MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem4 Structured version   Unicode version

Theorem 4sqlem4 14009
Description: Lemma for 4sq 14021. We can express the four-square property more compactly in terms of gaussian integers, because the norms of gaussian integers are exactly sums of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
4sqlem4  |-  ( A  e.  S  <->  E. u  e.  ZZ[_i]  E. v  e.  ZZ[_i]  A  =  ( ( ( abs `  u ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v
) ^ 2 ) ) )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    v, n, A, u    S, n, u, v    u, A
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, w)    S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem4
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . . 4  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
214sqlem2 14006 . . 3  |-  ( A  e.  S  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
3 gzreim 13996 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  +  ( _i  x.  b ) )  e.  ZZ[_i] )
43adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( a  +  ( _i  x.  b ) )  e.  ZZ[_i] )
5 gzreim 13996 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( c  +  ( _i  x.  d ) )  e.  ZZ[_i] )
65adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( c  +  ( _i  x.  d ) )  e.  ZZ[_i] )
7 gzcn 13989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( a  +  ( _i  x.  b ) )  e.  CC )
83, 7syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  +  ( _i  x.  b ) )  e.  CC )
98absvalsq2d 12925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 ) ) )
10 zre 10646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  RR )
11 zre 10646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  RR )
12 crre 12599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( Re `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) )  =  a )
1310, 11, 12syl2an 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( Re `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) )  =  a )
1413oveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( Re `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  =  ( a ^ 2 ) )
15 crim 12600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( Im `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) )  =  b )
1610, 11, 15syl2an 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( Im `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) )  =  b )
1716oveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( Im `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  =  ( b ^ 2 ) )
1814, 17oveq12d 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( ( Re
`  ( a  +  ( _i  x.  b
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) ) )
199, 18eqtrd 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) ) )
20 gzcn 13989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  +  ( _i  x.  d ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( c  +  ( _i  x.  d ) )  e.  CC )
215, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( c  +  ( _i  x.  d ) )  e.  CC )
2221absvalsq2d 12925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) ) )
23 zre 10646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ZZ  ->  c  e.  RR )
24 zre 10646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  ZZ  ->  d  e.  RR )
25 crre 12599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR )  ->  ( Re `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) )  =  c )
2623, 24, 25syl2an 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( Re `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) )  =  c )
2726oveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( ( Re `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 )  =  ( c ^ 2 ) )
28 crim 12600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR )  ->  ( Im `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) )  =  d )
2923, 24, 28syl2an 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( Im `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) )  =  d )
3029oveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( ( Im `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 )  =  ( d ^ 2 ) )
3127, 30oveq12d 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( ( ( Re
`  ( c  +  ( _i  x.  d
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )
3222, 31eqtrd 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )
3319, 32oveqan12d 6109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( abs `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
3433eqcomd 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) ) )
35 fveq2 5688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  ( abs `  u )  =  ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) )
3635oveq1d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  (
( abs `  u
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 ) )
3736oveq1d 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  (
( ( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) )
3837eqeq2d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  (
( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  <->  ( (
( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) ) )
39 fveq2 5688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( c  +  ( _i  x.  d
) )  ->  ( abs `  v )  =  ( abs `  (
c  +  ( _i  x.  d ) ) ) )
4039oveq1d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( c  +  ( _i  x.  d
) )  ->  (
( abs `  v
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) )
4140oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( c  +  ( _i  x.  d
) )  ->  (
( ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) ) )
4241eqeq2d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( c  +  ( _i  x.  d
) )  ->  (
( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  <->  ( (
( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
4338, 42rspc2ev 3078 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  e.  ZZ[_i]  /\  (
c  +  ( _i  x.  d ) )  e.  ZZ[_i]  /\  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( c  +  ( _i  x.  d ) ) ) ^ 2 ) ) )  ->  E. u  e.  ZZ[_i]  E. v  e.  ZZ[_i]  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  u ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v
) ^ 2 ) ) )
444, 6, 34, 43syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  ->  E. u  e.  ZZ[_i]  E. v  e.  ZZ[_i]  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) )
45 eqeq1 2447 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  ->  ( A  =  ( (
( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  <->  ( (
( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  u ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) ) )
46452rexbidv 2756 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  ->  ( E. u  e.  ZZ[_i]  E. v  e.  ZZ[_i]  A  =  ( ( ( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  <->  E. u  e.  ZZ[_i]  E. v  e.  ZZ[_i]  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  u ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v
) ^ 2 ) ) ) )
4744, 46syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  E. u  e.  ZZ[_i]  E. v  e.  ZZ[_i]  A  =  ( ( ( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) ) )
4847rexlimdvva 2846 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  E. u  e.  ZZ[_i]  E. v  e.  ZZ[_i]  A  =  ( ( ( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) ) )
4948rexlimivv 2844 . . 3  |-  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  E. u  e.  ZZ[_i]  E. v  e.  ZZ[_i]  A  =  ( ( ( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) ) )
502, 49sylbi 195 . 2  |-  ( A  e.  S  ->  E. u  e.  ZZ[_i]  E. v  e.  ZZ[_i]  A  =  ( ( ( abs `  u ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v
) ^ 2 ) ) )
5114sqlem4a 14008 . . . 4  |-  ( ( u  e.  ZZ[_i]  /\  v  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( (
( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  e.  S
)
52 eleq1a 2510 . . . 4  |-  ( ( ( ( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  e.  S  ->  ( A  =  ( ( ( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  ->  A  e.  S ) )
5351, 52syl 16 . . 3  |-  ( ( u  e.  ZZ[_i]  /\  v  e.  ZZ[_i]
)  ->  ( A  =  ( ( ( abs `  u ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v
) ^ 2 ) )  ->  A  e.  S ) )
5453rexlimivv 2844 . 2  |-  ( E. u  e.  ZZ[_i]  E. v  e.  ZZ[_i]  A  =  ( (
( abs `  u
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v ) ^ 2 ) )  ->  A  e.  S )
5550, 54impbii 188 1  |-  ( A  e.  S  <->  E. u  e.  ZZ[_i]  E. v  e.  ZZ[_i]  A  =  ( ( ( abs `  u ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  v
) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   {cab 2427   E.wrex 2714   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   _ici 9280    + caddc 9281    x. cmul 9283   2c2 10367   ZZcz 10642   ^cexp 11861   Recre 12582   Imcim 12583   abscabs 12719   ZZ[_i]cgz 13986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-gz 13987
This theorem is referenced by:  mul4sq  14011
  Copyright terms: Public domain W3C validator