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Theorem aaliou3lem2 23348
Description: Lemma for aaliou3 23356. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.a  |-  G  =  ( c  e.  (
ZZ>= `  A )  |->  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( c  -  A ) ) ) )
aaliou3lem.b  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  B
)  e.  ( 0 (,] ( G `  B ) ) )
Distinct variable groups:    F, c    A, a, c    B, a, c    G, a
Allowed substitution hints:    F( a)    G( c)

Proof of Theorem aaliou3lem2
Dummy variables  b 
d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluznn 11258 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  B  e.  NN )
2 fveq2 5888 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  B  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  B ) )
32negeqd 9895 . . . . . . 7  |-  ( a  =  B  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  B ) )
43oveq2d 6331 . . . . . 6  |-  ( a  =  B  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 B ) ) )
5 aaliou3lem.b . . . . . 6  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( 2 ^ -u ( ! `  a )
) )
6 ovex 6343 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 B ) )  e.  _V
74, 5, 6fvmpt 5971 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  ( F `  B )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  B ) ) )
81, 7syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  B
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 B ) ) )
9 2rp 11336 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
101nnnn0d 10954 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  B  e.  NN0 )
11 faccl 12501 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( ! `
 B )  e.  NN )
1210, 11syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  B
)  e.  NN )
1312nnzd 11068 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  B
)  e.  ZZ )
1413znegcld 11071 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ! `  B
)  e.  ZZ )
15 rpexpcl 12323 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  B )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  B )
)  e.  RR+ )
169, 14, 15sylancr 674 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  B )
)  e.  RR+ )
178, 16eqeltrd 2540 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  B
)  e.  RR+ )
1817rpred 11370 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  B
)  e.  RR )
1917rpgt0d 11373 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
0  <  ( F `  B ) )
20 fveq2 5888 . . . . . 6  |-  ( b  =  A  ->  ( F `  b )  =  ( F `  A ) )
21 fveq2 5888 . . . . . 6  |-  ( b  =  A  ->  ( G `  b )  =  ( G `  A ) )
2220, 21breq12d 4429 . . . . 5  |-  ( b  =  A  ->  (
( F `  b
)  <_  ( G `  b )  <->  ( F `  A )  <_  ( G `  A )
) )
2322imbi2d 322 . . . 4  |-  ( b  =  A  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( F `  b
)  <_  ( G `  b ) )  <->  ( A  e.  NN  ->  ( F `  A )  <_  ( G `  A )
) ) )
24 fveq2 5888 . . . . . 6  |-  ( b  =  d  ->  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )
25 fveq2 5888 . . . . . 6  |-  ( b  =  d  ->  ( G `  b )  =  ( G `  d ) )
2624, 25breq12d 4429 . . . . 5  |-  ( b  =  d  ->  (
( F `  b
)  <_  ( G `  b )  <->  ( F `  d )  <_  ( G `  d )
) )
2726imbi2d 322 . . . 4  |-  ( b  =  d  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( F `  b
)  <_  ( G `  b ) )  <->  ( A  e.  NN  ->  ( F `  d )  <_  ( G `  d )
) ) )
28 fveq2 5888 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( d  +  1 )  ->  ( F `  b )  =  ( F `  ( d  +  1 ) ) )
29 fveq2 5888 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( d  +  1 )  ->  ( G `  b )  =  ( G `  ( d  +  1 ) ) )
3028, 29breq12d 4429 . . . . 5  |-  ( b  =  ( d  +  1 )  ->  (
( F `  b
)  <_  ( G `  b )  <->  ( F `  ( d  +  1 ) )  <_  ( G `  ( d  +  1 ) ) ) )
3130imbi2d 322 . . . 4  |-  ( b  =  ( d  +  1 )  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( F `  b
)  <_  ( G `  b ) )  <->  ( A  e.  NN  ->  ( F `  ( d  +  1 ) )  <_  ( G `  ( d  +  1 ) ) ) ) )
32 fveq2 5888 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( F `  b )  =  ( F `  B ) )
33 fveq2 5888 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( G `  b )  =  ( G `  B ) )
3432, 33breq12d 4429 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
( F `  b
)  <_  ( G `  b )  <->  ( F `  B )  <_  ( G `  B )
) )
3534imbi2d 322 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( F `  b
)  <_  ( G `  b ) )  <->  ( A  e.  NN  ->  ( F `  B )  <_  ( G `  B )
) ) )
36 nnnn0 10905 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
37 faccl 12501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( ! `
 A )  e.  NN )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  A )  e.  NN )
3938nnzd 11068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  ( ! `  A )  e.  ZZ )
4039znegcld 11071 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  -u ( ! `  A )  e.  ZZ )
41 rpexpcl 12323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  A )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  e.  RR+ )
429, 40, 41sylancr 674 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  e.  RR+ )
4342rpred 11370 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  e.  RR )
4443leidd 10208 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  <_  ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) ) )
45 nncn 10645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
4645subidd 10000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  -  A )  =  0 )
4746oveq2d 6331 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
) ^ ( A  -  A ) )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
0 ) )
48 halfcn 10858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
49 exp0 12308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
) ^ 0 )  =  1 )
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 0 )  =  1
5147, 50syl6eq 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
