MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem17 Structured version   Unicode version

Theorem 4sqlem17 14034
Description: Lemma for 4sq 14037. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
4sq.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4sq.3  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4sq.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
4sq.5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
4sq.6  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
4sq.7  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
4sq.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
4sq.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sq.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
4sq.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
4sq.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
4sq.e  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.f  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.g  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.h  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.r  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
4sq.p  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem17  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    B, n   
n, E    n, G    n, H    A, n    C, n    D, n    n, F    i, n, M    n, N    P, i, n    ph, n    S, i, n    R, i
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, i)    A( x, y, z, w, i)    B( x, y, z, w, i)    C( x, y, z, w, i)    D( x, y, z, w, i)    P( x, y, z, w)    R( x, y, z, w, n)    S( x, y, z, w)    T( x, y, z, w, i, n)    E( x, y, z, w, i)    F( x, y, z, w, i)    G( x, y, z, w, i)    H( x, y, z, w, i)    M( x, y, z, w)    N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem17
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . . . . . 7  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
2 4sq.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3 4sq.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4 4sq.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
5 4sq.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
6 4sq.6 . . . . . . 7  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
7 4sq.7 . . . . . . 7  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
8 4sq.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
9 4sq.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
10 4sq.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
11 4sq.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
12 4sq.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
13 4sq.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
14 4sq.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
15 4sq.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
16 4sq.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
17 4sq.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
18 4sq.p . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 184sqlem16 14033 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  <_  M  /\  ( ( R  =  0  \/  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( M  x.  P
) ) ) )
2019simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  <_  M )
21 ssrab2 3449 . . . . . . . . 9  |-  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }  C_  NN
226, 21eqsstri 3398 . . . . . . . 8  |-  T  C_  NN
23 nnuz 10908 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2422, 23sseqtri 3400 . . . . . . 7  |-  T  C_  ( ZZ>= `  1 )
251, 2, 3, 4, 5, 6, 74sqlem13 14030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( T  =/=  (/)  /\  M  <  P ) )
2625simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
27 infmssuzcl 10950 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  T  =/=  (/) )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  T
)
2824, 26, 27sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  T )
297, 28syl5eqel 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  T )
3022, 29sseldi 3366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3130nnred 10349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
3225simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  <  P )
3331, 32ltned 9522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =/=  P )
3430nncnd 10350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
3534sqvald 12017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
3635breq1d 4314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  ||  ( M  x.  P )  <->  ( M  x.  M ) 
||  ( M  x.  P ) ) )
3730nnzd 10758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
38 prmz 13779 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
394, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
4030nnne0d 10378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
41 dvdscmulr 13573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  x.  M )  ||  ( M  x.  P )  <->  M 
||  P ) )
4237, 39, 37, 40, 41syl112anc 1222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  M )  ||  ( M  x.  P )  <->  M 
||  P ) )
43 dvdsprm 13797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( M  ||  P  <->  M  =  P ) )
448, 4, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  ||  P  <->  M  =  P ) )
4536, 42, 443bitrd 279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  ||  ( M  x.  P )  <->  M  =  P ) )
4645necon3bbid 2654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  ( M ^ 2 )  ||  ( M  x.  P
)  <->  M  =/=  P
) )
4733, 46mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( M ^
2 )  ||  ( M  x.  P )
)
481, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 184sqlem14 14031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  e.  NN0 )
49 elnn0 10593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  NN0  <->  ( R  e.  NN  \/  R  =  0 ) )
