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Theorem 4sqlem18 14911
Description: Lemma for 4sq 14913. Inductive step, odd prime case. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
4sq.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4sq.3  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4sq.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
4sq.5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
4sq.6  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
4sq.7  |-  M  = inf ( T ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
4sqlem18  |-  ( ph  ->  P  e.  S )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    i, n, M    n, N    P, i, n    ph, n    S, i, n
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, i)    P( x, y, z, w)    S( x, y, z, w)    T( x, y, z, w, i, n)    M( x, y, z, w)    N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem18
Dummy variables  a 
b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
2 prmnn 14624 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
43nncnd 10632 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
54mulid2d 9668 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  P
)  =  P )
6 4sq.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  M  = inf ( T ,  RR ,  <  )
7 4sq.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
8 ssrab2 3546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }  C_  NN
97, 8eqsstri 3494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  C_  NN
10 nnuz 11201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
119, 10sseqtri 3496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  C_  ( ZZ>= `  1 )
12 4sq.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
13 4sq.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
14 4sq.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
15 4sq.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
1612, 13, 14, 1, 15, 7, 64sqlem13 14906 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( T  =/=  (/)  /\  M  <  P ) )
1716simpld 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
18 infssuzcl 11252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  T  =/=  (/) )  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  T )
1911, 17, 18sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  e.  T
)
206, 19syl5eqel 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  T )
21 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  M  ->  (
i  x.  P )  =  ( M  x.  P ) )
2221eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  M  ->  (
( i  x.  P
)  e.  S  <->  ( M  x.  P )  e.  S
) )
2322, 7elrab2 3230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  T  <->  ( M  e.  NN  /\  ( M  x.  P )  e.  S ) )
2420, 23sylib 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  ( M  x.  P
)  e.  S ) )
2524simprd 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  e.  S )
26124sqlem2 14892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  x.  P )  e.  S  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
2725, 26sylib 199 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
2827adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) ) )
29 simp1l 1029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  ph )
3029, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
3129, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
3229, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  P  e.  Prime )
3329, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  (
0 ... ( 2  x.  N ) )  C_  S )
34 simp1r 1030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
35 simp2ll 1072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  a  e.  ZZ )
36 simp2lr 1073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
37 simp2rl 1074 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  c  e.  ZZ )
38 simp2rr 1075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
39 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  / 
2 ) )  =  ( ( ( a  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
40 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  / 
2 ) )  =  ( ( ( b  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
41 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( c  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  / 
2 ) )  =  ( ( ( c  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
42 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  / 
2 ) )  =  ( ( ( d  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
43 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( a  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  +  ( ( ( ( b  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( c  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  -  ( M  /  2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( ( d  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  /  2
) ) ^ 2 ) ) )  /  M )  =  ( ( ( ( ( ( ( a  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  -  ( M  /  2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( ( b  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  /  2
) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( ( c  +  ( M  /  2 ) )  mod  M )  -  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  +  ( ( ( ( d  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  -  ( M  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )  /  M )
44 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  +  ( ( c ^
2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
4512, 30, 31, 32, 33, 7, 6, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 444sqlem17 14910 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  (
( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )
4645pm2.21i 134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  /\  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) ) )  ->  -.  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
47463expia 1207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( M  x.  P
)  =  ( ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^ 2 ) ) )  ->  -.  M  e.  ( ZZ>=
`  2 ) ) )
4847anassrs 652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  /\  ( c  e.  ZZ  /\  d  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  -.  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
4948rexlimdvva 2921 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  -.  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
5049rexlimdvva 2921 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  E. c  e.  ZZ  E. d  e.  ZZ  ( M  x.  P )  =  ( ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) )  +  ( ( c ^ 2 )  +  ( d ^
2 ) ) )  ->  -.  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
5128, 50mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  -.  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
5251pm2.01da 443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  M  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
5324simpld 460 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
54 elnn1uz2 11242 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  <->  ( M  =  1  \/  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
5553, 54sylib 199 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  =  1  \/  M  e.  (
ZZ>= `  2 ) ) )
5655ord 378 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  M  =  1  ->  M  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
5752, 56mt3d 128 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  =  1 )
5857, 20eqeltrrd 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  T )
59 oveq1 6312 . . . . . 6  |-  ( i  =  1  ->  (
i  x.  P )  =  ( 1  x.  P ) )
6059eleq1d 2491 . . . . 5  |-  ( i  =  1  ->  (
( i  x.  P
)  e.  S  <->  ( 1  x.  P )  e.  S ) )
6160, 7elrab2 3230 . . . 4  |-  ( 1  e.  T  <->  ( 1  e.  NN  /\  (
1  x.  P )  e.  S ) )
6261simprbi 465 . . 3  |-  ( 1  e.  T  ->  (
1  x.  P )  e.  S )
6358, 62syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  P
)  e.  S )
645, 63eqeltrrd 2508 1  |-  ( ph  ->  P  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   {cab 2407    =/= wne 2614   E.wrex 2772   {crab 2775    C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6305  infcinf 7964   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549    x. cmul 9551    < clt 9682    - cmin 9867    / cdiv 10276   NNcn 10616   2c2 10666   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791    mod cmo 12102   ^cexp 12278   Primecprime 14621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-inf 7966  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14305  df-gcd 14468  df-prm 14622  df-gz 14873
This theorem is referenced by:  4sqlem19  14912
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