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Theorem aaliou3lem7 20219
Description: Lemma for aaliou3 20221. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
aaliou3lem.d  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
aaliou3lem.e  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem7  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  =/=  L  /\  ( abs `  ( L  -  ( H `  A ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
c    F, b, c    L, c    A, a, b, c
Allowed substitution hints:    F( a)    H( a, b, c)    L( a, b)

Proof of Theorem aaliou3lem7
StepHypRef Expression
1 peano2nn 9968 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
2 eqid 2404 . . . 4  |-  ( c  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) )  |->  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 ( A  + 
1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( c  -  ( A  +  1 ) ) ) ) )  =  ( c  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) 
|->  ( ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
c  -  ( A  +  1 ) ) ) ) )
3 aaliou3lem.c . . . 4  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
42, 3aaliou3lem3 20214 . . 3  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN  ->  (  seq  ( A  +  1 ) (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\ 
sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) )
5 3simpc 956 . . 3  |-  ( (  seq  ( A  + 
1 ) (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) )  ->  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
61, 4, 53syl 19 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
7 nncn 9964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
8 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
9 pncan 9267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  1 )  =  A )
107, 8, 9sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( A  +  1 )  -  1 )  =  A )
1110oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1 ... ( ( A  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 1 ... A
) )
1211sumeq1d 12450 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... (
( A  +  1 )  -  1 ) ) ( F `  b )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b ) )
1312oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sum_ b  e.  ( 1 ... ( ( A  +  1 )  - 
1 ) ) ( F `  b )  +  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b ) )  =  ( sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b )  +  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b ) ) )
14 nnuz 10477 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
15 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) )
16 eqidd 2405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  NN )  ->  ( F `  b
)  =  ( F `
 b ) )
17 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  b  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  b ) )
1817negeqd 9256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  b  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  b ) )
1918oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) ) )
20 ovex 6065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) )  e.  _V
2119, 3, 20fvmpt 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN  ->  ( F `  b )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) ) )
22 2rp 10573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
23 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  NN0 )
24 faccl 11531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ! `
 b )  e.  NN )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  NN  ->  ( ! `  b )  e.  NN )
2625nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  NN  ->  ( ! `  b )  e.  ZZ )
2726znegcld 10333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )
28 rpexpcl 11355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR+ )
2922, 27, 28sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR+ )
3029rpcnd 10606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  CC )
3121, 30eqeltrd 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN  ->  ( F `  b )  e.  CC )
3231adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  NN )  ->  ( F `  b
)  e.  CC )
33 1nn 9967 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
34 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ( ZZ>= `  1
)  |->  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 1 ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( c  -  1 ) ) ) )  =  ( c  e.  ( ZZ>= `  1 )  |->  ( ( 2 ^
-u ( ! ` 
1 ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
c  -  1 ) ) ) )
3534, 3aaliou3lem3 20214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  NN  ->  (  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\ 
sum_ b  e.  (
ZZ>= `  1 ) ( F `  b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  1 )
( F `  b
)  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! ` 
1 ) ) ) ) )
3635simp1d 969 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  NN  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
3733, 36mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
3814, 15, 1, 16, 32, 37isumsplit 12575 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  NN  ( F `  b )  =  (
sum_ b  e.  ( 1 ... ( ( A  +  1 )  -  1 ) ) ( F `  b
)  +  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
) ) )
39 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  A  ->  (
1 ... c )  =  ( 1 ... A
) )
4039sumeq1d 12450 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  A  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... c
) ( F `  b )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b ) )
41 aaliou3lem.e . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
42 sumex 12436 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( F `  b )  e.  _V
4340, 41, 42fvmpt 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b
) )
4443oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  +  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
) )  =  (
sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b
)  +  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
) ) )
4513, 38, 443eqtr4rd 2447 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  +  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
) )  =  sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
)
