MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  7prm Structured version   Unicode version

Theorem 7prm 14443
Description: 7 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
7prm  |-  7  e.  Prime

Proof of Theorem 7prm
StepHypRef Expression
1 7nn 10687 . 2  |-  7  e.  NN
2 1lt7 10711 . 2  |-  1  <  7
3 2nn 10682 . . 3  |-  2  e.  NN
4 3nn0 10802 . . 3  |-  3  e.  NN0
5 1nn 10536 . . 3  |-  1  e.  NN
6 3cn 10599 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
7 2cn 10595 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
8 3t2e6 10676 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
96, 7, 8mulcomli 9592 . . . . 5  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
109oveq1i 6285 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  =  ( 6  +  1 )
11 df-7 10588 . . . 4  |-  7  =  ( 6  +  1 )
1210, 11eqtr4i 2492 . . 3  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  =  7
13 1lt2 10691 . . 3  |-  1  <  2
143, 4, 5, 12, 13ndvdsi 13916 . 2  |-  -.  2  ||  7
15 3nn 10683 . . 3  |-  3  e.  NN
16 2nn0 10801 . . 3  |-  2  e.  NN0
178oveq1i 6285 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  1 )  =  ( 6  +  1 )
1817, 11eqtr4i 2492 . . 3  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  1 )  =  7
19 1lt3 10693 . . 3  |-  1  <  3
2015, 16, 5, 18, 19ndvdsi 13916 . 2  |-  -.  3  ||  7
21 5nn0 10804 . . 3  |-  5  e.  NN0
22 7nn0 10806 . . 3  |-  7  e.  NN0
23 7lt10 10729 . . 3  |-  7  <  10
243, 21, 22, 23declti 10990 . 2  |-  7  < ; 2
5
251, 2, 14, 20, 24prmlem1 14440 1  |-  7  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1762  (class class class)co 6275   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   2c2 10574   3c3 10575   5c5 10577   6c6 10578   7c7 10579   Primecprime 14065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-dvds 13837  df-prm 14066
This theorem is referenced by:  bpos1  23279
  Copyright terms: Public domain W3C validator