Theorem 4sqlem18 14991

Description: Lemma for 4sq 14993. Inductive step, odd prime case. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sq.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2	|- ( ph -> N e. NN )
4sq.3	|- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4	|- ( ph -> P e. Prime )
4sq.5	|- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
4sq.6	|- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
4sq.7	|- M = inf ( T , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem18	|- ( ph -> P e. S )

Distinct variable groups:   w, n, x, y, z   i, n, M   n, N   P, i, n   ph, n   S, i, n

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w, i)   P( x, y, z, w)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w, i, n)   M( x, y, z, w)   N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem18

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.4	. . . . 5 |- ( ph -> P e. Prime )
2		prmnn 14704	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> P e. NN )
4	3	nncnd 10647	. . 3 |- ( ph -> P e. CC )
5	4	mulid2d 9679	. 2 |- ( ph -> ( 1 x. P ) = P )
6		4sq.7	. . . . . . . . . . . 12 |- M = inf ( T , RR , < )
7		4sq.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
8		ssrab2 3500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { i e. NN | ( i x. P ) e. S } C_ NN
9	7, 8	eqsstri 3448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T C_ NN
10		nnuz 11218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
11	9, 10	sseqtri 3450	. . . . . . . . . . . . 13 |- T C_ ( ZZ>= ` 1 )
12		4sq.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
13		4sq.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N e. NN )
14		4sq.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
15		4sq.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
16	12, 13, 14, 1, 15, 7, 6	4sqlem13 14986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T =/= (/) /\ M < P ) )
17	16	simpld 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T =/= (/) )
18		infssuzcl 11268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ T =/= (/) ) -> inf ( T , RR , < ) e. T )
19	11, 17, 18	sylancr 676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> inf ( T , RR , < ) e. T )
20	6, 19	syl5eqel 2553	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. T )
21		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = M -> ( i x. P ) = ( M x. P ) )
22	21	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = M -> ( ( i x. P ) e. S <-> ( M x. P ) e. S ) )
23	22, 7	elrab2 3186	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. T <-> ( M e. NN /\ ( M x. P ) e. S ) )
24	20, 23	sylib 201	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M e. NN /\ ( M x. P ) e. S ) )
25	24	simprd 470	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M x. P ) e. S )
26	12	4sqlem2 14972	. . . . . . . . 9 |- ( ( M x. P ) e. S <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
27	25, 26	sylib 201	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
28	27	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
29		simp1l 1054	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> ph )
30	29, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> N e. NN )
31	29, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
32	29, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> P e. Prime )
33	29, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
34		simp1r 1055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
35		simp2ll 1097	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> a e. ZZ )
36		simp2lr 1098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> b e. ZZ )
37		simp2rl 1099	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> c e. ZZ )
38		simp2rr 1100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> d e. ZZ )
39		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
40		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
41		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
42		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) = ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
43		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) ) / M ) = ( ( ( ( ( ( ( a + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( b + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( ( ( c + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) + ( ( ( ( d + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) ^ 2 ) ) ) / M )
44		simp3 1032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
45	12, 30, 31, 32, 33, 7, 6, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44	4sqlem17 14990	. . . . . . . . . . . 12 |- -. ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) )
46	45	pm2.21i 136	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) /\ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
47	46	3expia 1233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) ) -> ( ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
48	47	anassrs 660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) /\ ( c e. ZZ /\ d e. ZZ ) ) -> ( ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
49	48	rexlimdvva 2878	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
50	49	rexlimdvva 2878	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ E. c e. ZZ E. d e. ZZ ( M x. P ) = ( ( ( a ^ 2 ) + ( b ^ 2 ) ) + ( ( c ^ 2 ) + ( d ^ 2 ) ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
51	28, 50	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
52	51	pm2.01da 449	. . . . 5 |- ( ph -> -. M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
53	24	simpld 466	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN )
54		elnn1uz2 11258	. . . . . . 7 |- ( M e. NN <-> ( M = 1 \/ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
55	53, 54	sylib 201	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M = 1 \/ M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
56	55	ord 384	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. M = 1 -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
57	52, 56	mt3d 130	. . . 4 |- ( ph -> M = 1 )
58	57, 20	eqeltrrd 2550	. . 3 |- ( ph -> 1 e. T )
59		oveq1 6315	. . . . . 6 |- ( i = 1 -> ( i x. P ) = ( 1 x. P ) )
60	59	eleq1d 2533	. . . . 5 |- ( i = 1 -> ( ( i x. P ) e. S <-> ( 1 x. P ) e. S ) )
61	60, 7	elrab2 3186	. . . 4 |- ( 1 e. T <-> ( 1 e. NN /\ ( 1 x. P ) e. S ) )
62	61	simprbi 471	. . 3 |- ( 1 e. T -> ( 1 x. P ) e. S )
63	58, 62	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( 1 x. P ) e. S )
64	5, 63	eqeltrrd 2550	1 |- ( ph -> P e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   {cab 2457   =/= wne 2641   E.wrex 2757   {crab 2760   C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308  infcinf 7973   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   mod cmo 12129   ^cexp 12310   Primecprime 14701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-gz 14953

This theorem is referenced by:  4sqlem19  14992