Theorem aaliou3lem2 21814

Description: Lemma for aaliou3 21822. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.a	|- G = ( c e. ( ZZ>= ` A ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - A ) ) ) )
aaliou3lem.b	|- F = ( a e. NN |-> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) )

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem2	|- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( F ` B ) e. ( 0 (,] ( G ` B ) ) )

Distinct variable groups:   F, c   A, a, c   B, a, c   G, a

Allowed substitution hints:   F( a)   G( c)

Proof of Theorem aaliou3lem2

Dummy variables b d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluznn 10930	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> B e. NN )
2		fveq2 5696	. . . . . . . 8 |- ( a = B -> ( ! ` a ) = ( ! ` B ) )
3	2	negeqd 9609	. . . . . . 7 |- ( a = B -> -u ( ! ` a ) = -u ( ! ` B ) )
4	3	oveq2d 6112	. . . . . 6 |- ( a = B -> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) = ( 2 ^ -u ( ! ` B ) ) )
5		aaliou3lem.b	. . . . . 6 |- F = ( a e. NN |-> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) )
6		ovex 6121	. . . . . 6 |- ( 2 ^ -u ( ! ` B ) ) e. _V
7	4, 5, 6	fvmpt 5779	. . . . 5 |- ( B e. NN -> ( F ` B ) = ( 2 ^ -u ( ! ` B ) ) )
8	1, 7	syl 16	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( F ` B ) = ( 2 ^ -u ( ! ` B ) ) )
9		2rp 11001	. . . . 5 |- 2 e. RR+
10	1	nnnn0d 10641	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> B e. NN0 )
11		faccl 12066	. . . . . . . 8 |- ( B e. NN0 -> ( ! ` B ) e. NN )
12	10, 11	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ! ` B ) e. NN )
13	12	nnzd 10751	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ! ` B ) e. ZZ )
14	13	znegcld 10754	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> -u ( ! ` B ) e. ZZ )
15		rpexpcl 11889	. . . . 5 |- ( ( 2 e. RR+ /\ -u ( ! ` B ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` B ) ) e. RR+ )
16	9, 14, 15	sylancr 663	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` B ) ) e. RR+ )
17	8, 16	eqeltrd 2517	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( F ` B ) e. RR+ )
18	17	rpred 11032	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( F ` B ) e. RR )
19	17	rpgt0d 11035	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> 0 < ( F ` B ) )
20		fveq2 5696	. . . . . 6 |- ( b = A -> ( F ` b ) = ( F ` A ) )
21		fveq2 5696	. . . . . 6 |- ( b = A -> ( G ` b ) = ( G ` A ) )
22	20, 21	breq12d 4310	. . . . 5 |- ( b = A -> ( ( F ` b ) <_ ( G ` b ) <-> ( F ` A ) <_ ( G ` A ) ) )
23	22	imbi2d 316	. . . 4 |- ( b = A -> ( ( A e. NN -> ( F ` b ) <_ ( G ` b ) ) <-> ( A e. NN -> ( F ` A ) <_ ( G ` A ) ) ) )
24		fveq2 5696	. . . . . 6 |- ( b = d -> ( F ` b ) = ( F ` d ) )
25		fveq2 5696	. . . . . 6 |- ( b = d -> ( G ` b ) = ( G ` d ) )
26	24, 25	breq12d 4310	. . . . 5 |- ( b = d -> ( ( F ` b ) <_ ( G ` b ) <-> ( F ` d ) <_ ( G ` d ) ) )
27	26	imbi2d 316	. . . 4 |- ( b = d -> ( ( A e. NN -> ( F ` b ) <_ ( G ` b ) ) <-> ( A e. NN -> ( F ` d ) <_ ( G ` d ) ) ) )
28		fveq2 5696	. . . . . 6 |- ( b = ( d + 1 ) -> ( F ` b ) = ( F ` ( d + 1 ) ) )
29		fveq2 5696	. . . . . 6 |- ( b = ( d + 1 ) -> ( G ` b ) = ( G ` ( d + 1 ) ) )
30	28, 29	breq12d 4310	. . . . 5 |- ( b = ( d + 1 ) -> ( ( F ` b ) <_ ( G ` b ) <-> ( F ` ( d + 1 ) ) <_ ( G ` ( d + 1 ) ) ) )
31	30	imbi2d 316	. . . 4 |- ( b = ( d + 1 ) -> ( ( A e. NN -> ( F ` b ) <_ ( G ` b ) ) <-> ( A e. NN -> ( F ` ( d + 1 ) ) <_ ( G ` ( d + 1 ) ) ) ) )
32		fveq2 5696	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( F ` b ) = ( F ` B ) )
33		fveq2 5696	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( G ` b ) = ( G ` B ) )
34	32, 33	breq12d 4310	. . . . 5 |- ( b = B -> ( ( F ` b ) <_ ( G ` b ) <-> ( F ` B ) <_ ( G ` B ) ) )
35	34	imbi2d 316	. . . 4 |- ( b = B -> ( ( A e. NN -> ( F ` b ) <_ ( G ` b ) ) <-> ( A e. NN -> ( F ` B ) <_ ( G ` B ) ) ) )
36		nnnn0 10591	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN -> A e. NN0 )
37		faccl 12066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN0 -> ( ! ` A ) e. NN )
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. NN -> ( ! ` A ) e. NN )
39	38	nnzd 10751	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> ( ! ` A ) e. ZZ )
40	39	znegcld 10754	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> -u ( ! ` A ) e. ZZ )
41		rpexpcl 11889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR+ /\ -u ( ! ` A ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) e. RR+ )
42	9, 40, 41	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) e. RR+ )
43	42	rpred 11032	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) e. RR )
44	43	leidd 9911	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) <_ ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) )
45		nncn 10335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. NN -> A e. CC )
46	45	subidd 9712	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> ( A - A ) = 0 )
47	46	oveq2d 6112	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( A - A ) ) = ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) )
48		halfcn 10546	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 2 ) e. CC
49		exp0 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 / 2 ) e. CC -> ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) = 1 )
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) = 1
51	47, 50	syl6eq 2491	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( A - A ) ) = 1 )
52	51	oveq2d 6112	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( A - A ) ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. 1 ) )