) ^ ( A  -  A ) )  =  1 )
5251oveq2d 6331 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( A  -  A ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  1 ) )
5342rpcnd 11372 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  e.  CC )
5453mulid1d 9686 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  1 )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  A ) ) )
5552, 54eqtrd 2496 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( A  -  A ) ) )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  A ) ) )
5644, 55breqtrrd 4443 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( A  -  A ) ) ) )
57 fveq2 5888 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  A ) )
5857negeqd 9895 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  A ) )
5958oveq2d 6331 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) ) )
60 ovex 6343 . . . . . . 7  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  e.  _V
6159, 5, 60fvmpt 5971 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( F `  A )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  A ) ) )
62 nnz 10988 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
63 uzid 11202 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  ( ZZ>= `  A )
)
64 oveq1 6322 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  A  ->  (
c  -  A )  =  ( A  -  A ) )
6564oveq2d 6331 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  A  ->  (
( 1  /  2
) ^ ( c  -  A ) )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
( A  -  A
) ) )
6665oveq2d 6331 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  A  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( c  -  A ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( A  -  A
) ) ) )
67 aaliou3lem.a . . . . . . . 8  |-  G  =  ( c  e.  (
ZZ>= `  A )  |->  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( c  -  A ) ) ) )
68 ovex 6343 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( A  -  A ) ) )  e.  _V
6966, 67, 68fvmpt 5971 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( G `  A )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( A  -  A ) ) ) )
7062, 63, 693syl 18 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( G `  A )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( A  -  A
) ) ) )
7156, 61, 703brtr4d 4447 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  ( F `  A )  <_  ( G `  A
) )
7271a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  NN  ->  ( F `  A )  <_  ( G `  A ) ) )
73 eluznn 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
d  e.  NN )
7473nnnn0d 10954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
d  e.  NN0 )
75 faccl 12501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( ! `
 d )  e.  NN )
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  d
)  e.  NN )
7776nnzd 11068 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  d
)  e.  ZZ )
7877znegcld 11071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ! `  d
)  e.  ZZ )
79 rpexpcl 12323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  -u ( ! `  d )  e.  ZZ )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  d )
)  e.  RR+ )
809, 78, 79sylancr 674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  e.  RR+ )
8180rpred 11370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  e.  RR )
8280rpge0d 11374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
0  <_  ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) ) )
83 simpl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  A  e.  NN )
8483nnnn0d 10954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  A  e.  NN0 )
8584, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  A
)  e.  NN )
8685nnzd 11068 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  A
)  e.  ZZ )
8786znegcld 11071 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ! `  A
)  e.  ZZ )
889, 87, 41sylancr 674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  e.  RR+ )
89 halfre 10857 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
90 halfgt0 10859 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  ( 1  /  2
)
9189, 90elrpii 11334 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
92 eluzelz 11197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  d  e.  ZZ )
93 zsubcl 11008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( d  -  A
)  e.  ZZ )
9492, 62, 93syl2anr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( d  -  A
)  e.  ZZ )
95 rpexpcl 12323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR+  /\  (
d  -  A )  e.  ZZ )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) )  e.  RR+ )
9691, 94, 95sylancr 674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) )  e.  RR+ )
9788, 96rpmulcld 11386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) ) )  e.  RR+ )
9897rpred 11370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) ) )  e.  RR )
9981, 82, 98jca31 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
) )  /\  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  e.  RR ) )
10099adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  /\  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) )  ->  ( (
( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^
-u ( ! `  d ) ) )  /\  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( d  -  A
) ) )  e.  RR ) )
10192adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
d  e.  ZZ )
10278, 101zmulcld 11075 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  d
)  e.  ZZ )
103 rpexpcl 12323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  ( -u ( ! `  d
)  x.  d )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) )  e.  RR+ )
1049, 102, 103sylancr 674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) )  e.  RR+ )
105104rpred 11370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) )  e.  RR )
106104rpge0d 11374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