5048, 49sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( R  e.  NN  \/  R  =  0
) )
5150ord 377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  R  e.  NN  ->  R  = 
0 ) )
52 orc 385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  =  0  ->  ( R  =  0  \/  R  =  M )
)
5319simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( R  =  0  \/  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( M  x.  P
) ) )
5452, 53syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  =  0  ->  ( M ^
2 )  ||  ( M  x.  P )
) )
5551, 54syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -.  R  e.  NN  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( M  x.  P
) ) )
5647, 55mt3d 125 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
57 gzreim 14012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i] )
589, 10, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i] )
59 gzcn 14005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC )
6160absvalsq2d 12941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 ) ) )
629zred 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
6310zred 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
6462, 63crred 12732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  A )
6564oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) ) ^ 2 )  =  ( A ^ 2 ) )
6662, 63crimd 12733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  B )
6766oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) ) ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) )
6865, 67oveq12d 6121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) ) )
6961, 68eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) ) )
70 gzreim 14012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i] )
7111, 12, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i] )
72 gzcn 14005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  CC )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  CC )
7473absvalsq2d 12941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) ) )
7511zred 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
7612zred 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
7775, 76crred 12732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  =  C )
7877oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) ^ 2 )  =  ( C ^ 2 ) )
7975, 76crimd 12733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  =  D )
8079oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) ^ 2 )  =  ( D ^ 2 ) )
8178, 80oveq12d 6121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
8274, 81eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
8369, 82oveq12d 6121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
8418, 83eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) ) )
8584oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  /  M
)  =  ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M ) )
86 prmnn 13778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
874, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
8887nncnd 10350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
8988, 34, 40divcan3d 10124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  /  M
)  =  P )
9085, 89eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  =  P )
919, 30, 134sqlem5 14015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  E )  /  M
)  e.  ZZ ) )
9291simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
9310, 30, 144sqlem5 14015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ZZ  /\  ( ( B  -  F )  /  M
)  e.  ZZ ) )
9493simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
95 gzreim 14012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E  e.  ZZ  /\  F  e.  ZZ )  ->  ( E  +  ( _i  x.  F ) )  e.  ZZ[_i] )
9692, 94, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( E  +  ( _i  x.  F ) )  e.  ZZ[_i] )
97 gzcn 14005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E  +  ( _i  x.  F ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( E  +  ( _i  x.  F ) )  e.  CC )
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( E  +  ( _i  x.  F ) )  e.  CC )
9998absvalsq2d 12941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( E  +  ( _i  x.  F
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 ) ) )
10092zred 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
10194zred 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  e.  RR )
102100, 101crred 12732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) )  =  E )
103102oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( E  +  (
_i  x.  F )
) ) ^ 2 )  =  ( E ^ 2 ) )
104100, 101crimd 12733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) )  =  F )
105104oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( E  +  (
_i  x.  F )
) ) ^ 2 )  =  ( F ^ 2 ) )
106103, 105oveq12d 6121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( E  +  ( _i  x.  F
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
10799, 106eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )
10811, 30, 154sqlem5 14015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ZZ  /\  ( ( C  -  G )  /  M
)  e.  ZZ ) )
109108simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
11012, 30, 164sqlem5 14015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ZZ  /\  ( ( D  -  H )  /  M
)  e.  ZZ ) )
111110simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  H  e.  ZZ )
112 gzreim 14012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  ZZ  /\  H  e.  ZZ )  ->  ( G  +  ( _i  x.  H ) )  e.  ZZ[_i] )
113109, 111, 112syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G  +  ( _i  x.  H ) )  e.  ZZ[_i] )
114 gzcn 14005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  +  ( _i  x.  H ) )  e.  ZZ[_i]  ->  ( G  +  ( _i  x.  H ) )  e.  CC )
