HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem7 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 5oalem7 27313
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 4-May-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem5.1  |-  A  e.  SH
5oalem5.2  |-  B  e.  SH
5oalem5.3  |-  C  e.  SH
5oalem5.4  |-  D  e.  SH
5oalem5.5  |-  F  e.  SH
5oalem5.6  |-  G  e.  SH
5oalem5.7  |-  R  e.  SH
5oalem5.8  |-  S  e.  SH
Assertion
Ref Expression
5oalem7  |-  ( ( ( A  +H  B
)  i^i  ( C  +H  D ) )  i^i  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S ) ) )  C_  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem 5oalem7
Dummy variables  h  f  g  u  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ee4anv 2080 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. f E. g ( E. z E. w
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  <->  ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  (
x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  (
z  +h  w ) ) )  /\  E. f E. g E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) ) )
2 exrot4 1932 . . . . . 6  |-  ( E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  h  =  ( x  +h  y
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) )  <->  E. f E. g E. z E. w E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) ) )
3 ee4anv 2080 . . . . . . 7  |-  ( E. z E. w E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  <->  ( E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  h  =  ( x  +h  y
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) )  /\  E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) ) )
432exbii 1719 . . . . . 6  |-  ( E. f E. g E. z E. w E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  <->  E. f E. g ( E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  (
x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  (
z  +h  w ) ) )  /\  E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G
)  /\  h  =  ( f  +h  g
) )  /\  (
( v  e.  R  /\  u  e.  S
)  /\  h  =  ( v  +h  u
) ) ) ) )
52, 4bitri 253 . . . . 5  |-  ( E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  h  =  ( x  +h  y
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) )  <->  E. f E. g
( E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  (
x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  (
z  +h  w ) ) )  /\  E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G
)  /\  h  =  ( f  +h  g
) )  /\  (
( v  e.  R  /\  u  e.  S
)  /\  h  =  ( v  +h  u
) ) ) ) )
652exbii 1719 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  h  =  ( x  +h  y
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) )  <->  E. x E. y E. f E. g ( E. z E. w
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) ) )
7 elin 3617 . . . . 5  |-  ( h  e.  ( ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D ) )  i^i  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S ) ) )  <->  ( h  e.  ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D ) )  /\  h  e.  ( ( F  +H  G
)  i^i  ( R  +H  S ) ) ) )
8 5oalem5.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e.  SH
9 5oalem5.2 . . . . . . . . . 10  |-  B  e.  SH
108, 9shseli 26969 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  h  =  ( x  +h  y
) )
11 r2ex 2913 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  h  =  ( x  +h  y )  <->  E. x E. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) ) )
1210, 11bitri 253 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x E. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) ) )
13 5oalem5.3 . . . . . . . . . 10  |-  C  e.  SH
14 5oalem5.4 . . . . . . . . . 10  |-  D  e.  SH
1513, 14shseli 26969 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  ( C  +H  D )  <->  E. z  e.  C  E. w  e.  D  h  =  ( z  +h  w
) )
16 r2ex 2913 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  C  E. w  e.  D  h  =  ( z  +h  w )  <->  E. z E. w ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )
1715, 16bitri 253 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  ( C  +H  D )  <->  E. z E. w ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )
1812, 17anbi12i 703 . . . . . . 7  |-  ( ( h  e.  ( A  +H  B )  /\  h  e.  ( C  +H  D ) )  <->  ( E. x E. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  (
x  +h  y ) )  /\  E. z E. w ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) ) )
19 elin 3617 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D
) )  <->  ( h  e.  ( A  +H  B
)  /\  h  e.  ( C  +H  D
) ) )
20 ee4anv 2080 . . . . . . 7  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  <-> 
( E. x E. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  E. z E. w ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) ) )
2118, 19, 203bitr4ri 282 . . . . . 6  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  <-> 
h  e.  ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D ) ) )
22 5oalem5.5 . . . . . . . . . 10  |-  F  e.  SH
23 5oalem5.6 . . . . . . . . . 10  |-  G  e.  SH
