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Theorem aaliou3lem7 22911
Description: Lemma for aaliou3 22913. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
aaliou3lem.d  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
aaliou3lem.e  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem7  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  =/=  L  /\  ( abs `  ( L  -  ( H `  A ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
c    F, b, c    L, c    A, a, b, c
Allowed substitution hints:    F( a)    H( a, b, c)    L( a, b)

Proof of Theorem aaliou3lem7
StepHypRef Expression
1 peano2nn 10543 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
2 eqid 2454 . . . 4  |-  ( c  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) )  |->  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 ( A  + 
1 ) ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( c  -  ( A  +  1 ) ) ) ) )  =  ( c  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) 
|->  ( ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
c  -  ( A  +  1 ) ) ) ) )
3 aaliou3lem.c . . . 4  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
42, 3aaliou3lem3 22906 . . 3  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN  ->  (  seq ( A  +  1 ) (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\ 
sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) )
5 3simpc 993 . . 3  |-  ( (  seq ( A  + 
1 ) (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  /\  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) )  ->  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
61, 4, 53syl 20 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
7 nncn 10539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
8 ax-1cn 9539 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
9 pncan 9817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  1 )  =  A )
107, 8, 9sylancl 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( A  +  1 )  -  1 )  =  A )
1110oveq2d 6286 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1 ... ( ( A  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 1 ... A
) )
1211sumeq1d 13605 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... (
( A  +  1 )  -  1 ) ) ( F `  b )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b ) )
1312oveq1d 6285 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sum_ b  e.  ( 1 ... ( ( A  +  1 )  - 
1 ) ) ( F `  b )  +  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b ) )  =  ( sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b )  +  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b ) ) )
14 nnuz 11117 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
15 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) )
16 eqidd 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  NN )  ->  ( F `  b
)  =  ( F `
 b ) )
17 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  b  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  b ) )
1817negeqd 9805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  b  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  b ) )
1918oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) ) )
20 ovex 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) )  e.  _V
2119, 3, 20fvmpt 5931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN  ->  ( F `  b )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) ) )
22 2rp 11226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
23 nnnn0 10798 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  NN0 )
24 faccl 12345 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ! `
 b )  e.  NN )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  NN  ->  ( ! `  b )  e.  NN )
2625nnzd 10964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  NN  ->  ( ! `  b )  e.  ZZ )
2726znegcld 10967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )
28 rpexpcl 12167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR+ )
2922, 27, 28sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR+ )
3029rpcnd 11261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  CC )
3121, 30eqeltrd 2542 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN  ->  ( F `  b )  e.  CC )
3231adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  NN )  ->  ( F `  b
)  e.  CC )
33 1nn 10542 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
34 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ( ZZ>= `  1
)  |->  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 1 ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( c  -  1 ) ) ) )  =  ( c  e.  ( ZZ>= `  1 )  |->  ( ( 2 ^
-u ( ! ` 
1 ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
c  -  1 ) ) ) )
3534, 3aaliou3lem3 22906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  NN  ->  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\ 
sum_ b  e.  (
ZZ>= `  1 ) ( F `  b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  1 )
( F `  b
)  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! ` 
1 ) ) ) ) )
3635simp1d 1006 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
3733, 36mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
3814, 15, 1, 16, 32, 37isumsplit 13734 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  NN  ( F `  b )  =  (
sum_ b  e.  ( 1 ... ( ( A  +  1 )  -  1 ) ) ( F `  b
)  +  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
) ) )
39 oveq2 6278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  A  ->  (
1 ... c )  =  ( 1 ... A
) )
4039sumeq1d 13605 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  A  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... c
) ( F `  b )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b ) )
41 aaliou3lem.e . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
42 sumex 13592 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( F `  b )  e.  _V
4340, 41, 42fvmpt 5931 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b
) )
4443oveq1d 6285 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  +  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
) )  =  (
sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b
)  +  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
) ) )
4513, 38, 443eqtr4rd 2506 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  +  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
) )  =  sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
)
46 aaliou3lem.d . . . . . . 7  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
4745, 46syl6eqr 2513 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  +  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
) )  =  L )
483, 46, 41aaliou3lem4 22908 . . . . . . . . 9  |-  L  e.  RR
