Theorem 4sqlem17 14960

Description: Lemma for 4sq 14963. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sq.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2	|- ( ph -> N e. NN )
4sq.3	|- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4	|- ( ph -> P e. Prime )
4sq.5	|- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
4sq.6	|- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
4sq.7	|- M = inf ( T , RR , < )
4sq.m	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4sq.a	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sq.b	|- ( ph -> B e. ZZ )
4sq.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
4sq.d	|- ( ph -> D e. ZZ )
4sq.e	|- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.f	|- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.g	|- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.h	|- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.r	|- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
4sq.p	|- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem17	|- -. ph

Distinct variable groups:   w, n, x, y, z   B, n   n, E   n, G   n, H   A, n   C, n   D, n   n, F   i, n, M   n, N   P, i, n   ph, n   S, i, n   R, i

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w, i)   A( x, y, z, w, i)   B( x, y, z, w, i)   C( x, y, z, w, i)   D( x, y, z, w, i)   P( x, y, z, w)   R( x, y, z, w, n)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w, i, n)   E( x, y, z, w, i)   F( x, y, z, w, i)   G( x, y, z, w, i)   H( x, y, z, w, i)   M( x, y, z, w)   N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem17

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.1	. . . . . . 7 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
2		4sq.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN )
3		4sq.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4		4sq.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. Prime )
5		4sq.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
6		4sq.6	. . . . . . 7 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
7		4sq.7	. . . . . . 7 |- M = inf ( T , RR , < )
8		4sq.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
9		4sq.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ZZ )
10		4sq.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ZZ )
11		4sq.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. ZZ )
12		4sq.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ZZ )
13		4sq.e	. . . . . . 7 |- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
14		4sq.f	. . . . . . 7 |- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
15		4sq.g	. . . . . . 7 |- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
16		4sq.h	. . . . . . 7 |- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
17		4sq.r	. . . . . . 7 |- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
18		4sq.p	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	4sqlem16 14959	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R <_ M /\ ( ( R = 0 \/ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) ) )
20	19	simpld 465	. . . . 5 |- ( ph -> R <_ M )
21		ssrab2 3526	. . . . . . . . 9 |- { i e. NN | ( i x. P ) e. S } C_ NN
22	6, 21	eqsstri 3474	. . . . . . . 8 |- T C_ NN
23		nnuz 11223	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
24	22, 23	sseqtri 3476	. . . . . . 7 |- T C_ ( ZZ>= ` 1 )
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	4sqlem13 14956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( T =/= (/) /\ M < P ) )
26	25	simpld 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> T =/= (/) )
27		infssuzcl 11274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ T =/= (/) ) -> inf ( T , RR , < ) e. T )
28	24, 26, 27	sylancr 674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> inf ( T , RR , < ) e. T )
29	7, 28	syl5eqel 2544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. T )
30	22, 29	sseldi 3442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN )
31	30	nnred 10652	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
32	25	simprd 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M < P )
33	31, 32	ltned 9797	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M =/= P )
34	30	nncnd 10653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. CC )
35	34	sqvald 12445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
36	35	breq1d 4426	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) <-> ( M x. M ) || ( M x. P ) ) )
37	30	nnzd 11068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ZZ )
38		prmz 14675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
39	4, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. ZZ )
40	30	nnne0d 10682	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M =/= 0 )
41		dvdscmulr 14380	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ P e. ZZ /\ ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) ) -> ( ( M x. M ) || ( M x. P ) <-> M || P ) )
42	37, 39, 37, 40, 41	syl112anc 1280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( M x. M ) || ( M x. P ) <-> M || P ) )
43		dvdsprm 14696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. Prime ) -> ( M || P <-> M = P ) )
44	8, 4, 43	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( M || P <-> M = P ) )
45	36, 42, 44	3bitrd 287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) <-> M = P ) )
46	45	necon3bbid 2673	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) <-> M =/= P ) )
47	33, 46	mpbird 240	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) )
