MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  8th4div3 Structured version   Unicode version

Theorem 8th4div3 10659
Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
8th4div3  |-  ( ( 1  /  8 )  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  ( 1  /  6
)

Proof of Theorem 8th4div3
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9454 . . . 4  |-  1  e.  CC
2 8re 10520 . . . . 5  |-  8  e.  RR
32recni 9512 . . . 4  |-  8  e.  CC
4 4cn 10513 . . . 4  |-  4  e.  CC
5 3cn 10510 . . . 4  |-  3  e.  CC
6 8pos 10536 . . . . 5  |-  0  <  8
72, 6gt0ne0ii 9990 . . . 4  |-  8  =/=  0
8 3ne0 10530 . . . 4  |-  3  =/=  0
91, 3, 4, 5, 7, 8divmuldivi 10205 . . 3  |-  ( ( 1  /  8 )  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  ( ( 1  x.  4 )  /  (
8  x.  3 ) )
101, 4mulcomi 9506 . . . 4  |-  ( 1  x.  4 )  =  ( 4  x.  1 )
11 2cn 10506 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
124, 11, 5mul32i 9679 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  x.  2 )  x.  3 )  =  ( ( 4  x.  3 )  x.  2 )
13 4t2e8 10589 . . . . . . . 8  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
1413oveq1i 6213 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  x.  2 )  x.  3 )  =  ( 8  x.  3 )
1512, 14eqtr3i 2485 . . . . . 6  |-  ( ( 4  x.  3 )  x.  2 )  =  ( 8  x.  3 )
164, 5, 11mulassi 9509 . . . . . 6  |-  ( ( 4  x.  3 )  x.  2 )  =  ( 4  x.  (
3  x.  2 ) )
1715, 16eqtr3i 2485 . . . . 5  |-  ( 8  x.  3 )  =  ( 4  x.  (
3  x.  2 ) )
18 3t2e6 10587 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
1918oveq2i 6214 . . . . 5  |-  ( 4  x.  ( 3  x.  2 ) )  =  ( 4  x.  6 )
2017, 19eqtri 2483 . . . 4  |-  ( 8  x.  3 )  =  ( 4  x.  6 )
2110, 20oveq12i 6215 . . 3  |-  ( ( 1  x.  4 )  /  ( 8  x.  3 ) )  =  ( ( 4  x.  1 )  /  (
4  x.  6 ) )
229, 21eqtri 2483 . 2  |-  ( ( 1  /  8 )  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  ( ( 4  x.  1 )  /  (
4  x.  6 ) )
23 6re 10516 . . . 4  |-  6  e.  RR
2423recni 9512 . . 3  |-  6  e.  CC
25 6pos 10534 . . . 4  |-  0  <  6
2623, 25gt0ne0ii 9990 . . 3  |-  6  =/=  0
27 4ne0 10532 . . 3  |-  4  =/=  0
28 divcan5 10147 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )  -> 
( ( 4  x.  1 )  /  (
4  x.  6 ) )  =  ( 1  /  6 ) )
291, 28mp3an1 1302 . . 3  |-  ( ( ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )  -> 
( ( 4  x.  1 )  /  (
4  x.  6 ) )  =  ( 1  /  6 ) )
3024, 26, 4, 27, 29mp4an 673 . 2  |-  ( ( 4  x.  1 )  /  ( 4  x.  6 ) )  =  ( 1  /  6
)
3122, 30eqtri 2483 1  |-  ( ( 1  /  8 )  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  ( 1  /  6
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648  (class class class)co 6203   CCcc 9394   0cc0 9396   1c1 9397    x. cmul 9401    / cdiv 10107   2c2 10485   3c3 10486   4c4 10487   6c6 10489   8c8 10491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator