Theorem 4sqlem17 13284

Description: Lemma for 4sq 13287. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sq.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2	|- ( ph -> N e. NN )
4sq.3	|- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4	|- ( ph -> P e. Prime )
4sq.5	|- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
4sq.6	|- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
4sq.7	|- M = sup ( T , RR , `' < )
4sq.m	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4sq.a	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sq.b	|- ( ph -> B e. ZZ )
4sq.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
4sq.d	|- ( ph -> D e. ZZ )
4sq.e	|- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.f	|- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.g	|- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.h	|- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.r	|- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
4sq.p	|- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem17	|- -. ph

Distinct variable groups:   w, n, x, y, z   B, n   n, E   n, G   n, H   A, n   C, n   D, n   n, F   i, n, M   n, N   P, i, n   ph, n   S, i, n   R, i

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w, i)   A( x, y, z, w, i)   B( x, y, z, w, i)   C( x, y, z, w, i)   D( x, y, z, w, i)   P( x, y, z, w)   R( x, y, z, w, n)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w, i, n)   E( x, y, z, w, i)   F( x, y, z, w, i)   G( x, y, z, w, i)   H( x, y, z, w, i)   M( x, y, z, w)   N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem17

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.1	. . . . . . 7 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
2		4sq.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN )
3		4sq.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4		4sq.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. Prime )
5		4sq.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
6		4sq.6	. . . . . . 7 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
7		4sq.7	. . . . . . 7 |- M = sup ( T , RR , `' < )
8		4sq.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
9		4sq.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ZZ )
10		4sq.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ZZ )
11		4sq.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. ZZ )
12		4sq.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ZZ )
13		4sq.e	. . . . . . 7 |- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
14		4sq.f	. . . . . . 7 |- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
15		4sq.g	. . . . . . 7 |- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
16		4sq.h	. . . . . . 7 |- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
17		4sq.r	. . . . . . 7 |- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
18		4sq.p	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	4sqlem16 13283	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R <_ M /\ ( ( R = 0 \/ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) ) )
20	19	simpld 446	. . . . 5 |- ( ph -> R <_ M )
21		ssrab2 3388	. . . . . . . . 9 |- { i e. NN | ( i x. P ) e. S } C_ NN
22	6, 21	eqsstri 3338	. . . . . . . 8 |- T C_ NN
23		nnuz 10477	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
24	22, 23	sseqtri 3340	. . . . . . 7 |- T C_ ( ZZ>= ` 1 )
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	4sqlem13 13280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( T =/= (/) /\ M < P ) )
26	25	simpld 446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> T =/= (/) )
27		infmssuzcl 10515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ T =/= (/) ) -> sup ( T , RR , `' < ) e. T )
28	24, 26, 27	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sup ( T , RR , `' < ) e. T )
29	7, 28	syl5eqel 2488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. T )
30	22, 29	sseldi 3306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN )
31	30	nnred 9971	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
32	25	simprd 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M < P )
33	31, 32	ltned 9165	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M =/= P )
34	30	nncnd 9972	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. CC )
35	34	sqvald 11475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
36	35	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) <-> ( M x. M ) || ( M x. P ) ) )
37	30	nnzd 10330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ZZ )
38		prmz 13038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
39	4, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. ZZ )
40	30	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M =/= 0 )
41		dvdscmulr 12833	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ P e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) ) -> ( ( M x. M ) || ( M x. P ) <-> M || P ) )
42	37, 39, 37, 40, 41	syl112anc 1188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( M x. M ) || ( M x. P ) <-> M || P ) )
43		dvdsprm 13054	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. Prime ) -> ( M || P <-> M = P ) )
44	8, 4, 43	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( M || P <-> M = P ) )
45	36, 42, 44	3bitrd 271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) <-> M = P ) )
46	45	necon3bbid 2601	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) <-> M =/= P ) )
47	33, 46	mpbird 224	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) )
48	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	4sqlem14 13281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R e. NN0 )
49		elnn0 10179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. NN0 <-> ( R e. NN \/ R = 0 ) )
