MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem9 Structured version   Unicode version

Theorem 4sqlem9 13999
Description: Lemma for 4sq 14017. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sqlem5.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4sqlem5.4  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sqlem9.5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B ^ 2 )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
4sqlem9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( A ^ 2 ) )

Proof of Theorem 4sqlem9
StepHypRef Expression
1 4sqlem9.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B ^ 2 )  =  0 )
2 4sqlem5.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
3 4sqlem5.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
52, 3, 44sqlem5 13995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ ) )
65simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
76zcnd 10740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
8 sqeq0 11922 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( B ^ 2 )  =  0  <->  B  =  0 ) )
97, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  =  0  <-> 
B  =  0 ) )
109biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B ^ 2 )  =  0 )  ->  B  =  0 )
111, 10syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  =  0 )
1211oveq2d 6102 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  -  B
)  =  ( A  -  0 ) )
132adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  ZZ )
1413zcnd 10740 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  CC )
1514subid1d 9700 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  -  0 )  =  A )
1612, 15eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  -  B
)  =  A )
1716oveq1d 6101 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  -  B )  /  M
)  =  ( A  /  M ) )
185simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ )
1918adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ )
2017, 19eqeltrrd 2513 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  /  M
)  e.  ZZ )
213nnzd 10738 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
223nnne0d 10358 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
23 dvdsval2 13530 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  A  <->  ( A  /  M )  e.  ZZ ) )
2421, 22, 2, 23syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  ||  A  <->  ( A  /  M )  e.  ZZ ) )
2524adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  ||  A  <->  ( A  /  M )  e.  ZZ ) )
2620, 25mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  ||  A )
2721adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  ZZ )
28 dvdssq 13736 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  A  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( A ^
2 ) ) )
2927, 13, 28syl2anc 661 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  ||  A  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( A ^
2 ) ) )
3026, 29mpbid 210 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( A ^ 2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274    + caddc 9277    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   ZZcz 10638    mod cmo 11700   ^cexp 11857    || cdivides 13527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-dvds 13528  df-gcd 13683
This theorem is referenced by:  4sqlem16  14013  2sqlem8a  22690
  Copyright terms: Public domain W3C validator