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Theorem aaliou3lem6 22609
Description: Lemma for aaliou3 22612. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
aaliou3lem.d  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
aaliou3lem.e  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem6  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) )  e.  ZZ )
Distinct variable groups:    a, b,
c    F, b, c    L, c    A, a, b, c
Allowed substitution hints:    F( a)    H( a, b, c)    L( a, b)

Proof of Theorem aaliou3lem6
StepHypRef Expression
1 oveq2 6285 . . . . 5  |-  ( c  =  A  ->  (
1 ... c )  =  ( 1 ... A
) )
21sumeq1d 13497 . . . 4  |-  ( c  =  A  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... c
) ( F `  b )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b ) )
3 aaliou3lem.e . . . 4  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
4 sumex 13484 . . . 4  |-  sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( F `  b )  e.  _V
52, 3, 4fvmpt 5937 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b
) )
65oveq1d 6292 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) )  =  ( sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( F `  b )  x.  (
2 ^ ( ! `
 A ) ) ) )
7 fzfid 12057 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1 ... A )  e. 
Fin )
8 2rp 11229 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
9 nnnn0 10803 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
10 faccl 12337 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( ! `
 A )  e.  NN )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  A )  e.  NN )
1211nnzd 10968 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  A )  e.  ZZ )
13 rpexpcl 12159 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  ( ! `  A )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ ( ! `
 A ) )  e.  RR+ )
148, 12, 13sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ! `
 A ) )  e.  RR+ )
1514rpcnd 11262 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ! `
 A ) )  e.  CC )
16 elfznn 11718 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  ( 1 ... A )  ->  b  e.  NN )
17 fveq2 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  b ) )
1817negeqd 9814 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  b ) )
1918oveq2d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) ) )
20 aaliou3lem.c . . . . . . . 8  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
21 ovex 6305 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) )  e.  _V
2219, 20, 21fvmpt 5937 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  NN  ->  ( F `  b )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) ) )
2316, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ( 1 ... A )  ->  ( F `  b )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) ) )
2423adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( F `  b )  =  ( 2 ^ -u ( ! `  b )
) )
2516adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  b  e.  NN )
2625nnnn0d 10853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  b  e.  NN0 )
27 faccl 12337 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ! `
 b )  e.  NN )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  e.  NN )
2928nnzd 10968 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  e.  ZZ )
3029znegcld 10971 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )
31 rpexpcl 12159 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR+ )
328, 30, 31sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) )  e.  RR+ )
3332rpcnd 11262 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) )  e.  CC )
3424, 33eqeltrd 2529 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( F `  b )  e.  CC )
357, 15, 34fsummulc1 13574 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A
) ) )  = 
sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( ( F `  b )  x.  (
2 ^ ( ! `
 A ) ) ) )
3624oveq1d 6292 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( F `
 b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  b )
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) ) )
3712adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  A )  e.  ZZ )
38 2cnne0 10751 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
39 expaddz 12184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( -u ( ! `  b )  e.  ZZ  /\  ( ! `
 A )  e.  ZZ ) )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  b
)  +  ( ! `
 A ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  b )
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) ) )
4038, 39mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( ! `  b )  e.  ZZ  /\  ( ! `  A
)  e.  ZZ )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 b )  +  ( ! `  A
) ) )  =  ( ( 2 ^
-u ( ! `  b ) )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) ) )
4130, 37, 40syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 b )  +  ( ! `  A
) ) )  =  ( ( 2 ^
-u ( ! `  b ) )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) ) )
42 2z 10897 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
4330zcnd 10970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  -u ( ! `  b )  e.  CC )
4437zcnd 10970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  A )  e.  CC )
4543, 44addcomd 9780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( -u ( ! `  b )  +  ( ! `  A ) )  =  ( ( ! `  A )  +  -u ( ! `  b ) ) )
4628nncnd 10553 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  e.  CC )
4744, 46negsubd 9937 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( ! `
 A )  + 
-u ( ! `  b ) )  =  ( ( ! `  A )  -  ( ! `  b )
) )
4845, 47eqtrd 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( -u ( ! `  b )  +  ( ! `  A ) )  =  ( ( ! `  A )  -  ( ! `  b )
) )
499adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  A  e.  NN0 )
50 elfzle2 11694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( 1 ... A )  ->  b  <_  A )
5150adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  b  <_  A
)
52 facwordi 12341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  NN0  /\  b  <_  A )  ->  ( ! `  b )  <_  ( ! `  A
) )
5326, 49, 51, 52syl3anc 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  <_  ( ! `  A )
)
5428nnnn0d 10853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  e.  NN0 )
5549, 10syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  A )  e.  NN )
5655nnnn0d 10853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  A )  e.  NN0 )
57 nn0sub 10847 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ! `  b
)  e.  NN0  /\  ( ! `  A )  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  b )  <_  ( ! `  A )  <->  ( ( ! `  A
)  -  ( ! `
 b ) )  e.  NN0 ) )
5854, 56, 57syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( ! `
 b )  <_ 
( ! `  A
)  <->  ( ( ! `
 A )  -  ( ! `  b ) )  e.  NN0 )
)
5953, 58mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( ! `
 A )  -  ( ! `  b ) )  e.  NN0 )
6048, 59eqeltrd 2529 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( -u ( ! `  b )  +  ( ! `  A ) )  e. 
NN0 )
61 zexpcl 12155 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( -u ( ! `  b )  +  ( ! `  A ) )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `  b
)  +  ( ! `
 A ) ) )  e.  ZZ )
6242, 60, 61sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 b )  +  ( ! `  A
) ) )  e.  ZZ )
6341, 62eqeltrrd 2530 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A
) ) )  e.  ZZ )
6436, 63eqeltrd 2529 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( F `
 b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) )  e.  ZZ )
657, 64fsumzcl 13531 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( ( F `
 b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) )  e.  ZZ )
6635, 65eqeltrd 2529 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A
) ) )  e.  ZZ )
676, 66eqeltrd 2529 1  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495    <_ cle 9627    - cmin 9805   -ucneg 9806   NNcn 10537   2c2 10586   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   RR+crp 11224   ...cfz 11676   ^cexp 12140   !cfa 12327   sum_csu 13482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-rp 11225  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-exp 12141  df-fac 12328  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-clim 13285  df-sum 13483
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  22611
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