50	48, 49	sylib 189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( R e. NN \/ R = 0 ) )
51	50	ord 367	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. R e. NN -> R = 0 ) )
52		orc 375	. . . . . . . . . . 11 |- ( R = 0 -> ( R = 0 \/ R = M ) )
53	19	simprd 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( R = 0 \/ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) )
54	52, 53	syl5 30	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R = 0 -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) )
55	51, 54	syld 42	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -. R e. NN -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) )
56	47, 55	mt3d 119	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. NN )
57		gzreim 13262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + ( _i x. B ) ) e. ZZ [ _i ] )
58	9, 10, 57	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A + ( _i x. B ) ) e. ZZ [ _i ] )
59		gzcn 13255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A + ( _i x. B ) ) e. ZZ [ _i ] -> ( A + ( _i x. B ) ) e. CC )
60	58, 59	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A + ( _i x. B ) ) e. CC )
61	60	absvalsq2d 12200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) ) )
62	9	zred 10331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A e. RR )
63	10	zred 10331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> B e. RR )
64	62, 63	crred 11991	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Re ` ( A + ( _i x. B ) ) ) = A )
65	64	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( Re ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
66	62, 63	crimd 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Im ` ( A + ( _i x. B ) ) ) = B )
67	66	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( Im ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
68	65, 67	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( Re ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
69	61, 68	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
70		gzreim 13262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( C + ( _i x. D ) ) e. ZZ [ _i ] )
71	11, 12, 70	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( C + ( _i x. D ) ) e. ZZ [ _i ] )
72		gzcn 13255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C + ( _i x. D ) ) e. ZZ [ _i ] -> ( C + ( _i x. D ) ) e. CC )
73	71, 72	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( C + ( _i x. D ) ) e. CC )
74	73	absvalsq2d 12200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) )
75	11	zred 10331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> C e. RR )
76	12	zred 10331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> D e. RR )
77	75, 76	crred 11991	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Re ` ( C + ( _i x. D ) ) ) = C )
78	77	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( Re ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) = ( C ^ 2 ) )
79	75, 76	crimd 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Im ` ( C + ( _i x. D ) ) ) = D )
80	79	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( Im ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) = ( D ^ 2 ) )
81	78, 80	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( Re ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) )
82	74, 81	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) = ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) )
83	69, 82	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
84	18, 83	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) )
85	84	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( M x. P ) / M ) = ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) )
86		prmnn 13037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
87	4, 86	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. NN )
88	87	nncnd 9972	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. CC )
89	88, 34, 40	divcan3d 9751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( M x. P ) / M ) = P )
90	85, 89	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) = P )
91	9, 30, 13	4sqlem5 13265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( E e. ZZ /\ ( ( A - E ) / M ) e. ZZ ) )
92	91	simpld 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> E e. ZZ )
93	10, 30, 14	4sqlem5 13265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( F e. ZZ /\ ( ( B - F ) / M ) e. ZZ ) )
94	93	simpld 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F e. ZZ )
95		gzreim 13262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( E e. ZZ /\ F e. ZZ ) -> ( E + ( _i x. F ) ) e. ZZ [ _i ] )
96	92, 94, 95	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( E + ( _i x. F ) ) e. ZZ [ _i ] )
97		gzcn 13255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( E + ( _i x. F ) ) e. ZZ [ _i ] -> ( E + ( _i x. F ) ) e. CC )
98	96, 97	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( E + ( _i x. F ) ) e. CC )
99	98	absvalsq2d 12200	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) ) )
100	92	zred 10331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> E e. RR )
101	94	zred 10331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F e. RR )
102	100, 101	crred 11991	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( Re ` ( E + ( _i x. F ) ) ) = E )
103	102	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( Re ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) = ( E ^ 2 ) )
104	100, 101	crimd 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( Im ` ( E + ( _i x. F ) ) ) = F )
105	104	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( Im ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) = ( F ^ 2 ) )
106	103, 105	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( Re ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) )
