HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem7 Structured version   Unicode version

Theorem 5oalem7 26705
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 4-May-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem5.1  |-  A  e.  SH
5oalem5.2  |-  B  e.  SH
5oalem5.3  |-  C  e.  SH
5oalem5.4  |-  D  e.  SH
5oalem5.5  |-  F  e.  SH
5oalem5.6  |-  G  e.  SH
5oalem5.7  |-  R  e.  SH
5oalem5.8  |-  S  e.  SH
Assertion
Ref Expression
5oalem7  |-  ( ( ( A  +H  B
)  i^i  ( C  +H  D ) )  i^i  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S ) ) )  C_  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem 5oalem7
Dummy variables  h  f  g  u  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ee4anv 1991 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. f E. g ( E. z E. w
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  <->  ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  (
x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  (
z  +h  w ) ) )  /\  E. f E. g E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) ) )
2 exrot4 1854 . . . . . 6  |-  ( E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  h  =  ( x  +h  y
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) )  <->  E. f E. g E. z E. w E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) ) )
3 ee4anv 1991 . . . . . . 7  |-  ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  <->  ( E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  h  =  ( x  +h  y
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) )  /\  E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) ) )
432exbii 1669 . . . . . 6  |-  ( E. f E. g E. z E. w E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  <->  E. f E. g ( E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  (
x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  (
z  +h  w ) ) )  /\  E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G
)  /\  h  =  ( f  +h  g
) )  /\  (
( v  e.  R  /\  u  e.  S
)  /\  h  =  ( v  +h  u
) ) ) ) )
52, 4bitri 249 . . . . 5  |-  ( E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  h  =  ( x  +h  y
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) )  <->  E. f E. g
( E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  (
x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  (
z  +h  w ) ) )  /\  E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G
)  /\  h  =  ( f  +h  g
) )  /\  (
( v  e.  R  /\  u  e.  S
)  /\  h  =  ( v  +h  u
) ) ) ) )
652exbii 1669 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  h  =  ( x  +h  y
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) )  <->  E. x E. y E. f E. g ( E. z E. w
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) ) )
7 elin 3683 . . . . 5  |-  ( h  e.  ( ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D ) )  i^i  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S ) ) )  <->  ( h  e.  ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D ) )  /\  h  e.  ( ( F  +H  G
)  i^i  ( R  +H  S ) ) ) )
8 5oalem5.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e.  SH
9 5oalem5.2 . . . . . . . . . 10  |-  B  e.  SH
108, 9shseli 26361 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  h  =  ( x  +h  y
) )
11 r2ex 2980 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  h  =  ( x  +h  y )  <->  E. x E. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) ) )
1210, 11bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x E. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) ) )
13 5oalem5.3 . . . . . . . . . 10  |-  C  e.  SH
14 5oalem5.4 . . . . . . . . . 10  |-  D  e.  SH
1513, 14shseli 26361 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  ( C  +H  D )  <->  E. z  e.  C  E. w  e.  D  h  =  ( z  +h  w
) )
16 r2ex 2980 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  C  E. w  e.  D  h  =  ( z  +h  w )  <->  E. z E. w ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )
1715, 16bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  ( C  +H  D )  <->  E. z E. w ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )
1812, 17anbi12i 697 . . . . . . 7  |-  ( ( h  e.  ( A  +H  B )  /\  h  e.  ( C  +H  D ) )  <->  ( E. x E. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  (
x  +h  y ) )  /\  E. z E. w ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) ) )
19 elin 3683 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D
) )  <->  ( h  e.  ( A  +H  B
)  /\  h  e.  ( C  +H  D
) ) )
20 ee4anv 1991 . . . . . . 7  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  <-> 
( E. x E. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  E. z E. w ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) ) )
