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Theorem 4sqlem18 14492
Description: Lemma for 4sq 14494. Inductive step, odd prime case. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
4sq.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4sq.3  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4sq.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
4sq.5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
4sq.6  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
4sq.7  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
4sqlem18  |-  ( ph  ->  P  e.  S )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    i, n, M    n, N    P, i, n    ph, n    S, i, n
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, i)    P( x, y, z, w)    S( x, y, z, w)    T( x, y, z, w, i, n)    M( x, y, z, w)    N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem18
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
2 prmnn 14232 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
43nncnd 10572 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
54mulid2d 9631 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  P
)  =  P )
6 4sq.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
7 4sq.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
8 ssrab2 3581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }  C_  NN
97, 8eqsstri 3529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  C_  NN
10 nnuz 11141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
119, 10sseqtri 3531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  C_  ( ZZ>= `  1 )
12 4sq.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
13 4sq.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
14 4sq.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
15 4sq.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
1612, 13, 14, 1, 15, 7, 64sqlem13 14487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( T  =/=  (/)  /\  M  <  P ) )
1716simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
18 infmssuzcl 11190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  T  =/=  (/) )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  T
)
1911, 17, 18sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  T )
206, 19syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  T )
21 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  M  ->  (
i  x.  P )  =  ( M  x.  P ) )
2221eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  M  ->  (
( i  x.  P
)  e.  S  <->  ( M  x.  P )  e.  S
) )
2322, 7elrab2 3259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  T  <->  ( M  e.  NN  /\  ( M  x.  P )  e.  S ) )
2420, 23sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  ( M  x.  P
)  e.  S ) )
2524simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  e.  S )
26124sqlem2 14479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  x.  P )  e.  S  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
2725, 26sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
2827adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
29 simp1l 1020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  ph )
3029, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
3129, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
3229, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  P  e.  Prime )
3329, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  (
0 ... ( 2  x.  N ) )  C_  S )
34 simp1r 1021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
35 simp2ll 1063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  a  e.  ZZ )
36 simp2lr 1064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
37 simp2rl 1065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  c  e.  ZZ )
38 simp2rr 1066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
39 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  / 
2 ) )  =  ( ( ( a  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
40 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  / 
2 ) )  =  ( ( ( b  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
41 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( c  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  / 
2 ) )  =  ( ( ( c  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
42 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  / 
2 ) )  =  ( ( ( d  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
43 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( a  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  +  ( ( ( ( b  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( c  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  -  ( M  /  2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( ( d  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  /  2
) ) ^ 2 ) ) )  /  M )  =  ( ( ( ( ( ( ( a  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  -  ( M  /  2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( ( b  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  /  2
) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( c  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  +  ( ( ( ( d  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  -  ( M  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )  /  M )
44 simp3 998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
4512, 30, 31, 32, 33, 7, 6, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 444sqlem17 14491 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  (
( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
4645pm2.21i 131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  -.  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
47463expia 1198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( M  x.  P
)  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  ->  -.  M  e.  ( ZZ>=
`  2 ) ) )
4847anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  -.  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
4948rexlimdvva 2956 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  -.  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
5049rexlimdvva 2956 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  -.  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
5128, 50mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  -.  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
5251pm2.01da 442 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
5324simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
54 elnn1uz2 11183 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  <->  ( M  =  1  \/  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
5553, 54sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  =  1  \/  M  e.  (
ZZ>= `  2 ) ) )
5655ord 377 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  M  =  1  ->  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
5752, 56mt3d 125 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  =  1 )
5857, 20eqeltrrd 2546 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  T )
59 oveq1 6303 . . . . . 6  |-  ( i  =  1  ->  (
i  x.  P )  =  ( 1  x.  P ) )
6059eleq1d 2526 . . . . 5  |-  ( i  =  1  ->  (
( i  x.  P
)  e.  S  <->  ( 1  x.  P )  e.  S ) )
6160, 7elrab2 3259 . . . 4  |-  ( 1  e.  T  <->  ( 1  e.  NN  /\  (
1  x.  P )  e.  S ) )
6261simprbi 464 . . 3  |-  ( 1  e.  T  ->  (
1  x.  P )  e.  S )
6358, 62syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  P
)  e.  S )
645, 63eqeltrrd 2546 1  |-  ( ph  ->  P  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442    =/= wne 2652   E.wrex 2808   {crab 2811    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   `'ccnv 5007   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697    mod cmo 11999   ^cexp 12169   Primecprime 14229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230  df-gz 14460
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