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Theorem 4sqlem17 14491
Description: Lemma for 4sq 14494. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
4sq.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4sq.3  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4sq.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
4sq.5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
4sq.6  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
4sq.7  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
4sq.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
4sq.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sq.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
4sq.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
4sq.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
4sq.e  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.f  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.g  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.h  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.r  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
4sq.p  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem17  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    B, n   
n, E    n, G    n, H    A, n    C, n    D, n    n, F    i, n, M    n, N    P, i, n    ph, n    S, i, n    R, i
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, i)    A( x, y, z, w, i)    B( x, y, z, w, i)    C( x, y, z, w, i)    D( x, y, z, w, i)    P( x, y, z, w)    R( x, y, z, w, n)    S( x, y, z, w)    T( x, y, z, w, i, n)    E( x, y, z, w, i)    F( x, y, z, w, i)    G( x, y, z, w, i)    H( x, y, z, w, i)    M( x, y, z, w)    N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem17
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . . . . . 7  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
2 4sq.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3 4sq.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4 4sq.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
5 4sq.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
6 4sq.6 . . . . . . 7  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
7 4sq.7 . . . . . . 7  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
8 4sq.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
9 4sq.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
10 4sq.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
11 4sq.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
12 4sq.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
13 4sq.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
14 4sq.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
15 4sq.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
16 4sq.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
17 4sq.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
18 4sq.p . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 184sqlem16 14490 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  <_  M  /\  ( ( R  =  0  \/  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( M  x.  P
) ) ) )
2019simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  <_  M )
21 ssrab2 3581 . . . . . . . . 9  |-  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }  C_  NN
226, 21eqsstri 3529 . . . . . . . 8  |-  T  C_  NN
23 nnuz 11141 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2422, 23sseqtri 3531 . . . . . . 7  |-  T  C_  ( ZZ>= `  1 )
251, 2, 3, 4, 5, 6, 74sqlem13 14487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( T  =/=  (/)  /\  M  <  P ) )
2625simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
27 infmssuzcl 11190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  T  =/=  (/) )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  T
)
2824, 26, 27sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  T )
297, 28syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  T )
3022, 29sseldi 3497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3130nnred 10571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
3225simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  <  P )
3331, 32ltned 9738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =/=  P )
3430nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
3534sqvald 12310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
3635breq1d 4466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  ||  ( M  x.  P )  <->  ( M  x.  M ) 
||  ( M  x.  P ) ) )
3730nnzd 10989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
38 prmz 14233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
394, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
4030nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
41 dvdscmulr 14024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  x.  M )  ||  ( M  x.  P )  <->  M 
||  P ) )
4237, 39, 37, 40, 41syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  M )  ||  ( M  x.  P )  <->  M 
||  P ) )
43 dvdsprm 14252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( M  ||  P  <->  M  =  P ) )
448, 4, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  ||  P  <->  M  =  P ) )
4536, 42, 443bitrd 279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  ||  ( M  x.  P )  <->  M  =  P ) )
4645necon3bbid 2704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  ( M ^ 2 )  ||  ( M  x.  P
)  <->  M  =/=  P
) )
4733, 46mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( M ^
2 )  ||  ( M  x.  P )
)
481, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 184sqlem14 14488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  NN0 )
