Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou Structured version   Unicode version

Theorem aaliou 22712
 Description: Liouville's theorem on diophantine approximation: Any algebraic number, being a root of a polynomial in integer coefficients, is not approximable beyond order deg by rational numbers. In this form, it also applies to rational numbers themselves, which are not well approximable by other rational numbers. This is Metamath 100 proof #18. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a deg
aalioulem2.b Poly
aalioulem2.c
aalioulem2.d
aalioulem3.e
Assertion
Ref Expression
aaliou
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem aaliou
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.a . . 3 deg
2 aalioulem2.b . . 3 Poly
3 aalioulem2.c . . 3
4 aalioulem2.d . . 3
5 aalioulem3.e . . 3
61, 2, 3, 4, 5aalioulem6 22711 . 2
7 rphalfcl 11255 . . . . 5
87adantl 466 . . . 4
97ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
10 nnrp 11240 . . . . . . . . . . . 12
1110ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11
123nnzd 10975 . . . . . . . . . . . 12
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
1411, 13rpexpcld 12315 . . . . . . . . . 10
159, 14rpdivcld 11284 . . . . . . . . 9
1615rpred 11267 . . . . . . . 8
17 simplr 755 . . . . . . . . . 10
1817, 14rpdivcld 11284 . . . . . . . . 9
1918rpred 11267 . . . . . . . 8
204adantr 465 . . . . . . . . . . 11
21 znq 11197 . . . . . . . . . . . 12
22 qre 11198 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . 11
24 resubcl 9888 . . . . . . . . . . 11
2520, 23, 24syl2an 477 . . . . . . . . . 10
2625recnd 9625 . . . . . . . . 9
2726abscld 13249 . . . . . . . 8
2816, 19, 273jca 1177 . . . . . . 7
299rpred 11267 . . . . . . . . . 10
30 rpre 11237 . . . . . . . . . . 11
3130ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
32 rphalflt 11257 . . . . . . . . . . 11
3332ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
3429, 31, 14, 33ltdiv1dd 11320 . . . . . . . . 9
3534anim1i 568 . . . . . . . 8
3635ex 434 . . . . . . 7
37 ltletr 9679 . . . . . . 7
3828, 36, 37sylsyld 56 . . . . . 6
3938orim2d 840 . . . . 5
4039ralimdvva 2854 . . . 4
41 oveq1 6288 . . . . . . . 8
4241breq1d 4447 . . . . . . 7
4342orbi2d 701 . . . . . 6
44432ralbidv 2887 . . . . 5
4544rspcev 3196 . . . 4
468, 40, 45syl6an 545 . . 3
4746rexlimdva 2935 . 2
486, 47mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 368   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804  wral 2793  wrex 2794   class class class wbr 4437  cfv 5578  (class class class)co 6281  cr 9494  cc0 9495   clt 9631   cle 9632   cmin 9810   cdiv 10213  cn 10543  c2 10592  cz 10871  cq 11193  crp 11231  cexp 12148  cabs 13049  Polycply 22559  degcdgr 22562 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-mulg 16039  df-subg 16177  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-cring 17180  df-subrg 17406  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-cmp 19865  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-0p 22055  df-limc 22248  df-dv 22249  df-dvn 22250  df-cpn 22251  df-ply 22563  df-idp 22564  df-coe 22565  df-dgr 22566  df-quot 22665 This theorem is referenced by:  aaliou2  22714
 Copyright terms: Public domain W3C validator