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Theorem aaliou3lem6 22473
Description: Lemma for aaliou3 22476. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
aaliou3lem.d  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
aaliou3lem.e  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem6  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) )  e.  ZZ )
Distinct variable groups:    a, b,
c    F, b, c    L, c    A, a, b, c
Allowed substitution hints:    F( a)    H( a, b, c)    L( a, b)

Proof of Theorem aaliou3lem6
StepHypRef Expression
1 oveq2 6285 . . . . 5  |-  ( c  =  A  ->  (
1 ... c )  =  ( 1 ... A
) )
21sumeq1d 13474 . . . 4  |-  ( c  =  A  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... c
) ( F `  b )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b ) )
3 aaliou3lem.e . . . 4  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
4 sumex 13461 . . . 4  |-  sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( F `  b )  e.  _V
52, 3, 4fvmpt 5943 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b
) )
65oveq1d 6292 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) )  =  ( sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( F `  b )  x.  (
2 ^ ( ! `
 A ) ) ) )
7 fzfid 12041 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1 ... A )  e. 
Fin )
8 2rp 11216 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
9 nnnn0 10793 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
10 faccl 12320 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( ! `
 A )  e.  NN )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  A )  e.  NN )
1211nnzd 10956 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  A )  e.  ZZ )
13 rpexpcl 12143 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  ( ! `  A )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ ( ! `
 A ) )  e.  RR+ )
148, 12, 13sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ! `
 A ) )  e.  RR+ )
1514rpcnd 11249 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ! `
 A ) )  e.  CC )
16 elfznn 11705 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  ( 1 ... A )  ->  b  e.  NN )
17 fveq2 5859 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  b ) )
1817negeqd 9805 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  b ) )
1918oveq2d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) ) )
20 aaliou3lem.c . . . . . . . 8  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
21 ovex 6302 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) )  e.  _V
2219, 20, 21fvmpt 5943 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  NN  ->  ( F `  b )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) ) )
2316, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ( 1 ... A )  ->  ( F `  b )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) ) )
2423adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( F `  b )  =  ( 2 ^ -u ( ! `  b )
) )
2516adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  b  e.  NN )
2625nnnn0d 10843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  b  e.  NN0 )
27 faccl 12320 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ! `
 b )  e.  NN )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  e.  NN )
2928nnzd 10956 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  e.  ZZ )
3029znegcld 10959 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )
31 rpexpcl 12143 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR+ )
328, 30, 31sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) )  e.  RR+ )
3332rpcnd 11249 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) )  e.  CC )
3424, 33eqeltrd 2550 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( F `  b )  e.  CC )
357, 15, 34fsummulc1 13551 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A
) ) )  = 
sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( ( F `  b )  x.  (
2 ^ ( ! `
 A ) ) ) )
3624oveq1d 6292 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( F `
 b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  b )
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) ) )
3712adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  A )  e.  ZZ )
38 2cnne0 10741 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
39 expaddz 12167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( -u ( ! `  b )  e.  ZZ  /\  ( ! `
 A )  e.  ZZ ) )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  b
)  +  ( ! `
 A ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  b )
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) ) )
4038, 39mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( ! `  b )  e.  ZZ  /\  ( ! `  A
)  e.  ZZ )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 b )  +  ( ! `  A
) ) )  =  ( ( 2 ^
-u ( ! `  b ) )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) ) )
4130, 37, 40syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 b )  +  ( ! `  A
) ) )  =  ( ( 2 ^
-u ( ! `  b ) )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) ) )
42 2z 10887 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
4330zcnd 10958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  -u ( ! `  b )  e.  CC )
4437zcnd 10958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  A )  e.  CC )
4543, 44addcomd 9772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( -u ( ! `  b )  +  ( ! `  A ) )  =  ( ( ! `  A )  +  -u ( ! `  b ) ) )
4628nncnd 10543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  e.  CC )
4744, 46negsubd 9927 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( ! `
 A )  + 
-u ( ! `  b ) )  =  ( ( ! `  A )  -  ( ! `  b )
) )
4845, 47eqtrd 2503 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( -u ( ! `  b )  +  ( ! `  A ) )  =  ( ( ! `  A )  -  ( ! `  b )
) )
499adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  A  e.  NN0 )
50 elfzle2 11681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( 1 ... A )  ->  b  <_  A )
5150adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  b  <_  A
)
52 facwordi 12324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  NN0  /\  b  <_  A )  ->  ( ! `  b )  <_  ( ! `  A
) )
5326, 49, 51, 52syl3anc 1223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  <_  ( ! `  A )
)
5428nnnn0d 10843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  b )  e.  NN0 )
5549, 10syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  A )  e.  NN )
5655nnnn0d 10843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ! `  A )  e.  NN0 )
57 nn0sub 10837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ! `  b
)  e.  NN0  /\  ( ! `  A )  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  b )  <_  ( ! `  A )  <->  ( ( ! `  A
)  -  ( ! `
 b ) )  e.  NN0 ) )
5854, 56, 57syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( ! `
 b )  <_ 
( ! `  A
)  <->  ( ( ! `
 A )  -  ( ! `  b ) )  e.  NN0 )
)
5953, 58mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( ! `
 A )  -  ( ! `  b ) )  e.  NN0 )
6048, 59eqeltrd 2550 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( -u ( ! `  b )  +  ( ! `  A ) )  e. 
NN0 )
61 zexpcl 12139 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( -u ( ! `  b )  +  ( ! `  A ) )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `  b
)  +  ( ! `
 A ) ) )  e.  ZZ )
6242, 60, 61sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 b )  +  ( ! `  A
) ) )  e.  ZZ )
6341, 62eqeltrrd 2551 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A
) ) )  e.  ZZ )
6436, 63eqeltrd 2550 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( ( F `
 b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) )  e.  ZZ )
657, 64fsumzcl 13508 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( ( F `
 b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A )
) )  e.  ZZ )
6635, 65eqeltrd 2550 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b )  x.  ( 2 ^ ( ! `  A
) ) )  e.  ZZ )
676, 66eqeltrd 2550 1  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( H `  A
)  x.  ( 2 ^ ( ! `  A ) ) )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486    x. cmul 9488    <_ cle 9620    - cmin 9796   -ucneg 9797   NNcn 10527   2c2 10576   NN0cn0 10786   ZZcz 10855   RR+crp 11211   ...cfz 11663   ^cexp 12124   !cfa 12310   sum_csu 13459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-rp 11212  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-clim 13262  df-sum 13460
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  22475
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