49 elnn0 10818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  NN0  <->  ( R  e.  NN  \/  R  =  0 ) )
5048, 49sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( R  e.  NN  \/  R  =  0
) )
5150ord 377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  R  e.  NN  ->  R  = 
0 ) )
52 orc 385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  =  0  ->  ( R  =  0  \/  R  =  M )
)
5319simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( R  =  0  \/  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( M  x.  P
) ) )
5452, 53syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  =  0  ->  ( M ^
2 )  ||  ( M  x.  P )
) )
5551, 54syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -.  R  e.  NN  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( M  x.  P
) ) )
5647, 55mt3d 125 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
57 gzreim 14469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i] )
589, 10, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i] )
59 gzcn 14462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC )
6160absvalsq2d 13286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 ) ) )
629zred 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
6310zred 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
6462, 63crred 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  A )
6564oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) ) ^ 2 )  =  ( A ^ 2 ) )
6662, 63crimd 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  B )
6766oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) ) ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) )
6865, 67oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) ) )
6961, 68eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) ) )
70 gzreim 14469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i] )
7111, 12, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i] )
72 gzcn 14462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  CC )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  CC )
7473absvalsq2d 13286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) ) )
7511zred 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
7612zred 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
7775, 76crred 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  =  C )
7877oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) ^ 2 )  =  ( C ^ 2 ) )
7975, 76crimd 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  =  D )
8079oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) ^ 2 )  =  ( D ^ 2 ) )
8178, 80oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
8274, 81eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
8369, 82oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
8418, 83eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) ) )
8584oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  /  M
)  =  ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M ) )
86 prmnn 14232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
874, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
8887nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
8988, 34, 40divcan3d 10346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  /  M
)  =  P )
9085, 89eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  =  P )
919, 30, 134sqlem5 14472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  E )  /  M
)  e.  ZZ ) )
9291simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
9310, 30, 144sqlem5 14472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ZZ  /\  ( ( B  -  F )  /  M
)  e.  ZZ ) )
9493simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
95 gzreim 14469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E  e.  ZZ  /\  F  e.  ZZ )  ->  ( E  +  ( _i  x.  F ) )  e.  ZZ[_i] )
9692, 94, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( E  +  ( _i  x.  F ) )  e.  ZZ[_i] )
97 gzcn 14462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E  +  ( _i  x.  F ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( E  +  ( _i  x.  F ) )  e.  CC )
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( E  +  ( _i  x.  F ) )  e.  CC )
9998absvalsq2d 13286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( E  +  ( _i  x.  F
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 ) ) )
10092zred 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
10194zred 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  e.  RR )
102100, 101crred 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) )  =  E )
103102oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( E  +  (
_i  x.  F )
) ) ^ 2 )  =  ( E ^ 2 ) )
104100, 101crimd 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) )  =  F )
105104oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( E  +  (
_i  x.  F )
) ) ^ 2 )  =  ( F ^ 2 ) )
106103, 105oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( E  +  ( _i  x.  F
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
10799, 106eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
10811, 30, 154sqlem5 14472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ZZ  /\  ( ( C  -  G )  /  M
)  e.  ZZ ) )
109108simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
11012, 30, 164sqlem5 14472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ZZ  /\  ( ( D  -  H )  /  M
)  e.  ZZ ) )
111110simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  H  e.  ZZ )
112 gzreim 14469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  ZZ  /\  H  e.  ZZ )  ->  ( G  +  ( _i  x.  H ) )  e.  ZZ[_i] )
113109, 111, 112syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G  +  ( _i  x.  H ) )  e.  ZZ[_i] )