53	42	rpcnd 11034	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) e. CC )
54	53	mulid1d 9408	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. 1 ) = ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) )
55	52, 54	eqtrd 2475	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( A - A ) ) ) = ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) )
56	44, 55	breqtrrd 4323	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( A - A ) ) ) )
57		fveq2 5696	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( ! ` a ) = ( ! ` A ) )
58	57	negeqd 9609	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> -u ( ! ` a ) = -u ( ! ` A ) )
59	58	oveq2d 6112	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) = ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) )
60		ovex 6121	. . . . . . 7 |- ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) e. _V
61	59, 5, 60	fvmpt 5779	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( F ` A ) = ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) )
62		nnz 10673	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
63		uzid 10880	. . . . . . 7 |- ( A e. ZZ -> A e. ( ZZ>= ` A ) )
64		oveq1 6103	. . . . . . . . . 10 |- ( c = A -> ( c - A ) = ( A - A ) )
65	64	oveq2d 6112	. . . . . . . . 9 |- ( c = A -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - A ) ) = ( ( 1 / 2 ) ^ ( A - A ) ) )
66	65	oveq2d 6112	. . . . . . . 8 |- ( c = A -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - A ) ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( A - A ) ) ) )
67		aaliou3lem.a	. . . . . . . 8 |- G = ( c e. ( ZZ>= ` A ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - A ) ) ) )
68		ovex 6121	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( A - A ) ) ) e. _V
69	66, 67, 68	fvmpt 5779	. . . . . . 7 |- ( A e. ( ZZ>= ` A ) -> ( G ` A ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( A - A ) ) ) )
70	62, 63, 69	3syl 20	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( G ` A ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( A - A ) ) ) )
71	56, 61, 70	3brtr4d 4327	. . . . 5 |- ( A e. NN -> ( F ` A ) <_ ( G ` A ) )
72	71	a1i 11	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( A e. NN -> ( F ` A ) <_ ( G ` A ) ) )
73		eluznn 10930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> d e. NN )
74	73	nnnn0d 10641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> d e. NN0 )
75		faccl 12066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d e. NN0 -> ( ! ` d ) e. NN )
76	74, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ! ` d ) e. NN )
77	76	nnzd 10751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ! ` d ) e. ZZ )
78	77	znegcld 10754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> -u ( ! ` d ) e. ZZ )
79		rpexpcl 11889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. RR+ /\ -u ( ! ` d ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) e. RR+ )
80	9, 78, 79	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) e. RR+ )
81	80	rpred 11032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) e. RR )
82	80	rpge0d 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> 0 <_ ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) )
83		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> A e. NN )
84	83	nnnn0d 10641	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> A e. NN0 )
85	84, 37	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ! ` A ) e. NN )
86	85	nnzd 10751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ! ` A ) e. ZZ )
87	86	znegcld 10754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> -u ( ! ` A ) e. ZZ )
88	9, 87, 41	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) e. RR+ )
89		halfre 10545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 / 2 ) e. RR
90		halfgt0 10547	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < ( 1 / 2 )
91	89, 90	elrpii 10999	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 / 2 ) e. RR+
92		eluzelz 10875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d e. ( ZZ>= ` A ) -> d e. ZZ )
93		zsubcl 10692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( d e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( d - A ) e. ZZ )
94	92, 62, 93	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( d - A ) e. ZZ )
95		rpexpcl 11889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR+ /\ ( d - A ) e. ZZ ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) e. RR+ )
96	91, 94, 95	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) e. RR+ )
97	88, 96	rpmulcld 11048	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) e. RR+ )
98	97	rpred 11032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) e. RR )
99	81, 82, 98	jca31 534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) ) /\ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) e. RR ) )
100	99	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) /\ ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) ) -> ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) ) /\ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) e. RR ) )
101	92	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> d e. ZZ )
102	78, 101	zmulcld 10758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( -u ( ! ` d ) x. d ) e. ZZ )
103		rpexpcl 11889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( -u ( ! ` d ) x. d ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) e. RR+ )
104	9, 102, 103	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) e. RR+ )
105	104	rpred 11032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) e. RR )
