Theorem aaliou3lem7 21790

Description: Lemma for aaliou3 21792. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	|- F = ( a e. NN |-> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) )
aaliou3lem.d	|- L = sum_ b e. NN ( F ` b )
aaliou3lem.e	|- H = ( c e. NN |-> sum_ b e. ( 1 ... c ) ( F ` b ) )

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem7	|- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, c   F, b, c   L, c   A, a, b, c

Allowed substitution hints:   F( a)   H( a, b, c)   L( a, b)

Proof of Theorem aaliou3lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn 10326	. . 3 |- ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. NN )
2		eqid 2438	. . . 4 |- ( c e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - ( A + 1 ) ) ) ) ) = ( c e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - ( A + 1 ) ) ) ) )
3		aaliou3lem.c	. . . 4 |- F = ( a e. NN |-> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) )
4	2, 3	aaliou3lem3 21785	. . 3 |- ( ( A + 1 ) e. NN -> ( seq ( A + 1 ) ( + , F ) e. dom ~~> /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
5		3simpc 987	. . 3 |- ( ( seq ( A + 1 ) ( + , F ) e. dom ~~> /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) -> ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
6	1, 4, 5	3syl 20	. 2 |- ( A e. NN -> ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
7		nncn 10322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. NN -> A e. CC )
8		ax-1cn 9332	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
9		pncan 9608	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )
10	7, 8, 9	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )
11	10	oveq2d 6102	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( 1 ... ( ( A + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... A ) )
12	11	sumeq1d 13170	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> sum_ b e. ( 1 ... ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ( F ` b ) = sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) )
13	12	oveq1d 6101	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( sum_ b e. ( 1 ... ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ( F ` b ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = ( sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) )
14		nnuz 10888	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
15		eqid 2438	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( A + 1 ) )
16		eqidd 2439	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. NN ) -> ( F ` b ) = ( F ` b ) )
17		fveq2 5686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = b -> ( ! ` a ) = ( ! ` b ) )
18	17	negeqd 9596	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = b -> -u ( ! ` a ) = -u ( ! ` b ) )
19	18	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = b -> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) = ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) )
20		ovex 6111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) e. _V
21	19, 3, 20	fvmpt 5769	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. NN -> ( F ` b ) = ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) )
22		2rp 10988	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR+
23		nnnn0 10578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b e. NN -> b e. NN0 )
24		faccl 12053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b e. NN0 -> ( ! ` b ) e. NN )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. NN -> ( ! ` b ) e. NN )
26	25	nnzd 10738	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. NN -> ( ! ` b ) e. ZZ )
27	26	znegcld 10741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. NN -> -u ( ! ` b ) e. ZZ )
28		rpexpcl 11876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR+ /\ -u ( ! ` b ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) e. RR+ )
29	22, 27, 28	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) e. RR+ )
30	29	rpcnd 11021	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` b ) ) e. CC )
31	21, 30	eqeltrd 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. NN -> ( F ` b ) e. CC )
32	31	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ b e. NN ) -> ( F ` b ) e. CC )
33		1nn 10325	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
34		eqid 2438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ( ZZ>= ` 1 ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` 1 ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - 1 ) ) ) ) = ( c e. ( ZZ>= ` 1 ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` 1 ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - 1 ) ) ) )
35	34, 3	aaliou3lem3 21785	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. NN -> ( seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` 1 ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` 1 ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` 1 ) ) ) ) )
36	35	simp1d 1000	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. NN -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
37	33, 36	mp1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
38	14, 15, 1, 16, 32, 37	isumsplit 13295	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> sum_ b e. NN ( F ` b ) = ( sum_ b e. ( 1 ... ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ( F ` b ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) )
39		oveq2 6094	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = A -> ( 1 ... c ) = ( 1 ... A ) )
40	39	sumeq1d 13170	. . . . . . . . . 10 |- ( c = A -> sum_ b e. ( 1 ... c ) ( F ` b ) = sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) )
41		aaliou3lem.e	. . . . . . . . . 10 |- H = ( c e. NN |-> sum_ b e. ( 1 ... c ) ( F ` b ) )
42		sumex 13157	. . . . . . . . . 10 |- sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) e. _V
43	40, 41, 42	fvmpt 5769	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> ( H ` A ) = sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) )
44	43	oveq1d 6101	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = ( sum_ b e. ( 1 ... A ) ( F ` b ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) )
45	13, 38, 44	3eqtr4rd 2481	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = sum_ b e. NN ( F ` b ) )