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( G  +  ( _i  x.  H ) )  e.  CC )
116115absvalsq2d 12941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( G  +  ( _i  x.  H
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) ) )
117109zred 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G  e.  RR )
118111zred 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  H  e.  RR )
119117, 118crred 12732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) )  =  G )
120119oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( G  +  (
_i  x.  H )
) ) ^ 2 )  =  ( G ^ 2 ) )
121117, 118crimd 12733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) )  =  H )
122121oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( G  +  (
_i  x.  H )
) ) ^ 2 )  =  ( H ^ 2 ) )
123120, 122oveq12d 6121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( G  +  ( _i  x.  H
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )
124116, 123eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )
125107, 124oveq12d 6121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
126125oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
) )
127126, 17syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  =  R )
12890, 127oveq12d 6121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  x.  ( ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  /  M ) )  =  ( P  x.  R ) )
12956nncnd 10350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
13088, 129mulcomd 9419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  x.  R
)  =  ( R  x.  P ) )
131128, 130eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  x.  ( ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  /  M ) )  =  ( R  x.  P ) )
132 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )
133 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )
1349zcnd 10760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
135 ax-icn 9353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _i  e.  CC
13610zcnd 10760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
137 mulcl 9378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  B
)  e.  CC )
138135, 136, 137sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  B
)  e.  CC )
13992zcnd 10760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
14094zcnd 10760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F  e.  CC )
141 mulcl 9378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  F  e.  CC )  ->  ( _i  x.  F
)  e.  CC )
142135, 140, 141sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  F
)  e.  CC )
143134, 138, 139, 142addsub4d 9778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  -  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) )  =  ( ( A  -  E )  +  ( ( _i  x.  B )  -  (
_i  x.  F )
) ) )
144135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  _i  e.  CC )
145144, 136, 140subdid 9812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( B  -  F )
)  =  ( ( _i  x.  B )  -  ( _i  x.  F ) ) )
146145oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  E )  +  ( _i  x.  ( B  -  F ) ) )  =  ( ( A  -  E )  +  ( ( _i  x.  B )  -  ( _i  x.  F
) ) ) )
147143, 146eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  -  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) )  =  ( ( A  -  E )  +  ( _i  x.  ( B  -  F )
) ) )
148147oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  -  ( E  +  (
_i  x.  F )
) )  /  M
)  =  ( ( ( A  -  E
)  +  ( _i  x.  ( B  -  F ) ) )  /  M ) )
149134, 139subcld 9731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  -  E
)  e.  CC )
150136, 140subcld 9731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  -  F
)  e.  CC )
151 mulcl 9378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( B  -  F
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( B  -  F
) )  e.  CC )
152135, 150, 151sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( B  -  F )
)  e.  CC )
153149, 152, 34, 40divdird 10157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  E )  +  ( _i  x.  ( B  -  F )
) )  /  M
)  =  ( ( ( A  -  E
)  /  M )  +  ( ( _i  x.  ( B  -  F ) )  /  M ) ) )
154144, 150, 34, 40divassd 10154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( B  -  F
) )  /  M
)  =  ( _i  x.  ( ( B  -  F )  /  M ) ) )
155154oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  E )  /  M )  +  ( ( _i  x.  ( B  -  F )
)  /  M ) )  =  ( ( ( A  -  E
)  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( B  -  F )  /  M
) ) ) )
156148, 153, 1553eqtrd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  -  ( E  +  (
_i  x.  F )
) )  /  M
)  =  ( ( ( A  -  E
)  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( B  -  F )  /  M
) ) ) )
15791simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  E )  /  M
)  e.  ZZ )
15893simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  F )  /  M
)  e.  ZZ )
159 gzreim 14012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  -  E )  /  M
)  e.  ZZ  /\  ( ( B  -  F )  /  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A  -  E )  /  M )  +  ( _i  x.  (
( B  -  F
)  /  M ) ) )  e.  ZZ[_i] )
160157, 158, 159syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  -  E )  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( B  -  F )  /  M ) ) )  e.  ZZ[_i] )
161156, 160eqeltrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  -  ( E  +  (
_i  x.  F )
) )  /  M
)  e.  ZZ[_i] )
16211zcnd 10760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
16312zcnd 10760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
164 mulcl 9378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( _i  x.  D
)  e.  CC )
165135, 163, 164sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  D
)  e.  CC )
166109zcnd 10760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
