
7 2nn 10692 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
8 nnnn0 10801 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  e.  NN  ->  e  e.  NN0 )
98ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  e  e.  NN0 )
10 faccl 12330 . . . . . . . . 9  |-  ( e  e.  NN0  ->  ( ! `
 e )  e.  NN )
11 nnnn0 10801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  e )  e.  NN  ->  ( ! `  e )  e.  NN0 )
129, 10, 113syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( ! `  e )  e.  NN0 )
13 nnexpcl 12146 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( ! `  e )  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( ! `  e )
)  e.  NN )
147, 12, 13sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2 ^ ( ! `
 e ) )  e.  NN )
152, 3, 4aaliou3lem5 22493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  e.  NN  ->  ( H `  e )  e.  RR )
1615ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( H `  e )  e.  RR )
1716recnd 9621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( H `  e )  e.  CC )
1814nncnd 10551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2 ^ ( ! `
 e ) )  e.  CC )
1914nnne0d 10579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2 ^ ( ! `
 e ) )  =/=  0 )
2017, 18, 19divcan4d 10325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  =  ( H `  e ) )
212, 3, 4aaliou3lem7 22495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  e.  NN  ->  (
( H `  e
)  =/=  L  /\  ( abs `  ( L  -  ( H `  e ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) ) ) )
2221simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  NN  ->  ( H `  e )  =/=  L )
2322ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( H `  e )  =/=  L )
2420, 23eqnetrd 2760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  =/=  L )
2524necomd 2738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  L  =/=  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) )
2625neneqd 2669 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  -.  L  =  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) )
272, 3, 4aaliou3lem4 22492 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  e.  RR
2814nnred 10550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2 ^ ( ! `
 e ) )  e.  RR )
2916, 28remulcld 9623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  e.  RR )
3029, 14nndivred 10583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  e.  RR )
31 resubcl 9882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  RR  /\  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  e.  RR )  ->  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) )  e.  RR )
3227, 30, 31sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) )  e.  RR )
3332recnd 9621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) )  e.  CC )
3433abscld 13229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) ) )  e.  RR )
35 2rp 11224 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR+
36 peano2nn0 10835 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  e.  NN0  ->  ( e  +  1 )  e. 
NN0 )
37 faccl 12330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( e  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( e  +  1 ) )  e.  NN )
389, 36, 373syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( ! `  ( e  +  1 ) )  e.  NN )
39 nnz 10885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ! `  ( e  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( e  +  1 ) )  e.  ZZ )
40 znegcl 10897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ! `  ( e  +  1 ) )  e.  ZZ  ->  -u ( ! `  ( e  +  1 ) )  e.  ZZ )
4138, 39, 403syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  -u ( ! `  ( e  +  1 ) )  e.  ZZ )
42 rpexpcl 12152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  ( e  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
4335, 41, 42sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
44 rpmulcl 11240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
4535, 43, 44sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( e  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
4645rpred 11255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( e  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
47 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  b  e.  RR+ )
48 nnnn0 10801 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  NN0 )
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  a  e.  NN0 )
5014, 49nnexpcld 12298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( 2 ^ ( ! `  e )
) ^ a )  e.  NN )
5150nnrpd 11254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( 2 ^ ( ! `  e )
) ^ a )  e.  RR+ )
5247, 51rpdivcld 11272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) )  e.  RR+ )
5352rpred 11255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) )  e.  RR )
5420oveq2d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) )  =  ( L  -  ( H `  e ) ) )
5554fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) ) )  =  ( abs `  ( L  -  ( H `  e ) ) ) )
5621simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  e.  NN  ->  ( abs `  ( L  -  ( H `  e ) ) )  <_  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( e  +  1 ) ) ) ) )
