HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem7 Structured version   Unicode version

Theorem 5oalem7 25085
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 4-May-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem5.1  |-  A  e.  SH
5oalem5.2  |-  B  e.  SH
5oalem5.3  |-  C  e.  SH
5oalem5.4  |-  D  e.  SH
5oalem5.5  |-  F  e.  SH
5oalem5.6  |-  G  e.  SH
5oalem5.7  |-  R  e.  SH
5oalem5.8  |-  S  e.  SH
Assertion
Ref Expression
5oalem7  |-  ( ( ( A  +H  B
)  i^i  ( C  +H  D ) )  i^i  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S ) ) )  C_  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem 5oalem7
Dummy variables  h  f  g  u  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ee4anv 1934 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. f E. g ( E. z E. w
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  <->  ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  (
x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  (
z  +h  w ) ) )  /\  E. f E. g E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) ) )
2 exrot4 1791 . . . . . 6  |-  ( E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  h  =  ( x  +h  y
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) )  <->  E. f E. g E. z E. w E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) ) )
3 ee4anv 1934 . . . . . . 7  |-  ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  <->  ( E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  h  =  ( x  +h  y
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) )  /\  E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) ) )
432exbii 1635 . . . . . 6  |-  ( E. f E. g E. z E. w E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  <->  E. f E. g ( E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  (
x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  (
z  +h  w ) ) )  /\  E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G
)  /\  h  =  ( f  +h  g
) )  /\  (
( v  e.  R  /\  u  e.  S
)  /\  h  =  ( v  +h  u
) ) ) ) )
52, 4bitri 249 . . . . 5  |-  ( E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  h  =  ( x  +h  y
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) )  <->  E. f E. g
( E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  (
x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  (
z  +h  w ) ) )  /\  E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G
)  /\  h  =  ( f  +h  g
) )  /\  (
( v  e.  R  /\  u  e.  S
)  /\  h  =  ( v  +h  u
) ) ) ) )
652exbii 1635 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  h  =  ( x  +h  y
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) )  <->  E. x E. y E. f E. g ( E. z E. w
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) ) )
7 elin 3560 . . . . 5  |-  ( h  e.  ( ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D ) )  i^i  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S ) ) )  <->  ( h  e.  ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D ) )  /\  h  e.  ( ( F  +H  G
)  i^i  ( R  +H  S ) ) ) )
8 5oalem5.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e.  SH
9 5oalem5.2 . . . . . . . . . 10  |-  B  e.  SH
108, 9shseli 24741 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  h  =  ( x  +h  y
) )
11 r2ex 2774 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  h  =  ( x  +h  y )  <->  E. x E. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) ) )
1210, 11bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x E. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) ) )
13 5oalem5.3 . . . . . . . . . 10  |-  C  e.  SH
14 5oalem5.4 . . . . . . . . . 10  |-  D  e.  SH
1513, 14shseli 24741 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  ( C  +H  D )  <->  E. z  e.  C  E. w  e.  D  h  =  ( z  +h  w
) )
16 r2ex 2774 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  C  E. w  e.  D  h  =  ( z  +h  w )  <->  E. z E. w ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )
1715, 16bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  ( C  +H  D )  <->  E. z E. w ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )
1812, 17anbi12i 697 . . . . . . 7  |-  ( ( h  e.  ( A  +H  B )  /\  h  e.  ( C  +H  D ) )  <->  ( E. x E. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  (
x  +h  y ) )  /\  E. z E. w ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) ) )
19 elin 3560 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D
) )  <->  ( h  e.  ( A  +H  B
)  /\  h  e.  ( C  +H  D
) ) )
20 ee4anv 1934 . . . . . . 7  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  <-> 
( E. x E. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  E. z E. w ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) ) )