0  <_  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )
10789a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 1  /  2
)  e.  RR )
108105, 106, 107jca31 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) ) )  /\  (
1  /  2 )  e.  RR ) )
109108adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  /\  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) )  ->  ( (
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 d )  x.  d ) ) )  /\  ( 1  / 
2 )  e.  RR ) )
110 simpr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  /\  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) )  ->  ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) )  <_  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( d  -  A
) ) ) )
11176nncnd 10653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  d
)  e.  CC )
112101zcnd 11070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
d  e.  CC )
113111, 112mulneg1d 10099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  d
)  =  -u (
( ! `  d
)  x.  d ) )
11476, 73nnmulcld 10685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( ! `  d )  x.  d
)  e.  NN )
115114nnge1d 10680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
1  <_  ( ( ! `  d )  x.  d ) )
116 1re 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
117114nnred 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( ! `  d )  x.  d
)  e.  RR )
118 leneg 10145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ! `  d )  x.  d
)  e.  RR )  ->  ( 1  <_ 
( ( ! `  d )  x.  d
)  <->  -u ( ( ! `
 d )  x.  d )  <_  -u 1
) )
119116, 117, 118sylancr 674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 1  <_  (
( ! `  d
)  x.  d )  <->  -u ( ( ! `  d )  x.  d
)  <_  -u 1 ) )
120115, 119mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ( ! `  d )  x.  d
)  <_  -u 1 )
121113, 120eqbrtrd 4437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  d
)  <_  -u 1 )
122 neg1z 11002 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  ZZ
123 eluz 11201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -u ( ! `
 d )  x.  d )  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  e.  ( ZZ>= `  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  <->  ( -u ( ! `  d )  x.  d )  <_  -u 1
) )
124102, 122, 123sylancl 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u 1  e.  (
ZZ>= `  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  <->  ( -u ( ! `  d )  x.  d )  <_  -u 1
) )
125121, 124mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u 1  e.  ( ZZ>= `  ( -u ( ! `  d )  x.  d
) ) )
126 2re 10707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
127 1le2 10852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <_  2
128 leexp2a 12360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2  /\  -u 1  e.  ( ZZ>= `  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 d )  x.  d ) )  <_ 
( 2 ^ -u 1
) )
129126, 127, 128mp3an12 1363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u
1  e.  ( ZZ>= `  ( -u ( ! `  d )  x.  d
) )  ->  (
2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  <_  ( 2 ^
-u 1 ) )
130125, 129syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) )  <_  ( 2 ^ -u 1 ) )
131 2cn 10708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
132 expn1 12314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ -u 1
)  =  ( 1  /  2 ) )
133131, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ -u 1 )  =  ( 1  / 
2 )
134130, 133syl6breq 4456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) )  <_  ( 1  /  2 ) )
135134adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  /\  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  <_ 
( 1  /  2
) )
136 lemul12a 10491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
) )  /\  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) ) )  /\  (
1  /  2 )  e.  RR ) )  ->  ( ( ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  /\  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 d )  x.  d ) )  <_ 
( 1  /  2
) )  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) ) )
1371363impia 1212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
) )  /\  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  x.  d ) ) )  /\  (
1  /  2 )  e.  RR )  /\  ( ( 2 ^
-u ( ! `  d ) )  <_ 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) ) )  /\  (
2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )  ->  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) )  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 d )  x.  d ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
138100, 109, 110, 135, 137syl112anc 1280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  /\  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) )  ->  ( (
2 ^ -u ( ! `  d )
)  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
139138ex 440 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 2 ^
-u ( ! `  d ) )  <_ 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) ) )  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) ) )
140 facp1 12496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( d  +  1 ) )  =  ( ( ! `  d )  x.  (
d  +  1 ) ) )
14174, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ! `  (
d  +  1 ) )  =  ( ( ! `  d )  x.  ( d  +  1 ) ) )
142141negeqd 9895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ! `  (
d  +  1 ) )  =  -u (
( ! `  d
)  x.  ( d  +  1 ) ) )
143 ax-1cn 9623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
144 addcom 9845 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( d  +  1 )  =  ( 1  +  d ) )
145112, 143, 144sylancl 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( d  +  1 )  =  ( 1  +  d ) )
146145oveq2d 6331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  (
d  +  1 ) )  =  ( -u ( ! `  d )  x.  ( 1  +  d ) ) )
147 peano2cn 9831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  CC  ->  (
