Theorem aaliou3lem7 22472

Description: Lemma for aaliou3 22474. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	|- F = ( a e. NN |-> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) )
aaliou3lem.d	|- L = sum_ b e. NN ( F ` b )
aaliou3lem.e	|- H = ( c e. NN |-> sum_ b e. ( 1 ... c ) ( F ` b ) )

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem7	|- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, c   F, b, c   L, c   A, a, b, c

Allowed substitution hints:   F( a)   H( a, b, c)   L( a, b)

Proof of Theorem aaliou3lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn 10537	. . 3 |- ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. NN )
2		eqid 2460	. . . 4 |- ( c e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - ( A + 1 ) ) ) ) ) = ( c e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - ( A + 1 ) ) ) ) )
3		aaliou3lem.c	. . . 4 |- F = ( a e. NN |-> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) )
4	2, 3	aaliou3lem3 22467	. . 3 |- ( ( A + 1 ) e. NN -> ( seq ( A + 1 ) ( + , F ) e. dom ~~> /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
5		3simpc 990	. . 3 |- ( ( seq ( A + 1 ) ( + , F ) e. dom ~~> /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) -> ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
6	1, 4, 5	3syl 20	. 2 |- ( A e. NN -> ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
7		nncn 10533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. NN -> A e. CC )
8		ax-1cn 9539	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
9		pncan 9815	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )
10	7, 8, 9	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )
11	10	oveq2d 6291	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( 1 ... ( ( A + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... A ) )
12	11	sumeq1d 13472	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> sum_ b e. ( 1 ... ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ( F ` b ) = sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) )
13	12	oveq1d 6290	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( sum_ b e. ( 1 ... ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ( F ` b ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = ( sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) )
14		nnuz 11106	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
15		eqid 2460	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( A + 1 ) )
16		eqidd 2461	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. NN ) -> ( F ` b ) = ( F ` b ) )
17		fveq2 5857	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = b -> ( ! ` a ) = ( ! ` b ) )
18	17	negeqd 9803	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = b -> -u ( ! ` a ) = -u ( ! ` b ) )
19	18	oveq2d 6291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = b -> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) = ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) )
20		ovex 6300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) e. _V
21	19, 3, 20	fvmpt 5941	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. NN -> ( F ` b ) = ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) )
22		2rp 11214	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR+
23		nnnn0 10791	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b e. NN -> b e. NN0 )
24		faccl 12318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b e. NN0 -> ( ! ` b ) e. NN )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. NN -> ( ! ` b ) e. NN )
26	25	nnzd 10954	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. NN -> ( ! ` b ) e. ZZ )
27	26	znegcld 10957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. NN -> -u ( ! ` b ) e. ZZ )
28		rpexpcl 12141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR+ /\ -u ( ! ` b ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) e. RR+ )
29	22, 27, 28	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) e. RR+ )
30	29	rpcnd 11247	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) e. CC )
31	21, 30	eqeltrd 2548	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. NN -> ( F ` b ) e. CC )
32	31	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. NN ) -> ( F ` b ) e. CC )
33		1nn 10536	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
34		eqid 2460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ( ZZ>= ` 1 ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` 1 ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - 1 ) ) ) ) = ( c e. ( ZZ>= ` 1 ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` 1 ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - 1 ) ) ) )
35	34, 3	aaliou3lem3 22467	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. NN -> ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` 1 ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` 1 ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` 1 ) ) ) ) )
36	35	simp1d 1003	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. NN -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
37	33, 36	mp1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
38	14, 15, 1, 16, 32, 37	isumsplit 13604	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> sum_ b e. NN ( F ` b ) = ( sum_ b e. ( 1 ... ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ( F ` b ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) )
39		oveq2 6283	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = A -> ( 1 ... c ) = ( 1 ... A ) )
40	39	sumeq1d 13472	. . . . . . . . . 10 |- ( c = A -> sum_ b e. ( 1 ... c ) ( F ` b ) = sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) )
41		aaliou3lem.e	. . . . . . . . . 10 |- H = ( c e. NN |-> sum_ b e. ( 1 ... c ) ( F ` b ) )
42		sumex 13459	. . . . . . . . . 10 |- sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) e. _V
43	40, 41, 42	fvmpt 5941	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> ( H ` A ) = sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) )
44	43	oveq1d 6290	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = ( sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) )
