Theorem 4sqlem18 14023

Description: Lemma for 4sq 14025. Inductive step, odd prime case. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sq.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2	|- ( ph -> N e. NN )
4sq.3	|- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4	|- ( ph -> P e. Prime )
4sq.5	|- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
4sq.6	|- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
4sq.7	|- M = sup ( T , RR , `' < )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem18	|- ( ph -> P e. S )

Distinct variable groups:   w, n, x, y, z   i, n, M   n, N   P, i, n   ph, n   S, i, n

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w, i)   P( x, y, z, w)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w, i, n)   M( x, y, z, w)   N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem18

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.4	. . . . 5 |- ( ph -> P e. Prime )
2		prmnn 13766	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
3	1, 2	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> P e. NN )
4	3	nncnd 10338	. . 3 |- ( ph -> P e. CC )
5	4	mulid2d 9404	. 2 |- ( ph -> ( 1 x. P ) = P )
6		4sq.7	. . . . . . . . . . . 12 |- M = sup ( T , RR , `' < )
7		4sq.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
8		ssrab2 3437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { i e. NN | ( i x. P ) e. S } C_ NN
9	7, 8	eqsstri 3386	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T C_ NN
10		nnuz 10896	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
11	9, 10	sseqtri 3388	. . . . . . . . . . . . 13 |- T C_ ( ZZ>= ` 1 )
12		4sq.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
13		4sq.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N e. NN )
14		4sq.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
15		4sq.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
16	12, 13, 14, 1, 15, 7, 6	4sqlem13 14018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T =/= (/) /\ M < P ) )
17	16	simpld 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T =/= (/) )
18		infmssuzcl 10938	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ T =/= (/) ) -> sup ( T , RR , `' < ) e. T )
19	11, 17, 18	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sup ( T , RR , `' < ) e. T )
20	6, 19	syl5eqel 2527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. T )
21		oveq1 6098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = M -> ( i x. P ) = ( M x. P ) )
22	21	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = M -> ( ( i x. P ) e. S <-> ( M x. P ) e. S ) )
23	22, 7	elrab2 3119	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. T <-> ( M e. NN /\ ( M x. P ) e. S ) )
24	20, 23	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M e. NN /\ ( M x. P ) e. S ) )
25	24	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M x. P ) e. S )
26	12	4sqlem2 14010	. . . . . . . . 9 |- ( ( M x. P ) e. S <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
27	25, 26	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
28	27	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
29		simp1l 1012	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> ph )
30	29, 13	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> N e. NN )
31	29, 14	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
32	29, 1	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> P e. Prime )
33	29, 15	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
34		simp1r 1013	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
35		simp2ll 1055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> a e. ZZ )
36		simp2lr 1056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> b e. ZZ )
37		simp2rl 1057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> c e. ZZ )
38		simp2rr 1058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> d e. ZZ )
39		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
40		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
41		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
42		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
43		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) ) / M ) = ( ( ( ( ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) ) / M )
44		simp3 990	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
45	12, 30, 31, 32, 33, 7, 6, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44	4sqlem17 14022	. . . . . . . . . . . 12 |- -. ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
46	45	pm2.21i 131	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
47	46	3expia 1189	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) ) -> ( ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
48	47	anassrs 648	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
49	48	rexlimdvva 2848	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
50	49	rexlimdvva 2848	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
51	28, 50	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
52	51	pm2.01da 442	. . . . 5 |- ( ph -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
53	24	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN )
54		elnn1uz2 10931	. . . . . . 7 |- ( M e. NN <-> ( M = 1 \/ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
55	53, 54	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M = 1 \/ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
56	55	ord 377	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. M = 1 -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
57	52, 56	mt3d 125	. . . 4 |- ( ph -> M = 1 )
58	57, 20	eqeltrrd 2518	. . 3 |- ( ph -> 1 e. T )
59		oveq1 6098	. . . . . 6 |- ( i = 1 -> ( i x. P ) = ( 1 x. P ) )
60	59	eleq1d 2509	. . . . 5 |- ( i = 1 -> ( ( i x. P ) e. S <-> ( 1 x. P ) e. S ) )
61	60, 7	elrab2 3119	. . . 4 |- ( 1 e. T <-> ( 1 e. NN /\ ( 1 x. P ) e. S ) )
62	61	simprbi 464	. . 3 |- ( 1 e. T -> ( 1 x. P ) e. S )
63	58, 62	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( 1 x. P ) e. S )
64	5, 63	eqeltrrd 2518	1 |- ( ph -> P e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   {cab 2429   =/= wne 2606   E.wrex 2716   {crab 2719   C_ wss 3328   (/)c0 3637   class class class wbr 4292   `'ccnv 4839   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   supcsup 7690   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283   + caddc 9285   x. cmul 9287   < clt 9418   - cmin 9595   / cdiv 9993   NNcn 10322   2c2 10371   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   ...cfz 11437   mod cmo 11708   ^cexp 11865   Primecprime 13763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-dvds 13536  df-gcd 13691  df-prm 13764  df-gz 13991

This theorem is referenced by:  4sqlem19  14024