Theorem aaliou3lem9 20220

Description: Example of a "Liouville number", a very simple definable transcendental real. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	|- F = ( a e. NN |-> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) )
aaliou3lem.d	|- L = sum_ b e. NN ( F ` b )
aaliou3lem.e	|- H = ( c e. NN |-> sum_ b e. ( 1 ... c ) ( F ` b ) )

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem9	|- -. L e. AA

Distinct variable groups:   a, b, c   F, b, c   L, c, a, b

Allowed substitution hints:   F( a)   H( a, b, c)

Proof of Theorem aaliou3lem9

Dummy variables d e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aaliou3lem8 20215	. . . . . 6 |- ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) -> E. e e. NN ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) )
2		aaliou3lem.c	. . . . . . . . 9 |- F = ( a e. NN |-> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) )
3		aaliou3lem.d	. . . . . . . . 9 |- L = sum_ b e. NN ( F ` b )
4		aaliou3lem.e	. . . . . . . . 9 |- H = ( c e. NN |-> sum_ b e. ( 1 ... c ) ( F ` b ) )
5	2, 3, 4	aaliou3lem6 20218	. . . . . . . 8 |- ( e e. NN -> ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) e. ZZ )
6	5	ad2antrl 709	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) e. ZZ )
7		2nn 10089	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN
8		nnnn0 10184	. . . . . . . . . 10 |- ( e e. NN -> e e. NN0 )
9	8	ad2antrl 709	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> e e. NN0 )
10		faccl 11531	. . . . . . . . 9 |- ( e e. NN0 -> ( ! ` e ) e. NN )
11		nnnn0 10184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ! ` e ) e. NN -> ( ! ` e ) e. NN0 )
12	9, 10, 11	3syl 19	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ! ` e ) e. NN0 )
13		nnexpcl 11349	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN /\ ( ! ` e ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( ! ` e ) ) e. NN )
14	7, 12, 13	sylancr 645	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 ^ ( ! ` e ) ) e. NN )
15	2, 3, 4	aaliou3lem5 20217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e e. NN -> ( H ` e ) e. RR )
16	15	ad2antrl 709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( H ` e ) e. RR )
17	16	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( H ` e ) e. CC )
18	14	nncnd 9972	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 ^ ( ! ` e ) ) e. CC )
19	14	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 ^ ( ! ` e ) ) =/= 0 )
20	17, 18, 19	divcan4d 9752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) = ( H ` e ) )
21	2, 3, 4	aaliou3lem7 20219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e e. NN -> ( ( H ` e ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` e ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) ) )
22	21	simpld 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( e e. NN -> ( H ` e ) =/= L )
23	22	ad2antrl 709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( H ` e ) =/= L )
24	20, 23	eqnetrd 2585	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) =/= L )
25	24	necomd 2650	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> L =/= ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) )
26	25	neneqd 2583	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) )
27	2, 3, 4	aaliou3lem4 20216	. . . . . . . . . . . 12 |- L e. RR
28	14	nnred 9971	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 ^ ( ! ` e ) ) e. RR )
29	16, 28	remulcld 9072	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) e. RR )
30	29, 14	nndivred 10004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) e. RR )
31		resubcl 9321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. RR /\ ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) e. RR ) -> ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) e. RR )
32	27, 30, 31	sylancr 645	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) e. RR )
33	32	recnd 9070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) e. CC )
34	33	abscld 12193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) e. RR )
35		2rp 10573	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR+
36		peano2nn0 10216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( e e. NN0 -> ( e + 1 ) e. NN0 )
37		faccl 11531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( e + 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( e + 1 ) ) e. NN )
38	9, 36, 37	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ! ` ( e + 1 ) ) e. NN )
39		nnz 10259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ! ` ( e + 1 ) ) e. NN -> ( ! ` ( e + 1 ) ) e. ZZ )
40		znegcl 10269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ! ` ( e + 1 ) ) e. ZZ -> -u ( ! ` ( e + 1 ) ) e. ZZ )
41	38, 39, 40	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> -u ( ! ` ( e + 1 ) ) e. ZZ )
42		rpexpcl 11355	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR+ /\ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) e. RR+ )
43	35, 41, 42	sylancr 645	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) e. RR+ )
44		rpmulcl 10589	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) e. RR+ ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
45	35, 43, 44	sylancr 645	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
46	45	rpred 10604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) e. RR )
47		simplr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> b e. RR+ )
48		nnnn0 10184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. NN -> a e. NN0 )
49	48	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> a e. NN0 )
50	14, 49	nnexpcld 11499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) e. NN )
51	50	nnrpd 10603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) e. RR+ )
52	47, 51	rpdivcld 10621	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) e. RR+ )
53	52	rpred 10604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) e. RR )
54	20	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) = ( L - ( H ` e ) ) )
55	54	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) = ( abs ` ( L - ( H ` e ) ) ) )
56	21	simprd 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( e e. NN -> ( abs ` ( L - ( H ` e ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) )
57	56	ad2antrl 709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( abs ` ( L - ( H ` e ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) )