45	13, 38, 44	3eqtr4rd 2512	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = sum_ b e. NN ( F ` b ) )
46		aaliou3lem.d	. . . . . . 7 |- L = sum_ b e. NN ( F ` b )
47	45, 46	syl6eqr 2519	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = L )
48	3, 46, 41	aaliou3lem4 22469	. . . . . . . . 9 |- L e. RR
49	48	recni 9597	. . . . . . . 8 |- L e. CC
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> L e. CC )
51	3, 46, 41	aaliou3lem5 22470	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( H ` A ) e. RR )
52	51	recnd 9611	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> ( H ` A ) e. CC )
53	4	simp2d 1004	. . . . . . . . 9 |- ( ( A + 1 ) e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ )
54	1, 53	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ )
55	54	rpcnd 11247	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. CC )
56	50, 52, 55	subaddd 9937	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( ( L - ( H ` A ) ) = sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <-> ( ( H ` A ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = L ) )
57	47, 56	mpbird 232	. . . . 5 |- ( A e. NN -> ( L - ( H ` A ) ) = sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) )
58	57	eqcomd 2468	. . . 4 |- ( A e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) = ( L - ( H ` A ) ) )
59		eleq1 2532	. . . . 5 |- ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) = ( L - ( H ` A ) ) -> ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ <-> ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ ) )
60		breq1 4443	. . . . 5 |- ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) = ( L - ( H ` A ) ) -> ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) <-> ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
61	59, 60	anbi12d 710	. . . 4 |- ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) = ( L - ( H ` A ) ) -> ( ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) <-> ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
62	58, 61	syl 16	. . 3 |- ( A e. NN -> ( ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) <-> ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
63	51	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( H ` A ) e. RR )
64		simprl 755	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ )
65		difrp 11242	. . . . . . . 8 |- ( ( ( H ` A ) e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( H ` A ) < L <-> ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ ) )
66	63, 48, 65	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) < L <-> ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ ) )
67	64, 66	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( H ` A ) < L )
68	63, 67	ltned 9709	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( H ` A ) =/= L )
69		nnnn0 10791	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A + 1 ) e. NN -> ( A + 1 ) e. NN0 )
70		faccl 12318	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A + 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( A + 1 ) ) e. NN )
71	1, 69, 70	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. NN -> ( ! ` ( A + 1 ) ) e. NN )
72	71	nnzd 10954	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN -> ( ! ` ( A + 1 ) ) e. ZZ )
73	72	znegcld 10957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. NN -> -u ( ! ` ( A + 1 ) ) e. ZZ )
74		rpexpcl 12141	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR+ /\ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) e. RR+ )
75	22, 73, 74	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) e. RR+ )
76		rpmulcl 11230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) e. RR+ ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
77	22, 75, 76	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
78	77	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
79	78	rpred 11245	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) e. RR )
80	63, 79	resubcld 9976	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) e. RR )
81	48	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> L e. RR )
82	63, 78	ltsubrpd 11273	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) < ( H ` A ) )
83	80, 63, 81, 82, 67	lttrd 9731	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) < L )
84	80, 81, 83	ltled 9721	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) <_ L )
85		simprr 756	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) )
86	81, 63, 79	lesubadd2d 10140	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) <-> L <_ ( ( H ` A ) + ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
87	85, 86	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> L <_ ( ( H ` A ) + ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
88	81, 63, 79	absdifled 13215	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) <-> ( ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) <_ L /\ L <_ ( ( H ` A ) + ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) ) )
89	84, 87, 88	mpbir2and 915	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) )
90	68, 89	jca 532	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
91	90	ex 434	. . 3 |- ( A e. NN -> ( ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
92	62, 91	sylbid 215	. 2 |- ( A e. NN -> ( ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
93	6, 92	mpd 15	1 |- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2655   class class class wbr 4440   |-> cmpt 4498   dom cdm 4992   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   1c1 9482   + caddc 9484   x. cmul 9486   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9794   -ucneg 9795   / cdiv 10195   NNcn 10525   2c2 10574   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   RR+crp 11209   ...cfz 11661   seqcseq 12063   ^cexp 12122   !cfa 12308   abscabs 13017   ~~> cli 13256   sum_csu 13457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458

This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  22473