MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem5 Unicode version

Theorem aaliou3lem5 20217
Description: Lemma for aaliou3 20221. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
aaliou3lem.d  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
aaliou3lem.e  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem5  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  e.  RR )
Distinct variable groups:    a, b,
c    F, b, c    L, c    A, a, b, c
Allowed substitution hints:    F( a)    H( a, b, c)    L( a, b)

Proof of Theorem aaliou3lem5
StepHypRef Expression
1 oveq2 6048 . . . 4  |-  ( c  =  A  ->  (
1 ... c )  =  ( 1 ... A
) )
21sumeq1d 12450 . . 3  |-  ( c  =  A  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... c
) ( F `  b )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b ) )
3 aaliou3lem.e . . 3  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
4 sumex 12436 . . 3  |-  sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( F `  b )  e.  _V
52, 3, 4fvmpt 5765 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  =  sum_ b  e.  ( 1 ... A ) ( F `  b
) )
6 fzfid 11267 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1 ... A )  e. 
Fin )
7 elfznn 11036 . . . . 5  |-  ( b  e.  ( 1 ... A )  ->  b  e.  NN )
87adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  b  e.  NN )
9 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  b ) )
109negeqd 9256 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  b ) )
1110oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) ) )
12 aaliou3lem.c . . . . . 6  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
13 ovex 6065 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 b ) )  e.  _V
1411, 12, 13fvmpt 5765 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN  ->  ( F `  b )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  b ) ) )
15 2rp 10573 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
16 nnnn0 10184 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  NN0 )
17 faccl 11531 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ! `
 b )  e.  NN )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  NN  ->  ( ! `  b )  e.  NN )
1918nnzd 10330 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  NN  ->  ( ! `  b )  e.  ZZ )
2019znegcld 10333 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  NN  ->  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )
21 rpexpcl 11355 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  b )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR+ )
2215, 20, 21sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR+ )
2322rpred 10604 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  b )
)  e.  RR )
2414, 23eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( b  e.  NN  ->  ( F `  b )  e.  RR )
258, 24syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 1 ... A ) )  ->  ( F `  b )  e.  RR )
266, 25fsumrecl 12483 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( 1 ... A
) ( F `  b )  e.  RR )
275, 26eqeltrd 2478 1  |-  ( A  e.  NN  ->  ( H `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   1c1 8947   -ucneg 9248   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   RR+crp 10568   ...cfz 10999   ^cexp 11337   !cfa 11521   sum_csu 12434
This theorem is referenced by:  aaliou3lem7  20219  aaliou3lem9  20220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435
  Copyright terms: Public domain W3C validator