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Theorem 4sqlem18 14023
Description: Lemma for 4sq 14025. Inductive step, odd prime case. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
4sq.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4sq.3  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4sq.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
4sq.5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
4sq.6  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
4sq.7  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
4sqlem18  |-  ( ph  ->  P  e.  S )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    i, n, M    n, N    P, i, n    ph, n    S, i, n
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, i)    P( x, y, z, w)    S( x, y, z, w)    T( x, y, z, w, i, n)    M( x, y, z, w)    N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem18
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
2 prmnn 13766 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
43nncnd 10338 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
54mulid2d 9404 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  P
)  =  P )
6 4sq.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
7 4sq.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
8 ssrab2 3437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }  C_  NN
97, 8eqsstri 3386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  C_  NN
10 nnuz 10896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
119, 10sseqtri 3388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  C_  ( ZZ>= `  1 )
12 4sq.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
13 4sq.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
14 4sq.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
15 4sq.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
1612, 13, 14, 1, 15, 7, 64sqlem13 14018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( T  =/=  (/)  /\  M  <  P ) )
1716simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
18 infmssuzcl 10938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  T  =/=  (/) )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  T
)
1911, 17, 18sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  T )
206, 19syl5eqel 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  T )
21 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  M  ->  (
i  x.  P )  =  ( M  x.  P ) )
2221eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  M  ->  (
( i  x.  P
)  e.  S  <->  ( M  x.  P )  e.  S
) )
2322, 7elrab2 3119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  T  <->  ( M  e.  NN  /\  ( M  x.  P )  e.  S ) )
2420, 23sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  ( M  x.  P
)  e.  S ) )
2524simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  e.  S )
26124sqlem2 14010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  x.  P )  e.  S  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
2725, 26sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
2827adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
29 simp1l 1012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  ph )
3029, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
3129, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
3229, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  P  e.  Prime )
3329, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  (
0 ... ( 2  x.  N ) )  C_  S )
34 simp1r 1013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
35 simp2ll 1055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  a  e.  ZZ )
36 simp2lr 1056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
37 simp2rl 1057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  c  e.  ZZ )
38 simp2rr 1058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
39 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  / 
2 ) )  =  ( ( ( a  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
40 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  / 
2 ) )  =  ( ( ( b  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
41 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( c  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  / 
2 ) )  =  ( ( ( c  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
42 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  / 
2 ) )  =  ( ( ( d  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
43 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( a  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  +  ( ( ( ( b  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( c  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  -  ( M  /  2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( ( d  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  /  2
) ) ^ 2 ) ) )  /  M )  =  ( ( ( ( ( ( ( a  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  -  ( M  /  2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( ( b  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  /  2
) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( c  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  +  ( ( ( ( d  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  -  ( M  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )  /  M )
44 simp3 990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
4512, 30, 31, 32, 33, 7, 6, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 444sqlem17 14022 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  (
( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
4645pm2.21i 131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  -.  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
47463expia 1189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( M  x.  P
)  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  ->  -.  M  e.  ( ZZ>=
`  2 ) ) )
4847anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  -.  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
4948rexlimdvva 2848 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  -.  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
5049rexlimdvva 2848 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  -.  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
5128, 50mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  -.  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
5251pm2.01da 442 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
5324simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
54 elnn1uz2 10931 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  <->  ( M  =  1  \/  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
5553, 54sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  =  1  \/  M  e.  (
ZZ>= `  2 ) ) )
5655ord 377 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  M  =  1  ->  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
5752, 56mt3d 125 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  =  1 )
5857, 20eqeltrrd 2518 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  T )
59 oveq1 6098 . . . . . 6  |-  ( i  =  1  ->  (
i  x.  P )  =  ( 1  x.  P ) )
6059eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( i  =  1  ->  (
( i  x.  P
)  e.  S  <->  ( 1  x.  P )  e.  S ) )
6160, 7elrab2 3119 . . . 4  |-  ( 1  e.  T  <->  ( 1  e.  NN  /\  (
1  x.  P )  e.  S ) )
6261simprbi 464 . . 3  |-  ( 1  e.  T  ->  (
1  x.  P )  e.  S )
6358, 62syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  P
)  e.  S )
645, 63eqeltrrd 2518 1  |-  ( ph  ->  P  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429    =/= wne 2606   E.wrex 2716   {crab 2719    C_ wss 3328   (/)c0 3637   class class class wbr 4292   `'ccnv 4839   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   supcsup 7690   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    < clt 9418    - cmin 9595    / cdiv 9993   NNcn 10322   2c2 10371   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   ...cfz 11437    mod cmo 11708   ^cexp 11865   Primecprime 13763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-dvds 13536  df-gcd 13691  df-prm 13764  df-gz 13991
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