106	104	rpge0d 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> 0 <_ ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) )
107	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
108	105, 106, 107	jca31 534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) )
109	108	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) /\ ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) )
110		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) /\ ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) )
111	76	nncnd 10343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ! ` d ) e. CC )
112	101	zcnd 10753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> d e. CC )
113	111, 112	mulneg1d 9802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( -u ( ! ` d ) x. d ) = -u ( ( ! ` d ) x. d ) )
114	76, 73	nnmulcld 10374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( ! ` d ) x. d ) e. NN )
115	114	nnge1d 10369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> 1 <_ ( ( ! ` d ) x. d ) )
116		1re 9390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR
117	114	nnred 10342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( ! ` d ) x. d ) e. RR )
118		leneg 9847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( ! ` d ) x. d ) e. RR ) -> ( 1 <_ ( ( ! ` d ) x. d ) <-> -u ( ( ! ` d ) x. d ) <_ -u 1 ) )
119	116, 117, 118	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 1 <_ ( ( ! ` d ) x. d ) <-> -u ( ( ! ` d ) x. d ) <_ -u 1 ) )
120	115, 119	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> -u ( ( ! ` d ) x. d ) <_ -u 1 )
121	113, 120	eqbrtrd 4317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( -u ( ! ` d ) x. d ) <_ -u 1 )
122		neg1z 10686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u 1 e. ZZ
123		eluz 10879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( -u ( ! ` d ) x. d ) e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) -> ( -u 1 e. ( ZZ>= ` ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) <-> ( -u ( ! ` d ) x. d ) <_ -u 1 ) )
124	102, 122, 123	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( -u 1 e. ( ZZ>= ` ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) <-> ( -u ( ! ` d ) x. d ) <_ -u 1 ) )
125	121, 124	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> -u 1 e. ( ZZ>= ` ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) )
126		2re 10396	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
127		1le2 10540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 <_ 2
128		leexp2a 11924	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. RR /\ 1 <_ 2 /\ -u 1 e. ( ZZ>= ` ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) -> ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) <_ ( 2 ^ -u 1 ) )
129	126, 127, 128	mp3an12 1304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u 1 e. ( ZZ>= ` ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) -> ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) <_ ( 2 ^ -u 1 ) )
130	125, 129	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) <_ ( 2 ^ -u 1 ) )
131		2cn 10397	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
132		expn1 11880	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^ -u 1 ) = ( 1 / 2 ) )
133	131, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ^ -u 1 ) = ( 1 / 2 )
134	130, 133	syl6breq 4336	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) <_ ( 1 / 2 ) )
135	134	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) /\ ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) ) -> ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) <_ ( 1 / 2 ) )
136		lemul12a 10192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) ) /\ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) e. RR ) /\ ( ( ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) ) -> ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) /\ ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) x. ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) <_ ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) x. ( 1 / 2 ) ) ) )
137	136	3impia 1184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) ) /\ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) e. RR ) /\ ( ( ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) /\ ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) /\ ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) x. ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) <_ ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
138	100, 109, 110, 135, 137	syl112anc 1222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) /\ ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) x. ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) <_ ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
139	138	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) x. ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) <_ ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) x. ( 1 / 2 ) ) ) )
140		facp1 12061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d e. NN0 -> ( ! ` ( d + 1 ) ) = ( ( ! ` d ) x. ( d + 1 ) ) )
141	74, 140	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ! ` ( d + 1 ) ) = ( ( ! ` d ) x. ( d + 1 ) ) )
142	141	negeqd 9609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> -u ( ! ` ( d + 1 ) ) = -u ( ( ! ` d ) x. ( d + 1 ) ) )
143		ax-1cn 9345	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
144		addcom 9560	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( d e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( d + 1 ) = ( 1 + d ) )
