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Theorem aaliou3lem8 22910
Description: Lemma for aaliou3 22916. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  NN  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( x  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  x ) ) ^ A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem aaliou3lem8
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2rp 11226 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
2 rpdivcl 11244 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
2  /  B )  e.  RR+ )
31, 2mpan 668 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( 2  /  B )  e.  RR+ )
43rpred 11259 . . . 4  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( 2  /  B )  e.  RR )
5 2re 10601 . . . . 5  |-  2  e.  RR
6 1lt2 10698 . . . . 5  |-  1  <  2
7 expnbnd 12280 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  /  B
)  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  1  <  2 )  ->  E. a  e.  NN  ( 2  /  B )  <  (
2 ^ a ) )
85, 6, 7mp3an23 1314 . . . 4  |-  ( ( 2  /  B )  e.  RR  ->  E. a  e.  NN  ( 2  /  B )  <  (
2 ^ a ) )
94, 8syl 16 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  ->  E. a  e.  NN  ( 2  /  B )  <  (
2 ^ a ) )
109adantl 464 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  NN  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) )
11 simprl 754 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  a  e.  NN )
12 simpll 751 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  A  e.  NN )
13 nnaddm1cl 10916 . . . 4  |-  ( ( a  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( ( a  +  A )  -  1 )  e.  NN )
1411, 12, 13syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
a  +  A )  -  1 )  e.  NN )
15 simplr 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
16 rerpdivcl 11249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( 2  /  B
)  e.  RR )
175, 15, 16sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  /  B )  e.  RR )
1811nnnn0d 10848 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  a  e.  NN0 )
19 reexpcl 12168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  a  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ a
)  e.  RR )
205, 18, 19sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ a )  e.  RR )
2111, 12nnaddcld 10578 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( a  +  A )  e.  NN )
22 nnm1nn0 10833 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  +  A )  e.  NN  ->  (
( a  +  A
)  -  1 )  e.  NN0 )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
a  +  A )  -  1 )  e. 
NN0 )
24 peano2nn0 10832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
26 faccl 12348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  e.  NN )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) )  e.  NN )
2827nnzd 10964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) )  e.  ZZ )
29 faccl 12348 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  e.  NN )
3023, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  e.  NN )
3130nnzd 10964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  e.  ZZ )
3212nnzd 10964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
3331, 32zmulcld 10971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) )  x.  A )  e.  ZZ )
3428, 33zsubcld 10970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  A ) )  e.  ZZ )
35 rpexpcl 12170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) )  e.  RR+ )
361, 34, 35sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A
) ) )  e.  RR+ )
3736rpred 11259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A
) ) )  e.  RR )
38 simprr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  /  B )  < 
( 2 ^ a
) )
3917, 20, 38ltled 9722 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  /  B )  <_ 
( 2 ^ a
) )
405a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  2  e.  RR )
41 1le2 10745 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <_  2
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  1  <_  2 )
4311nnred 10546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  a  e.  RR )
4430nnred 10546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  e.  RR )
4518nn0ge0d 10851 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  0  <_  a )
4630nnge1d 10574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  1  <_  ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) )
4743, 44, 45, 46lemulge12d 10479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  a  <_  ( ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) )  x.  a ) )
48 facp1 12343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )
4923, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) )  x.  ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) )
5049oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  A ) )  =  ( ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) )  -  (
( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) )  x.  A ) ) )
5130nncnd 10547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  e.  CC )
5225nn0cnd 10850 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 )  e.  CC )
5312nncnd 10547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  A  e.  CC )
5451, 52, 53subdid 10008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) )  x.  ( ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  +  1 )  -  A ) )  =  ( ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) )  -  (
( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) )  x.  A ) ) )
5521nncnd 10547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( a  +  A )  e.  CC )
56 1cnd 9601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  1  e.  CC )
5755, 56npcand 9926 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 )  =  ( a  +  A
) )
5857oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 )  -  A )  =  ( ( a  +  A )  -  A
) )
5911nncnd 10547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  a  e.  CC )
6059, 53pncand 9923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
a  +  A )  -  A )  =  a )
6158, 60eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 )  -  A )  =  a )
6261oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) )  x.  ( ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  +  1 )  -  A ) )  =  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  a
) )
6350, 54, 623eqtr2d 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  A ) )  =  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  a
) )
6447, 63breqtrrd 4465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  a  <_  ( ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) )
6511nnzd 10964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  a  e.  ZZ )
66 eluz 11095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  ( ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) )  -  (
( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) )  x.  A ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ! `  ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  A ) )  e.  ( ZZ>= `  a )  <->  a  <_  ( ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A
) ) ) )
6765, 34, 66syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) )  e.  ( ZZ>= `  a
)  <->  a  <_  (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) ) )
6864, 67mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  A ) )  e.  ( ZZ>= `  a )
)
6940, 42, 68leexp2ad 12327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ a )  <_ 
( 2 ^ (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) ) )
7017, 20, 37, 39, 69letrd 9728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  /  B )  <_ 
( 2 ^ (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) ) )
71 rpcnne0 11238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
721, 71mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
73 expsub 12198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A )  e.  ZZ ) )  -> 
( 2 ^ (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  /  ( 2 ^ ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A
) ) ) )
7472, 28, 33, 73syl12anc 1224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A
) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  /  (
2 ^ ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) ) )
75 2cn 10602 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
7675a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  2  e.  CC )
7712nnnn0d 10848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  A  e.  NN0 )
