MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem7 Structured version   Unicode version

Theorem 4sqlem7 14487
Description: Lemma for 4sq 14507. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sqlem5.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4sqlem5.4  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem7  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )

Proof of Theorem 4sqlem7
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 4sqlem5.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 4sqlem5.4 . . . . . . 7  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
41, 2, 34sqlem5 14485 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ ) )
54simpld 457 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
65zred 10906 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
72nnrpd 11197 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  RR+ )
87rphalfcld 11211 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  e.  RR+ )
98rpred 11199 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  e.  RR )
101, 2, 34sqlem6 14486 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  2 )  <_  B  /\  B  <  ( M  /  2 ) ) )
1110simprd 461 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  <  ( M  /  2 ) )
126, 9, 11ltled 9666 . . 3  |-  ( ph  ->  B  <_  ( M  /  2 ) )
1310simpld 457 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( M  / 
2 )  <_  B
)
149, 6, 13lenegcon1d 10073 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u B  <_  ( M  /  2 ) )
158rpge0d 11203 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( M  /  2 ) )
16 lenegsq 13178 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( M  /  2
)  e.  RR  /\  0  <_  ( M  / 
2 ) )  -> 
( ( B  <_ 
( M  /  2
)  /\  -u B  <_ 
( M  /  2
) )  <->  ( B ^ 2 )  <_ 
( ( M  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
176, 9, 15, 16syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  <_ 
( M  /  2
)  /\  -u B  <_ 
( M  /  2
) )  <->  ( B ^ 2 )  <_ 
( ( M  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
1812, 14, 17mpbi2and 919 . 2  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  <_  ( ( M  /  2 ) ^
2 ) )
19 2cnd 10547 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
2019sqvald 12232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ 2 )  =  ( 2  x.  2 ) )
2120oveq2d 6234 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
222nncnd 10490 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
23 2ne0 10567 . . . . 5  |-  2  =/=  0
2423a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
2522, 19, 24sqdivd 12248 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) ) )
2622sqcld 12233 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  CC )
2726, 19, 19, 24, 24divdiv1d 10290 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
2821, 25, 273eqtr4d 2447 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
2918, 28breqtrd 4408 1  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2591   class class class wbr 4384  (class class class)co 6218   RRcr 9424   0cc0 9425    + caddc 9428    x. cmul 9430    < clt 9561    <_ cle 9562    - cmin 9740   -ucneg 9741    / cdiv 10145   NNcn 10474   2c2 10524   ZZcz 10803    mod cmo 11919   ^cexp 12092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-pre-sup 9503
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-er 7251  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-sup 7838  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-rp 11162  df-fl 11851  df-mod 11920  df-seq 12034  df-exp 12093  df-cj 12957  df-re 12958  df-im 12959  df-sqrt 13093  df-abs 13094
This theorem is referenced by:  4sqlem15  14502  4sqlem16  14503  2sqlem8  23787
  Copyright terms: Public domain W3C validator