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Theorem aaliou3lem7 22472
Description: Lemma for aaliou3 22474. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
aaliou3lem.d  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
aaliou3lem.e  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem7  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  =/=  L  /\  ( abs `  ( L  -  ( H `  A ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
c    F, b, c    L, c    A, a, b, c
Allowed substitution hints:    F( a)    H( a, b, c)    L( a, b)

Proof of Theorem aaliou3lem7
StepHypRef Expression
1 peano2nn 10537 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
2 eqid 2460 . . . 4  |-  ( c  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) )  |->  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 ( A  + 
1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( c  -  ( A  +  1 ) ) ) ) )  =  ( c  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) 
|->  ( ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
c  -  ( A  +  1 ) ) ) ) )
3 aaliou3lem.c . . . 4  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
42, 3aaliou3lem3 22467 . . 3  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN  ->  (  seq ( A  +  1 ) (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\ 
sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) )
5 3simpc 990 . . 3  |-  ( (  seq ( A  + 
1 ) (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) )  ->  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
61, 4, 53syl 20 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
7 nncn 10533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
8 ax-1cn 9539 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
9 pncan 9815 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  1 )  =  A )
107, 8, 9sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( A  +  1 )  -  1 )  =  A )
1110oveq2d 6291 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1 ... ( ( A  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 1 ... A
) )
1211sumeq1d 13472 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... (
( A  +  1 )  -  1 ) ) ( F `  b )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b ) )
1312oveq1d 6290 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sum_ b  e.  ( 1 ... ( ( A  +  1 )  - 
1 ) ) ( F `  b )  +  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b ) )  =  ( sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b )  +  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b ) ) )
14 nnuz 11106 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
15 eqid 2460 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) )
16 eqidd 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  NN )  ->  ( F `  b
)  =  ( F `
 b ) )
17 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  b  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  b ) )
1817negeqd 9803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  b  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  b ) )
1918oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) ) )
20 ovex 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) )  e.  _V
2119, 3, 20fvmpt 5941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN  ->  ( F `  b )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) ) )
22 2rp 11214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
23 nnnn0 10791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  NN0 )
24 faccl 12318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ! `
 b )  e.  NN )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  NN  ->  ( ! `  b )  e.  NN )
2625nnzd 10954 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  NN  ->  ( ! `  b )  e.  ZZ )
2726znegcld 10957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )
28 rpexpcl 12141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR+ )
2922, 27, 28sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR+ )
3029rpcnd 11247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  CC )
3121, 30eqeltrd 2548 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN  ->  ( F `  b )  e.  CC )
3231adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  NN )  ->  ( F `  b
)  e.  CC )
33 1nn 10536 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
34 eqid 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ( ZZ>= `  1
)  |->  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 1 ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( c  -  1 ) ) ) )  =  ( c  e.  ( ZZ>= `  1 )  |->  ( ( 2 ^
-u ( ! ` 
1 ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
c  -  1 ) ) ) )
3534, 3aaliou3lem3 22467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  NN  ->  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\ 
sum_ b  e.  (
ZZ>= `  1 ) ( F `  b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  1 )
( F `  b
)  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! ` 
1 ) ) ) ) )
3635simp1d 1003 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
3733, 36mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
3814, 15, 1, 16, 32, 37isumsplit 13604 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  NN  ( F `  b )  =  (
sum_ b  e.  ( 1 ... ( ( A  +  1 )  -  1 ) ) ( F `  b
)  +  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
) ) )
39 oveq2 6283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  A  ->  (
1 ... c )  =  ( 1 ... A
) )
4039sumeq1d 13472 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  A  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... c
) ( F `  b )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b ) )
41 aaliou3lem.e . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
42 sumex 13459 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( F `  b )  e.  _V
4340, 41, 42fvmpt 5941 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b
) )
4443oveq1d 6290 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  +  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
) )  =  (
sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b
)  +  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
) ) )
4513, 38, 443eqtr4rd 2512 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  +  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
) )  =  sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
)
46 aaliou3lem.d . . . . . . 7  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
