Theorem 5oalem6 11239

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA.

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem5.1	|- A e. SH
5oalem5.2	|- B e. SH
5oalem5.3	|- C e. SH
5oalem5.4	|- D e. SH
5oalem5.5	|- F e. SH
5oalem5.6	|- G e. SH
5oalem5.7	|- R e. SH
5oalem5.8	|- S e. SH

Assertion

Ref

Expression

5oalem6

|- (((((x e. A /\ y e. B) /\ h = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. D) /\ h = (z +h w))) /\ (((f e. F /\ g e. G) /\ h = (f +h g)) /\ ((v e. R /\ u e. S) /\ h = (v +h u)))) -> h e. (B +H (A i^i (C +H ((((A +H C) i^i (B +H D)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((C +H R) i^i (D +H S)))) i^i ((((A +H F) i^i (B +H G)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))) +H (((C +H F) i^i (D +H G)) i^i (((C +H R) i^i (D +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S))))))))))

Proof of Theorem 5oalem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . . 12 |- (h = (x +h y) -> (h = (v +h u) <-> (x +h y) = (v +h u)))
2	1	biimpcd 172	. . . . . . . . . . 11 |- (h = (v +h u) -> (h = (x +h y) -> (x +h y) = (v +h u)))
3		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . . 12 |- (h = (z +h w) -> (h = (v +h u) <-> (z +h w) = (v +h u)))
4	3	biimpcd 172	. . . . . . . . . . 11 |- (h = (v +h u) -> (h = (z +h w) -> (z +h w) = (v +h u)))
5	2, 4	anim12d 617	. . . . . . . . . 10 |- (h = (v +h u) -> ((h = (x +h y) /\ h = (z +h w)) -> ((x +h y) = (v +h u) /\ (z +h w) = (v +h u))))
6		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . 11 |- (h = (f +h g) -> (h = (v +h u) <-> (f +h g) = (v +h u)))
7	6	biimpcd 172	. . . . . . . . . 10 |- (h = (v +h u) -> (h = (f +h g) -> (f +h g) = (v +h u)))
8	5, 7	anim12d 617	. . . . . . . . 9 |- (h = (v +h u) -> (((h = (x +h y) /\ h = (z +h w)) /\ h = (f +h g)) -> (((x +h y) = (v +h u) /\ (z +h w) = (v +h u)) /\ (f +h g) = (v +h u))))
9	8	exp3a 405	. . . . . . . 8 |- (h = (v +h u) -> ((h = (x +h y) /\ h = (z +h w)) -> (h = (f +h g) -> (((x +h y) = (v +h u) /\ (z +h w) = (v +h u)) /\ (f +h g) = (v +h u)))))
10	9	com3l 38	. . . . . . 7 |- ((h = (x +h y) /\ h = (z +h w)) -> (h = (f +h g) -> (h = (v +h u) -> (((x +h y) = (v +h u) /\ (z +h w) = (v +h u)) /\ (f +h g) = (v +h u)))))
11	10	imp32 390	. . . . . 6 |- (((h = (x +h y) /\ h = (z +h w)) /\ (h = (f +h g) /\ h = (v +h u))) -> (((x +h y) = (v +h u) /\ (z +h w) = (v +h u)) /\ (f +h g) = (v +h u)))
12	11	anim2i 362	. . . . 5 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ ((f e. F /\ g e. G) /\ (v e. R /\ u e. S))) /\ ((h = (x +h y) /\ h = (z +h w)) /\ (h = (f +h g) /\ h = (v +h u)))) -> ((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ ((f e. F /\ g e. G) /\ (v e. R /\ u e. S))) /\ (((x +h y) = (v +h u) /\ (z +h w) = (v +h u)) /\ (f +h g) = (v +h u))))
13	12	an4s 566	. . . 4 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (h = (x +h y) /\ h = (z +h w))) /\ (((f e. F /\ g e. G) /\ (v e. R /\ u e. S)) /\ (h = (f +h g) /\ h = (v +h u)))) -> ((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ ((f e. F /\ g e. G) /\ (v e. R /\ u e. S))) /\ (((x +h y) = (v +h u) /\ (z +h w) = (v +h u)) /\ (f +h g) = (v +h u))))
14		an4 564	. . . 4 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ h = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. D) /\ h = (z +h w))) <-> (((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ (h = (x +h y) /\ h = (z +h w))))
15		an4 564	. . . 4 |- ((((f e. F /\ g e. G) /\ h = (f +h g)) /\ ((v e. R /\ u e. S) /\ h = (v +h u))) <-> (((f e. F /\ g e. G) /\ (v e. R /\ u e. S)) /\ (h = (f +h g) /\ h = (v +h u))))
16	13, 14, 15	syl2anb 504	. . 3 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ h = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. D) /\ h = (z +h w))) /\ (((f e. F /\ g e. G) /\ h = (f +h g)) /\ ((v e. R /\ u e. S) /\ h = (v +h u)))) -> ((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ ((f e. F /\ g e. G) /\ (v e. R /\ u e. S))) /\ (((x +h y) = (v +h u) /\ (z +h w) = (v +h u)) /\ (f +h g) = (v +h u))))
17		5oalem5.1	. . . 4 |- A e. SH
18		5oalem5.2	. . . 4 |- B e. SH
19		5oalem5.3	. . . 4 |- C e. SH
20		5oalem5.4	. . . 4 |- D e. SH
21		5oalem5.5	. . . 4 |- F e. SH
22		5oalem5.6	. . . 4 |- G e. SH
23		5oalem5.7	. . . 4 |- R e. SH
24		5oalem5.8	. . . 4 |- S e. SH
