MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem9 Structured version   Unicode version

Theorem 4sqlem9 14336
Description: Lemma for 4sq 14354. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sqlem5.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4sqlem5.4  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sqlem9.5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B ^ 2 )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
4sqlem9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( A ^ 2 ) )

Proof of Theorem 4sqlem9
StepHypRef Expression
1 4sqlem9.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B ^ 2 )  =  0 )
2 4sqlem5.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
3 4sqlem5.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
52, 3, 44sqlem5 14332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ ) )
65simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
76zcnd 10970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
8 sqeq0 12206 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( B ^ 2 )  =  0  <->  B  =  0 ) )
97, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  =  0  <-> 
B  =  0 ) )
109biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B ^ 2 )  =  0 )  ->  B  =  0 )
111, 10syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  =  0 )
1211oveq2d 6293 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  -  B
)  =  ( A  -  0 ) )
132adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  ZZ )
1413zcnd 10970 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  CC )
1514subid1d 9920 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  -  0 )  =  A )
1612, 15eqtrd 2482 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  -  B
)  =  A )
1716oveq1d 6292 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  -  B )  /  M
)  =  ( A  /  M ) )
185simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ )
1918adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ )
2017, 19eqeltrrd 2530 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  /  M
)  e.  ZZ )
213nnzd 10968 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
223nnne0d 10581 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
23 dvdsval2 13861 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  A  <->  ( A  /  M )  e.  ZZ ) )
2421, 22, 2, 23syl3anc 1227 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  ||  A  <->  ( A  /  M )  e.  ZZ ) )
2524adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  ||  A  <->  ( A  /  M )  e.  ZZ ) )
2620, 25mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  ||  A )
2721adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  ZZ )
28 dvdssq 14070 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  A  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( A ^
2 ) ) )
2927, 13, 28syl2anc 661 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  ||  A  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( A ^
2 ) ) )
3026, 29mpbid 210 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( A ^ 2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   class class class wbr 4433  (class class class)co 6277   CCcc 9488   0cc0 9490    + caddc 9493    - cmin 9805    / cdiv 10207   NNcn 10537   2c2 10586   ZZcz 10865    mod cmo 11970   ^cexp 12140    || cdvds 13858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-sup 7899  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-rp 11225  df-fl 11903  df-mod 11971  df-seq 12082  df-exp 12141  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-dvds 13859  df-gcd 14017
This theorem is referenced by:  4sqlem16  14350  2sqlem8a  23511
  Copyright terms: Public domain W3C validator