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Theorem aaliou3lem6 20218
Description: Lemma for aaliou3 20221. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
aaliou3lem.d  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
aaliou3lem.e  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem6  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) )  e.  ZZ )
Distinct variable groups:    a, b,
c    F, b, c    L, c    A, a, b, c
Allowed substitution hints:    F( a)    H( a, b, c)    L( a, b)

Proof of Theorem aaliou3lem6
StepHypRef Expression
1 oveq2 6048 . . . . 5  |-  ( c  =  A  ->  (
1 ... c )  =  ( 1 ... A
) )
21sumeq1d 12450 . . . 4  |-  ( c  =  A  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... c
) ( F `  b )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b ) )
3 aaliou3lem.e . . . 4  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
4 sumex 12436 . . . 4  |-  sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( F `  b )  e.  _V
52, 3, 4fvmpt 5765 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b
) )
65oveq1d 6055 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) )  =  ( sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( F `  b )  x.  (
2 ^ ( ! `
 A ) ) ) )
7 fzfid 11267 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1 ... A )  e. 
Fin )
8 2rp 10573 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
9 nnnn0 10184 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
10 faccl 11531 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( ! `
 A )  e.  NN )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  A )  e.  NN )
1211nnzd 10330 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  A )  e.  ZZ )
13 rpexpcl 11355 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  ( ! `  A )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ ( ! `
 A ) )  e.  RR+ )
148, 12, 13sylancr 645 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ! `
 A ) )  e.  RR+ )
1514rpcnd 10606 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ! `
 A ) )  e.  CC )
16 elfznn 11036 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  ( 1 ... A )  ->  b  e.  NN )
17 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  b ) )
1817negeqd 9256 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  b ) )
1918oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) ) )
20 aaliou3lem.c . . . . . . . 8  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
21 ovex 6065 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) )  e.  _V
2219, 20, 21fvmpt 5765 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  NN  ->  ( F `  b )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) ) )
2316, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ( 1 ... A )  ->  ( F `  b )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) ) )
2423adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( F `  b )  =  ( 2 ^ -u ( ! `  b )
) )
2516adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  b  e.  NN )
2625nnnn0d 10230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  b  e.  NN0 )
27 faccl 11531 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ! `
 b )  e.  NN )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  e.  NN )
2928nnzd 10330 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  e.  ZZ )
3029znegcld 10333 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )
31 rpexpcl 11355 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR+ )
328, 30, 31sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) )  e.  RR+ )
3332rpcnd 10606 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) )  e.  CC )
3424, 33eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( F `  b )  e.  CC )
357, 15, 34fsummulc1 12523 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A
) ) )  = 
sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( ( F `  b )  x.  (
2 ^ ( ! `
 A ) ) ) )
3624oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( F `
 b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  b )
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) ) )
3712adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  A )  e.  ZZ )
38 rpcnne0 10585 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
398, 38ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
40 expaddz 11379 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( -u ( ! `  b )  e.  ZZ  /\  ( ! `
 A )  e.  ZZ ) )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  b
)  +  ( ! `
 A ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  b )
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) ) )
4139, 40mpan 652 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( ! `  b )  e.  ZZ  /\  ( ! `  A
)  e.  ZZ )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 b )  +  ( ! `  A
) ) )  =  ( ( 2 ^
-u ( ! `  b ) )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) ) )
4230, 37, 41syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 b )  +  ( ! `  A
) ) )  =  ( ( 2 ^
-u ( ! `  b ) )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) ) )
43 2z 10268 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
4430zcnd 10332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  -u ( ! `  b )  e.  CC )
4537zcnd 10332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  A )  e.  CC )
4644, 45addcomd 9224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( -u ( ! `  b )  +  ( ! `  A ) )  =  ( ( ! `  A )  +  -u ( ! `  b ) ) )
4728nncnd 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  e.  CC )
4845, 47negsubd 9373 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( ! `
 A )  + 
-u ( ! `  b ) )  =  ( ( ! `  A )  -  ( ! `  b )
) )
4946, 48eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( -u ( ! `  b )  +  ( ! `  A ) )  =  ( ( ! `  A )  -  ( ! `  b )
) )
509adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  A  e.  NN0 )
51 elfzle2 11017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( 1 ... A )  ->  b  <_  A )
5251adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  b  <_  A
)
53 facwordi 11535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  NN0  /\  b  <_  A )  ->  ( ! `  b )  <_  ( ! `  A
) )
5426, 50, 52, 53syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  <_  ( ! `  A )
)
5528nnnn0d 10230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  e.  NN0 )
5650, 10syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  A )  e.  NN )
5756nnnn0d 10230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  A )  e.  NN0 )
58 nn0sub 10226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ! `  b
)  e.  NN0  /\  ( ! `  A )  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  b )  <_  ( ! `  A )  <->  ( ( ! `  A
)  -  ( ! `
 b ) )  e.  NN0 ) )
5955, 57, 58syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( ! `
 b )  <_ 
( ! `  A
)  <->  ( ( ! `
 A )  -  ( ! `  b ) )  e.  NN0 )
)
6054, 59mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( ! `
 A )  -  ( ! `  b ) )  e.  NN0 )
6149, 60eqeltrd 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( -u ( ! `  b )  +  ( ! `  A ) )  e. 
NN0 )
62 zexpcl 11351 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( -u ( ! `  b )  +  ( ! `  A ) )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `  b
)  +  ( ! `
 A ) ) )  e.  ZZ )
6343, 61, 62sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 b )  +  ( ! `  A
) ) )  e.  ZZ )
6442, 63eqeltrrd 2479 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A
) ) )  e.  ZZ )
6536, 64eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( F `
 b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) )  e.  ZZ )
667, 65fsumzcl 12484 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( ( F `
 b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) )  e.  ZZ )
6735, 66eqeltrd 2478 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A
) ) )  e.  ZZ )
686, 67eqeltrd 2478 1  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   RR+crp 10568   ...cfz 10999   ^cexp 11337   !cfa 11521   sum_csu 12434
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  20220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435
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