107	99, 106	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) = ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) )
108	11, 30, 15	4sqlem5 13265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( G e. ZZ /\ ( ( C - G ) / M ) e. ZZ ) )
109	108	simpld 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> G e. ZZ )
110	12, 30, 16	4sqlem5 13265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( H e. ZZ /\ ( ( D - H ) / M ) e. ZZ ) )
111	110	simpld 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> H e. ZZ )
112		gzreim 13262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G e. ZZ /\ H e. ZZ ) -> ( G + ( _i x. H ) ) e. ZZ [ _i ] )
113	109, 111, 112	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( G + ( _i x. H ) ) e. ZZ [ _i ] )
114		gzcn 13255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G + ( _i x. H ) ) e. ZZ [ _i ] -> ( G + ( _i x. H ) ) e. CC )
115	113, 114	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( G + ( _i x. H ) ) e. CC )
116	115	absvalsq2d 12200	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) )
117	109	zred 10331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> G e. RR )
118	111	zred 10331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> H e. RR )
119	117, 118	crred 11991	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( Re ` ( G + ( _i x. H ) ) ) = G )
120	119	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( Re ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) = ( G ^ 2 ) )
121	117, 118	crimd 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( Im ` ( G + ( _i x. H ) ) ) = H )
122	121	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( Im ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) = ( H ^ 2 ) )
123	120, 122	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( Re ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) )
124	116, 123	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) = ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) )
125	107, 124	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
126	125	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) )
127	126, 17	syl6eqr 2454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) = R )
128	90, 127	oveq12d 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) x. ( ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) ) = ( P x. R ) )
129	56	nncnd 9972	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. CC )
130	88, 129	mulcomd 9065	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P x. R ) = ( R x. P ) )
131	128, 130	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) x. ( ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) ) = ( R x. P ) )
132		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) )
133		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) )
134	9	zcnd 10332	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. CC )
135		ax-icn 9005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _i e. CC
136	10	zcnd 10332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B e. CC )
137		mulcl 9030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. B ) e. CC )
138	135, 136, 137	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( _i x. B ) e. CC )
139	92	zcnd 10332	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> E e. CC )
140	94	zcnd 10332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F e. CC )
141		mulcl 9030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i e. CC /\ F e. CC ) -> ( _i x. F ) e. CC )
142	135, 140, 141	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( _i x. F ) e. CC )
143	134, 138, 139, 142	addsub4d 9414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( A + ( _i x. B ) ) - ( E + ( _i x. F ) ) ) = ( ( A - E ) + ( ( _i x. B ) - ( _i x. F ) ) ) )
144	135	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> _i e. CC )
145	144, 136, 140	subdid 9445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( _i x. ( B - F ) ) = ( ( _i x. B ) - ( _i x. F ) ) )
146	145	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( A - E ) + ( _i x. ( B - F ) ) ) = ( ( A - E ) + ( ( _i x. B ) - ( _i x. F ) ) ) )
147	143, 146	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A + ( _i x. B ) ) - ( E + ( _i x. F ) ) ) = ( ( A - E ) + ( _i x. ( B - F ) ) ) )
148	147	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( A + ( _i x. B ) ) - ( E + ( _i x. F ) ) ) / M ) = ( ( ( A - E ) + ( _i x. ( B - F ) ) ) / M ) )
149	134, 139	subcld 9367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A - E ) e. CC )
150	136, 140	subcld 9367	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B - F ) e. CC )
151		mulcl 9030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( _i e. CC /\ ( B - F ) e. CC ) -> ( _i x. ( B - F ) ) e. CC )
152	135, 150, 151	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( _i x. ( B - F ) ) e. CC )
153	149, 152, 34, 40	divdird 9784	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( A - E ) + ( _i x. ( B - F ) ) ) / M ) = ( ( ( A - E ) / M ) + ( ( _i x. ( B - F ) ) / M ) ) )
154	144, 150, 34, 40	divassd 9781	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( _i x. ( B - F ) ) / M ) = ( _i x. ( ( B - F ) / M ) ) )
155	154	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( A - E ) / M ) + ( ( _i x. ( B - F ) ) / M ) ) = ( ( ( A - E ) / M ) + ( _i x. ( ( B - F ) / M ) ) ) )
156	148, 153, 155	3eqtrd 2440	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( A + ( _i x. B ) ) - ( E + ( _i x. F ) ) ) / M ) = ( ( ( A - E ) / M ) + ( _i x. ( ( B - F ) / M ) ) ) )
157	91	simprd 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A - E ) / M ) e. ZZ )
158	93	simprd 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( B - F ) / M ) e. ZZ )