114 gzcn 14462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  +  ( _i  x.  H ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( G  +  ( _i  x.  H ) )  e.  CC )
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( G  +  ( _i  x.  H ) )  e.  CC )
116115absvalsq2d 13286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( G  +  ( _i  x.  H
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) ) )
117109zred 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G  e.  RR )
118111zred 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  H  e.  RR )
119117, 118crred 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) )  =  G )
120119oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( G  +  (
_i  x.  H )
) ) ^ 2 )  =  ( G ^ 2 ) )
121117, 118crimd 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) )  =  H )
122121oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( G  +  (
_i  x.  H )
) ) ^ 2 )  =  ( H ^ 2 ) )
123120, 122oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( G  +  ( _i  x.  H
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )
124116, 123eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )
125107, 124oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
126125oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
) )
127126, 17syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  =  R )
12890, 127oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  x.  ( ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  /  M ) )  =  ( P  x.  R ) )
12956nncnd 10572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
13088, 129mulcomd 9634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  x.  R
)  =  ( R  x.  P ) )
131128, 130eqtrd 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  x.  ( ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  /  M ) )  =  ( R  x.  P ) )
132 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )
133 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )
1349zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
135 ax-icn 9568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _i  e.  CC
13610zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
137 mulcl 9593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  B
)  e.  CC )
138135, 136, 137sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  B
)  e.  CC )
13992zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
14094zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F  e.  CC )
141 mulcl 9593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  ( _i  x.  F
)  e.  CC )
142135, 140, 141sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  F
)  e.  CC )
143134, 138, 139, 142addsub4d 9997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  -  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) )  =  ( ( A  -  E )  +  ( ( _i  x.  B )  -  (
_i  x.  F )
) ) )
144135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  _i  e.  CC )
145144, 136, 140subdid 10033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( B  -  F )
)  =  ( ( _i  x.  B )  -  ( _i  x.  F ) ) )
146145oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  E )  +  ( _i  x.  ( B  -  F ) ) )  =  ( ( A  -  E )  +  ( ( _i  x.  B )  -  ( _i  x.  F
) ) ) )
147143, 146eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  -  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) )  =  ( ( A  -  E )  +  ( _i  x.  ( B  -  F )
) ) )
148147oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  -  ( E  +  (
_i  x.  F )
) )  /  M
)  =  ( ( ( A  -  E
)  +  ( _i  x.  ( B  -  F ) ) )  /  M ) )
149134, 139subcld 9950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  -  E
)  e.  CC )
150136, 140subcld 9950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  -  F
)  e.  CC )
151 mulcl 9593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( B  -  F
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( B  -  F
) )  e.  CC )
152135, 150, 151sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( B  -  F )
)  e.  CC )
153149, 152, 34, 40divdird 10379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  E )  +  ( _i  x.  ( B  -  F )
) )  /  M
)  =  ( ( ( A  -  E
)  /  M )  +  ( ( _i  x.  ( B  -  F ) )  /  M ) ) )
154144, 150, 34, 40divassd 10376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( B  -  F
) )  /  M
)  =  ( _i  x.  ( ( B  -  F )  /  M ) ) )
155154oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  E )  /  M )  +  ( ( _i  x.  ( B  -  F )
)  /  M ) )  =  ( ( ( A  -  E
)  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( B  -  F )  /  M
) ) ) )
156148, 153, 1553eqtrd 2502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  -  ( E  +  (
_i  x.  F )
) )  /  M
)  =  ( ( ( A  -  E
)  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( B  -  F )  /  M
) ) ) )
15791simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  E )  /  M
)  e.  ZZ )
15893simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  F )  /  M
)  e.  ZZ )
159 gzreim 14469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  -  E )  /  M
)  e.  ZZ  /\  ( ( B  -  F )  /  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A  -  E )  /  M )  +  ( _i  x.  (
( B  -  F
)  /  M ) ) )  e.  ZZ[_i] )
160157, 158, 159syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  E )  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( B  -  F )  /  M ) ) )  e.  ZZ[_i] )
161156, 160eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  -  ( E  +  (
_i  x.  F )
) )  /  M
)  e.  ZZ[_i] )
16211zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
16312zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
