Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aaitgo Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem aaitgo 36022
 Description: The standard algebraic numbers are generated by IntgOver. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
aaitgo IntgOver

Proof of Theorem aaitgo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabid 2966 . . 3 Poly coeffdeg Poly coeffdeg
2 qsscn 11272 . . . . 5
3 itgoval 36021 . . . . 5 IntgOver Poly coeffdeg
42, 3ax-mp 5 . . . 4 IntgOver Poly coeffdeg
54eleq2i 2520 . . 3 IntgOver Poly coeffdeg
6 aacn 23263 . . . . 5
7 mpaacl 36013 . . . . . 6 minPolyAA Poly
8 mpaaroot 36015 . . . . . 6 minPolyAA
9 mpaadgr 36014 . . . . . . . 8 degminPolyAA degAA
11 mpaamn 36016 . . . . . . 7 coeffminPolyAAdegAA
1210, 11eqtrd 2484 . . . . . 6 coeffminPolyAAdegminPolyAA
13 fveq1 5862 . . . . . . . . 9 minPolyAA minPolyAA
1413eqeq1d 2452 . . . . . . . 8 minPolyAA minPolyAA
15 fveq2 5863 . . . . . . . . . 10 minPolyAA coeff coeffminPolyAA
16 fveq2 5863 . . . . . . . . . 10 minPolyAA deg degminPolyAA
1715, 16fveq12d 5869 . . . . . . . . 9 minPolyAA coeffdeg coeffminPolyAAdegminPolyAA
1817eqeq1d 2452 . . . . . . . 8 minPolyAA coeffdeg coeffminPolyAAdegminPolyAA
1914, 18anbi12d 716 . . . . . . 7 minPolyAA coeffdeg minPolyAA coeffminPolyAAdegminPolyAA
2019rspcev 3149 . . . . . 6 minPolyAA Poly minPolyAA coeffminPolyAAdegminPolyAA Poly coeffdeg
217, 8, 12, 20syl12anc 1265 . . . . 5 Poly coeffdeg
226, 21jca 535 . . . 4 Poly coeffdeg
23 simpl 459 . . . . . . . . 9 Poly coeffdeg Poly
24 coe0 23203 . . . . . . . . . . . . . . 15 coeff
2524fveq1i 5864 . . . . . . . . . . . . . 14 coeffdeg deg
26 dgr0 23209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg
27 0nn0 10881 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2826, 27eqeltri 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg
29 c0ex 9634 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3029fvconst2 6118 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg
3128, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 deg
3225, 31eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . 13 coeffdeg
33 0ne1 10674 . . . . . . . . . . . . 13
3432, 33eqnetri 2693 . . . . . . . . . . . 12 coeffdeg
35 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . 14 coeff coeff
36 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . 14 deg deg
3735, 36fveq12d 5869 . . . . . . . . . . . . 13 coeffdeg coeffdeg
3837neeq1d 2682 . . . . . . . . . . . 12 coeffdeg coeffdeg
3934, 38mpbiri 237 . . . . . . . . . . 11 coeffdeg
4039necon2i 2657 . . . . . . . . . 10 coeffdeg
4140ad2antll 734 . . . . . . . . 9 Poly coeffdeg
42 eldifsn 4096 . . . . . . . . 9 Poly Poly
4323, 41, 42sylanbrc 669 . . . . . . . 8 Poly coeffdeg Poly
44 simprl 763 . . . . . . . 8 Poly coeffdeg
4543, 44jca 535 . . . . . . 7 Poly coeffdeg Poly
4645reximi2 2853 . . . . . 6 Poly coeffdeg Poly
4746anim2i 572 . . . . 5 Poly coeffdeg Poly
48 elqaa 23271 . . . . 5 Poly
4947, 48sylibr 216 . . . 4 Poly coeffdeg
5022, 49impbii 191 . . 3 Poly coeffdeg
511, 5, 503bitr4ri 282 . 2 IntgOver
5251eqriv 2447 1 IntgOver
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wa 371   wceq 1443   wcel 1886   wne 2621  wrex 2737  crab 2740   cdif 3400   wss 3403  csn 3967   cxp 4831  cfv 5581  cc 9534  cc0 9536  c1 9537  cn0 10866  cq 11261  c0p 22620  Polycply 23131  coeffccoe 23133  degcdgr 23134  caa 23260  degAAcdgraa 35993  minPolyAAcmpaa 35995  IntgOvercitgo 36017 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-0p 22621  df-ply 23135  df-coe 23137  df-dgr 23138  df-aa 23261  df-dgraa 35996  df-mpaa 35998  df-itgo 36019 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator