HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem5 Structured version   Unicode version

Theorem 5oalem5 25208
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-May-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem5.1  |-  A  e.  SH
5oalem5.2  |-  B  e.  SH
5oalem5.3  |-  C  e.  SH
5oalem5.4  |-  D  e.  SH
5oalem5.5  |-  F  e.  SH
5oalem5.6  |-  G  e.  SH
5oalem5.7  |-  R  e.  SH
5oalem5.8  |-  S  e.  SH
Assertion
Ref Expression
5oalem5  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) )  -> 
( x  -h  z
)  e.  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  (
( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G
) )  i^i  (
( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S
) ) ) )  +H  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem 5oalem5
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) )  -> 
( v  e.  R  /\  u  e.  S
) )
21anim2i 569 . . 3  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  -> 
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) ) )
3 simpl 457 . . 3  |-  ( ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) )  ->  (
( x  +h  y
)  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w
)  =  ( v  +h  u ) ) )
4 5oalem5.1 . . . 4  |-  A  e.  SH
5 5oalem5.2 . . . 4  |-  B  e.  SH
6 5oalem5.3 . . . 4  |-  C  e.  SH
7 5oalem5.4 . . . 4  |-  D  e.  SH
8 5oalem5.7 . . . 4  |-  R  e.  SH
9 5oalem5.8 . . . 4  |-  S  e.  SH
104, 5, 6, 7, 8, 95oalem4 25207 . . 3  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) )  /\  ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  (
x  -h  z )  e.  ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) ) )
112, 3, 10syl2an 477 . 2  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) )  -> 
( x  -h  z
)  e.  ( ( ( A  +H  C
)  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) ) ) ) )
124sheli 24763 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ~H )
1312adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  ~H )
146sheli 24763 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  C  ->  z  e.  ~H )
1514adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  ->  z  e.  ~H )
1613, 15anim12i 566 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ( z  e.  C  /\  w  e.  D ) )  -> 
( x  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )
)
17 5oalem5.5 . . . . . . . 8  |-  F  e.  SH
1817sheli 24763 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  F  ->  f  e.  ~H )
1918adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G )  ->  f  e.  ~H )
20 hvsubsub4 24609 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  f  e.  ~H )  /\  ( z  e.  ~H  /\  f  e.  ~H )
)  ->  ( (
x  -h  f )  -h  ( z  -h  f ) )  =  ( ( x  -h  z )  -h  (
f  -h  f ) ) )
2120anandirs 827 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  f  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  f )  -h  ( z  -h  f
) )  =  ( ( x  -h  z
)  -h  ( f  -h  f ) ) )
22 hvsubid 24575 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ~H  ->  (
f  -h  f )  =  0h )
2322oveq2d 6211 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ~H  ->  (
( x  -h  z
)  -h  ( f  -h  f ) )  =  ( ( x  -h  z )  -h 
0h ) )
24 hvsubcl 24566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( x  -h  z
)  e.  ~H )
25 hvsub0 24625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  -h  z )  e.  ~H  ->  (
( x  -h  z
)  -h  0h )  =  ( x  -h  z ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  z )  -h  0h )  =  ( x  -h  z ) )
2723, 26sylan9eqr 2515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  f  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  z )  -h  ( f  -h  f
) )  =  ( x  -h  z ) )
2821, 27eqtrd 2493 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  f  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  f )  -h  ( z  -h  f
) )  =  ( x  -h  z ) )
2916, 19, 28syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) )  -> 
( ( x  -h  f )  -h  (
z  -h  f ) )  =  ( x  -h  z ) )
3029adantrr 716 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  -> 
( ( x  -h  f )  -h  (
z  -h  f ) )  =  ( x  -h  z ) )
3130adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) )  -> 
( ( x  -h  f )  -h  (
z  -h  f ) )  =  ( x  -h  z ) )
32 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  F  /\  g  e.  G
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) )  -> 
( f  e.  F  /\  g  e.  G
) )
3332anim2i 569 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  -> 
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) ) )
34 anandir 825 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) )  <->  ( (
( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) )  /\  ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  (
f  e.  F  /\  g  e.  G )
) ) )
3533, 34sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  -> 
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  F  /\  g  e.  G )
)  /\  ( (
z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G
) ) ) )
36 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  -> 
( v  e.  R  /\  u  e.  S
) )
3735, 36jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  -> 
( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) ) )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) ) )
38 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  +h  y
)  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w
)  =  ( v  +h  u ) )  ->  ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u ) )
3938anim1i 568 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) )  ->  (
( x  +h  y
)  =  ( v  +h  u )  /\  ( f  +h  g
)  =  ( v  +h  u ) ) )
40 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  +h  y
)  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w
)  =  ( v  +h  u ) )  ->  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )
4140anim1i 568 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) )  ->  (
( z  +h  w
)  =  ( v  +h  u )  /\  ( f  +h  g
)  =  ( v  +h  u ) ) )
4239, 41jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) )  ->  (
( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u )  /\  (
f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) ) ) )
43 anandir 825 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  F  /\  g  e.  G )
)  /\  ( (
z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G
) ) )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) )  <->  ( (
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  F  /\  g  e.  G )
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) )  /\  ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  (
f  e.  F  /\  g  e.  G )
