Theorem 5oalem7 26705

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 4-May-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem5.1	|- A e. SH
5oalem5.2	|- B e. SH
5oalem5.3	|- C e. SH
5oalem5.4	|- D e. SH
5oalem5.5	|- F e. SH
5oalem5.6	|- G e. SH
5oalem5.7	|- R e. SH
5oalem5.8	|- S e. SH

Assertion

Ref

Expression

5oalem7

|- ( ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) i^i ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) C_ ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem 5oalem7

Dummy variables h f g u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ee4anv 1991	. . . 4 |- ( E. x E. y E. f E. g ( E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) <-> ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. f E. g E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
2		exrot4 1854	. . . . . 6 |- ( E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) <-> E. f E. g E. z E. w E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
3		ee4anv 1991	. . . . . . 7 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) <-> ( E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
4	3	2exbii 1669	. . . . . 6 |- ( E. f E. g E. z E. w E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) <-> E. f E. g ( E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
5	2, 4	bitri 249	. . . . 5 |- ( E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) <-> E. f E. g ( E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
6	5	2exbii 1669	. . . 4 |- ( E. x E. y E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) <-> E. x E. y E. f E. g ( E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
7		elin 3683	. . . . 5 |- ( h e. ( ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) i^i ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) <-> ( h e. ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) /\ h e. ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) )
8		5oalem5.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. SH
9		5oalem5.2	. . . . . . . . . 10 |- B e. SH
10	8, 9	shseli 26361	. . . . . . . . 9 |- ( h e. ( A +H B ) <-> E. x e. A E. y e. B h = ( x +h y ) )
11		r2ex 2980	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. A E. y e. B h = ( x +h y ) <-> E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) )
12	10, 11	bitri 249	. . . . . . . 8 |- ( h e. ( A +H B ) <-> E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) )
13		5oalem5.3	. . . . . . . . . 10 |- C e. SH
14		5oalem5.4	. . . . . . . . . 10 |- D e. SH
15	13, 14	shseli 26361	. . . . . . . . 9 |- ( h e. ( C +H D ) <-> E. z e. C E. w e. D h = ( z +h w ) )
16		r2ex 2980	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. C E. w e. D h = ( z +h w ) <-> E. z E. w ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) )
17	15, 16	bitri 249	. . . . . . . 8 |- ( h e. ( C +H D ) <-> E. z E. w ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) )
18	12, 17	anbi12i 697	. . . . . . 7 |- ( ( h e. ( A +H B ) /\ h e. ( C +H D ) ) <-> ( E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ E. z E. w ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) )
19		elin 3683	. . . . . . 7 |- ( h e. ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) <-> ( h e. ( A +H B ) /\ h e. ( C +H D ) ) )
20		ee4anv 1991	. . . . . . 7 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) <-> ( E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ E. z E. w ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) )
21	18, 19, 20	3bitr4ri 278	. . . . . 6 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) <-> h e. ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) )
22		5oalem5.5	. . . . . . . . . 10 |- F e. SH
23		5oalem5.6	. . . . . . . . . 10 |- G e. SH
24	22, 23	shseli 26361	. . . . . . . . 9 |- ( h e. ( F +H G ) <-> E. f e. F E. g e. G h = ( f +h g ) )
25		r2ex 2980	. . . . . . . . 9 |- ( E. f e. F E. g e. G h = ( f +h g ) <-> E. f E. g ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) )
26	24, 25	bitri 249	. . . . . . . 8 |- ( h e. ( F +H G ) <-> E. f E. g ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) )
27		5oalem5.7	. . . . . . . . . 10 |- R e. SH
28		5oalem5.8	. . . . . . . . . 10 |- S e. SH
29	27, 28	shseli 26361	. . . . . . . . 9 |- ( h e. ( R +H S ) <-> E. v e. R E. u e. S h = ( v +h u ) )
30		r2ex 2980	. . . . . . . . 9 |- ( E. v e. R E. u e. S h = ( v +h u ) <-> E. v E. u ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) )
31	29, 30	bitri 249	. . . . . . . 8 |- ( h e. ( R +H S ) <-> E. v E. u ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) )
32	26, 31	anbi12i 697	. . . . . . 7 |- ( ( h e. ( F +H G ) /\ h e. ( R +H S ) ) <-> ( E. f E. g ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ E. v E. u ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) )
33		elin 3683	. . . . . . 7 |- ( h e. ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) <-> ( h e. ( F +H G ) /\ h e. ( R +H S ) ) )
34		ee4anv 1991	. . . . . . 7 |- ( E. f E. g E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) <-> ( E. f E. g ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ E. v E. u ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) )
35	32, 33, 34	3bitr4ri 278	. . . . . 6 |- ( E. f E. g E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) <-> h e. ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) )
36	21, 35	anbi12i 697	. . . . 5 |- ( ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. f E. g E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) <-> ( h e. ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) /\ h e. ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) )
37	7, 36	bitr4i 252	. . . 4 |- ( h e. ( ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) i^i ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) <-> ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. f E. g E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
38	1, 6, 37	3bitr4ri 278	. . 3 |- ( h e. ( ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) i^i ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) <-> E. x E. y E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
39	8, 9, 13, 14, 22, 23, 27, 28	5oalem6 26704	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) -> h e. ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
40	39	exlimivv 1724	. . . . . 6 |- ( E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) -> h e. ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
41	40	exlimivv 1724	. . . . 5 |- ( E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) -> h e. ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
42	41	exlimivv 1724	. . . 4 |- ( E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) -> h e. ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
43	42	exlimivv 1724	. . 3 |- ( E. x E. y E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) -> h e. ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
44	38, 43	sylbi 195	. 2 |- ( h e. ( ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) i^i ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) -> h e. ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
45	44	ssriv 3503	1 |- ( ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) i^i ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) C_ ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 369   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   E.wrex 2808   i^i cin 3470   C_ wss 3471  (class class class)co 6296   +h cva 25964   SHcsh 25972   +H cph 25975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-hilex 26043  ax-hfvadd 26044  ax-hvcom 26045  ax-hvass 26046  ax-hv0cl 26047  ax-hvaddid 26048  ax-hfvmul 26049  ax-hvmulid 26050  ax-hvmulass 26051  ax-hvdistr1 26052  ax-hvdistr2 26053  ax-hvmul0 26054

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-ltxr 9650  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-grpo 25320  df-ablo 25411  df-hvsub 26015  df-hlim 26016  df-sh 26251  df-ch 26266  df-shs 26353

This theorem is referenced by:  5oai  26706