2422, 23shseli 26969 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  ( F  +H  G )  <->  E. f  e.  F  E. g  e.  G  h  =  ( f  +h  g
) )
25 r2ex 2913 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  e.  F  E. g  e.  G  h  =  ( f  +h  g )  <->  E. f E. g ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) ) )
2624, 25bitri 253 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  ( F  +H  G )  <->  E. f E. g ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) ) )
27 5oalem5.7 . . . . . . . . . 10  |-  R  e.  SH
28 5oalem5.8 . . . . . . . . . 10  |-  S  e.  SH
2927, 28shseli 26969 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  ( R  +H  S )  <->  E. v  e.  R  E. u  e.  S  h  =  ( v  +h  u
) )
30 r2ex 2913 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v  e.  R  E. u  e.  S  h  =  ( v  +h  u )  <->  E. v E. u ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) )
3129, 30bitri 253 . . . . . . . 8  |-  ( h  e.  ( R  +H  S )  <->  E. v E. u ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) )
3226, 31anbi12i 703 . . . . . . 7  |-  ( ( h  e.  ( F  +H  G )  /\  h  e.  ( R  +H  S ) )  <->  ( E. f E. g ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  E. v E. u ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) )
33 elin 3617 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S
) )  <->  ( h  e.  ( F  +H  G
)  /\  h  e.  ( R  +H  S
) ) )
34 ee4anv 2080 . . . . . . 7  |-  ( E. f E. g E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) )  <-> 
( E. f E. g ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  E. v E. u ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S
)  /\  h  =  ( v  +h  u
) ) ) )
3532, 33, 343bitr4ri 282 . . . . . 6  |-  ( E. f E. g E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) )  <-> 
h  e.  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S ) ) )
3621, 35anbi12i 703 . . . . 5  |-  ( ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  E. f E. g E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  <->  ( h  e.  ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D ) )  /\  h  e.  ( ( F  +H  G
)  i^i  ( R  +H  S ) ) ) )
377, 36bitr4i 256 . . . 4  |-  ( h  e.  ( ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D ) )  i^i  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S ) ) )  <->  ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  (
x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  (
z  +h  w ) ) )  /\  E. f E. g E. v E. u ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) ) )
381, 6, 373bitr4ri 282 . . 3  |-  ( h  e.  ( ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D ) )  i^i  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S ) ) )  <->  E. x E. y E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  h  =  ( x  +h  y
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) ) )
398, 9, 13, 14, 22, 23, 27, 285oalem6 27312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
4039exlimivv 1778 . . . . . 6  |-  ( E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
4140exlimivv 1778 . . . . 5  |-  ( E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  h  =  ( x  +h  y ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  h  =  ( z  +h  w ) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  (
f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  (
v  +h  u ) ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
4241exlimivv 1778 . . . 4  |-  ( E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  h  =  ( x  +h  y
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
4342exlimivv 1778 . . 3  |-  ( E. x E. y E. z E. w E. f E. g E. v E. u ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  h  =  ( x  +h  y
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  h  =  ( z  +h  w
) ) )  /\  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  h  =  ( f  +h  g ) )  /\  ( ( v  e.  R  /\  u  e.  S )  /\  h  =  ( v  +h  u ) ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
4438, 43sylbi 199 . 2  |-  ( h  e.  ( ( ( A  +H  B )  i^i  ( C  +H  D ) )  i^i  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S ) ) )  ->  h  e.  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
4544ssriv 3436 1  |-  ( ( ( A  +H  B
)  i^i  ( C  +H  D ) )  i^i  ( ( F  +H  G )  i^i  ( R  +H  S ) ) )  C_  ( B  +H  ( A  i^i  ( C  +H  ( ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 371    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   E.wrex 2738    i^i cin 3403    C_ wss 3404  (class class class)co 6290    +h cva 26573   SHcsh 26581    +H cph 26584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-hilex 26652  ax-hfvadd 26653  ax-hvcom 26654  ax-hvass 26655  ax-hv0cl 26656  ax-hvaddid 26657  ax-hfvmul 26658  ax-hvmulid 26659  ax-hvmulass 26660  ax-hvdistr1 26661  ax-hvdistr2 26662  ax-hvmul0 26663
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-ltxr 9680  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-grpo 25919  df-ablo 26010  df-hvsub 26624  df-hlim 26625  df-sh 26860  df-ch 26874  df-shs 26961
This theorem is referenced by:  5oai  27314
  Copyright terms: Public domain W3C validator