Theorem aaliou3lem9 21775

Description: Example of a "Liouville number", a very simple definable transcendental real. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	|- F = ( a e. NN |-> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) )
aaliou3lem.d	|- L = sum_ b e. NN ( F ` b )
aaliou3lem.e	|- H = ( c e. NN |-> sum_ b e. ( 1 ... c ) ( F ` b ) )

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem9	|- -. L e. AA

Distinct variable groups:   a, b, c   F, b, c   L, c, a, b

Allowed substitution hints:   F( a)   H( a, b, c)

Proof of Theorem aaliou3lem9

Dummy variables d e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aaliou3lem8 21770	. . . . . 6 |- ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) -> E. e e. NN ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) )
2		aaliou3lem.c	. . . . . . . . 9 |- F = ( a e. NN |-> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) )
3		aaliou3lem.d	. . . . . . . . 9 |- L = sum_ b e. NN ( F ` b )
4		aaliou3lem.e	. . . . . . . . 9 |- H = ( c e. NN |-> sum_ b e. ( 1 ... c ) ( F ` b ) )
5	2, 3, 4	aaliou3lem6 21773	. . . . . . . 8 |- ( e e. NN -> ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) e. ZZ )
6	5	ad2antrl 722	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) e. ZZ )
7		2nn 10475	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN
8		nnnn0 10582	. . . . . . . . . 10 |- ( e e. NN -> e e. NN0 )
9	8	ad2antrl 722	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> e e. NN0 )
10		faccl 12057	. . . . . . . . 9 |- ( e e. NN0 -> ( ! ` e ) e. NN )
11		nnnn0 10582	. . . . . . . . 9 |- ( ( ! ` e ) e. NN -> ( ! ` e ) e. NN0 )
12	9, 10, 11	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ! ` e ) e. NN0 )
13		nnexpcl 11874	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN /\ ( ! ` e ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( ! ` e ) ) e. NN )
14	7, 12, 13	sylancr 658	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 ^ ( ! ` e ) ) e. NN )
15	2, 3, 4	aaliou3lem5 21772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e e. NN -> ( H ` e ) e. RR )
16	15	ad2antrl 722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( H ` e ) e. RR )
17	16	recnd 9408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( H ` e ) e. CC )
18	14	nncnd 10334	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 ^ ( ! ` e ) ) e. CC )
19	14	nnne0d 10362	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 ^ ( ! ` e ) ) =/= 0 )
20	17, 18, 19	divcan4d 10109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) = ( H ` e ) )
21	2, 3, 4	aaliou3lem7 21774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e e. NN -> ( ( H ` e ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` e ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) ) )
22	21	simpld 456	. . . . . . . . . . 11 |- ( e e. NN -> ( H ` e ) =/= L )
23	22	ad2antrl 722	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( H ` e ) =/= L )
24	20, 23	eqnetrd 2624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) =/= L )
25	24	necomd 2693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> L =/= ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) )
26	25	neneqd 2622	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) )
27	2, 3, 4	aaliou3lem4 21771	. . . . . . . . . . . 12 |- L e. RR
28	14	nnred 10333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 ^ ( ! ` e ) ) e. RR )
29	16, 28	remulcld 9410	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) e. RR )
30	29, 14	nndivred 10366	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) e. RR )
31		resubcl 9669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. RR /\ ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) e. RR ) -> ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) e. RR )
32	27, 30, 31	sylancr 658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) e. RR )
33	32	recnd 9408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) e. CC )
34	33	abscld 12918	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) e. RR )
35		2rp 10992	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR+
36		peano2nn0 10616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( e e. NN0 -> ( e + 1 ) e. NN0 )
37		faccl 12057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( e + 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( e + 1 ) ) e. NN )
38	9, 36, 37	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ! ` ( e + 1 ) ) e. NN )
39		nnz 10664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ! ` ( e + 1 ) ) e. NN -> ( ! ` ( e + 1 ) ) e. ZZ )
40		znegcl 10676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ! ` ( e + 1 ) ) e. ZZ -> -u ( ! ` ( e + 1 ) ) e. ZZ )
41	38, 39, 40	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> -u ( ! ` ( e + 1 ) ) e. ZZ )
42		rpexpcl 11880	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR+ /\ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) e. RR+ )
43	35, 41, 42	sylancr 658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) e. RR+ )
44		rpmulcl 11008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) e. RR+ ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
45	35, 43, 44	sylancr 658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
46	45	rpred 11023	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) e. RR )
47		simplr 749	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> b e. RR+ )
48		nnnn0 10582	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. NN -> a e. NN0 )
49	48	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> a e. NN0 )
50	14, 49	nnexpcld 12025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) e. NN )
51	50	nnrpd 11022	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) e. RR+ )
52	47, 51	rpdivcld 11040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) e. RR+ )
53	52	rpred 11023	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) e. RR )
54	20	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) = ( L - ( H ` e ) ) )
55	54	fveq2d 5692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) = ( abs ` ( L - ( H ` e ) ) ) )
56	21	simprd 460	. . . . . . . . . . 11 |- ( e e. NN -> ( abs ` ( L - ( H ` e ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) )