d  +  1 )  e.  CC )
148112, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( d  +  1 )  e.  CC )
149111, 148mulneg1d 10099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  (
d  +  1 ) )  =  -u (
( ! `  d
)  x.  ( d  +  1 ) ) )
15078zcnd 11070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ! `  d
)  e.  CC )
151 1cnd 9685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
1  e.  CC )
152150, 151, 112adddid 9693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  (
1  +  d ) )  =  ( (
-u ( ! `  d )  x.  1 )  +  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )
153150mulid1d 9686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  1 )  =  -u ( ! `  d )
)
154153oveq1d 6330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( -u ( ! `  d )  x.  1 )  +  (
-u ( ! `  d )  x.  d
) )  =  (
-u ( ! `  d )  +  (
-u ( ! `  d )  x.  d
) ) )
155152, 154eqtrd 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( -u ( ! `  d )  x.  (
1  +  d ) )  =  ( -u ( ! `  d )  +  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )
156146, 149, 1553eqtr3d 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ( ! `  d )  x.  (
d  +  1 ) )  =  ( -u ( ! `  d )  +  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )
157142, 156eqtrd 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  -u ( ! `  (
d  +  1 ) )  =  ( -u ( ! `  d )  +  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )
158157oveq2d 6331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  ( d  +  1 ) ) )  =  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  +  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) ) )
159 2cnne0 10853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
160 expaddz 12348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( -u ( ! `  d )  e.  ZZ  /\  ( -u ( ! `  d )  x.  d )  e.  ZZ ) )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  +  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) ) )
161159, 160mpan 681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u ( ! `  d )  e.  ZZ  /\  ( -u ( ! `
 d )  x.  d )  e.  ZZ )  ->  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 d )  +  ( -u ( ! `
 d )  x.  d ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) )  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `
 d )  x.  d ) ) ) )
16278, 102, 161syl2anc 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ ( -u ( ! `  d
)  +  ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) ) )
163158, 162eqtrd 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  ( d  +  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) ) )
16445adantr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  A  e.  CC )
165112, 151, 164addsubd 10033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( d  +  1 )  -  A
)  =  ( ( d  -  A )  +  1 ) )
166165oveq2d 6331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ (
( d  +  1 )  -  A ) )  =  ( ( 1  /  2 ) ^ ( ( d  -  A )  +  1 ) ) )
167 uznn0sub 11219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( d  -  A )  e.  NN0 )
168167adantl 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( d  -  A
)  e.  NN0 )
169 expp1 12311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( d  -  A
)  e.  NN0 )  ->  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
( d  -  A
)  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  2
) ^ ( d  -  A ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
17048, 168, 169sylancr 674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ (
( d  -  A
)  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  /  2
) ^ ( d  -  A ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
171166, 170eqtrd 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ (
( d  +  1 )  -  A ) )  =  ( ( ( 1  /  2
) ^ ( d  -  A ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
172171oveq2d 6331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
( d  +  1 )  -  A ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( ( 1  /  2
) ^ ( d  -  A ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) ) )
17388rpcnd 11372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  e.  CC )
17496rpcnd 11372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) )  e.  CC )
17548a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( 1  /  2
)  e.  CC )
176173, 174, 175mulassd 9692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( d  -  A
) ) )  x.  ( 1  /  2
) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( ( 1  /  2
) ^ ( d  -  A ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) ) )
177172, 176eqtr4d 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
( d  +  1 )  -  A ) ) )  =  ( ( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) ) )  x.  (
1  /  2 ) ) )
178163, 177breq12d 4429 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 2 ^
-u ( ! `  ( d  +  1 ) ) )  <_ 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
( d  +  1 )  -  A ) ) )  <->  ( (
2 ^ -u ( ! `  d )
)  x.  ( 2 ^ ( -u ( ! `  d )  x.  d ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) ) )
179139, 178sylibrd 242 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( 2 ^
-u ( ! `  d ) )  <_ 
( ( 2 ^
-u ( ! `  A ) )  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ (
d  -  A ) ) )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  ( d  +  1 ) ) )  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( ( d  +  1 )  -  A ) ) ) ) )
180 fveq2 5888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  d ) )
181180negeqd 9895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  d ) )
182181oveq2d 6331 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  d  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) ) )
183 ovex 6343 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) )  e.  _V
184182, 5, 183fvmpt 5971 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  NN  ->  ( F `  d )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  d ) ) )