48	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	4sqlem14 14957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R e. NN0 )
49		elnn0 10900	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. NN0 <-> ( R e. NN \/ R = 0 ) )
50	48, 49	sylib 201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( R e. NN \/ R = 0 ) )
51	50	ord 383	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. R e. NN -> R = 0 ) )
52		orc 391	. . . . . . . . . . 11 |- ( R = 0 -> ( R = 0 \/ R = M ) )
53	19	simprd 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( R = 0 \/ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) )
54	52, 53	syl5 33	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R = 0 -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) )
55	51, 54	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -. R e. NN -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) )
56	47, 55	mt3d 130	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. NN )
57		gzreim 14932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + ( _i x. B ) ) e. ZZ[_i] )
58	9, 10, 57	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A + ( _i x. B ) ) e. ZZ[_i] )
59		gzcn 14925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A + ( _i x. B ) ) e. ZZ[_i] -> ( A + ( _i x. B ) ) e. CC )
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A + ( _i x. B ) ) e. CC )
61	60	absvalsq2d 13554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) ) )
62	9	zred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A e. RR )
63	10	zred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> B e. RR )
64	62, 63	crred 13343	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Re ` ( A + ( _i x. B ) ) ) = A )
65	64	oveq1d 6330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( Re ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
66	62, 63	crimd 13344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Im ` ( A + ( _i x. B ) ) ) = B )
67	66	oveq1d 6330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( Im ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
68	65, 67	oveq12d 6333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( Re ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
69	61, 68	eqtrd 2496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
70		gzreim 14932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( C + ( _i x. D ) ) e. ZZ[_i] )
71	11, 12, 70	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( C + ( _i x. D ) ) e. ZZ[_i] )
72		gzcn 14925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C + ( _i x. D ) ) e. ZZ[_i] -> ( C + ( _i x. D ) ) e. CC )
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( C + ( _i x. D ) ) e. CC )
74	73	absvalsq2d 13554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) )
75	11	zred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> C e. RR )
76	12	zred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> D e. RR )
77	75, 76	crred 13343	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Re ` ( C + ( _i x. D ) ) ) = C )
78	77	oveq1d 6330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( Re ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) = ( C ^ 2 ) )
79	75, 76	crimd 13344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Im ` ( C + ( _i x. D ) ) ) = D )
80	79	oveq1d 6330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( Im ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) = ( D ^ 2 ) )
81	78, 80	oveq12d 6333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( Re ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) )
82	74, 81	eqtrd 2496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) = ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) )
83	69, 82	oveq12d 6333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
84	18, 83	eqtr4d 2499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) )
85	84	oveq1d 6330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( M x. P ) / M ) = ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) )
86		prmnn 14674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
87	4, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. NN )
88	87	nncnd 10653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. CC )
89	88, 34, 40	divcan3d 10416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( M x. P ) / M ) = P )
90	85, 89	eqtr3d 2498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) = P )
91	9, 30, 13	4sqlem5 14935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( E e. ZZ /\ ( ( A - E ) / M ) e. ZZ ) )
92	91	simpld 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> E e. ZZ )
93	10, 30, 14	4sqlem5 14935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( F e. ZZ /\ ( ( B - F ) / M ) e. ZZ ) )
94	93	simpld 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F e. ZZ )
95		gzreim 14932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( E e. ZZ /\ F e. ZZ ) -> ( E + ( _i x. F ) ) e. ZZ[_i] )
96	92, 94, 95	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( E + ( _i x. F ) ) e. ZZ[_i] )
97		gzcn 14925	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( E + ( _i x. F ) ) e. ZZ[_i] -> ( E + ( _i x. F ) ) e. CC )
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( E + ( _i x. F ) ) e. CC )
99	98	absvalsq2d 13554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) ) )
100	92	zred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> E e. RR )
101	94	zred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F e. RR )
