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Theorem 4sqlem18 14019
Description: Lemma for 4sq 14021. Inductive step, odd prime case. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
4sq.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4sq.3  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4sq.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
4sq.5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
4sq.6  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
4sq.7  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
4sqlem18  |-  ( ph  ->  P  e.  S )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    i, n, M    n, N    P, i, n    ph, n    S, i, n
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, i)    P( x, y, z, w)    S( x, y, z, w)    T( x, y, z, w, i, n)    M( x, y, z, w)    N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem18
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
2 prmnn 13762 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
43nncnd 10334 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
54mulid2d 9400 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  P
)  =  P )
6 4sq.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
7 4sq.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
8 ssrab2 3434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }  C_  NN
97, 8eqsstri 3383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  C_  NN
10 nnuz 10892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
119, 10sseqtri 3385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  C_  ( ZZ>= `  1 )
12 4sq.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
13 4sq.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
14 4sq.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
15 4sq.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
1612, 13, 14, 1, 15, 7, 64sqlem13 14014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( T  =/=  (/)  /\  M  <  P ) )
1716simpld 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
18 infmssuzcl 10934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  T  =/=  (/) )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  T
)
1911, 17, 18sylancr 658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  T )
206, 19syl5eqel 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  T )
21 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  M  ->  (
i  x.  P )  =  ( M  x.  P ) )
2221eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  M  ->  (
( i  x.  P
)  e.  S  <->  ( M  x.  P )  e.  S
) )
2322, 7elrab2 3116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  T  <->  ( M  e.  NN  /\  ( M  x.  P )  e.  S ) )
2420, 23sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  ( M  x.  P
)  e.  S ) )
2524simprd 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  e.  S )
26124sqlem2 14006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  x.  P )  e.  S  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
2725, 26sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
2827adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
29 simp1l 1007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  ph )
3029, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
3129, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
3229, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  P  e.  Prime )
3329, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  (
0 ... ( 2  x.  N ) )  C_  S )
34 simp1r 1008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
35 simp2ll 1050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  a  e.  ZZ )
36 simp2lr 1051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
37 simp2rl 1052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  c  e.  ZZ )
38 simp2rr 1053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
39 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  / 
2 ) )  =  ( ( ( a  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
40 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  / 
2 ) )  =  ( ( ( b  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
41 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( c  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  / 
2 ) )  =  ( ( ( c  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
42 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  / 
2 ) )  =  ( ( ( d  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
43 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( a  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  +  ( ( ( ( b  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( c  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  -  ( M  /  2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( ( d  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  /  2
) ) ^ 2 ) ) )  /  M )  =  ( ( ( ( ( ( ( a  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  -  ( M  /  2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( ( b  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  /  2
) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( c  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  +  ( ( ( ( d  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  -  ( M  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )  /  M )
44 simp3 985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
4512, 30, 31, 32, 33, 7, 6, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 444sqlem17 14018 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  (
( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
4645pm2.21i 131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  -.  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
47463expia 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( M  x.  P
)  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  ->  -.  M  e.  ( ZZ>=
`  2 ) ) )
4847anassrs 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  -.  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
4948rexlimdvva 2846 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  -.  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
5049rexlimdvva 2846 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  -.  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
5128, 50mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  -.  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
5251pm2.01da 440 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
5324simpld 456 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
54 elnn1uz2 10927 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  <->  ( M  =  1  \/  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
5553, 54sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  =  1  \/  M  e.  (
ZZ>= `  2 ) ) )
5655ord 377 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  M  =  1  ->  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
5752, 56mt3d 125 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  =  1 )
5857, 20eqeltrrd 2516 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  T )
59 oveq1 6097 . . . . . 6  |-  ( i  =  1  ->  (
i  x.  P )  =  ( 1  x.  P ) )
6059eleq1d 2507 . . . . 5  |-  ( i  =  1  ->  (
( i  x.  P
)  e.  S  <->  ( 1  x.  P )  e.  S ) )
6160, 7elrab2 3116 . . . 4  |-  ( 1  e.  T  <->  ( 1  e.  NN  /\  (
1  x.  P )  e.  S ) )
6261simprbi 461 . . 3  |-  ( 1  e.  T  ->  (
1  x.  P )  e.  S )
6358, 62syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  P
)  e.  S )
645, 63eqeltrrd 2516 1  |-  ( ph  ->  P  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   {cab 2427    =/= wne 2604   E.wrex 2714   {crab 2717    C_ wss 3325   (/)c0 3634   class class class wbr 4289   `'ccnv 4835   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   supcsup 7686   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    < clt 9414    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433    mod cmo 11704   ^cexp 11861   Primecprime 13759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-prm 13760  df-gz 13987
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