25	17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24	5oalem5 11238	. . 3 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ (z e. C /\ w e. D)) /\ ((f e. F /\ g e. G) /\ (v e. R /\ u e. S))) /\ (((x +h y) = (v +h u) /\ (z +h w) = (v +h u)) /\ (f +h g) = (v +h u))) -> (x -h z) e. ((((A +H C) i^i (B +H D)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((C +H R) i^i (D +H S)))) i^i ((((A +H F) i^i (B +H G)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))) +H (((C +H F) i^i (D +H G)) i^i (((C +H R) i^i (D +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))))))
26	16, 25	syl 12	. 2 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ h = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. D) /\ h = (z +h w))) /\ (((f e. F /\ g e. G) /\ h = (f +h g)) /\ ((v e. R /\ u e. S) /\ h = (v +h u)))) -> (x -h z) e. ((((A +H C) i^i (B +H D)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((C +H R) i^i (D +H S)))) i^i ((((A +H F) i^i (B +H G)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))) +H (((C +H F) i^i (D +H G)) i^i (((C +H R) i^i (D +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))))))
27	17, 19	shscli 10914	. . . . . . . . . 10 |- (A +H C) e. SH
28	18, 20	shscli 10914	. . . . . . . . . 10 |- (B +H D) e. SH
29	27, 28	shincli 10964	. . . . . . . . 9 |- ((A +H C) i^i (B +H D)) e. SH
30	17, 23	shscli 10914	. . . . . . . . . . 11 |- (A +H R) e. SH
31	18, 24	shscli 10914	. . . . . . . . . . 11 |- (B +H S) e. SH
32	30, 31	shincli 10964	. . . . . . . . . 10 |- ((A +H R) i^i (B +H S)) e. SH
33	19, 23	shscli 10914	. . . . . . . . . . 11 |- (C +H R) e. SH
34	20, 24	shscli 10914	. . . . . . . . . . 11 |- (D +H S) e. SH
35	33, 34	shincli 10964	. . . . . . . . . 10 |- ((C +H R) i^i (D +H S)) e. SH
36	32, 35	shscli 10914	. . . . . . . . 9 |- (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((C +H R) i^i (D +H S))) e. SH
37	29, 36	shincli 10964	. . . . . . . 8 |- (((A +H C) i^i (B +H D)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((C +H R) i^i (D +H S)))) e. SH
38	17, 21	shscli 10914	. . . . . . . . . . 11 |- (A +H F) e. SH
39	18, 22	shscli 10914	. . . . . . . . . . 11 |- (B +H G) e. SH
40	38, 39	shincli 10964	. . . . . . . . . 10 |- ((A +H F) i^i (B +H G)) e. SH
41	21, 23	shscli 10914	. . . . . . . . . . . 12 |- (F +H R) e. SH
42	22, 24	shscli 10914	. . . . . . . . . . . 12 |- (G +H S) e. SH
43	41, 42	shincli 10964	. . . . . . . . . . 11 |- ((F +H R) i^i (G +H S)) e. SH
44	32, 43	shscli 10914	. . . . . . . . . 10 |- (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S))) e. SH
45	40, 44	shincli 10964	. . . . . . . . 9 |- (((A +H F) i^i (B +H G)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))) e. SH
46	19, 21	shscli 10914	. . . . . . . . . . 11 |- (C +H F) e. SH
47	20, 22	shscli 10914	. . . . . . . . . . 11 |- (D +H G) e. SH
48	46, 47	shincli 10964	. . . . . . . . . 10 |- ((C +H F) i^i (D +H G)) e. SH
49	35, 43	shscli 10914	. . . . . . . . . 10 |- (((C +H R) i^i (D +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S))) e. SH
50	48, 49	shincli 10964	. . . . . . . . 9 |- (((C +H F) i^i (D +H G)) i^i (((C +H R) i^i (D +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))) e. SH
51	45, 50	shscli 10914	. . . . . . . 8 |- ((((A +H F) i^i (B +H G)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))) +H (((C +H F) i^i (D +H G)) i^i (((C +H R) i^i (D +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S))))) e. SH
52	37, 51	shincli 10964	. . . . . . 7 |- ((((A +H C) i^i (B +H D)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((C +H R) i^i (D +H S)))) i^i ((((A +H F) i^i (B +H G)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))) +H (((C +H F) i^i (D +H G)) i^i (((C +H R) i^i (D +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))))) e. SH
53	17, 18, 19, 52	5oalem1 11234	. . . . . 6 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ h = (x +h y)) /\ (z e. C /\ (x -h z) e. ((((A +H C) i^i (B +H D)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((C +H R) i^i (D +H S)))) i^i ((((A +H F) i^i (B +H G)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))) +H (((C +H F) i^i (D +H G)) i^i (((C +H R) i^i (D +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))))))) -> h e. (B +H (A i^i (C +H ((((A +H C) i^i (B +H D)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((C +H R) i^i (D +H S)))) i^i ((((A +H F) i^i (B +H G)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))) +H (((C +H F) i^i (D +H G)) i^i (((C +H R) i^i (D +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S))))))))))
