Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou Structured version   Unicode version

Theorem aaliou 22468
 Description: Liouville's theorem on diophantine approximation: Any algebraic number, being a root of a polynomial in integer coefficients, is not approximable beyond order deg by rational numbers. In this form, it also applies to rational numbers themselves, which are not well approximable by other rational numbers. This is Metamath 100 proof #18. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a deg
aalioulem2.b Poly
aalioulem2.c
aalioulem2.d
aalioulem3.e
Assertion
Ref Expression
aaliou
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem aaliou
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.a . . 3 deg
2 aalioulem2.b . . 3 Poly
3 aalioulem2.c . . 3
4 aalioulem2.d . . 3
5 aalioulem3.e . . 3
61, 2, 3, 4, 5aalioulem6 22467 . 2
7 rphalfcl 11240 . . . . 5
87adantl 466 . . . 4
97ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12
10 nnrp 11225 . . . . . . . . . . . . . 14
1110ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13
123nnzd 10961 . . . . . . . . . . . . . 14
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
1411, 13rpexpcld 12297 . . . . . . . . . . . 12
159, 14rpdivcld 11269 . . . . . . . . . . 11
1615rpred 11252 . . . . . . . . . 10
17 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12
1817, 14rpdivcld 11269 . . . . . . . . . . 11
1918rpred 11252 . . . . . . . . . 10
204adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
21 znq 11182 . . . . . . . . . . . . . 14
22 qre 11183 . . . . . . . . . . . . . 14
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
24 resubcl 9879 . . . . . . . . . . . . 13
2520, 23, 24syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12
2625recnd 9618 . . . . . . . . . . 11
2726abscld 13226 . . . . . . . . . 10
2816, 19, 273jca 1176 . . . . . . . . 9
299rpred 11252 . . . . . . . . . . . 12
30 rpre 11222 . . . . . . . . . . . . 13
3130ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12
32 rphalflt 11242 . . . . . . . . . . . . 13
3332ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12
3429, 31, 14, 33ltdiv1dd 11305 . . . . . . . . . . 11
3534anim1i 568 . . . . . . . . . 10
3635ex 434 . . . . . . . . 9
37 ltletr 9672 . . . . . . . . 9
3828, 36, 37sylsyld 56 . . . . . . . 8
3938orim2d 838 . . . . . . 7
4039anassrs 648 . . . . . 6
4140ralimdva 2872 . . . . 5
4241ralimdva 2872 . . . 4
43 oveq1 6289 . . . . . . . 8
4443breq1d 4457 . . . . . . 7
4544orbi2d 701 . . . . . 6
46452ralbidv 2908 . . . . 5
4746rspcev 3214 . . . 4
488, 42, 47syl6an 545 . . 3
4948rexlimdva 2955 . 2
506, 49mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 368   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  wrex 2815   class class class wbr 4447  cfv 5586  (class class class)co 6282  cr 9487  cc0 9488   clt 9624   cle 9625   cmin 9801   cdiv 10202  cn 10532  c2 10581  cz 10860  cq 11178  crp 11216  cexp 12130  cabs 13026  Polycply 22316  degcdgr 22319 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-cring 16989  df-subrg 17210  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-cmp 19653  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-0p 21812  df-limc 22005  df-dv 22006  df-dvn 22007  df-cpn 22008  df-ply 22320  df-idp 22321  df-coe 22322  df-dgr 22323  df-quot 22421 This theorem is referenced by:  aaliou2  22470
 Copyright terms: Public domain W3C validator