46		aaliou3lem.d	. . . . . . 7 |- L = sum_ b e. NN ( F ` b )
47	45, 46	syl6eqr 2488	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = L )
48	3, 46, 41	aaliou3lem4 21787	. . . . . . . . 9 |- L e. RR
49	48	recni 9390	. . . . . . . 8 |- L e. CC
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> L e. CC )
51	3, 46, 41	aaliou3lem5 21788	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( H ` A ) e. RR )
52	51	recnd 9404	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> ( H ` A ) e. CC )
53	4	simp2d 1001	. . . . . . . . 9 |- ( ( A + 1 ) e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ )
54	1, 53	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ )
55	54	rpcnd 11021	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. CC )
56	50, 52, 55	subaddd 9729	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( ( L - ( H ` A ) ) = sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <-> ( ( H ` A ) + sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) ) = L ) )
57	47, 56	mpbird 232	. . . . 5 |- ( A e. NN -> ( L - ( H ` A ) ) = sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) )
58	57	eqcomd 2443	. . . 4 |- ( A e. NN -> sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) = ( L - ( H ` A ) ) )
59		eleq1 2498	. . . . 5 |- ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) = ( L - ( H ` A ) ) -> ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ <-> ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ ) )
60		breq1 4290	. . . . 5 |- ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) = ( L - ( H ` A ) ) -> ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) <-> ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
61	59, 60	anbi12d 710	. . . 4 |- ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) = ( L - ( H ` A ) ) -> ( ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) <-> ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
62	58, 61	syl 16	. . 3 |- ( A e. NN -> ( ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) <-> ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
63	51	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( H ` A ) e. RR )
64		simprl 755	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ )
65		difrp 11016	. . . . . . . 8 |- ( ( ( H ` A ) e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( H ` A ) < L <-> ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ ) )
66	63, 48, 65	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) < L <-> ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ ) )
67	64, 66	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( H ` A ) < L )
68	63, 67	ltned 9502	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( H ` A ) =/= L )
69		nnnn0 10578	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A + 1 ) e. NN -> ( A + 1 ) e. NN0 )
70		faccl 12053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A + 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( A + 1 ) ) e. NN )
71	1, 69, 70	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. NN -> ( ! ` ( A + 1 ) ) e. NN )
72	71	nnzd 10738	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN -> ( ! ` ( A + 1 ) ) e. ZZ )
73	72	znegcld 10741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. NN -> -u ( ! ` ( A + 1 ) ) e. ZZ )
74		rpexpcl 11876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR+ /\ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) e. RR+ )
75	22, 73, 74	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) e. RR+ )
76		rpmulcl 11004	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) e. RR+ ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
77	22, 75, 76	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
78	77	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
79	78	rpred 11019	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) e. RR )
80	63, 79	resubcld 9768	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) e. RR )
81	48	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> L e. RR )
82	63, 78	ltsubrpd 11047	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) < ( H ` A ) )
83	80, 63, 81, 82, 67	lttrd 9524	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) < L )
84	80, 81, 83	ltled 9514	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) <_ L )
85		simprr 756	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) )
86	81, 63, 79	lesubadd2d 9930	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) <-> L <_ ( ( H ` A ) + ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
87	85, 86	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> L <_ ( ( H ` A ) + ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
88	81, 63, 79	absdifled 12913	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) <-> ( ( ( H ` A ) - ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) <_ L /\ L <_ ( ( H ` A ) + ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) ) )
89	84, 87, 88	mpbir2and 913	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) )
90	68, 89	jca 532	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )
91	90	ex 434	. . 3 |- ( A e. NN -> ( ( ( L - ( H ` A ) ) e. RR+ /\ ( L - ( H ` A ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
92	62, 91	sylbid 215	. 2 |- ( A e. NN -> ( ( sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) e. RR+ /\ sum_ b e. ( ZZ>= ` ( A + 1 ) ) ( F ` b ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) ) )
93	6, 92	mpd 15	1 |- ( A e. NN -> ( ( H ` A ) =/= L /\ ( abs ` ( L - ( H ` A ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 ^ -u ( ! ` ( A + 1 ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2601   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   dom cdm 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   1c1 9275   + caddc 9277   x. cmul 9279   < clt 9410   <_ cle 9411   - cmin 9587   -ucneg 9588   / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   RR+crp 10983   ...cfz 11429   seqcseq 11798   ^cexp 11857   !cfa 12043   abscabs 12715   ~~> cli 12954   sum_csu 13155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156

This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  21791