7830nnnn0d 10848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  e.  NN0 )
7976, 77, 78expmuld 12298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) )  x.  A ) )  =  ( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) )
8079oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  /  ( 2 ^ ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A
) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  /  (
( 2 ^ ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) ) )
81 rpexpcl 12170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
821, 28, 81sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
8382rpcnd 11261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) )  e.  CC )
84 rpexpcl 12170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) ) )  e.  RR+ )
851, 31, 84sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) )  e.  RR+ )
8685, 32rpexpcld 12318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A )  e.  RR+ )
8786rpcnd 11261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A )  e.  CC )
8886rpne0d 11264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A )  =/=  0 )
8983, 87, 88divrecd 10319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  /  ( ( 2 ^ ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) )  =  ( ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  (
1  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A ) ) ) )
9074, 80, 893eqtrrd 2500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) )  =  ( 2 ^ (
( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )  -  ( ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) )  x.  A ) ) ) )
9170, 90breqtrrd 4465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  /  B )  <_ 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  (
1  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A ) ) ) )
9286rpreccld 11269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 1  /  ( ( 2 ^ ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) )  e.  RR+ )
9382, 92rpmulcld 11275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) )  e.  RR+ )
9493rpred 11259 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) )  e.  RR )
9540, 94, 15ledivmuld 11308 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2  /  B )  <_  ( ( 2 ^ ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  /  (
( 2 ^ ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) ) )  <->  2  <_  ( B  x.  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) ) ) ) )
9691, 95mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  2  <_  ( B  x.  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) ) ) )
9715rpcnd 11261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  B  e.  CC )
9892rpcnd 11261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 1  /  ( ( 2 ^ ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) )  e.  CC )
9997, 83, 98mul12d 9778 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( B  x.  ( ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  (
1  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A ) ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( B  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) ) ) )
10096, 99breqtrd 4463 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  2  <_  ( ( 2 ^ ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( B  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) ) ) )
10115, 92rpmulcld 11275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( B  x.  ( 1  /  (
( 2 ^ ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) ) )  e.  RR+ )
102101rpred 11259 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( B  x.  ( 1  /  (
( 2 ^ ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) ) )  e.  RR )
10340, 102, 82ledivmuld 11308 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( (
2  /  ( 2 ^ ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  x.  ( 1  /  (
( 2 ^ ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) ) )  <->  2  <_  ( ( 2 ^ ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) )  x.  ( B  x.  ( 1  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) ) ) ) )
104100, 103mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  /  ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) ) )  <_ 
( B  x.  (
1  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A ) ) ) )
10527nnnn0d 10848 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) )  e.  NN0 )
106 expneg 12159 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ! `  ( ( ( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) )  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) ) ) )
10775, 105, 106sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) ) ) )
108107oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2 ^ ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
10982rpne0d 11264 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2 ^ ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) )  =/=  0 )
11076, 83, 109divrecd 10319 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  /  ( 2 ^ ( ! `  (
( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
1  /  ( 2 ^ ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
111108, 110eqtr4d 2498 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  / 
( 2 ^ ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) ) ) )
11297, 87, 88divrecd 10319 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) )  =  ( B  x.  (
1  /  ( ( 2 ^ ( ! `
 ( ( a  +  A )  - 
1 ) ) ) ^ A ) ) ) )
113104, 111, 1123brtr4d 4469 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) )
114 oveq1 6277 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) )
115114fveq2d 5852 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  ( ! `  ( x  +  1 ) )  =  ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) )
116115negeqd 9805 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  -u ( ! `  ( x  +  1 ) )  =  -u ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) )
117116oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  ( x  +  1 ) ) )  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( ( ( a  +  A )  -  1 )  +  1 ) ) ) )
118117oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( x  + 
1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) ) ) )
119 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) )
120119oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  (
2 ^ ( ! `
 x ) )  =  ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) )
121120oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  (
( 2 ^ ( ! `  x )
) ^ A )  =  ( ( 2 ^ ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) )
122121oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  x ) ) ^ A ) )  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( ! `  ( (
a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) ) )
123118, 122breq12d 4452 . . . 4  |-  ( x  =  ( ( a  +  A )  - 
1 )  ->  (
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( x  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  x ) ) ^ A ) )  <->  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( ( ( a  +  A )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  / 
( ( 2 ^ ( ! `  (
( a  +  A
)  -  1 ) ) ) ^ A
) ) ) )
124123rspcev 3207 . . 3  |-  ( ( ( ( a  +  A )  -  1 )  e.  NN  /\  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( (
( a  +  A
)  -  1 )  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  ( ( a  +  A )  -  1 ) ) ) ^ A ) ) )  ->  E. x  e.  NN  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( x  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  x ) ) ^ A ) ) )
12514, 113, 124syl2anc 659 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  ( 2  /  B
)  <  ( 2 ^ a ) ) )  ->  E. x  e.  NN  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( x  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  x ) ) ^ A ) ) )
12610, 125rexlimddv 2950 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  NN  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( x  +  1 ) ) ) )  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( ! `  x ) ) ^ A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   E.wrex 2805   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10202   NNcn 10531   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11221   ^cexp 12151   !cfa 12338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fl 11910  df-seq 12093  df-exp 12152  df-fac 12339
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  22915
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