MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem4 Structured version   Unicode version

Theorem aaliou3lem4 23034
Description: Lemma for aaliou3 23039. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
aaliou3lem.d  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
aaliou3lem.e  |-  H  =  ( c  e.  NN  |->  sum_ b  e.  ( 1 ... c ) ( F `  b ) )
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem4  |-  L  e.  RR
Distinct variable groups:    a, b,
c    F, b, c    L, c
Allowed substitution hints:    F( a)    H( a, b, c)    L( a, b)

Proof of Theorem aaliou3lem4
StepHypRef Expression
1 aaliou3lem.d . . 3  |-  L  = 
sum_ b  e.  NN  ( F `  b )
2 nnuz 11162 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
32sumeq1i 13669 . . 3  |-  sum_ b  e.  NN  ( F `  b )  =  sum_ b  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) ( F `
 b )
41, 3eqtri 2431 . 2  |-  L  = 
sum_ b  e.  (
ZZ>= `  1 ) ( F `  b )
5 1nn 10587 . . 3  |-  1  e.  NN
6 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( c  e.  ( ZZ>= `  1
)  |->  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 1 ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( c  -  1 ) ) ) )  =  ( c  e.  ( ZZ>= `  1 )  |->  ( ( 2 ^
-u ( ! ` 
1 ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
c  -  1 ) ) ) )
7 aaliou3lem.c . . . . 5  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
86, 7aaliou3lem3 23032 . . . 4  |-  ( 1  e.  NN  ->  (  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  /\ 
sum_ b  e.  (
ZZ>= `  1 ) ( F `  b )  e.  RR+  /\  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  1 )
( F `  b
)  <_  ( 2  x.  ( 2 ^
-u ( ! ` 
1 ) ) ) ) )
98simp2d 1010 . . 3  |-  ( 1  e.  NN  ->  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  1 )
( F `  b
)  e.  RR+ )
10 rpre 11271 . . 3  |-  ( sum_ b  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) ( F `
 b )  e.  RR+  ->  sum_ b  e.  (
ZZ>= `  1 ) ( F `  b )  e.  RR )
115, 9, 10mp2b 10 . 2  |-  sum_ b  e.  ( ZZ>= `  1 )
( F `  b
)  e.  RR
124, 11eqeltri 2486 1  |-  L  e.  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   dom cdm 4823   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   RRcr 9521   1c1 9523    + caddc 9525    x. cmul 9527    <_ cle 9659    - cmin 9841   -ucneg 9842    / cdiv 10247   NNcn 10576   2c2 10626   ZZ>=cuz 11127   RR+crp 11265   ...cfz 11726    seqcseq 12151   ^cexp 12210   !cfa 12397    ~~> cli 13456   sum_csu 13657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658
This theorem is referenced by:  aaliou3lem7  23037  aaliou3lem9  23038
  Copyright terms: Public domain W3C validator