Theorem 8th4div3 7217

Description: An eighth of four thirds is a sixth. (Contributed by Paul Chapman, 24-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
8th4div3	|- ((1 / 8) x. (4 / 3)) = (1 / 6)

Proof of Theorem 8th4div3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 6422	. . . 4 |- 1 e. CC
2		8re 7170	. . . . 5 |- 8 e. RR
3	2	recni 6467	. . . 4 |- 8 e. CC
4		4re 7166	. . . . 5 |- 4 e. RR
5	4	recni 6467	. . . 4 |- 4 e. CC
6		3re 7165	. . . . 5 |- 3 e. RR
7	6	recni 6467	. . . 4 |- 3 e. CC
8		8pos 7180	. . . . 5 |- 0 < 8
9	2, 8	gt0ne0ii 6799	. . . 4 |- 8 =/= 0
10		3pos 7175	. . . . 5 |- 0 < 3
11	6, 10	gt0ne0ii 6799	. . . 4 |- 3 =/= 0
12	1, 3, 5, 7, 9, 11	divmuldivi 6963	. . 3 |- ((1 / 8) x. (4 / 3)) = ((1 x. 4) / (8 x. 3))
13	1, 5	mulcomi 6476	. . . 4 |- (1 x. 4) = (4 x. 1)
14	13	opreq1i 4892	. . 3 |- ((1 x. 4) / (8 x. 3)) = ((4 x. 1) / (8 x. 3))
15		2cn 7164	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
16	5, 15, 7	mul23i 6587	. . . . . 6 |- ((4 x. 2) x. 3) = ((4 x. 3) x. 2)
17		4t2e8 7209	. . . . . . 7 |- (4 x. 2) = 8
18	17	opreq1i 4892	. . . . . 6 |- ((4 x. 2) x. 3) = (8 x. 3)
19	5, 7, 15	mulassi 6478	. . . . . 6 |- ((4 x. 3) x. 2) = (4 x. (3 x. 2))
20	16, 18, 19	3eqtr3i 1918	. . . . 5 |- (8 x. 3) = (4 x. (3 x. 2))
21		3t2e6 7207	. . . . . 6 |- (3 x. 2) = 6
22	21	opreq2i 4893	. . . . 5 |- (4 x. (3 x. 2)) = (4 x. 6)
23	20, 22	eqtri 1908	. . . 4 |- (8 x. 3) = (4 x. 6)
24	23	opreq2i 4893	. . 3 |- ((4 x. 1) / (8 x. 3)) = ((4 x. 1) / (4 x. 6))
25	12, 14, 24	3eqtri 1912	. 2 |- ((1 / 8) x. (4 / 3)) = ((4 x. 1) / (4 x. 6))
26		4pos 7176	. . . 4 |- 0 < 4
27	4, 26	gt0ne0ii 6799	. . 3 |- 4 =/= 0
28		6re 7168	. . . . 5 |- 6 e. RR
29	28	recni 6467	. . . 4 |- 6 e. CC
30		6pos 7178	. . . . 5 |- 0 < 6
31	28, 30	gt0ne0ii 6799	. . . 4 |- 6 =/= 0
32		divcan5 6957	. . . . 5 |- ((1 e. CC /\ (6 e. CC /\ 6 =/= 0) /\ (4 e. CC /\ 4 =/= 0)) -> ((4 x. 1) / (4 x. 6)) = (1 / 6))
33	1, 32	mp3an1 1178	. . . 4 |- (((6 e. CC /\ 6 =/= 0) /\ (4 e. CC /\ 4 =/= 0)) -> ((4 x. 1) / (4 x. 6)) = (1 / 6))
34	29, 31, 33	mpanl12 773	. . 3 |- ((4 e. CC /\ 4 =/= 0) -> ((4 x. 1) / (4 x. 6)) = (1 / 6))
35	5, 27, 34	mp2an 761	. 2 |- ((4 x. 1) / (4 x. 6)) = (1 / 6)
36	25, 35	eqtri 1908	1 |- ((1 / 8) x. (4 / 3)) = (1 / 6)

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386  1c1 6387   x. cmul 6391   / cdiv 6447  2c2 7145  3c3 7146  4c4 7147  6c6 7149  8c8 7151

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-5 7157  df-6 7158  df-7 7159  df-8 7160

Copyright terms: Public domain