Theorem aaliou3lem7 22911

Description: Lemma for aaliou3 22913. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	|- F = ( a e. NN |-> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) )
aaliou3lem.d	|- L = sum_ b e. NN ( F ` b )
aaliou3lem.e	|- H = ( c e. NN |-> sum_ b e. ( 1 ... c ) ( F ` b ) )

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem7	|- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, c   F, b, c   L, c   A, a, b, c

Allowed substitution hints:   F( a)   H( a, b, c)   L( a, b)

Proof of Theorem aaliou3lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn 10543	. . 3 |- ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. NN )
2		eqid 2454	. . . 4 |- ( c e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - ( A + 1 ) ) ) ) ) = ( c e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - ( A + 1 ) ) ) ) )
3		aaliou3lem.c	. . . 4 |- F = ( a e. NN |-> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) )
4	2, 3	aaliou3lem3 22906	. . 3 |- ( ( A + 1 ) e. NN -> ( seq ( A + 1 ) ( + , F ) e. dom ~~> /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
5		3simpc 993	. . 3 |- ( ( seq ( A + 1 ) ( + , F ) e. dom ~~> /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) -> ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
6	1, 4, 5	3syl 20	. 2 |- ( A e. NN -> ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
7		nncn 10539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. NN -> A e. CC )
8		ax-1cn 9539	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
9		pncan 9817	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )
10	7, 8, 9	sylancl 660	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )
11	10	oveq2d 6286	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( 1 ... ( ( A + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... A ) )
12	11	sumeq1d 13605	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> sum_ b e. ( 1 ... ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ( F ` b ) = sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) )
13	12	oveq1d 6285	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( sum_ b e. ( 1 ... ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ( F ` b ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = ( sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) )
14		nnuz 11117	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
15		eqid 2454	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( A + 1 ) )
16		eqidd 2455	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. NN ) -> ( F ` b ) = ( F ` b ) )
17		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = b -> ( ! ` a ) = ( ! ` b ) )
18	17	negeqd 9805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = b -> -u ( ! ` a ) = -u ( ! ` b ) )
19	18	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = b -> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) = ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) )
20		ovex 6298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) e. _V
21	19, 3, 20	fvmpt 5931	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. NN -> ( F ` b ) = ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) )
22		2rp 11226	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR+
23		nnnn0 10798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b e. NN -> b e. NN0 )
24		faccl 12345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b e. NN0 -> ( ! ` b ) e. NN )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. NN -> ( ! ` b ) e. NN )
26	25	nnzd 10964	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. NN -> ( ! ` b ) e. ZZ )
27	26	znegcld 10967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. NN -> -u ( ! ` b ) e. ZZ )
28		rpexpcl 12167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR+ /\ -u ( ! ` b ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) e. RR+ )
29	22, 27, 28	sylancr 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) e. RR+ )
30	29	rpcnd 11261	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) e. CC )
31	21, 30	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. NN -> ( F ` b ) e. CC )
32	31	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. NN ) -> ( F ` b ) e. CC )
33		1nn 10542	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
34		eqid 2454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ( ZZ>= ` 1 ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` 1 ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - 1 ) ) ) ) = ( c e. ( ZZ>= ` 1 ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` 1 ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - 1 ) ) ) )
35	34, 3	aaliou3lem3 22906	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. NN -> ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` 1 ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` 1 ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` 1 ) ) ) ) )
36	35	simp1d 1006	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. NN -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
37	33, 36	mp1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
38	14, 15, 1, 16, 32, 37	isumsplit 13734	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> sum_ b e. NN ( F ` b ) = ( sum_ b e. ( 1 ... ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ( F ` b ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) )
39		oveq2 6278	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = A -> ( 1 ... c ) = ( 1 ... A ) )
40	39	sumeq1d 13605	. . . . . . . . . 10 |- ( c = A -> sum_ b e. ( 1 ... c ) ( F ` b ) = sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) )
41		aaliou3lem.e	. . . . . . . . . 10 |- H = ( c e. NN |-> sum_ b e. ( 1 ... c ) ( F ` b ) )
42		sumex 13592	. . . . . . . . . 10 |- sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) e. _V
43	40, 41, 42	fvmpt 5931	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> ( H ` A ) = sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) )
