MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem6 Structured version   Unicode version

Theorem 4sqlem6 14316
Description: Lemma for 4sq 14337. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sqlem5.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4sqlem5.4  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem6  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  2 )  <_  B  /\  B  <  ( M  /  2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem6
StepHypRef Expression
1 0red 9593 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2 4sqlem5.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
32zred 10962 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 4sqlem5.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
54nnred 10547 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
65rehalfcld 10781 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  e.  RR )
73, 6readdcld 9619 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  RR )
84nnrpd 11251 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR+ )
97, 8modcld 11966 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  e.  RR )
10 modge0 11969 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  RR  /\  M  e.  RR+ )  -> 
0  <_  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M ) )
117, 8, 10syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M ) )
121, 9, 6, 11lesub1dd 10164 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  -  ( M  /  2 ) )  <_  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  /  2
) ) )
13 df-neg 9804 . . 3  |-  -u ( M  /  2 )  =  ( 0  -  ( M  /  2 ) )
14 4sqlem5.4 . . 3  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
1512, 13, 143brtr4g 4479 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( M  / 
2 )  <_  B
)
16 modlt 11970 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  RR  /\  M  e.  RR+ )  -> 
( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  <  M )
177, 8, 16syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  <  M )
184nncnd 10548 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
19182halvesd 10780 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
2 )  +  ( M  /  2 ) )  =  M )
2017, 19breqtrrd 4473 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  <  ( ( M  /  2 )  +  ( M  /  2
) ) )
219, 6, 6ltsubaddd 10144 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  /  2
) )  <  ( M  /  2 )  <->  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  < 
( ( M  / 
2 )  +  ( M  /  2 ) ) ) )
2220, 21mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )  <  ( M  / 
2 ) )
2314, 22syl5eqbr 4480 . 2  |-  ( ph  ->  B  <  ( M  /  2 ) )
2415, 23jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  2 )  <_  B  /\  B  <  ( M  /  2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488    + caddc 9491    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   -ucneg 9802    / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   ZZcz 10860   RR+crp 11216    mod cmo 11960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fl 11893  df-mod 11961
This theorem is referenced by:  4sqlem7  14317  4sqlem10  14320
  Copyright terms: Public domain W3C validator