159		gzreim 13262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A - E ) / M ) e. ZZ /\ ( ( B - F ) / M ) e. ZZ ) -> ( ( ( A - E ) / M ) + ( _i x. ( ( B - F ) / M ) ) ) e. ZZ [ _i ] )
160	157, 158, 159	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( A - E ) / M ) + ( _i x. ( ( B - F ) / M ) ) ) e. ZZ [ _i ] )
161	156, 160	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( A + ( _i x. B ) ) - ( E + ( _i x. F ) ) ) / M ) e. ZZ [ _i ] )
162	11	zcnd 10332	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. CC )
163	12	zcnd 10332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> D e. CC )
164		mulcl 9030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i e. CC /\ D e. CC ) -> ( _i x. D ) e. CC )
165	135, 163, 164	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( _i x. D ) e. CC )
166	109	zcnd 10332	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G e. CC )
167	111	zcnd 10332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> H e. CC )
168		mulcl 9030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i e. CC /\ H e. CC ) -> ( _i x. H ) e. CC )
169	135, 167, 168	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( _i x. H ) e. CC )
170	162, 165, 166, 169	addsub4d 9414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( C + ( _i x. D ) ) - ( G + ( _i x. H ) ) ) = ( ( C - G ) + ( ( _i x. D ) - ( _i x. H ) ) ) )
171	144, 163, 167	subdid 9445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( _i x. ( D - H ) ) = ( ( _i x. D ) - ( _i x. H ) ) )
172	171	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( C - G ) + ( _i x. ( D - H ) ) ) = ( ( C - G ) + ( ( _i x. D ) - ( _i x. H ) ) ) )
173	170, 172	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( C + ( _i x. D ) ) - ( G + ( _i x. H ) ) ) = ( ( C - G ) + ( _i x. ( D - H ) ) ) )
174	173	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( C + ( _i x. D ) ) - ( G + ( _i x. H ) ) ) / M ) = ( ( ( C - G ) + ( _i x. ( D - H ) ) ) / M ) )
175	162, 166	subcld 9367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C - G ) e. CC )
176	163, 167	subcld 9367	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( D - H ) e. CC )
177		mulcl 9030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( _i e. CC /\ ( D - H ) e. CC ) -> ( _i x. ( D - H ) ) e. CC )
178	135, 176, 177	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( _i x. ( D - H ) ) e. CC )
179	175, 178, 34, 40	divdird 9784	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( C - G ) + ( _i x. ( D - H ) ) ) / M ) = ( ( ( C - G ) / M ) + ( ( _i x. ( D - H ) ) / M ) ) )
180	144, 176, 34, 40	divassd 9781	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( _i x. ( D - H ) ) / M ) = ( _i x. ( ( D - H ) / M ) ) )
181	180	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( C - G ) / M ) + ( ( _i x. ( D - H ) ) / M ) ) = ( ( ( C - G ) / M ) + ( _i x. ( ( D - H ) / M ) ) ) )
182	174, 179, 181	3eqtrd 2440	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( C + ( _i x. D ) ) - ( G + ( _i x. H ) ) ) / M ) = ( ( ( C - G ) / M ) + ( _i x. ( ( D - H ) / M ) ) ) )
183	108	simprd 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( C - G ) / M ) e. ZZ )
184	110	simprd 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( D - H ) / M ) e. ZZ )
185		gzreim 13262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C - G ) / M ) e. ZZ /\ ( ( D - H ) / M ) e. ZZ ) -> ( ( ( C - G ) / M ) + ( _i x. ( ( D - H ) / M ) ) ) e. ZZ [ _i ] )
186	183, 184, 185	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( C - G ) / M ) + ( _i x. ( ( D - H ) / M ) ) ) e. ZZ [ _i ] )
187	182, 186	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( C + ( _i x. D ) ) - ( G + ( _i x. H ) ) ) / M ) e. ZZ [ _i ] )
188	87	nnnn0d 10230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. NN0 )
189	90, 188	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) e. NN0 )
190	1, 58, 71, 96, 113, 132, 133, 30, 161, 187, 189	mul4sqlem 13276	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) x. ( ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) ) e. S )
191	131, 190	eqeltrrd 2479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R x. P ) e. S )
192		oveq1 6047	. . . . . . . . . 10 |- ( i = R -> ( i x. P ) = ( R x. P ) )
193	192	eleq1d 2470	. . . . . . . . 9 |- ( i = R -> ( ( i x. P ) e. S <-> ( R x. P ) e. S ) )
194	193, 6	elrab2 3054	. . . . . . . 8 |- ( R e. T <-> ( R e. NN /\ ( R x. P ) e. S ) )
195	56, 191, 194	sylanbrc 646	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. T )
196		infmssuzle 10514	. . . . . . 7 |- ( ( T C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ R e. T ) -> sup ( T , RR , `' < ) <_ R )
197	24, 195, 196	sylancr 645	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( T , RR , `' < ) <_ R )
198	7, 197	syl5eqbr 4205	. . . . 5 |- ( ph -> M <_ R )
199	56	nnred 9971	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. RR )
200	199, 31	letri3d 9171	. . . . 5 |- ( ph -> ( R = M <-> ( R <_ M /\ M <_ R ) ) )
201	20, 198, 200	mpbir2and 889	. . . 4 |- ( ph -> R = M )
202	201	olcd 383	. . 3 |- ( ph -> ( R = 0 \/ R = M ) )
203	202, 53	mpd 15	. 2 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) )
204	203, 47	pm2.65i 167	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   = wceq 1649   e. wcel 1721   {cab 2390   =/= wne 2567   E.wrex 2667   {crab 2670   C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   _ici 8948   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   mod cmo 11205   ^cexp 11337   Recre 11857   Imcim 11858   abscabs 11994   || cdivides 12807   Primecprime 13034   ZZ [ _i ]cgz 13252

This theorem is referenced by:  4sqlem18  13285

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-gz 13253