MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  8th4div3 Structured version   Unicode version

Theorem 8th4div3 10771
Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
8th4div3  |-  ( ( 1  /  8 )  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  ( 1  /  6
)

Proof of Theorem 8th4div3
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9562 . . . 4  |-  1  e.  CC
2 8re 10632 . . . . 5  |-  8  e.  RR
32recni 9620 . . . 4  |-  8  e.  CC
4 4cn 10625 . . . 4  |-  4  e.  CC
5 3cn 10622 . . . 4  |-  3  e.  CC
6 8pos 10648 . . . . 5  |-  0  <  8
72, 6gt0ne0ii 10101 . . . 4  |-  8  =/=  0
8 3ne0 10642 . . . 4  |-  3  =/=  0
91, 3, 4, 5, 7, 8divmuldivi 10316 . . 3  |-  ( ( 1  /  8 )  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  ( ( 1  x.  4 )  /  (
8  x.  3 ) )
101, 4mulcomi 9614 . . . 4  |-  ( 1  x.  4 )  =  ( 4  x.  1 )
11 2cn 10618 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
124, 11, 5mul32i 9787 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  x.  2 )  x.  3 )  =  ( ( 4  x.  3 )  x.  2 )
13 4t2e8 10701 . . . . . . . 8  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
1413oveq1i 6305 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  x.  2 )  x.  3 )  =  ( 8  x.  3 )
1512, 14eqtr3i 2498 . . . . . 6  |-  ( ( 4  x.  3 )  x.  2 )  =  ( 8  x.  3 )
164, 5, 11mulassi 9617 . . . . . 6  |-  ( ( 4  x.  3 )  x.  2 )  =  ( 4  x.  (
3  x.  2 ) )
1715, 16eqtr3i 2498 . . . . 5  |-  ( 8  x.  3 )  =  ( 4  x.  (
3  x.  2 ) )
18 3t2e6 10699 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
1918oveq2i 6306 . . . . 5  |-  ( 4  x.  ( 3  x.  2 ) )  =  ( 4  x.  6 )
2017, 19eqtri 2496 . . . 4  |-  ( 8  x.  3 )  =  ( 4  x.  6 )
2110, 20oveq12i 6307 . . 3  |-  ( ( 1  x.  4 )  /  ( 8  x.  3 ) )  =  ( ( 4  x.  1 )  /  (
4  x.  6 ) )
229, 21eqtri 2496 . 2  |-  ( ( 1  /  8 )  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  ( ( 4  x.  1 )  /  (
4  x.  6 ) )
23 6re 10628 . . . 4  |-  6  e.  RR
2423recni 9620 . . 3  |-  6  e.  CC
25 6pos 10646 . . . 4  |-  0  <  6
2623, 25gt0ne0ii 10101 . . 3  |-  6  =/=  0
27 4ne0 10644 . . 3  |-  4  =/=  0
28 divcan5 10258 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )  -> 
( ( 4  x.  1 )  /  (
4  x.  6 ) )  =  ( 1  /  6 ) )
291, 28mp3an1 1311 . . 3  |-  ( ( ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 ) )  -> 
( ( 4  x.  1 )  /  (
4  x.  6 ) )  =  ( 1  /  6 ) )
3024, 26, 4, 27, 29mp4an 673 . 2  |-  ( ( 4  x.  1 )  /  ( 4  x.  6 ) )  =  ( 1  /  6
)
3122, 30eqtri 2496 1  |-  ( ( 1  /  8 )  x.  ( 4  / 
3 ) )  =  ( 1  /  6
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505    x. cmul 9509    / cdiv 10218   2c2 10597   3c3 10598   4c4 10599   6c6 10601   8c8 10603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator