MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem5 Structured version   Unicode version

Theorem aaliou3lem5 21698
Description: Lemma for aaliou3 21702. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
aaliou3lem.d  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
aaliou3lem.e  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem5  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  e.  RR )
Distinct variable groups:    a, b,
c    F, b, c    L, c    A, a, b, c
Allowed substitution hints:    F( a)    H( a, b, c)    L( a, b)

Proof of Theorem aaliou3lem5
StepHypRef Expression
1 oveq2 6088 . . . 4  |-  ( c  =  A  ->  (
1 ... c )  =  ( 1 ... A
) )
21sumeq1d 13162 . . 3  |-  ( c  =  A  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... c
) ( F `  b )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b ) )
3 aaliou3lem.e . . 3  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
4 sumex 13149 . . 3  |-  sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( F `  b )  e.  _V
52, 3, 4fvmpt 5762 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b
) )
6 fzfid 11779 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1 ... A )  e. 
Fin )
7 elfznn 11465 . . . . 5  |-  ( b  e.  ( 1 ... A )  ->  b  e.  NN )
87adantl 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  b  e.  NN )
9 fveq2 5679 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  b ) )
109negeqd 9592 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  b ) )
1110oveq2d 6096 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) ) )
12 aaliou3lem.c . . . . . 6  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
13 ovex 6105 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) )  e.  _V
1411, 12, 13fvmpt 5762 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN  ->  ( F `  b )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) ) )
15 2rp 10984 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
16 nnnn0 10574 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  NN0 )
17 faccl 12045 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ! `
 b )  e.  NN )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  NN  ->  ( ! `  b )  e.  NN )
1918nnzd 10734 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  NN  ->  ( ! `  b )  e.  ZZ )
2019znegcld 10737 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  NN  ->  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )
21 rpexpcl 11868 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR+ )
2215, 20, 21sylancr 656 . . . . . 6  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR+ )
2322rpred 11015 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR )
2414, 23eqeltrd 2507 . . . 4  |-  ( b  e.  NN  ->  ( F `  b )  e.  RR )
258, 24syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( F `  b )  e.  RR )
266, 25fsumrecl 13195 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( F `  b )  e.  RR )
275, 26eqeltrd 2507 1  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    e. cmpt 4338   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   RRcr 9269   1c1 9271   -ucneg 9584   NNcn 10310   2c2 10359   NN0cn0 10567   ZZcz 10634   RR+crp 10979   ...cfz 11424   ^cexp 11849   !cfa 12035   sum_csu 13147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-sum 13148
This theorem is referenced by:  aaliou3lem7  21700  aaliou3lem9  21701
  Copyright terms: Public domain W3C validator