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Theorem 4sqlem2 14344
Description: Lemma for 4sq 14359. Change bound variables in  S. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
4sqlem2  |-  ( A  e.  S  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
c, d, n, w, x, y, z    A, a, b, c, d, n    S, a, b, c, d, n
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, w)    S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem2
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . 3  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
21eleq2i 2521 . 2  |-  ( A  e.  S  <->  A  e.  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) } )
3 id 22 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  ->  A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
4 ovex 6309 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  e. 
_V
53, 4syl6eqel 2539 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  ->  A  e.  _V )
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  A  e.  _V ) )
76rexlimdvva 2942 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  A  e.  _V ) )
87rexlimivv 2940 . . 3  |-  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  A  e.  _V )
9 oveq1 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  (
x ^ 2 )  =  ( a ^
2 ) )
109oveq1d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
1110oveq1d 6296 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) )
1211eqeq2d 2457 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
n  =  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) ) )
13122rexbidv 2961 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) ) )
14 oveq1 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  b  ->  (
y ^ 2 )  =  ( b ^
2 ) )
1514oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  b  ->  (
( a ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) ) )
1615oveq1d 6296 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  (
( ( a ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) )
1716eqeq2d 2457 . . . . . 6  |-  ( y  =  b  ->  (
n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) ) )
18172rexbidv 2961 . . . . 5  |-  ( y  =  b  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) ) )
1913, 18cbvrex2v 3079 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) )
20 oveq1 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  c  ->  (
z ^ 2 )  =  ( c ^
2 ) )
2120oveq1d 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  c  ->  (
( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) )  =  ( ( c ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )
2221oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  c  ->  (
( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) )
2322eqeq2d 2457 . . . . . . 7  |-  ( z  =  c  ->  (
n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) ) )
24 oveq1 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  d  ->  (
w ^ 2 )  =  ( d ^
2 ) )
2524oveq2d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  d  ->  (
( c ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) )  =  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )
2625oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  d  ->  (
( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
2726eqeq2d 2457 . . . . . . 7  |-  ( w  =  d  ->  (
n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) ) )
2823, 27cbvrex2v 3079 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
29 eqeq1 2447 . . . . . . 7  |-  ( n  =  A  ->  (
n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  <->  A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) ) )
30292rexbidv 2961 . . . . . 6  |-  ( n  =  A  ->  ( E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  <->  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) ) )
3128, 30syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( n  =  A  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) ) )
32312rexbidv 2961 . . . 4  |-  ( n  =  A  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) ) )
3319, 32syl5bb 257 . . 3  |-  ( n  =  A  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) ) )
348, 33elab3 3239 . 2  |-  ( A  e.  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
352, 34bitri 249 1  |-  ( A  e.  S  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   {cab 2428   E.wrex 2794   _Vcvv 3095  (class class class)co 6281    + caddc 9498   2c2 10591   ZZcz 10870   ^cexp 12145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-nul 4566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-iota 5541  df-fv 5586  df-ov 6284
This theorem is referenced by:  4sqlem3  14345  4sqlem4  14347  4sqlem18  14357  4sq  14359
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