MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem8 Structured version   Unicode version

Theorem 4sqlem8 14339
Description: Lemma for 4sq 14358. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sqlem5.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4sqlem5.4  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem8  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( B ^
2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem8
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 4sqlem5.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 4sqlem5.4 . . . . 5  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
41, 2, 34sqlem5 14336 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ ) )
54simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ )
62nnzd 10977 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
72nnne0d 10592 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
84simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
91, 8zsubcld 10983 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
10 dvdsval2 13867 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  ( A  -  B )  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  ( A  -  B )  <->  ( ( A  -  B )  /  M )  e.  ZZ ) )
116, 7, 9, 10syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  ||  ( A  -  B )  <->  ( ( A  -  B
)  /  M )  e.  ZZ ) )
125, 11mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  M  ||  ( A  -  B ) )
131, 8zaddcld 10982 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  ZZ )
14 dvdsmul2 13884 . . . 4  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A  +  B
)  x.  ( A  -  B ) ) )
1513, 9, 14syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  ||  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B
) ) )
161zcnd 10979 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
178zcnd 10979 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
18 subsq 12255 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B
) ) )
1916, 17, 18syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  +  B )  x.  ( A  -  B
) ) )
2015, 19breqtrrd 4479 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )
21 zsqcl 12218 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
221, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
23 zsqcl 12218 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
248, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
2522, 24zsubcld 10983 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  e.  ZZ )
26 dvdstr 13895 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  -  B
)  e.  ZZ  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( M  ||  ( A  -  B
)  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( A ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) ) )
276, 9, 25, 26syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( A  -  B
)  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( A ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) ) )
2812, 20, 27mp2and 679 1  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( B ^
2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504    + caddc 9507    x. cmul 9509    - cmin 9817    / cdiv 10218   NNcn 10548   2c2 10597   ZZcz 10876    mod cmo 11976   ^cexp 12146    || cdivides 13864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-dvds 13865
This theorem is referenced by:  4sqlem14  14352  2sqlem8  23513
  Copyright terms: Public domain W3C validator