145	112, 143, 144	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( d + 1 ) = ( 1 + d ) )
146	145	oveq2d 6112	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( -u ( ! ` d ) x. ( d + 1 ) ) = ( -u ( ! ` d ) x. ( 1 + d ) ) )
147		peano2cn 9546	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d e. CC -> ( d + 1 ) e. CC )
148	112, 147	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( d + 1 ) e. CC )
149	111, 148	mulneg1d 9802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( -u ( ! ` d ) x. ( d + 1 ) ) = -u ( ( ! ` d ) x. ( d + 1 ) ) )
150	78	zcnd 10753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> -u ( ! ` d ) e. CC )
151	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> 1 e. CC )
152	150, 151, 112	adddid 9415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( -u ( ! ` d ) x. ( 1 + d ) ) = ( ( -u ( ! ` d ) x. 1 ) + ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) )
153	150	mulid1d 9408	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( -u ( ! ` d ) x. 1 ) = -u ( ! ` d ) )
154	153	oveq1d 6111	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( -u ( ! ` d ) x. 1 ) + ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) = ( -u ( ! ` d ) + ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) )
155	152, 154	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( -u ( ! ` d ) x. ( 1 + d ) ) = ( -u ( ! ` d ) + ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) )
156	146, 149, 155	3eqtr3d 2483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> -u ( ( ! ` d ) x. ( d + 1 ) ) = ( -u ( ! ` d ) + ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) )
157	142, 156	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> -u ( ! ` ( d + 1 ) ) = ( -u ( ! ` d ) + ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) )
158	157	oveq2d 6112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` ( d + 1 ) ) ) = ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) + ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) )
159		2cnne0 10541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
160		expaddz 11913	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( -u ( ! ` d ) e. ZZ /\ ( -u ( ! ` d ) x. d ) e. ZZ ) ) -> ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) + ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) x. ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) )
161	159, 160	mpan 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u ( ! ` d ) e. ZZ /\ ( -u ( ! ` d ) x. d ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) + ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) x. ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) )
162	78, 102, 161	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) + ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) x. ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) )
163	158, 162	eqtrd 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` ( d + 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) x. ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) )
164	45	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> A e. CC )
165	112, 151, 164	addsubd 9745	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( d + 1 ) - A ) = ( ( d - A ) + 1 ) )
166	165	oveq2d 6112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) = ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d - A ) + 1 ) ) )
167		uznn0sub 10897	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d e. ( ZZ>= ` A ) -> ( d - A ) e. NN0 )
168	167	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( d - A ) e. NN0 )
169		expp1 11877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( d - A ) e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d - A ) + 1 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
170	48, 168, 169	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d - A ) + 1 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
171	166, 170	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
172	171	oveq2d 6112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) x. ( 1 / 2 ) ) ) )
173	88	rpcnd 11034	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) e. CC )
174	96	rpcnd 11034	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) e. CC )
175	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 1 / 2 ) e. CC )
176	173, 174, 175	mulassd 9414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) x. ( 1 / 2 ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) x. ( 1 / 2 ) ) ) )
177	172, 176	eqtr4d 2478	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) ) = ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
178	163, 177	breq12d 4310	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` ( d + 1 ) ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) ) <-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) x. ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) <_ ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) x. ( 1 / 2 ) ) ) )
179	139, 178	sylibrd 234	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` ( d + 1 ) ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) ) ) )
180		fveq2 5696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = d -> ( ! ` a ) = ( ! ` d ) )
181	180	negeqd 9609	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = d -> -u ( ! ` a ) = -u ( ! ` d ) )
182	181	oveq2d 6112	. . . . . . . . . 10 |- ( a = d -> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) = ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) )
183		ovex 6121	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) e. _V
