Theorem 8th4div3 6092

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	|- ((1 / 8) x. (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 5334	. . . 4 |- 1 e. CC
2		8re 6047	. . . . 5 |- 8 e. RR
3	2	recni 5379	. . . 4 |- 8 e. CC
4		4re 6043	. . . . 5 |- 4 e. RR
5	4	recni 5379	. . . 4 |- 4 e. CC
6		3re 6042	. . . . 5 |- 3 e. RR
7	6	recni 5379	. . . 4 |- 3 e. CC
8		8pos 6057	. . . . 5 |- 0 < 8
9	2, 8	gt0ne0ii 5682	. . . 4 |- 8 =/= 0
10		3pos 6052	. . . . 5 |- 0 < 3
11	6, 10	gt0ne0ii 5682	. . . 4 |- 3 =/= 0
12	1, 3, 5, 7, 9, 11	divmuldivi 5844	. . 3 |- ((1 / 8) x. (4 / 3)) = ((1 x. 4) / (8 x. 3))
13	1, 5	mulcomi 5388	. . . 4 |- (1 x. 4) = (4 x. 1)
14	13	opreq1i 4029	. . 3 |- ((1 x. 4) / (8 x. 3)) = ((4 x. 1) / (8 x. 3))
15		2cn 6041	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
16	5, 15, 7	mul23i 5489	. . . . . 6 |- ((4 x. 2) x. 3) = ((4 x. 3) x. 2)
17		4t2e8 6086	. . . . . . 7 |- (4 x. 2) = 8
18	17	opreq1i 4029	. . . . . 6 |- ((4 x. 2) x. 3) = (8 x. 3)
19	5, 7, 15	mulassi 5390	. . . . . 6 |- ((4 x. 3) x. 2) = (4 x. (3 x. 2))
20	16, 18, 19	3eqtr3i 1550	. . . . 5 |- (8 x. 3) = (4 x. (3 x. 2))
21		3t2e6 6084	. . . . . 6 |- (3 x. 2) = 6
22	21	opreq2i 4030	. . . . 5 |- (4 x. (3 x. 2)) = (4 x. 6)
23	20, 22	eqtri 1542	. . . 4 |- (8 x. 3) = (4 x. 6)
24	23	opreq2i 4030	. . 3 |- ((4 x. 1) / (8 x. 3)) = ((4 x. 1) / (4 x. 6))
25	12, 14, 24	3eqtri 1546	. 2 |- ((1 / 8) x. (4 / 3)) = ((4 x. 1) / (4 x. 6))
26		4pos 6053	. . . 4 |- 0 < 4
27	4, 26	gt0ne0ii 5682	. . 3 |- 4 =/= 0
28		6re 6045	. . . . 5 |- 6 e. RR
29	28	recni 5379	. . . 4 |- 6 e. CC
30		6pos 6055	. . . . 5 |- 0 < 6
31	28, 30	gt0ne0ii 5682	. . . 4 |- 6 =/= 0
32		divcan5 5839	. . . . 5 |- ((1 e. CC /\ (6 e. CC /\ 6 =/= 0) /\ (4 e. CC /\ 4 =/= 0)) -> ((4 x. 1) / (4 x. 6)) = (1 / 6))
33	1, 32	mp3an1 915	. . . 4 |- (((6 e. CC /\ 6 =/= 0) /\ (4 e. CC /\ 4 =/= 0)) -> ((4 x. 1) / (4 x. 6)) = (1 / 6))
34	29, 31, 33	mpanl12 720	. . 3 |- ((4 e. CC /\ 4 =/= 0) -> ((4 x. 1) / (4 x. 6)) = (1 / 6))
35	5, 27, 34	mp2an 709	. 2 |- ((4 x. 1) / (4 x. 6)) = (1 / 6)
36	25, 35	eqtri 1542	1 |- ((1 / 8) x. (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999   =/= wne 1632  (class class class)co 4021  CCcc 5297  0cc0 5299  1c1 5300   x. cmul 5304   / cdiv 5359  2c2 6022  3c3 6023  4c4 6024  6c6 6026  8c8 6028

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-sub 5421  df-neg 5423  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556  df-div 5768  df-2 6031  df-3 6032  df-4 6033  df-5 6034  df-6 6035  df-7 6036  df-8 6037

Copyright terms: Public domain