57	56	ad2antrl 722	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( abs ` ( L - ( H ` e ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) )
58	55, 57	eqbrtrd 4309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) )
59		simprr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) )
60	34, 46, 53, 58, 59	letrd 9524	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) )
61	34, 53	lenltd 9516	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) <-> -. ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) ) )
62	60, 61	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> -. ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) )
63		oveq1 6097	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( f / d ) = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) )
64	63	eqeq2d 2452	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( L = ( f / d ) <-> L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) )
65	64	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( -. L = ( f / d ) <-> -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) )
66	63	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( L - ( f / d ) ) = ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) )
67	66	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) = ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) )
68	67	breq2d 4301	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) <-> ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) ) )
69	68	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) <-> -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) ) )
70	65, 69	anbi12d 705	. . . . . . . 8 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> ( -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) ) ) )
71		oveq2 6098	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) )
72	71	eqeq2d 2452	. . . . . . . . . 10 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) <-> L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) )
73	72	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) <-> -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) )
74		oveq1 6097	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( d ^ a ) = ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) )
75	74	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( b / ( d ^ a ) ) = ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) )
76	71	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) = ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) )
77	76	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) = ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) )
78	75, 77	breq12d 4302	. . . . . . . . . 10 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) <-> ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) ) )
79	78	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) <-> -. ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) ) )
80	73, 79	anbi12d 705	. . . . . . . 8 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( ( -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) ) <-> ( -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) /\ -. ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) ) ) )
81	70, 80	rspc2ev 3078	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) e. ZZ /\ ( 2 ^ ( ! ` e ) ) e. NN /\ ( -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) /\ -. ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) ) ) -> E. f e. ZZ E. d e. NN ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
82	6, 14, 26, 62, 81	syl112anc 1217	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> E. f e. ZZ E. d e. NN ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
83	1, 82	rexlimddv 2843	. . . . 5 |- ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) -> E. f e. ZZ E. d e. NN ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
84		pm4.56 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> -. ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
85	84	rexbii 2738	. . . . . . . 8 |- ( E. d e. NN ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> E. d e. NN -. ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
86		rexnal 2724	. . . . . . . 8 |- ( E. d e. NN -. ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> -. A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
87	85, 86	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( E. d e. NN ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> -. A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
88	87	rexbii 2738	. . . . . 6 |- ( E. f e. ZZ E. d e. NN ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> E. f e. ZZ -. A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
89		rexnal 2724	. . . . . 6 |- ( E. f e. ZZ -. A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> -. A. f e. ZZ A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
90	88, 89	bitri 249	. . . . 5 |- ( E. f e. ZZ E. d e. NN ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> -. A. f e. ZZ A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
91	83, 90	sylib 196	. . . 4 |- ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) -> -. A. f e. ZZ A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
92	91	nrexdv 2817	. . 3 |- ( a e. NN -> -. E. b e. RR+ A. f e. ZZ A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
93	92	nrex 2816	. 2 |- -. E. a e. NN E. b e. RR+ A. f e. ZZ A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) )
94		aaliou2b 21766	. 2 |- ( L e. AA -> E. a e. NN E. b e. RR+ A. f e. ZZ A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
95	93, 94	mto 176	1 |- -. L e. AA

Syntax hints:   -. wn 3   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   1c1 9279   + caddc 9281   x. cmul 9283   < clt 9414   <_ cle 9415   - cmin 9591   -ucneg 9592   / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   RR+crp 10987   ...cfz 11433   ^cexp 11861   !cfa 12047   abscabs 12719   sum_csu 13159   AAcaa 21739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-subrg 16843  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-0p 21107  df-limc 21300  df-dv 21301  df-dvn 21302  df-cpn 21303  df-ply 21615  df-idp 21616  df-coe 21617  df-dgr 21618  df-quot 21716  df-aa 21740

This theorem is referenced by:  aaliou3  21776