MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem5 Unicode version

Theorem 4sqlem5 13265
Description: Lemma for 4sq 13287. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sqlem5.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4sqlem5.4  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem5  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem 4sqlem5
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
21zcnd 10332 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 4sqlem5.4 . . . . 5  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
41zred 10331 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5 4sqlem5.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
65nnred 9971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
76rehalfcld 10170 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  e.  RR )
84, 7readdcld 9071 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  RR )
95nnrpd 10603 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR+ )
108, 9modcld 11209 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  e.  RR )
1110recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  e.  CC )
127recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  /  2
)  e.  CC )
1311, 12subcld 9367 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )  e.  CC )
143, 13syl5eqel 2488 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
152, 14nncand 9372 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  -  ( A  -  B )
)  =  B )
162, 14subcld 9367 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
176recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
185nnne0d 10000 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
1916, 17, 18divcan1d 9747 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  B )  /  M )  x.  M
)  =  ( A  -  B ) )
203oveq2i 6051 . . . . . . . . 9  |-  ( A  -  B )  =  ( A  -  (
( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  -  ( M  /  2 ) ) )
212, 11, 12subsub3d 9397 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  -  (
( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  -  ( M  /  2 ) ) )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  -  ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M ) ) )
2220, 21syl5eq 2448 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  -  ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M ) ) )
2322oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  M
)  =  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  -  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  mod  M ) )  /  M ) )
24 moddifz 11215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  RR  /\  M  e.  RR+ )  -> 
( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  -  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
) )  /  M
)  e.  ZZ )
258, 9, 24syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  -  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
) )  /  M
)  e.  ZZ )
2623, 25eqeltrd 2478 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ )
275nnzd 10330 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2826, 27zmulcld 10337 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  B )  /  M )  x.  M
)  e.  ZZ )
2919, 28eqeltrrd 2479 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
301, 29zsubcld 10336 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  -  ( A  -  B )
)  e.  ZZ )
3115, 30eqeltrrd 2479 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
3231, 26jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   ZZcz 10238   RR+crp 10568    mod cmo 11205
This theorem is referenced by:  4sqlem7  13267  4sqlem8  13268  4sqlem9  13269  4sqlem10  13270  4sqlem14  13281  4sqlem15  13282  4sqlem16  13283  4sqlem17  13284  2sqlem8a  21108  2sqlem8  21109
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fl 11157  df-mod 11206
  Copyright terms: Public domain W3C validator