Theorem 5oalem7 25085

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 4-May-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem5.1	|- A e. SH
5oalem5.2	|- B e. SH
5oalem5.3	|- C e. SH
5oalem5.4	|- D e. SH
5oalem5.5	|- F e. SH
5oalem5.6	|- G e. SH
5oalem5.7	|- R e. SH
5oalem5.8	|- S e. SH

Assertion

Ref

Expression

5oalem7

|- ( ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) i^i ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) C_ ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem 5oalem7

Dummy variables h f g u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ee4anv 1934	. . . 4 |- ( E. x E. y E. f E. g ( E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) <-> ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. f E. g E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
2		exrot4 1791	. . . . . 6 |- ( E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) <-> E. f E. g E. z E. w E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
3		ee4anv 1934	. . . . . . 7 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) <-> ( E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
4	3	2exbii 1635	. . . . . 6 |- ( E. f E. g E. z E. w E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) <-> E. f E. g ( E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
5	2, 4	bitri 249	. . . . 5 |- ( E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) <-> E. f E. g ( E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
6	5	2exbii 1635	. . . 4 |- ( E. x E. y E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) <-> E. x E. y E. f E. g ( E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
7		elin 3560	. . . . 5 |- ( h e. ( ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) i^i ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) <-> ( h e. ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) /\ h e. ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) )
8		5oalem5.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. SH
9		5oalem5.2	. . . . . . . . . 10 |- B e. SH
10	8, 9	shseli 24741	. . . . . . . . 9 |- ( h e. ( A +H B ) <-> E. x e. A E. y e. B h = ( x +h y ) )
11		r2ex 2774	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. A E. y e. B h = ( x +h y ) <-> E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) )
12	10, 11	bitri 249	. . . . . . . 8 |- ( h e. ( A +H B ) <-> E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) )
13		5oalem5.3	. . . . . . . . . 10 |- C e. SH
14		5oalem5.4	. . . . . . . . . 10 |- D e. SH
15	13, 14	shseli 24741	. . . . . . . . 9 |- ( h e. ( C +H D ) <-> E. z e. C E. w e. D h = ( z +h w ) )
16		r2ex 2774	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. C E. w e. D h = ( z +h w ) <-> E. z E. w ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) )
17	15, 16	bitri 249	. . . . . . . 8 |- ( h e. ( C +H D ) <-> E. z E. w ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) )
18	12, 17	anbi12i 697	. . . . . . 7 |- ( ( h e. ( A +H B ) /\ h e. ( C +H D ) ) <-> ( E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ E. z E. w ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) )
19		elin 3560	. . . . . . 7 |- ( h e. ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) <-> ( h e. ( A +H B ) /\ h e. ( C +H D ) ) )
20		ee4anv 1934	. . . . . . 7 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) <-> ( E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ E. z E. w ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) )
21	18, 19, 20	3bitr4ri 278	. . . . . 6 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) <-> h e. ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) )
22		5oalem5.5	. . . . . . . . . 10 |- F e. SH
23		5oalem5.6	. . . . . . . . . 10 |- G e. SH
24	22, 23	shseli 24741	. . . . . . . . 9 |- ( h e. ( F +H G ) <-> E. f e. F E. g e. G h = ( f +h g ) )
25		r2ex 2774	. . . . . . . . 9 |- ( E. f e. F E. g e. G h = ( f +h g ) <-> E. f E. g ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) )
26	24, 25	bitri 249	. . . . . . . 8 |- ( h e. ( F +H G ) <-> E. f E. g ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) )
27		5oalem5.7	. . . . . . . . . 10 |- R e. SH
28		5oalem5.8	. . . . . . . . . 10 |- S e. SH
29	27, 28	shseli 24741	. . . . . . . . 9 |- ( h e. ( R +H S ) <-> E. v e. R E. u e. S h = ( v +h u ) )
30		r2ex 2774	. . . . . . . . 9 |- ( E. v e. R E. u e. S h = ( v +h u ) <-> E. v E. u ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) )
31	29, 30	bitri 249	. . . . . . . 8 |- ( h e. ( R +H S ) <-> E. v E. u ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) )
32	26, 31	anbi12i 697	. . . . . . 7 |- ( ( h e. ( F +H G ) /\ h e. ( R +H S ) ) <-> ( E. f E. g ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ E. v E. u ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) )
33		elin 3560	. . . . . . 7 |- ( h e. ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) <-> ( h e. ( F +H G ) /\ h e. ( R +H S ) ) )
34		ee4anv 1934	. . . . . . 7 |- ( E. f E. g E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) <-> ( E. f E. g ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ E. v E. u ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) )
35	32, 33, 34	3bitr4ri 278	. . . . . 6 |- ( E. f E. g E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) <-> h e. ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) )
36	21, 35	anbi12i 697	. . . . 5 |- ( ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. f E. g E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) <-> ( h e. ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) /\ h e. ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) )
37	7, 36	bitr4i 252	. . . 4 |- ( h e. ( ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) i^i ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) <-> ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ E. f E. g E. v E. u ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
38	1, 6, 37	3bitr4ri 278	. . 3 |- ( h e. ( ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) i^i ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) <-> E. x E. y E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) )
39	8, 9, 13, 14, 22, 23, 27, 28	5oalem6 25084	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) -> h e. ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
40	39	exlimivv 1689	. . . . . 6 |- ( E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) -> h e. ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
41	40	exlimivv 1689	. . . . 5 |- ( E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) -> h e. ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
42	41	exlimivv 1689	. . . 4 |- ( E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) -> h e. ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
43	42	exlimivv 1689	. . 3 |- ( E. x E. y E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ h = ( x +h y ) ) /\ ( ( z e. C /\ w e. D ) /\ h = ( z +h w ) ) ) /\ ( ( ( f e. F /\ g e. G ) /\ h = ( f +h g ) ) /\ ( ( v e. R /\ u e. S ) /\ h = ( v +h u ) ) ) ) -> h e. ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
44	38, 43	sylbi 195	. 2 |- ( h e. ( ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) i^i ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) -> h e. ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
45	44	ssriv 3381	1 |- ( ( ( A +H B ) i^i ( C +H D ) ) i^i ( ( F +H G ) i^i ( R +H S ) ) ) C_ ( B +H ( A i^i ( C +H ( ( ( ( A +H C ) i^i ( B +H D ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) ) ) i^i ( ( ( ( A +H F ) i^i ( B +H G ) ) i^i ( ( ( A +H R ) i^i ( B +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) +H ( ( ( C +H F ) i^i ( D +H G ) ) i^i ( ( ( C +H R ) i^i ( D +H S ) ) +H ( ( F +H R ) i^i ( G +H S ) ) ) ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 369   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   E.wrex 2737   i^i cin 3348   C_ wss 3349  (class class class)co 6112   +h cva 24344   SHcsh 24352   +H cph 24355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-hilex 24423  ax-hfvadd 24424  ax-hvcom 24425  ax-hvass 24426  ax-hv0cl 24427  ax-hvaddid 24428  ax-hfvmul 24429  ax-hvmulid 24430  ax-hvmulass 24431  ax-hvdistr1 24432  ax-hvdistr2 24433  ax-hvmul0 24434

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-ltxr 9444  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-grpo 23700  df-ablo 23791  df-hvsub 24395  df-hlim 24396  df-sh 24631  df-ch 24646  df-shs 24733

This theorem is referenced by:  5oai  25086