44	43	oveq1d 6285	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = ( sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) )
45	13, 38, 44	3eqtr4rd 2506	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = sum_ b e. NN ( F ` b ) )
46		aaliou3lem.d	. . . . . . 7 |- L = sum_ b e. NN ( F ` b )
47	45, 46	syl6eqr 2513	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = L )
48	3, 46, 41	aaliou3lem4 22908	. . . . . . . . 9 |- L e. RR
49	48	recni 9597	. . . . . . . 8 |- L e. CC
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> L e. CC )
51	3, 46, 41	aaliou3lem5 22909	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( H ` A ) e. RR )
52	51	recnd 9611	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> ( H ` A ) e. CC )
53	4	simp2d 1007	. . . . . . . . 9 |- ( ( A + 1 ) e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ )
54	1, 53	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ )
55	54	rpcnd 11261	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. CC )
56	50, 52, 55	subaddd 9940	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( ( L - ( H ` A ) ) = sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <-> ( ( H ` A ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = L ) )
57	47, 56	mpbird 232	. . . . 5 |- ( A e. NN -> ( L - ( H ` A ) ) = sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) )
58	57	eqcomd 2462	. . . 4 |- ( A e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) = ( L - ( H ` A ) ) )
59		eleq1 2526	. . . . 5 |- ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) = ( L - ( H ` A ) ) -> ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ <-> ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ ) )
60		breq1 4442	. . . . 5 |- ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) = ( L - ( H ` A ) ) -> ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) <-> ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
61	59, 60	anbi12d 708	. . . 4 |- ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) = ( L - ( H ` A ) ) -> ( ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) <-> ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
62	58, 61	syl 16	. . 3 |- ( A e. NN -> ( ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) <-> ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
63	51	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( H ` A ) e. RR )
64		simprl 754	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ )
65		difrp 11255	. . . . . . . 8 |- ( ( ( H ` A ) e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( H ` A ) < L <-> ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ ) )
66	63, 48, 65	sylancl 660	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) < L <-> ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ ) )
67	64, 66	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( H ` A ) < L )
68	63, 67	ltned 9710	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( H ` A ) =/= L )
69		nnnn0 10798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A + 1 ) e. NN -> ( A + 1 ) e. NN0 )
70		faccl 12345	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A + 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( A + 1 ) ) e. NN )
71	1, 69, 70	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. NN -> ( ! ` ( A + 1 ) ) e. NN )
72	71	nnzd 10964	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN -> ( ! ` ( A + 1 ) ) e. ZZ )
73	72	znegcld 10967	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. NN -> -u ( ! ` ( A + 1 ) ) e. ZZ )
74		rpexpcl 12167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR+ /\ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) e. RR+ )
75	22, 73, 74	sylancr 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) e. RR+ )
76		rpmulcl 11243	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) e. RR+ ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
77	22, 75, 76	sylancr 661	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
78	77	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
79	78	rpred 11259	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) e. RR )
80	63, 79	resubcld 9983	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) e. RR )
81	48	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> L e. RR )
82	63, 78	ltsubrpd 11287	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) < ( H ` A ) )
83	80, 63, 81, 82, 67	lttrd 9732	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) < L )
84	80, 81, 83	ltled 9722	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) <_ L )
85		simprr 755	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) )
86	81, 63, 79	lesubadd2d 10147	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) <-> L <_ ( ( H ` A ) + ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
87	85, 86	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> L <_ ( ( H ` A ) + ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
88	81, 63, 79	absdifled 13348	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) <-> ( ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) <_ L /\ L <_ ( ( H ` A ) + ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) ) )
89	84, 87, 88	mpbir2and 920	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) )
90	68, 89	jca 530	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
91	90	ex 432	. . 3 |- ( A e. NN -> ( ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
92	62, 91	sylbid 215	. 2 |- ( A e. NN -> ( ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
93	6, 92	mpd 15	1 |- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   1c1 9482   + caddc 9484   x. cmul 9486   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9796   -ucneg 9797   / cdiv 10202   NNcn 10531   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11221   ...cfz 11675   seqcseq 12089   ^cexp 12148   !cfa 12335   abscabs 13149   ~~> cli 13389   sum_csu 13590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591

This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  22912