Theorem aaliou3lem7 21933

Description: Lemma for aaliou3 21935. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	|- F = ( a e. NN |-> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) )
aaliou3lem.d	|- L = sum_ b e. NN ( F ` b )
aaliou3lem.e	|- H = ( c e. NN |-> sum_ b e. ( 1 ... c ) ( F ` b ) )

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem7	|- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, c   F, b, c   L, c   A, a, b, c

Allowed substitution hints:   F( a)   H( a, b, c)   L( a, b)

Proof of Theorem aaliou3lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn 10437	. . 3 |- ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. NN )
2		eqid 2451	. . . 4 |- ( c e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - ( A + 1 ) ) ) ) ) = ( c e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - ( A + 1 ) ) ) ) )
3		aaliou3lem.c	. . . 4 |- F = ( a e. NN |-> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) )
4	2, 3	aaliou3lem3 21928	. . 3 |- ( ( A + 1 ) e. NN -> ( seq ( A + 1 ) ( + , F ) e. dom ~~> /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
5		3simpc 987	. . 3 |- ( ( seq ( A + 1 ) ( + , F ) e. dom ~~> /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) -> ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
6	1, 4, 5	3syl 20	. 2 |- ( A e. NN -> ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
7		nncn 10433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. NN -> A e. CC )
8		ax-1cn 9443	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
9		pncan 9719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )
10	7, 8, 9	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )
11	10	oveq2d 6208	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( 1 ... ( ( A + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... A ) )
12	11	sumeq1d 13282	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> sum_ b e. ( 1 ... ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ( F ` b ) = sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) )
13	12	oveq1d 6207	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( sum_ b e. ( 1 ... ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ( F ` b ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = ( sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) )
14		nnuz 10999	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
15		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( A + 1 ) )
16		eqidd 2452	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. NN ) -> ( F ` b ) = ( F ` b ) )
17		fveq2 5791	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = b -> ( ! ` a ) = ( ! ` b ) )
18	17	negeqd 9707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = b -> -u ( ! ` a ) = -u ( ! ` b ) )
19	18	oveq2d 6208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = b -> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) = ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) )
20		ovex 6217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) e. _V
21	19, 3, 20	fvmpt 5875	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. NN -> ( F ` b ) = ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) )
22		2rp 11099	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR+
23		nnnn0 10689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b e. NN -> b e. NN0 )
24		faccl 12164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b e. NN0 -> ( ! ` b ) e. NN )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. NN -> ( ! ` b ) e. NN )
26	25	nnzd 10849	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. NN -> ( ! ` b ) e. ZZ )
27	26	znegcld 10852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. NN -> -u ( ! ` b ) e. ZZ )
28		rpexpcl 11987	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR+ /\ -u ( ! ` b ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) e. RR+ )
29	22, 27, 28	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) e. RR+ )
30	29	rpcnd 11132	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) e. CC )
31	21, 30	eqeltrd 2539	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. NN -> ( F ` b ) e. CC )
32	31	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. NN ) -> ( F ` b ) e. CC )
33		1nn 10436	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
34		eqid 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ( ZZ>= ` 1 ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` 1 ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - 1 ) ) ) ) = ( c e. ( ZZ>= ` 1 ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` 1 ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - 1 ) ) ) )
35	34, 3	aaliou3lem3 21928	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. NN -> ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` 1 ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` 1 ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` 1 ) ) ) ) )
36	35	simp1d 1000	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. NN -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
37	33, 36	mp1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
38	14, 15, 1, 16, 32, 37	isumsplit 13407	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> sum_ b e. NN ( F ` b ) = ( sum_ b e. ( 1 ... ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ( F ` b ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) )
39		oveq2 6200	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = A -> ( 1 ... c ) = ( 1 ... A ) )
40	39	sumeq1d 13282	. . . . . . . . . 10 |- ( c = A -> sum_ b e. ( 1 ... c ) ( F ` b ) = sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) )
41		aaliou3lem.e	. . . . . . . . . 10 |- H = ( c e. NN |-> sum_ b e. ( 1 ... c ) ( F ` b ) )
42		sumex 13269	. . . . . . . . . 10 |- sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) e. _V
43	40, 41, 42	fvmpt 5875	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> ( H ` A ) = sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) )
44	43	oveq1d 6207	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = ( sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) )
45	13, 38, 44	3eqtr4rd 2503	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = sum_ b e. NN ( F ` b ) )
