HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem5 Structured version   Unicode version

Theorem 5oalem5 26774
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-May-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem5.1  |-  A  e.  SH
5oalem5.2  |-  B  e.  SH
5oalem5.3  |-  C  e.  SH
5oalem5.4  |-  D  e.  SH
5oalem5.5  |-  F  e.  SH
5oalem5.6  |-  G  e.  SH
5oalem5.7  |-  R  e.  SH
5oalem5.8  |-  S  e.  SH
Assertion
Ref Expression
5oalem5  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) )  -> 
( x  -h  z
)  e.  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  (
( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G
) )  i^i  (
( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S
) ) ) )  +H  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem 5oalem5
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) )  -> 
( v  e.  R  /\  u  e.  S
) )
21anim2i 567 . . 3  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  -> 
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) ) )
3 simpl 455 . . 3  |-  ( ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) )  ->  (
( x  +h  y
)  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w
)  =  ( v  +h  u ) ) )
4 5oalem5.1 . . . 4  |-  A  e.  SH
5 5oalem5.2 . . . 4  |-  B  e.  SH
6 5oalem5.3 . . . 4  |-  C  e.  SH
7 5oalem5.4 . . . 4  |-  D  e.  SH
8 5oalem5.7 . . . 4  |-  R  e.  SH
9 5oalem5.8 . . . 4  |-  S  e.  SH
104, 5, 6, 7, 8, 95oalem4 26773 . . 3  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) )  /\  ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  (
x  -h  z )  e.  ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) ) )
112, 3, 10syl2an 475 . 2  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) )  -> 
( x  -h  z
)  e.  ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) ) )
124sheli 26329 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ~H )
1312adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  ~H )
146sheli 26329 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  C  ->  z  e.  ~H )
1514adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  ->  z  e.  ~H )
1613, 15anim12i 564 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ( z  e.  C  /\  w  e.  D ) )  -> 
( x  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )
)
17 5oalem5.5 . . . . . . . 8  |-  F  e.  SH
1817sheli 26329 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  F  ->  f  e.  ~H )
1918adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  ->  f  e.  ~H )
20 hvsubsub4 26175 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  f  e.  ~H )  /\  ( z  e.  ~H  /\  f  e.  ~H )
)  ->  ( (
x  -h  f )  -h  ( z  -h  f ) )  =  ( ( x  -h  z )  -h  (
f  -h  f ) ) )
2120anandirs 829 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  f  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  f )  -h  ( z  -h  f
) )  =  ( ( x  -h  z
)  -h  ( f  -h  f ) ) )
22 hvsubid 26141 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ~H  ->  (
f  -h  f )  =  0h )
2322oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ~H  ->  (
( x  -h  z
)  -h  ( f  -h  f ) )  =  ( ( x  -h  z )  -h 
0h ) )
24 hvsubcl 26132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( x  -h  z
)  e.  ~H )
25 hvsub0 26191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  -h  z )  e.  ~H  ->  (
( x  -h  z
)  -h  0h )  =  ( x  -h  z ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  z )  -h  0h )  =  ( x  -h  z ) )
2723, 26sylan9eqr 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  f  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  z )  -h  ( f  -h  f
) )  =  ( x  -h  z ) )
2821, 27eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  f  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  f )  -h  ( z  -h  f
) )  =  ( x  -h  z ) )
2916, 19, 28syl2an 475 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) )  -> 
( ( x  -h  f )  -h  (
z  -h  f ) )  =  ( x  -h  z ) )
3029adantrr 714 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  -> 
( ( x  -h  f )  -h  (
z  -h  f ) )  =  ( x  -h  z ) )
3130adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) )  -> 
( ( x  -h  f )  -h  (
z  -h  f ) )  =  ( x  -h  z ) )
32 simpl 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) )  -> 
( f  e.  F  /\  g  e.  G
) )
3332anim2i 567 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  -> 
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) ) )
34 anandir 827 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) )  <->  ( (
( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  (
f  e.  F  /\  g  e.  G )
) ) )
3533, 34sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  -> 
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  F  /\  g  e.  G )
)  /\  ( (
z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G
) ) ) )
36 simprr 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  -> 
( v  e.  R  /\  u  e.  S
) )
3735, 36jca 530 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  -> 
( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) ) )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) ) )
38 simpl 455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  +h  y
)  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w
)  =  ( v  +h  u ) )  ->  ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u ) )
3938anim1i 566 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) )  ->  (
( x  +h  y
)  =  ( v  +h  u )  /\  ( f  +h  g
)  =  ( v  +h  u ) ) )
40 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  +h  y
)  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w
)  =  ( v  +h  u ) )  ->  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )
4140anim1i 566 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) )  ->  (
( z  +h  w
)  =  ( v  +h  u )  /\  ( f  +h  g
)  =  ( v  +h  u ) ) )
4239, 41jca 530 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) )  ->  (
( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u )  /\  (
f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) ) ) )
43 anandir 827 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  F  /\  g  e.  G )
)  /\  ( (
z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G
