MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  5prm Structured version   Unicode version

Theorem 5prm 14238
Description: 5 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
5prm  |-  5  e.  Prime

Proof of Theorem 5prm
StepHypRef Expression
1 5nn 10583 . 2  |-  5  e.  NN
2 1lt5 10598 . 2  |-  1  <  5
3 2nn 10580 . . 3  |-  2  e.  NN
4 2nn0 10697 . . 3  |-  2  e.  NN0
5 1nn 10434 . . 3  |-  1  e.  NN
6 2t2e4 10572 . . . . 5  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
76oveq1i 6200 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  =  ( 4  +  1 )
8 df-5 10484 . . . 4  |-  5  =  ( 4  +  1 )
97, 8eqtr4i 2483 . . 3  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  =  5
10 1lt2 10589 . . 3  |-  1  <  2
113, 4, 5, 9, 10ndvdsi 13716 . 2  |-  -.  2  ||  5
12 3nn 10581 . . 3  |-  3  e.  NN
13 1nn0 10696 . . 3  |-  1  e.  NN0
14 3t1e3 10573 . . . . 5  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
1514oveq1i 6200 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  2 )  =  ( 3  +  2 )
16 3p2e5 10555 . . . 4  |-  ( 3  +  2 )  =  5
1715, 16eqtri 2480 . . 3  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  2 )  =  5
18 2lt3 10590 . . 3  |-  2  <  3
1912, 13, 3, 17, 18ndvdsi 13716 . 2  |-  -.  3  ||  5
20 5nn0 10700 . . 3  |-  5  e.  NN0
21 5lt10 10629 . . 3  |-  5  <  10
223, 20, 20, 21declti 10881 . 2  |-  5  < ; 2
5
231, 2, 11, 19, 22prmlem1 14237 1  |-  5  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758  (class class class)co 6190   1c1 9384    + caddc 9386    x. cmul 9388   2c2 10472   3c3 10473   4c4 10474   5c5 10475   Primecprime 13865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-sup 7792  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-rp 11093  df-fz 11539  df-seq 11908  df-exp 11967  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-dvds 13638  df-prm 13866
This theorem is referenced by:  4001prm  14271  lt6abl  16475  bpos1  22738
  Copyright terms: Public domain W3C validator