MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem4a Structured version   Unicode version

Theorem 4sqlem4a 14553
Description: Lemma for 4sqlem4 14554. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
4sqlem4a  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  e.  S
)
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    B, n    A, n    S, n
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, w)    B( x, y, z, w)    S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem4a
StepHypRef Expression
1 gzcn 14534 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  A  e.  CC )
21absvalsq2d 13356 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  =  ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) ) )
3 gzcn 14534 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ[_i]  ->  B  e.  CC )
43absvalsq2d 13356 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ[_i]  ->  ( ( abs `  B ) ^
2 )  =  ( ( ( Re `  B ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  B ) ^ 2 ) ) )
52, 4oveqan12d 6289 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Re
`  A ) ^
2 )  +  ( ( Im `  A
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( Re `  B
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  B ) ^
2 ) ) ) )
6 elgz 14533 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  <->  ( A  e.  CC  /\  ( Re
`  A )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  A )  e.  ZZ ) )
76simp2bi 1010 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( Re `  A )  e.  ZZ )
86simp3bi 1011 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( Im `  A )  e.  ZZ )
97, 8jca 530 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ[_i]  ->  ( (
Re `  A )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  A )  e.  ZZ ) )
10 elgz 14533 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ[_i]  <->  ( B  e.  CC  /\  ( Re
`  B )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  B )  e.  ZZ ) )
1110simp2bi 1010 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ[_i]  ->  ( Re `  B )  e.  ZZ )
1210simp3bi 1011 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ[_i]  ->  ( Im `  B )  e.  ZZ )
1311, 12jca 530 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ[_i]  ->  ( (
Re `  B )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  B )  e.  ZZ ) )
14 4sq.1 . . . 4  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
15144sqlem3 14552 . . 3  |-  ( ( ( ( Re `  A )  e.  ZZ  /\  ( Im `  A
)  e.  ZZ )  /\  ( ( Re
`  B )  e.  ZZ  /\  ( Im
`  B )  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( Re `  B ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  B ) ^ 2 ) ) )  e.  S )
169, 13, 15syl2an 475 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( (
( ( Re `  A ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  A ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( Re `  B ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  B ) ^ 2 ) ) )  e.  S )
175, 16eqeltrd 2542 1  |-  ( ( A  e.  ZZ[_i]  /\  B  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  e.  S
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   {cab 2439   E.wrex 2805   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479    + caddc 9484   2c2 10581   ZZcz 10860   ^cexp 12148   Recre 13012   Imcim 13013   abscabs 13149   ZZ[_i]cgz 14531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-gz 14532
This theorem is referenced by:  4sqlem4  14554  mul4sqlem  14555  4sqlem13  14559  4sqlem19  14565
  Copyright terms: Public domain W3C validator