164 mulcl 9593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( _i  x.  D
)  e.  CC )
165135, 163, 164sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  D
)  e.  CC )
166109zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
167111zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  H  e.  CC )
168 mulcl 9593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  H  e.  CC )  ->  ( _i  x.  H
)  e.  CC )
169135, 167, 168sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  H
)  e.  CC )
170162, 165, 166, 169addsub4d 9997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C  +  ( _i  x.  D
) )  -  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) )  =  ( ( C  -  G )  +  ( ( _i  x.  D )  -  (
_i  x.  H )
) ) )
171144, 163, 167subdid 10033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( D  -  H )
)  =  ( ( _i  x.  D )  -  ( _i  x.  H ) ) )
172171oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  G )  +  ( _i  x.  ( D  -  H ) ) )  =  ( ( C  -  G )  +  ( ( _i  x.  D )  -  ( _i  x.  H
) ) ) )
173170, 172eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  +  ( _i  x.  D
) )  -  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) )  =  ( ( C  -  G )  +  ( _i  x.  ( D  -  H )
) ) )
174173oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  +  ( _i  x.  D ) )  -  ( G  +  (
_i  x.  H )
) )  /  M
)  =  ( ( ( C  -  G
)  +  ( _i  x.  ( D  -  H ) ) )  /  M ) )
175162, 166subcld 9950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  -  G
)  e.  CC )
176163, 167subcld 9950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  -  H
)  e.  CC )
177 mulcl 9593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( D  -  H
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( D  -  H
) )  e.  CC )
178135, 176, 177sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( D  -  H )
)  e.  CC )
179175, 178, 34, 40divdird 10379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  -  G )  +  ( _i  x.  ( D  -  H )
) )  /  M
)  =  ( ( ( C  -  G
)  /  M )  +  ( ( _i  x.  ( D  -  H ) )  /  M ) ) )
180144, 176, 34, 40divassd 10376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( D  -  H
) )  /  M
)  =  ( _i  x.  ( ( D  -  H )  /  M ) ) )
181180oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  -  G )  /  M )  +  ( ( _i  x.  ( D  -  H )
)  /  M ) )  =  ( ( ( C  -  G
)  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( D  -  H )  /  M
) ) ) )
182174, 179, 1813eqtrd 2502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  +  ( _i  x.  D ) )  -  ( G  +  (
_i  x.  H )
) )  /  M
)  =  ( ( ( C  -  G
)  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( D  -  H )  /  M
) ) ) )
183108simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  G )  /  M
)  e.  ZZ )
184110simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( D  -  H )  /  M
)  e.  ZZ )
185 gzreim 14469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  -  G )  /  M
)  e.  ZZ  /\  ( ( D  -  H )  /  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( C  -  G )  /  M )  +  ( _i  x.  (
( D  -  H
)  /  M ) ) )  e.  ZZ[_i] )
186183, 184, 185syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  -  G )  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( D  -  H )  /  M ) ) )  e.  ZZ[_i] )
187182, 186eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  +  ( _i  x.  D ) )  -  ( G  +  (
_i  x.  H )
) )  /  M
)  e.  ZZ[_i] )
18887nnnn0d 10873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
18990, 188eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  e. 
NN0 )
1901, 58, 71, 96, 113, 132, 133, 30, 161, 187, 189mul4sqlem 14483 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  x.  ( ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  /  M ) )  e.  S )
191131, 190eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  x.  P
)  e.  S )
192 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  R  ->  (
i  x.  P )  =  ( R  x.  P ) )
193192eleq1d 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  R  ->  (
( i  x.  P
)  e.  S  <->  ( R  x.  P )  e.  S
) )
194193, 6elrab2 3259 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  T  <->  ( R  e.  NN  /\  ( R  x.  P )  e.  S ) )
19556, 191, 194sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  T )
196 infmssuzle 11189 . . . . . . 7  |-  ( ( T  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  R  e.  T )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_  R
)
19724, 195, 196sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_  R )
1987, 197syl5eqbr 4489 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  <_  R )
19956nnred 10571 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
200199, 31letri3d 9744 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  =  M  <-> 
( R  <_  M  /\  M  <_  R ) ) )
20120, 198, 200mpbir2and 922 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  =  M )
202201olcd 393 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  =  0  \/  R  =  M ) )
203202, 53mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( M  x.  P ) )
204203, 47pm2.65i 173 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442    =/= wne 2652   E.wrex 2808   {crab 2811    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   `'ccnv 5007   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   _ici 9511    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697    mod cmo 11999   ^cexp 12169   Recre 12942   Imcim 12943   abscabs 13079    || cdvds 13998   Primecprime 14229   ZZ[_i]cgz 14459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230  df-gz 14460
This theorem is referenced by:  4sqlem18  14492
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