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Theorem 4sqlem2 14343
Description: Lemma for 4sq 14358. Change bound variables in  S. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
4sqlem2  |-  ( A  e.  S  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
c, d, n, w, x, y, z    A, a, b, c, d, n    S, a, b, c, d, n
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, w)    S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem2
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . 3  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
21eleq2i 2545 . 2  |-  ( A  e.  S  <->  A  e.  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) } )
3 id 22 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  ->  A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
4 ovex 6320 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  e. 
_V
53, 4syl6eqel 2563 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  ->  A  e.  _V )
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  A  e.  _V ) )
76rexlimdvva 2966 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  A  e.  _V ) )
87rexlimivv 2964 . . 3  |-  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  A  e.  _V )
9 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  (
x ^ 2 )  =  ( a ^
2 ) )
109oveq1d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
1110oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) )
1211eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
n  =  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) ) )
13122rexbidv 2985 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) ) )
14 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  b  ->  (
y ^ 2 )  =  ( b ^
2 ) )
1514oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  b  ->  (
( a ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) ) )
1615oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  (
( ( a ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) )
1716eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( y  =  b  ->  (
n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) ) )
18172rexbidv 2985 . . . . 5  |-  ( y  =  b  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) ) )
1913, 18cbvrex2v 3102 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) )
20 oveq1 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  c  ->  (
z ^ 2 )  =  ( c ^
2 ) )
2120oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  c  ->  (
( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) )  =  ( ( c ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )
2221oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  c  ->  (
( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) )
2322eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( z  =  c  ->  (
n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) ) ) )
24 oveq1 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  d  ->  (
w ^ 2 )  =  ( d ^
2 ) )
2524oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  d  ->  (
( c ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) )  =  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )
2625oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  d  ->  (
( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
2726eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( w  =  d  ->  (
n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) ) )
2823, 27cbvrex2v 3102 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
29 eqeq1 2471 . . . . . . 7  |-  ( n  =  A  ->  (
n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  <->  A  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) ) )
30292rexbidv 2985 . . . . . 6  |-  ( n  =  A  ->  ( E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  <->  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) ) )
3128, 30syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( n  =  A  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  <->  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) ) )
32312rexbidv 2985 . . . 4  |-  ( n  =  A  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) ) )
3319, 32syl5bb 257 . . 3  |-  ( n  =  A  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) ) )
348, 33elab3 3262 . 2  |-  ( A  e.  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
352, 34bitri 249 1  |-  ( A  e.  S  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  A  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   E.wrex 2818   _Vcvv 3118  (class class class)co 6295    + caddc 9507   2c2 10597   ZZcz 10876   ^cexp 12146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6298
This theorem is referenced by:  4sqlem3  14344  4sqlem4  14346  4sqlem18  14356  4sq  14358
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