54	53	expr 418	. . . . 5 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ h = (x +h y)) /\ z e. C) -> ((x -h z) e. ((((A +H C) i^i (B +H D)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((C +H R) i^i (D +H S)))) i^i ((((A +H F) i^i (B +H G)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))) +H (((C +H F) i^i (D +H G)) i^i (((C +H R) i^i (D +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))))) -> h e. (B +H (A i^i (C +H ((((A +H C) i^i (B +H D)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((C +H R) i^i (D +H S)))) i^i ((((A +H F) i^i (B +H G)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))) +H (((C +H F) i^i (D +H G)) i^i (((C +H R) i^i (D +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))))))))))
55	54	adantrr 431	. . . 4 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ h = (x +h y)) /\ (z e. C /\ w e. D)) -> ((x -h z) e. ((((A +H C) i^i (B +H D)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((C +H R) i^i (D +H S)))) i^i ((((A +H F) i^i (B +H G)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))) +H (((C +H F) i^i (D +H G)) i^i (((C +H R) i^i (D +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))))) -> h e. (B +H (A i^i (C +H ((((A +H C) i^i (B +H D)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((C +H R) i^i (D +H S)))) i^i ((((A +H F) i^i (B +H G)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))) +H (((C +H F) i^i (D +H G)) i^i (((C +H R) i^i (D +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))))))))))
56	55	adantrr 431	. . 3 |- ((((x e. A /\ y e. B) /\ h = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. D) /\ h = (z +h w))) -> ((x -h z) e. ((((A +H C) i^i (B +H D)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((C +H R) i^i (D +H S)))) i^i ((((A +H F) i^i (B +H G)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))) +H (((C +H F) i^i (D +H G)) i^i (((C +H R) i^i (D +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))))) -> h e. (B +H (A i^i (C +H ((((A +H C) i^i (B +H D)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((C +H R) i^i (D +H S)))) i^i ((((A +H F) i^i (B +H G)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))) +H (((C +H F) i^i (D +H G)) i^i (((C +H R) i^i (D +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))))))))))
57	56	adantr 425	. 2 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ h = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. D) /\ h = (z +h w))) /\ (((f e. F /\ g e. G) /\ h = (f +h g)) /\ ((v e. R /\ u e. S) /\ h = (v +h u)))) -> ((x -h z) e. ((((A +H C) i^i (B +H D)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((C +H R) i^i (D +H S)))) i^i ((((A +H F) i^i (B +H G)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))) +H (((C +H F) i^i (D +H G)) i^i (((C +H R) i^i (D +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))))) -> h e. (B +H (A i^i (C +H ((((A +H C) i^i (B +H D)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((C +H R) i^i (D +H S)))) i^i ((((A +H F) i^i (B +H G)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))) +H (((C +H F) i^i (D +H G)) i^i (((C +H R) i^i (D +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))))))))))
58	26, 57	mpd 29	1 |- (((((x e. A /\ y e. B) /\ h = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. D) /\ h = (z +h w))) /\ (((f e. F /\ g e. G) /\ h = (f +h g)) /\ ((v e. R /\ u e. S) /\ h = (v +h u)))) -> h e. (B +H (A i^i (C +H ((((A +H C) i^i (B +H D)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((C +H R) i^i (D +H S)))) i^i ((((A +H F) i^i (B +H G)) i^i (((A +H R) i^i (B +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S)))) +H (((C +H F) i^i (D +H G)) i^i (((C +H R) i^i (D +H S)) +H ((F +H R) i^i (G +H S))))))))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   i^i cin 2592  (class class class)co 4884   +h cva 10421   -h cmv 10424  SHcsh 10429   +H cph 10432

This theorem is referenced by:  5oalem7 11240

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-hvsub 10472  df-sh 10709  df-shsum 10906

Copyright terms: Public domain