184	182, 5, 183	fvmpt 5779	. . . . . . . . 9 |- ( d e. NN -> ( F ` d ) = ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) )
185	73, 184	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( F ` d ) = ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) )
186		oveq1 6103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = d -> ( c - A ) = ( d - A ) )
187	186	oveq2d 6112	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = d -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - A ) ) = ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) )
188	187	oveq2d 6112	. . . . . . . . . 10 |- ( c = d -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - A ) ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) )
189		ovex 6121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) e. _V
190	188, 67, 189	fvmpt 5779	. . . . . . . . 9 |- ( d e. ( ZZ>= ` A ) -> ( G ` d ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) )
191	190	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( G ` d ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) )
192	185, 191	breq12d 4310	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( F ` d ) <_ ( G ` d ) <-> ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) ) )
193	73	peano2nnd 10344	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( d + 1 ) e. NN )
194		fveq2 5696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( d + 1 ) -> ( ! ` a ) = ( ! ` ( d + 1 ) ) )
195	194	negeqd 9609	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( d + 1 ) -> -u ( ! ` a ) = -u ( ! ` ( d + 1 ) ) )
196	195	oveq2d 6112	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( d + 1 ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) = ( 2 ^ -u ( ! ` ( d + 1 ) ) ) )
197		ovex 6121	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 ^ -u ( ! ` ( d + 1 ) ) ) e. _V
198	196, 5, 197	fvmpt 5779	. . . . . . . . 9 |- ( ( d + 1 ) e. NN -> ( F ` ( d + 1 ) ) = ( 2 ^ -u ( ! ` ( d + 1 ) ) ) )
199	193, 198	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( F ` ( d + 1 ) ) = ( 2 ^ -u ( ! ` ( d + 1 ) ) ) )
200		peano2uz 10913	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. ( ZZ>= ` A ) -> ( d + 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) )
201		oveq1 6103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = ( d + 1 ) -> ( c - A ) = ( ( d + 1 ) - A ) )
202	201	oveq2d 6112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = ( d + 1 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - A ) ) = ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) )
203	202	oveq2d 6112	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = ( d + 1 ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - A ) ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) ) )
204		ovex 6121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) ) e. _V
205	203, 67, 204	fvmpt 5779	. . . . . . . . . 10 |- ( ( d + 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) -> ( G ` ( d + 1 ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) ) )
206	200, 205	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( d e. ( ZZ>= ` A ) -> ( G ` ( d + 1 ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) ) )
207	206	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( G ` ( d + 1 ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) ) )
208	199, 207	breq12d 4310	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( F ` ( d + 1 ) ) <_ ( G ` ( d + 1 ) ) <-> ( 2 ^ -u ( ! ` ( d + 1 ) ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) ) ) )
209	179, 192, 208	3imtr4d 268	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( F ` d ) <_ ( G ` d ) -> ( F ` ( d + 1 ) ) <_ ( G ` ( d + 1 ) ) ) )
210	209	expcom 435	. . . . 5 |- ( d e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A e. NN -> ( ( F ` d ) <_ ( G ` d ) -> ( F ` ( d + 1 ) ) <_ ( G ` ( d + 1 ) ) ) ) )
211	210	a2d 26	. . . 4 |- ( d e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( A e. NN -> ( F ` d ) <_ ( G ` d ) ) -> ( A e. NN -> ( F ` ( d + 1 ) ) <_ ( G ` ( d + 1 ) ) ) ) )
212	23, 27, 31, 35, 72, 211	uzind4 10917	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A e. NN -> ( F ` B ) <_ ( G ` B ) ) )
213	212	impcom 430	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( F ` B ) <_ ( G ` B ) )
214		0xr 9435	. . 3 |- 0 e. RR*
215	67	aaliou3lem1 21813	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( G ` B ) e. RR )
216		elioc2 11363	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( G ` B ) e. RR ) -> ( ( F ` B ) e. ( 0 (,] ( G ` B ) ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ 0 < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) <_ ( G ` B ) ) ) )
217	214, 215, 216	sylancr 663	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( F ` B ) e. ( 0 (,] ( G ` B ) ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ 0 < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) <_ ( G ` B ) ) ) )
218	18, 19, 213, 217	mpbir3and 1171	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( F ` B ) e. ( 0 (,] ( G ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2611   class class class wbr 4297   e. cmpt 4355   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288   + caddc 9290   x. cmul 9292   RR*cxr 9422   < clt 9423   <_ cle 9424   - cmin 9600   -ucneg 9601   / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   RR+crp 10996   (,]cioc 11306   ^cexp 11870   !cfa 12056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-ioc 11310  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057

This theorem is referenced by:  aaliou3lem3  21815