MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  6p5lem Structured version   Unicode version

Theorem 6p5lem 11070
Description: Lemma for 6p5e11 11071 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
6p5lem.1  |-  A  e. 
NN0
6p5lem.2  |-  D  e. 
NN0
6p5lem.3  |-  E  e. 
NN0
6p5lem.4  |-  B  =  ( D  +  1 )
6p5lem.5  |-  C  =  ( E  +  1 )
6p5lem.6  |-  ( A  +  D )  = ; 1 E
Assertion
Ref Expression
6p5lem  |-  ( A  +  B )  = ; 1 C

Proof of Theorem 6p5lem
StepHypRef Expression
1 6p5lem.4 . . 3  |-  B  =  ( D  +  1 )
21oveq2i 6291 . 2  |-  ( A  +  B )  =  ( A  +  ( D  +  1 ) )
3 6p5lem.1 . . . 4  |-  A  e. 
NN0
43nn0cni 10850 . . 3  |-  A  e.  CC
5 6p5lem.2 . . . 4  |-  D  e. 
NN0
65nn0cni 10850 . . 3  |-  D  e.  CC
7 ax-1cn 9582 . . 3  |-  1  e.  CC
84, 6, 7addassi 9636 . 2  |-  ( ( A  +  D )  +  1 )  =  ( A  +  ( D  +  1 ) )
9 1nn0 10854 . . 3  |-  1  e.  NN0
10 6p5lem.3 . . 3  |-  E  e. 
NN0
11 6p5lem.5 . . . 4  |-  C  =  ( E  +  1 )
1211eqcomi 2417 . . 3  |-  ( E  +  1 )  =  C
13 6p5lem.6 . . 3  |-  ( A  +  D )  = ; 1 E
149, 10, 12, 13decsuc 11044 . 2  |-  ( ( A  +  D )  +  1 )  = ; 1 C
152, 8, 143eqtr2i 2439 1  |-  ( A  +  B )  = ; 1 C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1407    e. wcel 1844  (class class class)co 6280   1c1 9525    + caddc 9527   NN0cn0 10838  ;cdc 11021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-ltxr 9665  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-dec 11022
This theorem is referenced by:  6p5e11  11071  6p6e12  11072  7p4e11  11073  7p5e12  11074  7p6e13  11075  7p7e14  11076  8p3e11  11077  8p4e12  11078  8p5e13  11079  8p6e14  11080  8p7e15  11081  8p8e16  11082  9p2e11  11083  9p3e12  11084  9p4e13  11085  9p5e14  11086  9p6e15  11087  9p7e16  11088  9p8e17  11089  9p9e18  11090
  Copyright terms: Public domain W3C validator