4745, 46syl6eqr 2519 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  +  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
) )  =  L )
483, 46, 41aaliou3lem4 22469 . . . . . . . . 9  |-  L  e.  RR
4948recni 9597 . . . . . . . 8  |-  L  e.  CC
5049a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  L  e.  CC )
513, 46, 41aaliou3lem5 22470 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  e.  RR )
5251recnd 9611 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  e.  CC )
534simp2d 1004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  e.  RR+ )
541, 53syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  e.  RR+ )
5554rpcnd 11247 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  e.  CC )
5650, 52, 55subaddd 9937 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( L  -  ( H `  A )
)  =  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  <->  ( ( H `
 A )  + 
sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b ) )  =  L ) )
5747, 56mpbird 232 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  ( L  -  ( H `  A ) )  = 
sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b ) )
5857eqcomd 2468 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  =  ( L  -  ( H `  A ) ) )
59 eleq1 2532 . . . . 5  |-  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  =  ( L  -  ( H `  A )
)  ->  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  e.  RR+ 
<->  ( L  -  ( H `  A )
)  e.  RR+ )
)
60 breq1 4443 . . . . 5  |-  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  =  ( L  -  ( H `  A )
)  ->  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) )  <->  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
6159, 60anbi12d 710 . . . 4  |-  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  =  ( L  -  ( H `  A )
)  ->  ( ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) ) )
6258, 61syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) )  <->  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) ) )
6351adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( H `  A )  e.  RR )
64 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+ )
65 difrp 11242 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( H `  A
)  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( ( H `  A )  <  L  <->  ( L  -  ( H `
 A ) )  e.  RR+ ) )
6663, 48, 65sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  < 
L  <->  ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+ )
)
6764, 66mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( H `  A )  <  L
)
6863, 67ltned 9709 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( H `  A )  =/=  L
)
69 nnnn0 10791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN0 )
70 faccl 12318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( A  + 
1 ) )  e.  NN )
711, 69, 703syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  ( A  +  1 ) )  e.  NN )
7271nnzd 10954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  ( A  +  1 ) )  e.  ZZ )
7372znegcld 10957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  -u ( ! `  ( A  +  1 ) )  e.  ZZ )
74 rpexpcl 12141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  ( A  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
7522, 73, 74sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
76 rpmulcl 11230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
7722, 75, 76sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( A  + 
1 ) ) ) )  e.  RR+ )
7877adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
7978rpred 11245 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
8063, 79resubcld 9976 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  -  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
8148a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  L  e.  RR )
8263, 78ltsubrpd 11273 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  -  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  < 
( H `  A
) )
8380, 63, 81, 82, 67lttrd 9731 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  -  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  < 
L )
8480, 81, 83ltled 9721 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  -  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  <_  L )
85 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( L  -  ( H `  A ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) )
8681, 63, 79lesubadd2d 10140 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) )  <->  L  <_  ( ( H `  A
)  +  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) ) )
8785, 86mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  L  <_  (
( H `  A
)  +  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) )
8881, 63, 79absdifled 13215 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( L  -  ( H `  A )
) )  <_  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( A  + 
1 ) ) ) )  <->  ( ( ( H `  A )  -  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  <_  L  /\  L  <_  (
( H `  A
)  +  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) ) ) )
8984, 87, 88mpbir2and 915 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( H `  A ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )
9068, 89jca 532 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  =/= 
L  /\  ( abs `  ( L  -  ( H `  A )
) )  <_  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( A  + 
1 ) ) ) ) ) )
9190ex 434 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  -> 
( ( H `  A )  =/=  L  /\  ( abs `  ( L  -  ( H `  A ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) ) )
9262, 91sylbid 215 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) )  ->  ( ( H `  A )  =/=  L  /\  ( abs `  ( L  -  ( H `  A )
) )  <_  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( A  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
936, 92mpd 15 1  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  =/=  L  /\  ( abs `  ( L  -  ( H `  A ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   dom cdm 4992   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794   -ucneg 9795    / cdiv 10195   NNcn 10525   2c2 10574   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   RR+crp 11209   ...cfz 11661    seqcseq 12063   ^cexp 12122   !cfa 12308   abscabs 13017    ~~> cli 13256   sum_csu 13457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  22473
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