167111zcnd 10760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  H  e.  CC )
168 mulcl 9378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  H  e.  CC )  ->  ( _i  x.  H
)  e.  CC )
169135, 167, 168sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  H
)  e.  CC )
170162, 165, 166, 169addsub4d 9778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C  +  ( _i  x.  D
) )  -  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) )  =  ( ( C  -  G )  +  ( ( _i  x.  D )  -  (
_i  x.  H )
) ) )
171144, 163, 167subdid 9812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( D  -  H )
)  =  ( ( _i  x.  D )  -  ( _i  x.  H ) ) )
172171oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  G )  +  ( _i  x.  ( D  -  H ) ) )  =  ( ( C  -  G )  +  ( ( _i  x.  D )  -  ( _i  x.  H
) ) ) )
173170, 172eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  +  ( _i  x.  D
) )  -  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) )  =  ( ( C  -  G )  +  ( _i  x.  ( D  -  H )
) ) )
174173oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  +  ( _i  x.  D ) )  -  ( G  +  (
_i  x.  H )
) )  /  M
)  =  ( ( ( C  -  G
)  +  ( _i  x.  ( D  -  H ) ) )  /  M ) )
175162, 166subcld 9731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  -  G
)  e.  CC )
176163, 167subcld 9731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  -  H
)  e.  CC )
177 mulcl 9378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( D  -  H
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( D  -  H
) )  e.  CC )
178135, 176, 177sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( D  -  H )
)  e.  CC )
179175, 178, 34, 40divdird 10157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  -  G )  +  ( _i  x.  ( D  -  H )
) )  /  M
)  =  ( ( ( C  -  G
)  /  M )  +  ( ( _i  x.  ( D  -  H ) )  /  M ) ) )
180144, 176, 34, 40divassd 10154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( D  -  H
) )  /  M
)  =  ( _i  x.  ( ( D  -  H )  /  M ) ) )
181180oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  -  G )  /  M )  +  ( ( _i  x.  ( D  -  H )
)  /  M ) )  =  ( ( ( C  -  G
)  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( D  -  H )  /  M
) ) ) )
182174, 179, 1813eqtrd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  +  ( _i  x.  D ) )  -  ( G  +  (
_i  x.  H )
) )  /  M
)  =  ( ( ( C  -  G
)  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( D  -  H )  /  M
) ) ) )
183108simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  G )  /  M
)  e.  ZZ )
184110simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( D  -  H )  /  M
)  e.  ZZ )
185 gzreim 14012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  -  G )  /  M
)  e.  ZZ  /\  ( ( D  -  H )  /  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( C  -  G )  /  M )  +  ( _i  x.  (
( D  -  H
)  /  M ) ) )  e.  ZZ[_i] )
186183, 184, 185syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  -  G )  /  M )  +  ( _i  x.  ( ( D  -  H )  /  M ) ) )  e.  ZZ[_i] )
187182, 186eqeltrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  +  ( _i  x.  D ) )  -  ( G  +  (
_i  x.  H )
) )  /  M
)  e.  ZZ[_i] )
18887nnnn0d 10648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
18990, 188eqeltrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  e. 
NN0 )
1901, 58, 71, 96, 113, 132, 133, 30, 161, 187, 189mul4sqlem 14026 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  /  M )  x.  ( ( ( ( abs `  ( E  +  ( _i  x.  F ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( G  +  ( _i  x.  H ) ) ) ^ 2 ) )  /  M ) )  e.  S )
191131, 190eqeltrrd 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  x.  P
)  e.  S )
192 oveq1 6110 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  R  ->  (
i  x.  P )  =  ( R  x.  P ) )
193192eleq1d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  R  ->  (
( i  x.  P
)  e.  S  <->  ( R  x.  P )  e.  S
) )
194193, 6elrab2 3131 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  T  <->  ( R  e.  NN  /\  ( R  x.  P )  e.  S ) )
19556, 191, 194sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  T )
196 infmssuzle 10949 . . . . . . 7  |-  ( ( T  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  R  e.  T )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_  R
)
19724, 195, 196sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_  R )
1987, 197syl5eqbr 4337 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  <_  R )
19956nnred 10349 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
200199, 31letri3d 9528 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  =  M  <-> 
( R  <_  M  /\  M  <_  R ) ) )
20120, 198, 200mpbir2and 913 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  =  M )
202201olcd 393 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  =  0  \/  R  =  M ) )
203202, 53mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( M  x.  P ) )
204203, 47pm2.65i 173 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429    =/= wne 2618   E.wrex 2728   {crab 2731    C_ wss 3340   (/)c0 3649   class class class wbr 4304   `'ccnv 4851   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   supcsup 7702   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295   _ici 9296    + caddc 9297    x. cmul 9299    < clt 9430    <_ cle 9431    - cmin 9607    / cdiv 10005   NNcn 10334   2c2 10383   NN0cn0 10591   ZZcz 10658   ZZ>=cuz 10873   ...cfz 11449    mod cmo 11720   ^cexp 11877   Recre 12598   Imcim 12599   abscabs 12735    || cdivides 13547   Primecprime 13775   ZZ[_i]cgz 14002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-fz 11450  df-fl 11654  df-mod 11721  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-dvds 13548  df-gcd 13703  df-prm 13776  df-gz 14003
This theorem is referenced by:  4sqlem18  14035
  Copyright terms: Public domain W3C validator