2118, 19, 203bitr4ri 278 . . . . . 6  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  <-> 
h  e.  ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D ) ) )
22 5oalem5.5 . . . . . . . . . 10  |-  F  e.  SH
23 5oalem5.6 . . . . . . . . . 10  |-  G  e.  SH
2422, 23shseli 26361 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  ( F  +H  G )  <->  E. f  e.  F  E. g  e.  G  h  =  ( f  +h  g
) )
25 r2ex 2980 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  e.  F  E. g  e.  G  h  =  ( f  +h  g )  <->  E. f E. g ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) ) )
2624, 25bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  ( F  +H  G )  <->  E. f E. g ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) ) )
27 5oalem5.7 . . . . . . . . . 10  |-  R  e.  SH
28 5oalem5.8 . . . . . . . . . 10  |-  S  e.  SH
2927, 28shseli 26361 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  ( R  +H  S )  <->  E. v  e.  R  E. u  e.  S  h  =  ( v  +h  u
) )
30 r2ex 2980 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v  e.  R  E. u  e.  S  h  =  ( v  +h  u )  <->  E. v E. u ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) )
3129, 30bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  ( R  +H  S )  <->  E. v E. u ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) )
3226, 31anbi12i 697 . . . . . . 7  |-  ( ( h  e.  ( F  +H  G )  /\  h  e.  ( R  +H  S ) )  <->  ( E. f E. g ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  E. v E. u ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) )
33 elin 3683 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S
) )  <->  ( h  e.  ( F  +H  G
)  /\  h  e.  ( R  +H  S
) ) )
34 ee4anv 1991 . . . . . . 7  |-  ( E. f E. g E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) )  <-> 
( E. f E. g ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  E. v E. u ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S
)  /\  h  =  ( v  +h  u
) ) ) )
3532, 33, 343bitr4ri 278 . . . . . 6  |-  ( E. f E. g E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) )  <-> 
h  e.  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S ) ) )
3621, 35anbi12i 697 . . . . 5  |-  ( ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  E. f E. g E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  <->  ( h  e.  ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D ) )  /\  h  e.  ( ( F  +H  G
)  i^i  ( R  +H  S ) ) ) )
377, 36bitr4i 252 . . . 4  |-  ( h  e.  ( ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D ) )  i^i  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S ) ) )  <->  ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  (
x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  (
z  +h  w ) ) )  /\  E. f E. g E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) ) )
381, 6, 373bitr4ri 278 . . 3  |-  ( h  e.  ( ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D ) )  i^i  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S ) ) )  <->  E. x E. y E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  h  =  ( x  +h  y
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) ) )
398, 9, 13, 14, 22, 23, 27, 285oalem6 26704 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
4039exlimivv 1724 . . . . . 6  |-  ( E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
4140exlimivv 1724 . . . . 5  |-  ( E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
4241exlimivv 1724 . . . 4  |-  ( E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  h  =  ( x  +h  y
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
4342exlimivv 1724 . . 3  |-  ( E. x E. y E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  h  =  ( x  +h  y
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
4438, 43sylbi 195 . 2  |-  ( h  e.  ( ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D ) )  i^i  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
4544ssriv 3503 1  |-  ( ( ( A  +H  B
)  i^i  ( C  +H  D ) )  i^i  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S ) ) )  C_  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   E.wrex 2808    i^i cin 3470    C_ wss 3471  (class class class)co 6296    +h cva 25964   SHcsh 25972    +H cph 25975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-hilex 26043  ax-hfvadd 26044  ax-hvcom 26045  ax-hvass 26046  ax-hv0cl 26047  ax-hvaddid 26048  ax-hfvmul 26049  ax-hvmulid 26050  ax-hvmulass 26051  ax-hvdistr1 26052  ax-hvdistr2 26053  ax-hvmul0 26054
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-ltxr 9650  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-grpo 25320  df-ablo 25411  df-hvsub 26015  df-hlim 26016  df-sh 26251  df-ch 26266  df-shs 26353
This theorem is referenced by:  5oai  26706
  Copyright terms: Public domain W3C validator