4948recni 9597 . . . . . . . 8  |-  L  e.  CC
5049a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  L  e.  CC )
513, 46, 41aaliou3lem5 22909 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  e.  RR )
5251recnd 9611 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  e.  CC )
534simp2d 1007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  e.  RR+ )
541, 53syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  e.  RR+ )
5554rpcnd 11261 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  e.  CC )
5650, 52, 55subaddd 9940 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( L  -  ( H `  A )
)  =  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  <->  ( ( H `
 A )  + 
sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b ) )  =  L ) )
5747, 56mpbird 232 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  ( L  -  ( H `  A ) )  = 
sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b ) )
5857eqcomd 2462 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  =  ( L  -  ( H `  A ) ) )
59 eleq1 2526 . . . . 5  |-  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  =  ( L  -  ( H `  A )
)  ->  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  e.  RR+ 
<->  ( L  -  ( H `  A )
)  e.  RR+ )
)
60 breq1 4442 . . . . 5  |-  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  =  ( L  -  ( H `  A )
)  ->  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) )  <->  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
6159, 60anbi12d 708 . . . 4  |-  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  =  ( L  -  ( H `  A )
)  ->  ( ( sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) ( F `
 b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  <->  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) ) )
6258, 61syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) )  <->  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) ) )
6351adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( H `  A )  e.  RR )
64 simprl 754 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+ )
65 difrp 11255 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( H `  A
)  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( ( H `  A )  <  L  <->  ( L  -  ( H `
 A ) )  e.  RR+ ) )
6663, 48, 65sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  < 
L  <->  ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+ )
)
6764, 66mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( H `  A )  <  L
)
6863, 67ltned 9710 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( H `  A )  =/=  L
)
69 nnnn0 10798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN0 )
70 faccl 12345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( A  + 
1 ) )  e.  NN )
711, 69, 703syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  ( A  +  1 ) )  e.  NN )
7271nnzd 10964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  ( A  +  1 ) )  e.  ZZ )
7372znegcld 10967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  -u ( ! `  ( A  +  1 ) )  e.  ZZ )
74 rpexpcl 12167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  ( A  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
7522, 73, 74sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
76 rpmulcl 11243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) )  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
7722, 75, 76sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( A  + 
1 ) ) ) )  e.  RR+ )
7877adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
7978rpred 11259 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
8063, 79resubcld 9983 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  -  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
8148a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  L  e.  RR )
8263, 78ltsubrpd 11287 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  -  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  < 
( H `  A
) )
8380, 63, 81, 82, 67lttrd 9732 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  -  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  < 
L )
8480, 81, 83ltled 9722 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  -  ( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  <_  L )
85 simprr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( L  -  ( H `  A ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) )
8681, 63, 79lesubadd2d 10147 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) )  <->  L  <_  ( ( H `  A
)  +  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) ) )
8785, 86mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  L  <_  (
( H `  A
)  +  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) )
8881, 63, 79absdifled 13348 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( L  -  ( H `  A )
) )  <_  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( A  + 
1 ) ) ) )  <->  ( ( ( H `  A )  -  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  <_  L  /\  L  <_  (
( H `  A
)  +  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) ) ) ) )
8984, 87, 88mpbir2and 920 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( L  -  ( H `  A ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )
9068, 89jca 530 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( ( H `
 A )  =/= 
L  /\  ( abs `  ( L  -  ( H `  A )
) )  <_  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( A  + 
1 ) ) ) ) ) )
9190ex 432 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( ( L  -  ( H `  A ) )  e.  RR+  /\  ( L  -  ( H `  A ) )  <_ 
( 2  x.  (
2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) )  -> 
( ( H `  A )  =/=  L  /\  ( abs `  ( L  -  ( H `  A ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) ) )
9262, 91sylbid 215 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( sum_ b  e.  (
ZZ>= `  ( A  + 
1 ) ) ( F `  b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) ( F `  b
)  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! `  ( A  +  1
) ) ) ) )  ->  ( ( H `  A )  =/=  L  /\  ( abs `  ( L  -  ( H `  A )
) )  <_  (
2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( A  + 
1 ) ) ) ) ) ) )
936, 92mpd 15 1  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  =/=  L  /\  ( abs `  ( L  -  ( H `  A ) ) )  <_  ( 2  x.  ( 2 ^ -u ( ! `  ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10202   NNcn 10531   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11221   ...cfz 11675    seqcseq 12089   ^cexp 12148   !cfa 12335   abscabs 13149    ~~> cli 13389   sum_csu 13590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  22912
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