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) ) ) )
44 5oalem5.6 . . . . . . . . 9  |-  G  e.  SH
454, 5, 17, 44, 8, 95oalem4 25207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
f  e.  F  /\  g  e.  G )
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) )  /\  ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  (
x  -h  f )  e.  ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) )
466, 7, 17, 44, 8, 95oalem4 25207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D )  /\  (
f  e.  F  /\  g  e.  G )
)  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) )  /\  ( ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  (
z  -h  f )  e.  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) )
4745, 46anim12i 566 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G
) )  /\  (
v  e.  R  /\  u  e.  S )
)  /\  ( (
x  +h  y )  =  ( v  +h  u )  /\  (
f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) ) )  /\  ( ( ( ( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) )  /\  (
( z  +h  w
)  =  ( v  +h  u )  /\  ( f  +h  g
)  =  ( v  +h  u ) ) ) )  ->  (
( x  -h  f
)  e.  ( ( ( A  +H  F
)  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  /\  ( z  -h  f )  e.  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G
) )  i^i  (
( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S
) ) ) ) ) )
4847an4s 822 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G
) )  /\  (
v  e.  R  /\  u  e.  S )
)  /\  ( (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u )  /\  (
f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) ) ) )  ->  ( (
x  -h  f )  e.  ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  /\  ( z  -h  f )  e.  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G
) )  i^i  (
( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S
) ) ) ) ) )
4943, 48sylanb 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G
) )  /\  (
( z  e.  C  /\  w  e.  D
)  /\  ( f  e.  F  /\  g  e.  G ) ) )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u )  /\  (
f  +h  g )  =  ( v  +h  u ) ) ) )  ->  ( (
x  -h  f )  e.  ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  /\  ( z  -h  f )  e.  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G
) )  i^i  (
( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S
) ) ) ) ) )
5037, 42, 49syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) )  -> 
( ( x  -h  f )  e.  ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  /\  (
z  -h  f )  e.  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) )
514, 17shscli 24867 . . . . . . 7  |-  ( A  +H  F )  e.  SH
525, 44shscli 24867 . . . . . . 7  |-  ( B  +H  G )  e.  SH
5351, 52shincli 24912 . . . . . 6  |-  ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  e.  SH
544, 8shscli 24867 . . . . . . . 8  |-  ( A  +H  R )  e.  SH
555, 9shscli 24867 . . . . . . . 8  |-  ( B  +H  S )  e.  SH
5654, 55shincli 24912 . . . . . . 7  |-  ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  e.  SH
5717, 8shscli 24867 . . . . . . . 8  |-  ( F  +H  R )  e.  SH
5844, 9shscli 24867 . . . . . . . 8  |-  ( G  +H  S )  e.  SH
5957, 58shincli 24912 . . . . . . 7  |-  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) )  e.  SH
6056, 59shscli 24867 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +H  R
)  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) )  e.  SH
6153, 60shincli 24912 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +H  F
)  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  e.  SH
626, 17shscli 24867 . . . . . . 7  |-  ( C  +H  F )  e.  SH
637, 44shscli 24867 . . . . . . 7  |-  ( D  +H  G )  e.  SH
6462, 63shincli 24912 . . . . . 6  |-  ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  e.  SH
656, 8shscli 24867 . . . . . . . 8  |-  ( C  +H  R )  e.  SH
667, 9shscli 24867 . . . . . . . 8  |-  ( D  +H  S )  e.  SH
6765, 66shincli 24912 . . . . . . 7  |-  ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  e.  SH
6867, 59shscli 24867 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  +H  R
)  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) )  e.  SH
6964, 68shincli 24912 . . . . 5  |-  ( ( ( C  +H  F
)  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  e.  SH
7061, 69shsvsi 24917 . . . 4  |-  ( ( ( x  -h  f
)  e.  ( ( ( A  +H  F
)  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  /\  ( z  -h  f )  e.  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G
) )  i^i  (
( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S
) ) ) ) )  ->  ( (
x  -h  f )  -h  ( z  -h  f ) )  e.  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  ( ( ( C  +H  F
)  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) )
7150, 70syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) )  -> 
( ( x  -h  f )  -h  (
z  -h  f ) )  e.  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) )
7231, 71eqeltrrd 2541 . 2  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) )  -> 
( x  -h  z
)  e.  ( ( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) )  +H  (
( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) )
7311, 72elind 3643 1  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  (
z  e.  C  /\  w  e.  D )
)  /\  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  G )  /\  ( v  e.  R  /\  u  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( x  +h  y )  =  ( v  +h  u
)  /\  ( z  +h  w )  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( f  +h  g )  =  ( v  +h  u
) ) )  -> 
( x  -h  z
)  e.  ( ( ( ( A  +H  C )  i^i  ( B  +H  D ) )  i^i  ( ( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S ) ) ) )  i^i  (
( ( ( A  +H  F )  i^i  ( B  +H  G
) )  i^i  (
( ( A  +H  R )  i^i  ( B  +H  S ) )  +H  ( ( F  +H  R )  i^i  ( G  +H  S
) ) ) )  +H  ( ( ( C  +H  F )  i^i  ( D  +H  G ) )  i^i  ( ( ( C  +H  R )  i^i  ( D  +H  S
) )  +H  (
( F  +H  R
)  i^i  ( G  +H  S ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    i^i cin 3430  (class class class)co 6195   ~Hchil 24468    +h cva 24469   0hc0v 24473    -h cmv 24474   SHcsh 24477    +H cph 24480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-hilex 24548  ax-hfvadd 24549  ax-hvcom 24550  ax-hvass 24551  ax-hv0cl 24552  ax-hvaddid 24553  ax-hfvmul 24554  ax-hvmulid 24555  ax-hvmulass 24556  ax-hvdistr1 24557  ax-hvdistr2 24558  ax-hvmul0 24559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-ltxr 9529  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-grpo 23825  df-ablo 23916  df-hvsub 24520  df-hlim 24521  df-sh 24756  df-ch 24771  df-shs 24858
This theorem is referenced by:  5oalem6  25209
  Copyright terms: Public domain W3C validator