MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  6p5lem Structured version   Unicode version

Theorem 6p5lem 10800
Description: Lemma for 6p5e11 10801 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
6p5lem.1  |-  A  e. 
NN0
6p5lem.2  |-  D  e. 
NN0
6p5lem.3  |-  E  e. 
NN0
6p5lem.4  |-  B  =  ( D  +  1 )
6p5lem.5  |-  C  =  ( E  +  1 )
6p5lem.6  |-  ( A  +  D )  = ; 1 E
Assertion
Ref Expression
6p5lem  |-  ( A  +  B )  = ; 1 C

Proof of Theorem 6p5lem
StepHypRef Expression
1 6p5lem.4 . . 3  |-  B  =  ( D  +  1 )
21oveq2i 6101 . 2  |-  ( A  +  B )  =  ( A  +  ( D  +  1 ) )
3 6p5lem.1 . . . 4  |-  A  e. 
NN0
43nn0cni 10587 . . 3  |-  A  e.  CC
5 6p5lem.2 . . . 4  |-  D  e. 
NN0
65nn0cni 10587 . . 3  |-  D  e.  CC
7 ax-1cn 9336 . . 3  |-  1  e.  CC
84, 6, 7addassi 9390 . 2  |-  ( ( A  +  D )  +  1 )  =  ( A  +  ( D  +  1 ) )
9 1nn0 10591 . . 3  |-  1  e.  NN0
10 6p5lem.3 . . 3  |-  E  e. 
NN0
11 6p5lem.5 . . . 4  |-  C  =  ( E  +  1 )
1211eqcomi 2445 . . 3  |-  ( E  +  1 )  =  C
13 6p5lem.6 . . 3  |-  ( A  +  D )  = ; 1 E
149, 10, 12, 13decsuc 10774 . 2  |-  ( ( A  +  D )  +  1 )  = ; 1 C
152, 8, 143eqtr2i 2467 1  |-  ( A  +  B )  = ; 1 C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1364    e. wcel 1761  (class class class)co 6090   1c1 9279    + caddc 9281   NN0cn0 10575  ;cdc 10751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-ltxr 9419  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-dec 10752
This theorem is referenced by:  6p5e11  10801  6p6e12  10802  7p4e11  10803  7p5e12  10804  7p6e13  10805  7p7e14  10806  8p3e11  10807  8p4e12  10808  8p5e13  10809  8p6e14  10810  8p7e15  10811  8p8e16  10812  9p2e11  10813  9p3e12  10814  9p4e13  10815  9p5e14  10816  9p6e15  10817  9p7e16  10818  9p8e17  10819  9p9e18  10820
  Copyright terms: Public domain W3C validator