MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  7prm Structured version   Unicode version

Theorem 7prm 14805
Description: 7 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
7prm  |-  7  e.  Prime

Proof of Theorem 7prm
StepHypRef Expression
1 7nn 10739 . 2  |-  7  e.  NN
2 1lt7 10763 . 2  |-  1  <  7
3 2nn 10734 . . 3  |-  2  e.  NN
4 3nn0 10854 . . 3  |-  3  e.  NN0
5 1nn 10587 . . 3  |-  1  e.  NN
6 3cn 10651 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
7 2cn 10647 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
8 3t2e6 10728 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
96, 7, 8mulcomli 9633 . . . . 5  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
109oveq1i 6288 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  =  ( 6  +  1 )
11 df-7 10640 . . . 4  |-  7  =  ( 6  +  1 )
1210, 11eqtr4i 2434 . . 3  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  =  7
13 1lt2 10743 . . 3  |-  1  <  2
143, 4, 5, 12, 13ndvdsi 14277 . 2  |-  -.  2  ||  7
15 3nn 10735 . . 3  |-  3  e.  NN
16 2nn0 10853 . . 3  |-  2  e.  NN0
178oveq1i 6288 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  1 )  =  ( 6  +  1 )
1817, 11eqtr4i 2434 . . 3  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  1 )  =  7
19 1lt3 10745 . . 3  |-  1  <  3
2015, 16, 5, 18, 19ndvdsi 14277 . 2  |-  -.  3  ||  7
21 5nn0 10856 . . 3  |-  5  e.  NN0
22 7nn0 10858 . . 3  |-  7  e.  NN0
23 7lt10 10781 . . 3  |-  7  <  10
243, 21, 22, 23declti 11044 . 2  |-  7  < ; 2
5
251, 2, 14, 20, 24prmlem1 14802 1  |-  7  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1842  (class class class)co 6278   1c1 9523    + caddc 9525    x. cmul 9527   2c2 10626   3c3 10627   5c5 10629   6c6 10630   7c7 10631   Primecprime 14426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-dvds 14196  df-prm 14427
This theorem is referenced by:  bpos1  23939  nnsum3primesle9  37842
  Copyright terms: Public domain W3C validator