58	55, 57	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) )
59		simprr 734	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) )
60	34, 46, 53, 58, 59	letrd 9183	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) )
61	34, 53	lenltd 9175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) <-> -. ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) ) )
62	60, 61	mpbid 202	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> -. ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) )
63		oveq1 6047	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( f / d ) = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) )
64	63	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( L = ( f / d ) <-> L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) )
65	64	notbid 286	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( -. L = ( f / d ) <-> -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) )
66	63	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( L - ( f / d ) ) = ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) )
67	66	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) = ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) )
68	67	breq2d 4184	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) <-> ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) ) )
69	68	notbid 286	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) <-> -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) ) )
70	65, 69	anbi12d 692	. . . . . . . 8 |- ( f = ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) -> ( ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> ( -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) ) ) )
71		oveq2 6048	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) )
72	71	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . 10 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) <-> L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) )
73	72	notbid 286	. . . . . . . . 9 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) <-> -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) )
74		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( d ^ a ) = ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) )
75	74	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( b / ( d ^ a ) ) = ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) )
76	71	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) = ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) )
77	76	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) = ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) )
78	75, 77	breq12d 4185	. . . . . . . . . 10 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) <-> ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) ) )
79	78	notbid 286	. . . . . . . . 9 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) <-> -. ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) ) )
80	73, 79	anbi12d 692	. . . . . . . 8 |- ( d = ( 2 ^ ( ! ` e ) ) -> ( ( -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / d ) ) ) ) <-> ( -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) /\ -. ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) ) ) )
81	70, 80	rspc2ev 3020	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) e. ZZ /\ ( 2 ^ ( ! ` e ) ) e. NN /\ ( -. L = ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) /\ -. ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( ( ( H ` e ) x. ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) / ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ) ) ) ) ) -> E. f e. ZZ E. d e. NN ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
82	6, 14, 26, 62, 81	syl112anc 1188	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) /\ ( e e. NN /\ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( e + 1 ) ) ) ) <_ ( b / ( ( 2 ^ ( ! ` e ) ) ^ a ) ) ) ) -> E. f e. ZZ E. d e. NN ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
83	1, 82	rexlimddv 2794	. . . . 5 |- ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) -> E. f e. ZZ E. d e. NN ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
84		pm4.56 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> -. ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
85	84	rexbii 2691	. . . . . . . 8 |- ( E. d e. NN ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> E. d e. NN -. ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
86		rexnal 2677	. . . . . . . 8 |- ( E. d e. NN -. ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> -. A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
87	85, 86	bitri 241	. . . . . . 7 |- ( E. d e. NN ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> -. A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
88	87	rexbii 2691	. . . . . 6 |- ( E. f e. ZZ E. d e. NN ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> E. f e. ZZ -. A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
89		rexnal 2677	. . . . . 6 |- ( E. f e. ZZ -. A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> -. A. f e. ZZ A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
90	88, 89	bitri 241	. . . . 5 |- ( E. f e. ZZ E. d e. NN ( -. L = ( f / d ) /\ -. ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) <-> -. A. f e. ZZ A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
91	83, 90	sylib 189	. . . 4 |- ( ( a e. NN /\ b e. RR+ ) -> -. A. f e. ZZ A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
92	91	nrexdv 2769	. . 3 |- ( a e. NN -> -. E. b e. RR+ A. f e. ZZ A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
93	92	nrex 2768	. 2 |- -. E. a e. NN E. b e. RR+ A. f e. ZZ A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) )
94		aaliou2b 20211	. 2 |- ( L e. AA -> E. a e. NN E. b e. RR+ A. f e. ZZ A. d e. NN ( L = ( f / d ) \/ ( b / ( d ^ a ) ) < ( abs ` ( L - ( f / d ) ) ) ) )
95	93, 94	mto 169	1 |- -. L e. AA

Syntax hints:   -. wn 3   \/ wo 358   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   -ucneg 9248   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   RR+crp 10568   ...cfz 10999   ^cexp 11337   !cfa 11521   abscabs 11994   sum_csu 12434   AAcaa 20184

This theorem is referenced by:  aaliou3  20221

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-subrg 15821  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-0p 19515  df-limc 19706  df-dv 19707  df-dvn 19708  df-cpn 19709  df-ply 20060  df-idp 20061  df-coe 20062  df-dgr 20063  df-quot 20161  df-aa 20185