46		aaliou3lem.d	. . . . . . 7 |- L = sum_ b e. NN ( F ` b )
47	45, 46	syl6eqr 2510	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = L )
48	3, 46, 41	aaliou3lem4 21930	. . . . . . . . 9 |- L e. RR
49	48	recni 9501	. . . . . . . 8 |- L e. CC
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> L e. CC )
51	3, 46, 41	aaliou3lem5 21931	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( H ` A ) e. RR )
52	51	recnd 9515	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> ( H ` A ) e. CC )
53	4	simp2d 1001	. . . . . . . . 9 |- ( ( A + 1 ) e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ )
54	1, 53	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ )
55	54	rpcnd 11132	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. CC )
56	50, 52, 55	subaddd 9840	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( ( L - ( H ` A ) ) = sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <-> ( ( H ` A ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = L ) )
57	47, 56	mpbird 232	. . . . 5 |- ( A e. NN -> ( L - ( H ` A ) ) = sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) )
58	57	eqcomd 2459	. . . 4 |- ( A e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) = ( L - ( H ` A ) ) )
59		eleq1 2523	. . . . 5 |- ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) = ( L - ( H ` A ) ) -> ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ <-> ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ ) )
60		breq1 4395	. . . . 5 |- ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) = ( L - ( H ` A ) ) -> ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) <-> ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
61	59, 60	anbi12d 710	. . . 4 |- ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) = ( L - ( H ` A ) ) -> ( ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) <-> ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
62	58, 61	syl 16	. . 3 |- ( A e. NN -> ( ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) <-> ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
63	51	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( H ` A ) e. RR )
64		simprl 755	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ )
65		difrp 11127	. . . . . . . 8 |- ( ( ( H ` A ) e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( H ` A ) < L <-> ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ ) )
66	63, 48, 65	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) < L <-> ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ ) )
67	64, 66	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( H ` A ) < L )
68	63, 67	ltned 9613	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( H ` A ) =/= L )
69		nnnn0 10689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A + 1 ) e. NN -> ( A + 1 ) e. NN0 )
70		faccl 12164	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A + 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( A + 1 ) ) e. NN )
71	1, 69, 70	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. NN -> ( ! ` ( A + 1 ) ) e. NN )
72	71	nnzd 10849	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN -> ( ! ` ( A + 1 ) ) e. ZZ )
73	72	znegcld 10852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. NN -> -u ( ! ` ( A + 1 ) ) e. ZZ )
74		rpexpcl 11987	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR+ /\ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) e. RR+ )
75	22, 73, 74	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) e. RR+ )
76		rpmulcl 11115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) e. RR+ ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
77	22, 75, 76	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
78	77	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
79	78	rpred 11130	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) e. RR )
80	63, 79	resubcld 9879	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) e. RR )
81	48	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> L e. RR )
82	63, 78	ltsubrpd 11158	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) < ( H ` A ) )
83	80, 63, 81, 82, 67	lttrd 9635	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) < L )
84	80, 81, 83	ltled 9625	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) <_ L )
85		simprr 756	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) )
86	81, 63, 79	lesubadd2d 10041	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) <-> L <_ ( ( H ` A ) + ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
87	85, 86	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> L <_ ( ( H ` A ) + ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
88	81, 63, 79	absdifled 13025	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) <-> ( ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) <_ L /\ L <_ ( ( H ` A ) + ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) ) )
89	84, 87, 88	mpbir2and 913	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) )
90	68, 89	jca 532	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
91	90	ex 434	. . 3 |- ( A e. NN -> ( ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
92	62, 91	sylbid 215	. 2 |- ( A e. NN -> ( ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
93	6, 92	mpd 15	1 |- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   class class class wbr 4392   |-> cmpt 4450   dom cdm 4940   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383   RRcr 9384   1c1 9386   + caddc 9388   x. cmul 9390   < clt 9521   <_ cle 9522   - cmin 9698   -ucneg 9699   / cdiv 10096   NNcn 10425   2c2 10474   NN0cn0 10682   ZZcz 10749   ZZ>=cuz 10964   RR+crp 11094   ...cfz 11540   seqcseq 11909   ^cexp 11968   !cfa 12154   abscabs 12827   ~~> cli 13066   sum_csu 13267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-pm 7319  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-rp 11095  df-ioc 11408  df-ico 11409  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-seq 11910  df-exp 11969  df-fac 12155  df-hash 12207  df-shft 12660  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-limsup 13053  df-clim 13070  df-rlim 13071  df-sum 13268

This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  21934