18573, 184syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  d
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 d ) ) )
186 oveq1 6322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  d  ->  (
c  -  A )  =  ( d  -  A ) )
187186oveq2d 6331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  d  ->  (
( 1  /  2
) ^ ( c  -  A ) )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
( d  -  A
) ) )
188187oveq2d 6331 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  d  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( c  -  A ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( d  -  A
) ) ) )
189 ovex 6343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) )  e.  _V
190188, 67, 189fvmpt 5971 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( G `  d )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) )
191190adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( G `  d
)  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) )
192185, 191breq12d 4429 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( F `  d )  <_  ( G `  d )  <->  ( 2 ^ -u ( ! `  d )
)  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( d  -  A ) ) ) ) )
19373peano2nnd 10654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( d  +  1 )  e.  NN )
194 fveq2 5888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( d  +  1 )  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  ( d  +  1 ) ) )
195194negeqd 9895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( d  +  1 )  ->  -u ( ! `  a )  =  -u ( ! `  ( d  +  1 ) ) )
196195oveq2d 6331 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( d  +  1 )  ->  (
2 ^ -u ( ! `  a )
)  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( d  +  1 ) ) ) )
197 ovex 6343 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( d  +  1 ) ) )  e.  _V
198196, 5, 197fvmpt 5971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( d  +  1 ) )  =  ( 2 ^
-u ( ! `  ( d  +  1 ) ) ) )
199193, 198syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  (
d  +  1 ) )  =  ( 2 ^ -u ( ! `
 ( d  +  1 ) ) ) )
200 peano2uz 11241 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( d  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  A )
)
201 oveq1 6322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( d  +  1 )  ->  (
c  -  A )  =  ( ( d  +  1 )  -  A ) )
202201oveq2d 6331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( d  +  1 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ ( c  -  A ) )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
( ( d  +  1 )  -  A
) ) )
203202oveq2d 6331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( d  +  1 )  ->  (
( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( c  -  A ) ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `
 A ) )  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
( ( d  +  1 )  -  A
) ) ) )
204 ovex 6343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( ( d  +  1 )  -  A ) ) )  e.  _V
205203, 67, 204fvmpt 5971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( G `  ( d  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( ( d  +  1 )  -  A ) ) ) )
206200, 205syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( G `  ( d  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( ( d  +  1 )  -  A ) ) ) )
207206adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( G `  (
d  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( ( d  +  1 )  -  A ) ) ) )
208199, 207breq12d 4429 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( F `  ( d  +  1 ) )  <_  ( G `  ( d  +  1 ) )  <-> 
( 2 ^ -u ( ! `  ( d  +  1 ) ) )  <_  ( (
2 ^ -u ( ! `  A )
)  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ ( ( d  +  1 )  -  A ) ) ) ) )
209179, 192, 2083imtr4d 276 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  d  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( F `  d )  <_  ( G `  d )  ->  ( F `  (
d  +  1 ) )  <_  ( G `  ( d  +  1 ) ) ) )
210209expcom 441 . . . . 5  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A  e.  NN  ->  ( ( F `  d )  <_  ( G `  d
)  ->  ( F `  ( d  +  1 ) )  <_  ( G `  ( d  +  1 ) ) ) ) )
211210a2d 29 . . . 4  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( A  e.  NN  ->  ( F `  d )  <_  ( G `  d ) )  -> 
( A  e.  NN  ->  ( F `  (
d  +  1 ) )  <_  ( G `  ( d  +  1 ) ) ) ) )
21223, 27, 31, 35, 72, 211uzind4 11246 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A  e.  NN  ->  ( F `  B )  <_  ( G `  B )
) )
213212impcom 436 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  B
)  <_  ( G `  B ) )
214 0xr 9713 . . 3  |-  0  e.  RR*
21567aaliou3lem1 23347 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( G `  B
)  e.  RR )
216 elioc2 11726 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( G `  B )  e.  RR )  ->  (
( F `  B
)  e.  ( 0 (,] ( G `  B ) )  <->  ( ( F `  B )  e.  RR  /\  0  < 
( F `  B
)  /\  ( F `  B )  <_  ( G `  B )
) ) )
217214, 215, 216sylancr 674 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( ( F `  B )  e.  ( 0 (,] ( G `
 B ) )  <-> 
( ( F `  B )  e.  RR  /\  0  <  ( F `
 B )  /\  ( F `  B )  <_  ( G `  B ) ) ) )
21818, 19, 213, 217mpbir3and 1197 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( F `  B
)  e.  ( 0 (,] ( G `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   class class class wbr 4416    |-> cmpt 4475   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   CCcc 9563   RRcr 9564   0cc0 9565   1c1 9566    + caddc 9568    x. cmul 9570   RR*cxr 9700    < clt 9701    <_ cle 9702    - cmin 9886   -ucneg 9887    / cdiv 10297   NNcn 10637   2c2 10687   NN0cn0 10898   ZZcz 10966   ZZ>=cuz 11188   RR+crp 11331   (,]cioc 11665   ^cexp 12304   !cfa 12491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-rp 11332  df-ioc 11669  df-seq 12246  df-exp 12305  df-fac 12492
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