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Theorem aaliou2b 21750
Description: Liouville's approximation theorem extended to complex  A. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
aaliou2b  |-  ( A  e.  AA  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ k ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
Distinct variable group:    A, k, x, p, q

Proof of Theorem aaliou2b
StepHypRef Expression
1 elin 3536 . . 3  |-  ( A  e.  ( AA  i^i  RR )  <->  ( A  e.  AA  /\  A  e.  RR ) )
2 aaliou2 21749 . . 3  |-  ( A  e.  ( AA  i^i  RR )  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ k ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
31, 2sylbir 213 . 2  |-  ( ( A  e.  AA  /\  A  e.  RR )  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^
k ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
4 1nn 10329 . . . 4  |-  1  e.  NN
54a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  1  e.  NN )
6 aacn 21726 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  AA  ->  A  e.  CC )
76adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
87imcld 12680 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  ( Im `  A )  e.  RR )
98recnd 9408 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  ( Im `  A )  e.  CC )
10 reim0b 12604 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
116, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  AA  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
1211necon3bbid 2640 . . . . . 6  |-  ( A  e.  AA  ->  ( -.  A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =/=  0 ) )
1312biimpa 481 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  ( Im `  A )  =/=  0
)
149, 13absrpcld 12930 . . . 4  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  ( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR+ )
1514rphalfcld 11035 . . 3  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  e.  RR+ )
1615adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  RR+ )
17 1nn0 10591 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
18 nnexpcl 11874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( q  e.  NN  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( q ^ 1 )  e.  NN )
1917, 18mpan2 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  e.  NN  ->  (
q ^ 1 )  e.  NN )
2019ad2antll 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( q ^ 1 )  e.  NN )
2120nnrpd 11022 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( q ^ 1 )  e.  RR+ )
2216, 21rpdivcld 11040 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  e.  RR+ )
2322rpred 11023 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  e.  RR )
2416rpred 11023 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  RR )
257adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  ->  A  e.  CC )
26 znq 10953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN )  ->  ( p  /  q
)  e.  QQ )
2726adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( p  /  q
)  e.  QQ )
28 qre 10954 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  /  q )  e.  QQ  ->  (
p  /  q )  e.  RR )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( p  /  q
)  e.  RR )
3029recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( p  /  q
)  e.  CC )
3125, 30subcld 9715 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( A  -  (
p  /  q ) )  e.  CC )
3231abscld 12918 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  e.  RR )
3320nnge1d 10360 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
1  <_  ( q ^ 1 ) )
34 1rp 10991 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR+
35 rpregt0 11000 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
3634, 35mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
3721rpregt0d 11029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( q ^
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( q ^ 1 ) ) )
3816rpregt0d 11029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
) ) )
39 lediv2 10218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( q ^ 1 )  e.  RR  /\  0  < 
( q ^ 1 ) )  /\  (
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 ) ) )  ->  (
1  <_  ( q ^ 1 )  <->  ( (
( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  /  ( q ^
1 ) )  <_ 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  1 ) ) )
4036, 37, 38, 39syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( 1  <_  (
q ^ 1 )  <-> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  <_  ( ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  / 
1 ) ) )
4133, 40mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  <_  ( ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  / 
1 ) )
4216rpcnd 11025 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  CC )
4342div1d 10095 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  1 )  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
) )
4441, 43breqtrd 4313 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  <_  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
) )
4514adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR+ )
4645rpred 11023 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  (
Im `  A )
)  e.  RR )
47 rphalflt 11013 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  e.  RR+  ->  ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  < 
( abs `  (
Im `  A )
) )
4845, 47syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  <  ( abs `  (
Im `  A )
) )
4925, 30imsubd 12702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( Im `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  =  ( ( Im `  A )  -  ( Im `  ( p  /  q
) ) ) )
5029reim0d 12710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( Im `  (
p  /  q ) )  =  0 )
5150oveq2d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( Im `  A )  -  (
Im `  ( p  /  q ) ) )  =  ( ( Im `  A )  -  0 ) )
529adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( Im `  A
)  e.  CC )
5352subid1d 9704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( Im `  A )  -  0 )  =  ( Im
`  A ) )
5449, 51, 533eqtrd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( Im `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  =  ( Im
`  A ) )
5554fveq2d 5692 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  (
Im `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) ) )  =  ( abs `  ( Im `  A
) ) )
56 absimle 12794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  -  ( p  /  q ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
5731, 56syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  (
Im `  ( A  -  ( p  / 
q ) ) ) )  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )
5855, 57eqbrtrrd 4311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( abs `  (
Im `  A )
)  <_  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )
5924, 46, 32, 48, 58ltletrd 9527 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
6023, 24, 32, 44, 59lelttrd 9525 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )
6160olcd 393 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  AA  /\ 
-.  A  e.  RR )  /\  ( p  e.  ZZ  /\  q  e.  NN ) )  -> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  / 
( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
6261ralrimivva 2806 . . 3  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
63 oveq2 6098 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
q ^ k )  =  ( q ^
1 ) )
6463oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
x  /  ( q ^ k ) )  =  ( x  / 
( q ^ 1 ) ) )
6564breq1d 4299 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
( x  /  (
q ^ k ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) )  <->  ( x  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
6665orbi2d 696 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  (
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ k
) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) )  <-> 
( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  / 
( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) ) )
67662ralbidv 2755 . . . 4  |-  ( k  =  1  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ k ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  <->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
68 oveq1 6097 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  ->  ( x  /  ( q ^
1 ) )  =  ( ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  /  ( q ^ 1 ) ) )
6968breq1d 4299 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  ->  ( (
x  /  ( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) )  <->  ( ( ( abs `  ( Im
`  A ) )  /  2 )  / 
( q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  ( p  /  q
) ) ) ) )
7069orbi2d 696 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  ->  ( ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ 1 ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) )  <->  ( A  =  ( p  / 
q )  \/  (
( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
71702ralbidv 2755 . . . 4  |-  ( x  =  ( ( abs `  ( Im `  A
) )  /  2
)  ->  ( A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) )  <->  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) ) )
7267, 71rspc2ev 3078 . . 3  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  e.  RR+  /\  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( ( ( abs `  (
Im `  A )
)  /  2 )  /  ( q ^
1 ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^
k ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
735, 15, 62, 72syl3anc 1213 . 2  |-  ( ( A  e.  AA  /\  -.  A  e.  RR )  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q
)  \/  ( x  /  ( q ^
k ) )  < 
( abs `  ( A  -  ( p  /  q ) ) ) ) )
743, 73pm2.61dan 784 1  |-  ( A  e.  AA  ->  E. k  e.  NN  E. x  e.  RR+  A. p  e.  ZZ  A. q  e.  NN  ( A  =  ( p  /  q )  \/  ( x  /  (
q ^ k ) )  <  ( abs `  ( A  -  (
p  /  q ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714    i^i cin 3324   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   QQcq 10949   RR+crp 10987   ^cexp 11861   Imcim 12583   abscabs 12719   AAcaa 21723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-subrg 16843  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-fbas 17714  df-fg 17715  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525  df-nei 18602  df-lp 18640  df-perf 18641  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-haus 18819  df-cmp 18890  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-fil 19319  df-fm 19411  df-flim 19412  df-flf 19413  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797  df-cncf 20354  df-0p 21048  df-limc 21241  df-dv 21242  df-dvn 21243  df-cpn 21244  df-ply 21599  df-idp 21600  df-coe 21601  df-dgr 21602  df-quot 21700  df-aa 21724
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