46 aaliou3lem.d . . . . . . 7  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
4745, 46syl6eqr 2454 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  +  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
) )  =  L )
483, 46, 41aaliou3lem4 20216 . . . . . . . . 9  |-  L  e.  RR
4948recni 9058 . . . . . . . 8  |-  L  e.  CC
5049a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  L  e.  CC )
513, 46, 41aaliou3lem5 20217 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  e.  RR )
5251recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  e.  CC )
534simp2d 970 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  e.  RR+ )
541, 53syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  e.  RR+ )
5554rpcnd 10606 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  e.  CC )
5650, 52, 55subaddd 9385 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( L  -  ( H `  A )
)  =  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  <->  ( ( H `
 A )  + 
sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b ) )  =  L ) )
5747, 56mpbird 224 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  ( L  -  ( H `  A ) )  = 
sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b ) )
5857eqcomd 2409 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  =  ( L  -  ( H `  A ) ) )
59 eleq1 2464 . . . . 5  |-  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  =  ( L  -  ( H `  A )
)  ->  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  e.  RR+ 
<->  ( L  -  ( H `  A )
)  e.  RR+ )
)
60 breq1 4175 . . . . 5  |-  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  =  ( L  -  ( H `  A )
)  ->  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) )  <->  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
6159, 60anbi12d 692 . . . 4  |-  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  =  ( L  -  ( H `  A )
)  ->  ( ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) ) )
6258, 61syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) )  <->  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) ) )
6351adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( H `  A )  e.  RR )
64 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+ )
65 difrp 10601 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( H `  A
)  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( ( H `  A )  <  L  <->  ( L  -  ( H `
 A ) )  e.  RR+ ) )
6663, 48, 65sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  < 
L  <->  ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+ )
)
6764, 66mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( H `  A )  <  L
)
6863, 67ltned 9165 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( H `  A )  =/=  L
)
69 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN0 )
70 faccl 11531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( A  + 
1 ) )  e.  NN )
711, 69, 703syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  ( A  +  1 ) )  e.  NN )
7271nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  ( A  +  1 ) )  e.  ZZ )
7372znegcld 10333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  -u ( ! `  ( A  +  1 ) )  e.  ZZ )
74 rpexpcl 11355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  ( A  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
7522, 73, 74sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
76 rpmulcl 10589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
7722, 75, 76sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( A  + 
1 ) ) ) )  e.  RR+ )
7877adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
7978rpred 10604 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
8063, 79resubcld 9421 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  -  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
8148a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  L  e.  RR )
8263, 78ltsubrpd 10632 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  -  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  < 
( H `  A
) )
8380, 63, 81, 82, 67lttrd 9187 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  -  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  < 
L )
8480, 81, 83ltled 9177 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  -  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  <_  L )
85 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( L  -  ( H `  A ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) )
8681, 63, 79lesubadd2d 9581 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) )  <->  L  <_  ( ( H `  A
)  +  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) ) )
8785, 86mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  L  <_  (
( H `  A
)  +  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) )
8881, 63, 79absdifled 12192 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( L  -  ( H `  A )
) )  <_  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( A  + 
1 ) ) ) )  <->  ( ( ( H `  A )  -  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  <_  L  /\  L  <_  (
( H `  A
)  +  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) ) ) )
8984, 87, 88mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( H `  A ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )
9068, 89jca 519 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  =/= 
L  /\  ( abs `  ( L  -  ( H `  A )
) )  <_  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( A  + 
1 ) ) ) ) ) )
9190ex 424 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  -> 
( ( H `  A )  =/=  L  /\  ( abs `  ( L  -  ( H `  A ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) ) )
9262, 91sylbid 207 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) )  ->  ( ( H `  A )  =/=  L  /\  ( abs `  ( L  -  ( H `  A )
) )  <_  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( A  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
936, 92mpd 15 1  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  =/=  L  /\  ( abs `  ( L  -  ( H `  A ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999    seq cseq 11278   ^cexp 11337   !cfa 11521   abscabs 11994    ~~> cli 12233   sum_csu 12434
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  20220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435
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