5756ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( H `  e ) ) )  <_  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( e  +  1 ) ) ) ) )
5855, 57eqbrtrd 4467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) ) )
59 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( e  +  1 ) ) ) )  <_  ( b  /  ( ( 2 ^ ( ! `  e ) ) ^
a ) ) )
6034, 46, 53, 58, 59letrd 9737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) ) )  <_ 
( b  /  (
( 2 ^ ( ! `  e )
) ^ a ) ) )
6134, 53lenltd 9729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  (
( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) ) )  <_  ( b  /  ( ( 2 ^ ( ! `  e ) ) ^
a ) )  <->  -.  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) ) ) ) )
6260, 61mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  -.  ( b  /  (
( 2 ^ ( ! `  e )
) ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) ) ) ) )
63 oveq1 6290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  (
f  /  d )  =  ( ( ( H `  e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) )  / 
d ) )
6463eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  ( L  =  ( f  /  d )  <->  L  =  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  d
) ) )
6564notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  ( -.  L  =  (
f  /  d )  <->  -.  L  =  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  d ) ) )
6663oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  ( L  -  ( f  /  d ) )  =  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  d
) ) )
6766fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( f  /  d
) ) )  =  ( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  d ) ) ) )
6867breq2d 4459 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  (
( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
f  /  d ) ) )  <->  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  d ) ) ) ) )
6968notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  ( -.  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
f  /  d ) ) )  <->  -.  (
b  /  ( d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  d ) ) ) ) )
7065, 69anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  ->  (
( -.  L  =  ( f  /  d
)  /\  -.  (
b  /  ( d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) )  <->  ( -.  L  =  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  d )  /\  -.  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  d ) ) ) ) ) )
71 oveq2 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  d )  =  ( ( ( H `  e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) )  / 
( 2 ^ ( ! `  e )
) ) )
7271eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  ( L  =  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  d )  <->  L  =  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) ) )
7372notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  ( -.  L  =  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  d )  <->  -.  L  =  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) ) ) )
74 oveq1 6290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  (
d ^ a )  =  ( ( 2 ^ ( ! `  e ) ) ^
a ) )
7574oveq2d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  (
b  /  ( d ^ a ) )  =  ( b  / 
( ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ^ a
) ) )
7671oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  d ) )  =  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) ) ) )
7776fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  d
) ) )  =  ( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) ) ) )
7875, 77breq12d 4460 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  (
( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  d ) ) )  <->  ( b  /  ( ( 2 ^ ( ! `  e ) ) ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) ) ) ) )
7978notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  ( -.  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  d ) ) )  <->  -.  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) ) ) ) )
8073, 79anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  ( 2 ^ ( ! `  e
) )  ->  (
( -.  L  =  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  d
)  /\  -.  (
b  /  ( d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  d ) ) ) )  <->  ( -.  L  =  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) )  /\  -.  ( b  /  (
( 2 ^ ( ! `  e )
) ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) ) ) ) ) ) )
8170, 80rspc2ev 3225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( H `  e )  x.  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ ( ! `  e )
)  e.  NN  /\  ( -.  L  =  ( ( ( H `
 e )  x.  ( 2 ^ ( ! `  e )
) )  /  (
2 ^ ( ! `
 e ) ) )  /\  -.  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  ( (
( H `  e
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  e ) ) )  /  ( 2 ^ ( ! `  e
) ) ) ) ) ) )  ->  E. f  e.  ZZ  E. d  e.  NN  ( -.  L  =  (
f  /  d )  /\  -.  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
826, 14, 26, 62, 81syl112anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( e  +  1 ) ) ) )  <_  (