) ) )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) )  <->  ( (
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  F  /\  g  e.  G )
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) )  /\  ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  (
f  e.  F  /\  g  e.  G )
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) ) ) )
44 5oalem5.6 . . . . . . . . 9  |-  G  e.  SH
454, 5, 17, 44, 8, 95oalem4 26773 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  F  /\  g  e.  G )
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) )  /\  ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  (
x  -h  f )  e.  ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) )
466, 7, 17, 44, 8, 95oalem4 26773 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  (
f  e.  F  /\  g  e.  G )
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) )  /\  ( ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  (
z  -h  f )  e.  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) )
4745, 46anim12i 564 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G
) )  /\  (
v  e.  R  /\  u  e.  S )
)  /\  ( (
x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  (
f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) ) )  /\  ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) )  /\  (
( z  +h  w
)  =  ( v  +h  u )  /\  ( f  +h  g
)  =  ( v  +h  u ) ) ) )  ->  (
( x  -h  f
)  e.  ( ( ( A  +H  F
)  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  /\  ( z  -h  f )  e.  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G
) )  i^i  (
( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S
) ) ) ) ) )
4847an4s 824 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G
) )  /\  (
v  e.  R  /\  u  e.  S )
)  /\  ( (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u )  /\  (
f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) ) ) )  ->  ( (
x  -h  f )  e.  ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  /\  ( z  -h  f )  e.  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G
) )  i^i  (
( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S
) ) ) ) ) )
4943, 48sylanb 470 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) ) )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u )  /\  (
f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) ) ) )  ->  ( (
x  -h  f )  e.  ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  /\  ( z  -h  f )  e.  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G
) )  i^i  (
( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S
) ) ) ) ) )
5037, 42, 49syl2an 475 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) )  -> 
( ( x  -h  f )  e.  ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  /\  (
z  -h  f )  e.  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) )
514, 17shscli 26433 . . . . . . 7  |-  ( A  +H  F )  e.  SH
525, 44shscli 26433 . . . . . . 7  |-  ( B  +H  G )  e.  SH
5351, 52shincli 26478 . . . . . 6  |-  ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  e.  SH
544, 8shscli 26433 . . . . . . . 8  |-  ( A  +H  R )  e.  SH
555, 9shscli 26433 . . . . . . . 8  |-  ( B  +H  S )  e.  SH
5654, 55shincli 26478 . . . . . . 7  |-  ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  e.  SH
5717, 8shscli 26433 . . . . . . . 8  |-  ( F  +H  R )  e.  SH
5844, 9shscli 26433 . . . . . . . 8  |-  ( G  +H  S )  e.  SH
5957, 58shincli 26478 . . . . . . 7  |-  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) )  e.  SH
6056, 59shscli 26433 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +H  R
)  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) )  e.  SH
6153, 60shincli 26478 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +H  F
)  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  e.  SH
626, 17shscli 26433 . . . . . . 7  |-  ( C  +H  F )  e.  SH
637, 44shscli 26433 . . . . . . 7  |-  ( D  +H  G )  e.  SH
6462, 63shincli 26478 . . . . . 6  |-  ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  e.  SH
656, 8shscli 26433 . . . . . . . 8  |-  ( C  +H  R )  e.  SH
667, 9shscli 26433 . . . . . . . 8  |-  ( D  +H  S )  e.  SH
6765, 66shincli 26478 . . . . . . 7  |-  ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  e.  SH
6867, 59shscli 26433 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) )  e.  SH
6964, 68shincli 26478 . . . . 5  |-  ( ( ( C  +H  F
)  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  e.  SH
7061, 69shsvsi 26483 . . . 4  |-  ( ( ( x  -h  f
)  e.  ( ( ( A  +H  F
)  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  /\  ( z  -h  f )  e.  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G
) )  i^i  (
( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S
) ) ) ) )  ->  ( (
x  -h  f )  -h  ( z  -h  f ) )  e.  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  ( ( ( C  +H  F
)  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) )
7150, 70syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) )  -> 
( ( x  -h  f )  -h  (
z  -h  f ) )  e.  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) )
7231, 71eqeltrrd 2543 . 2  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) )  -> 
( x  -h  z
)  e.  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) )
7311, 72elind 3674 1  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) )  -> 
( x  -h  z
)  e.  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  (
( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G
) )  i^i  (
( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S
) ) ) )  +H  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    i^i cin 3460  (class class class)co 6270   ~Hchil 26034    +h cva 26035   0hc0v 26039    -h cmv 26040   SHcsh 26043    +H cph 26046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-hilex 26114  ax-hfvadd 26115  ax-hvcom 26116  ax-hvass 26117  ax-hv0cl 26118  ax-hvaddid 26119  ax-hfvmul 26120  ax-hvmulid 26121  ax-hvmulass 26122  ax-hvdistr1 26123  ax-hvdistr2 26124  ax-hvmul0 26125
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-grpo 25391  df-ablo 25482  df-hvsub 26086  df-hlim 26087  df-sh 26322  df-ch 26337  df-shs 26424
This theorem is referenced by:  5oalem6  26775
  Copyright terms: Public domain W3C validator