Theorem 4sqlem18 14492

Description: Lemma for 4sq 14494. Inductive step, odd prime case. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sq.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2	|- ( ph -> N e. NN )
4sq.3	|- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4	|- ( ph -> P e. Prime )
4sq.5	|- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
4sq.6	|- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
4sq.7	|- M = sup ( T , RR , `' < )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem18	|- ( ph -> P e. S )

Distinct variable groups:   w, n, x, y, z   i, n, M   n, N   P, i, n   ph, n   S, i, n

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w, i)   P( x, y, z, w)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w, i, n)   M( x, y, z, w)   N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem18

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.4	. . . . 5 |- ( ph -> P e. Prime )
2		prmnn 14232	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
3	1, 2	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> P e. NN )
4	3	nncnd 10572	. . 3 |- ( ph -> P e. CC )
5	4	mulid2d 9631	. 2 |- ( ph -> ( 1 x. P ) = P )
6		4sq.7	. . . . . . . . . . . 12 |- M = sup ( T , RR , `' < )
7		4sq.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
8		ssrab2 3581	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { i e. NN | ( i x. P ) e. S } C_ NN
9	7, 8	eqsstri 3529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T C_ NN
10		nnuz 11141	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
11	9, 10	sseqtri 3531	. . . . . . . . . . . . 13 |- T C_ ( ZZ>= ` 1 )
12		4sq.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
13		4sq.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N e. NN )
14		4sq.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
15		4sq.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
16	12, 13, 14, 1, 15, 7, 6	4sqlem13 14487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T =/= (/) /\ M < P ) )
17	16	simpld 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T =/= (/) )
18		infmssuzcl 11190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ T =/= (/) ) -> sup ( T , RR , `' < ) e. T )
19	11, 17, 18	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sup ( T , RR , `' < ) e. T )
20	6, 19	syl5eqel 2549	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. T )
21		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = M -> ( i x. P ) = ( M x. P ) )
22	21	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = M -> ( ( i x. P ) e. S <-> ( M x. P ) e. S ) )
23	22, 7	elrab2 3259	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. T <-> ( M e. NN /\ ( M x. P ) e. S ) )
24	20, 23	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M e. NN /\ ( M x. P ) e. S ) )
25	24	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M x. P ) e. S )
26	12	4sqlem2 14479	. . . . . . . . 9 |- ( ( M x. P ) e. S <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
27	25, 26	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
28	27	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
29		simp1l 1020	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> ph )
30	29, 13	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> N e. NN )
31	29, 14	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
32	29, 1	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> P e. Prime )
33	29, 15	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
34		simp1r 1021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
35		simp2ll 1063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> a e. ZZ )
36		simp2lr 1064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> b e. ZZ )
37		simp2rl 1065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> c e. ZZ )
38		simp2rr 1066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> d e. ZZ )
39		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
40		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
41		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
42		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
43		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) ) / M ) = ( ( ( ( ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) ) / M )
44		simp3 998	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
45	12, 30, 31, 32, 33, 7, 6, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44	4sqlem17 14491	. . . . . . . . . . . 12 |- -. ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
46	45	pm2.21i 131	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
47	46	3expia 1198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) ) -> ( ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
48	47	anassrs 648	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
49	48	rexlimdvva 2956	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
50	49	rexlimdvva 2956	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
51	28, 50	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
52	51	pm2.01da 442	. . . . 5 |- ( ph -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
53	24	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN )
54		elnn1uz2 11183	. . . . . . 7 |- ( M e. NN <-> ( M = 1 \/ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
55	53, 54	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M = 1 \/ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
56	55	ord 377	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. M = 1 -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
57	52, 56	mt3d 125	. . . 4 |- ( ph -> M = 1 )
58	57, 20	eqeltrrd 2546	. . 3 |- ( ph -> 1 e. T )
59		oveq1 6303	. . . . . 6 |- ( i = 1 -> ( i x. P ) = ( 1 x. P ) )
60	59	eleq1d 2526	. . . . 5 |- ( i = 1 -> ( ( i x. P ) e. S <-> ( 1 x. P ) e. S ) )
61	60, 7	elrab2 3259	. . . 4 |- ( 1 e. T <-> ( 1 e. NN /\ ( 1 x. P ) e. S ) )
62	61	simprbi 464	. . 3 |- ( 1 e. T -> ( 1 x. P ) e. S )
63	58, 62	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( 1 x. P ) e. S )
64	5, 63	eqeltrrd 2546	1 |- ( ph -> P e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   {cab 2442   =/= wne 2652   E.wrex 2808   {crab 2811   C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   `'ccnv 5007   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   < clt 9645   - cmin 9824   / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   mod cmo 11999   ^cexp 12169   Primecprime 14229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230  df-gz 14460

This theorem is referenced by:  4sqlem19  14493