b  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 e ) ) ^ a ) ) ) )  ->  E. f  e.  ZZ  E. d  e.  NN  ( -.  L  =  ( f  / 
d )  /\  -.  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
f  /  d ) ) ) ) )
831, 82rexlimddv 2959 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  ZZ  E. d  e.  NN  ( -.  L  =  (
f  /  d )  /\  -.  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
84 pm4.56 495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  L  =  ( f  /  d )  /\  -.  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) )  <->  -.  ( L  =  ( f  /  d )  \/  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
f  /  d ) ) ) ) )
8584rexbii 2965 . . . . . . . 8  |-  ( E. d  e.  NN  ( -.  L  =  (
f  /  d )  /\  -.  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) )  <->  E. d  e.  NN  -.  ( L  =  ( f  / 
d )  \/  (
b  /  ( d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
86 rexnal 2912 . . . . . . . 8  |-  ( E. d  e.  NN  -.  ( L  =  (
f  /  d )  \/  ( b  / 
( d ^ a
) )  <  ( abs `  ( L  -  ( f  /  d
) ) ) )  <->  -.  A. d  e.  NN  ( L  =  (
f  /  d )  \/  ( b  / 
( d ^ a
) )  <  ( abs `  ( L  -  ( f  /  d
) ) ) ) )
8785, 86bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( E. d  e.  NN  ( -.  L  =  (
f  /  d )  /\  -.  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) )  <->  -.  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d
)  \/  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
8887rexbii 2965 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  ZZ  E. d  e.  NN  ( -.  L  =  (
f  /  d )  /\  -.  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) )  <->  E. f  e.  ZZ  -.  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d
)  \/  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
89 rexnal 2912 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  ZZ  -.  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d )  \/  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
f  /  d ) ) ) )  <->  -.  A. f  e.  ZZ  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d
)  \/  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
9088, 89bitri 249 . . . . 5  |-  ( E. f  e.  ZZ  E. d  e.  NN  ( -.  L  =  (
f  /  d )  /\  -.  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) )  <->  -.  A. f  e.  ZZ  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d
)  \/  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
9183, 90sylib 196 . . . 4  |-  ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  RR+ )  ->  -.  A. f  e.  ZZ  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d )  \/  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
f  /  d ) ) ) ) )
9291nrexdv 2920 . . 3  |-  ( a  e.  NN  ->  -.  E. b  e.  RR+  A. f  e.  ZZ  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d
)  \/  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) ) )
9392nrex 2919 . 2  |-  -.  E. a  e.  NN  E. b  e.  RR+  A. f  e.  ZZ  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d
)  \/  ( b  /  ( d ^
a ) )  < 
( abs `  ( L  -  ( f  /  d ) ) ) )
94 aaliou2b 22487 . 2  |-  ( L  e.  AA  ->  E. a  e.  NN  E. b  e.  RR+  A. f  e.  ZZ  A. d  e.  NN  ( L  =  ( f  /  d )  \/  ( b  /  (
d ^ a ) )  <  ( abs `  ( L  -  (
f  /  d ) ) ) ) )
9593, 94mto 176 1  |-  -.  L  e.  AA
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   RRcr 9490   1c1 9492    + caddc 9494    x. cmul 9496    < clt 9627    <_ cle 9628    - cmin 9804   -ucneg 9805    / cdiv 10205   NNcn 10535   2c2 10584   NN0cn0 10794   ZZcz 10863   RR+crp 11219   ...cfz 11671   ^cexp 12133   !cfa 12320   abscabs 13029   sum_csu 13470   AAcaa 22460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-addf 9570  ax-mulf 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-ioo 11532  df-ioc 11533  df-ico 11534  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-fl 11896  df-seq 12075  df-exp 12134  df-fac 12321  df-hash 12373  df-shft 12862  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-limsup 13256  df-clim 13273  df-rlim 13274  df-sum 13471  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-hom 14578  df-cco 14579  df-rest 14677  df-topn 14678  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-topgen 14698  df-pt 14699  df-prds 14702  df-xrs 14756  df-qtop 14761  df-imas 14762  df-xps 14764  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-mulg 15867  df-subg 16000  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-cring 16998  df-subrg 17222  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-fbas 18203  df-fg 18204  df-cnfld 18208  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-cld 19302  df-ntr 19303  df-cls 19304  df-nei 19381  df-lp 19419  df-perf 19420  df-cn 19510  df-cnp 19511  df-haus 19598  df-cmp 19669  df-tx 19814  df-hmeo 20007  df-fil 20098  df-fm 20190  df-flim 20191  df-flf 20192  df-xms 20574  df-ms 20575  df-tms 20576  df-cncf 21133  df-0p 21828  df-limc 22021  df-dv 22022  df-dvn 22023  df-cpn 22024  df-ply 22336  df-idp 22337  df-coe 22338  df-dgr 22339  df-quot 22437  df-aa 22461
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