MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  5prm Structured version   Unicode version

Theorem 5prm 14471
Description: 5 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
5prm  |-  5  e.  Prime

Proof of Theorem 5prm
StepHypRef Expression
1 5nn 10702 . 2  |-  5  e.  NN
2 1lt5 10717 . 2  |-  1  <  5
3 2nn 10699 . . 3  |-  2  e.  NN
4 2nn0 10818 . . 3  |-  2  e.  NN0
5 1nn 10553 . . 3  |-  1  e.  NN
6 2t2e4 10691 . . . . 5  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
76oveq1i 6291 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  =  ( 4  +  1 )
8 df-5 10603 . . . 4  |-  5  =  ( 4  +  1 )
97, 8eqtr4i 2475 . . 3  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  =  5
10 1lt2 10708 . . 3  |-  1  <  2
113, 4, 5, 9, 10ndvdsi 13945 . 2  |-  -.  2  ||  5
12 3nn 10700 . . 3  |-  3  e.  NN
13 1nn0 10817 . . 3  |-  1  e.  NN0
14 3t1e3 10692 . . . . 5  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
1514oveq1i 6291 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  2 )  =  ( 3  +  2 )
16 3p2e5 10674 . . . 4  |-  ( 3  +  2 )  =  5
1715, 16eqtri 2472 . . 3  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  2 )  =  5
18 2lt3 10709 . . 3  |-  2  <  3
1912, 13, 3, 17, 18ndvdsi 13945 . 2  |-  -.  3  ||  5
20 5nn0 10821 . . 3  |-  5  e.  NN0
21 5lt10 10748 . . 3  |-  5  <  10
223, 20, 20, 21declti 11009 . 2  |-  5  < ; 2
5
231, 2, 11, 19, 22prmlem1 14470 1  |-  5  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1804  (class class class)co 6281   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500   2c2 10591   3c3 10592   4c4 10593   5c5 10594   Primecprime 14094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-rp 11230  df-fz 11682  df-seq 12087  df-exp 12146  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-dvds 13864  df-prm 14095
This theorem is referenced by:  4001prm  14504  lt6abl  16771  bpos1  23430
  Copyright terms: Public domain W3C validator