MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem9 Structured version   Unicode version

Theorem 4sqlem9 14312
Description: Lemma for 4sq 14330. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sqlem5.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4sqlem5.4  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sqlem9.5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B ^ 2 )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
4sqlem9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( A ^ 2 ) )

Proof of Theorem 4sqlem9
StepHypRef Expression
1 4sqlem9.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B ^ 2 )  =  0 )
2 4sqlem5.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
3 4sqlem5.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
52, 3, 44sqlem5 14308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ ) )
65simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
76zcnd 10956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
8 sqeq0 12187 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( B ^ 2 )  =  0  <->  B  =  0 ) )
97, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  =  0  <-> 
B  =  0 ) )
109biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B ^ 2 )  =  0 )  ->  B  =  0 )
111, 10syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  =  0 )
1211oveq2d 6291 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  -  B
)  =  ( A  -  0 ) )
132adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  ZZ )
1413zcnd 10956 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  CC )
1514subid1d 9908 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  -  0 )  =  A )
1612, 15eqtrd 2501 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  -  B
)  =  A )
1716oveq1d 6290 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  -  B )  /  M
)  =  ( A  /  M ) )
185simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ )
1918adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ )
2017, 19eqeltrrd 2549 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  /  M
)  e.  ZZ )
213nnzd 10954 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
223nnne0d 10569 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
23 dvdsval2 13839 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  A  <->  ( A  /  M )  e.  ZZ ) )
2421, 22, 2, 23syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  ||  A  <->  ( A  /  M )  e.  ZZ ) )
2524adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  ||  A  <->  ( A  /  M )  e.  ZZ ) )
2620, 25mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  ||  A )
2721adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  ZZ )
28 dvdssq 14046 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  A  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( A ^
2 ) ) )
2927, 13, 28syl2anc 661 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  ||  A  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( A ^
2 ) ) )
3026, 29mpbid 210 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( A ^ 2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   CCcc 9479   0cc0 9481    + caddc 9484    - cmin 9794    / cdiv 10195   NNcn 10525   2c2 10574   ZZcz 10853    mod cmo 11952   ^cexp 12122    || cdivides 13836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-dvds 13837  df-gcd 13993
This theorem is referenced by:  4sqlem16  14326  2sqlem8a  23367
  Copyright terms: Public domain W3C validator