2118, 19, 203bitr4ri 278 . . . . . 6  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  <-> 
h  e.  ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D ) ) )
22 5oalem5.5 . . . . . . . . . 10  |-  F  e.  SH
23 5oalem5.6 . . . . . . . . . 10  |-  G  e.  SH
2422, 23shseli 24741 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  ( F  +H  G )  <->  E. f  e.  F  E. g  e.  G  h  =  ( f  +h  g
) )
25 r2ex 2774 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  e.  F  E. g  e.  G  h  =  ( f  +h  g )  <->  E. f E. g ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) ) )
2624, 25bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  ( F  +H  G )  <->  E. f E. g ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) ) )
27 5oalem5.7 . . . . . . . . . 10  |-  R  e.  SH
28 5oalem5.8 . . . . . . . . . 10  |-  S  e.  SH
2927, 28shseli 24741 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  ( R  +H  S )  <->  E. v  e.  R  E. u  e.  S  h  =  ( v  +h  u
) )
30 r2ex 2774 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v  e.  R  E. u  e.  S  h  =  ( v  +h  u )  <->  E. v E. u ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) )
3129, 30bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  ( R  +H  S )  <->  E. v E. u ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) )
3226, 31anbi12i 697 . . . . . . 7  |-  ( ( h  e.  ( F  +H  G )  /\  h  e.  ( R  +H  S ) )  <->  ( E. f E. g ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  E. v E. u ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) )
33 elin 3560 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S
) )  <->  ( h  e.  ( F  +H  G
)  /\  h  e.  ( R  +H  S
) ) )
34 ee4anv 1934 . . . . . . 7  |-  ( E. f E. g E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) )  <-> 
( E. f E. g ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  E. v E. u ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S
)  /\  h  =  ( v  +h  u
) ) ) )
3532, 33, 343bitr4ri 278 . . . . . 6  |-  ( E. f E. g E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) )  <-> 
h  e.  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S ) ) )
3621, 35anbi12i 697 . . . . 5  |-  ( ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  E. f E. g E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  <->  ( h  e.  ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D ) )  /\  h  e.  ( ( F  +H  G
)  i^i  ( R  +H  S ) ) ) )
377, 36bitr4i 252 . . . 4  |-  ( h  e.  ( ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D ) )  i^i  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S ) ) )  <->  ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  (
x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  (
z  +h  w ) ) )  /\  E. f E. g E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) ) )
381, 6, 373bitr4ri 278 . . 3  |-  ( h  e.  ( ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D ) )  i^i  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S ) ) )  <->  E. x E. y E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  h  =  ( x  +h  y
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) ) )
398, 9, 13, 14, 22, 23, 27, 285oalem6 25084 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
4039exlimivv 1689 . . . . . 6  |-  ( E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
4140exlimivv 1689 . . . . 5  |-  ( E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
4241exlimivv 1689 . . . 4  |-  ( E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  h  =  ( x  +h  y
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
4342exlimivv 1689 . . 3  |-  ( E. x E. y E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  h  =  ( x  +h  y
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
4438, 43sylbi 195 . 2  |-  ( h  e.  ( ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D ) )  i^i  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
4544ssriv 3381 1  |-  ( ( ( A  +H  B
)  i^i  ( C  +H  D ) )  i^i  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S ) ) )  C_  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   E.wrex 2737    i^i cin 3348    C_ wss 3349  (class class class)co 6112    +h cva 24344   SHcsh 24352    +H cph 24355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-hilex 24423  ax-hfvadd 24424  ax-hvcom 24425  ax-hvass 24426  ax-hv0cl 24427  ax-hvaddid 24428  ax-hfvmul 24429  ax-hvmulid 24430  ax-hvmulass 24431  ax-hvdistr1 24432  ax-hvdistr2 24433  ax-hvmul0 24434
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-ltxr 9444  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-grpo 23700  df-ablo 23791  df-hvsub 24395  df-hlim 24396  df-sh 24631  df-ch 24646  df-shs 24733
This theorem is referenced by:  5oai  25086
  Copyright terms: Public domain W3C validator