102	100, 101	crred 13343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( Re ` ( E + ( _i x. F ) ) ) = E )
103	102	oveq1d 6330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( Re ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) = ( E ^ 2 ) )
104	100, 101	crimd 13344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( Im ` ( E + ( _i x. F ) ) ) = F )
105	104	oveq1d 6330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( Im ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) = ( F ^ 2 ) )
106	103, 105	oveq12d 6333	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( Re ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) )
107	99, 106	eqtrd 2496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) = ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) )
108	11, 30, 15	4sqlem5 14935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( G e. ZZ /\ ( ( C - G ) / M ) e. ZZ ) )
109	108	simpld 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> G e. ZZ )
110	12, 30, 16	4sqlem5 14935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( H e. ZZ /\ ( ( D - H ) / M ) e. ZZ ) )
111	110	simpld 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> H e. ZZ )
112		gzreim 14932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G e. ZZ /\ H e. ZZ ) -> ( G + ( _i x. H ) ) e. ZZ[_i] )
113	109, 111, 112	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( G + ( _i x. H ) ) e. ZZ[_i] )
114		gzcn 14925	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G + ( _i x. H ) ) e. ZZ[_i] -> ( G + ( _i x. H ) ) e. CC )
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( G + ( _i x. H ) ) e. CC )
116	115	absvalsq2d 13554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) )
117	109	zred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> G e. RR )
118	111	zred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> H e. RR )
119	117, 118	crred 13343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( Re ` ( G + ( _i x. H ) ) ) = G )
120	119	oveq1d 6330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( Re ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) = ( G ^ 2 ) )
121	117, 118	crimd 13344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( Im ` ( G + ( _i x. H ) ) ) = H )
122	121	oveq1d 6330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( Im ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) = ( H ^ 2 ) )
123	120, 122	oveq12d 6333	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( Re ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) )
124	116, 123	eqtrd 2496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) = ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) )
125	107, 124	oveq12d 6333	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
126	125	oveq1d 6330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) )
127	126, 17	syl6eqr 2514	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) = R )
128	90, 127	oveq12d 6333	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) x. ( ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) ) = ( P x. R ) )
129	56	nncnd 10653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. CC )
130	88, 129	mulcomd 9690	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P x. R ) = ( R x. P ) )
131	128, 130	eqtrd 2496	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) x. ( ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) ) = ( R x. P ) )
132		eqid 2462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) )
133		eqid 2462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) )
134	9	zcnd 11070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. CC )
135		ax-icn 9624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _i e. CC
136	10	zcnd 11070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B e. CC )
137		mulcl 9649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. B ) e. CC )
138	135, 136, 137	sylancr 674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( _i x. B ) e. CC )
139	92	zcnd 11070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> E e. CC )
140	94	zcnd 11070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F e. CC )
141		mulcl 9649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i e. CC /\ F e. CC ) -> ( _i x. F ) e. CC )
142	135, 140, 141	sylancr 674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( _i x. F ) e. CC )
143	134, 138, 139, 142	addsub4d 10059	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( A + ( _i x. B ) ) - ( E + ( _i x. F ) ) ) = ( ( A - E ) + ( ( _i x. B ) - ( _i x. F ) ) ) )
144	135	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> _i e. CC )
145	144, 136, 140	subdid 10102	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( _i x. ( B - F ) ) = ( ( _i x. B ) - ( _i x. F ) ) )
146	145	oveq2d 6331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( A - E ) + ( _i x. ( B - F ) ) ) = ( ( A - E ) + ( ( _i x. B ) - ( _i x. F ) ) ) )
147	143, 146	eqtr4d 2499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A + ( _i x. B ) ) - ( E + ( _i x. F ) ) ) = ( ( A - E ) + ( _i x. ( B - F ) ) ) )
148	147	oveq1d 6330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( A + ( _i x. B ) ) - ( E + ( _i x. F ) ) ) / M ) = ( ( ( A - E ) + ( _i x. ( B - F ) ) ) / M ) )
149	134, 139	subcld 10012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A - E ) e. CC )
150	136, 140	subcld 10012	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B - F ) e. CC )
151		mulcl 9649	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( _i e. CC /\ ( B - F ) e. CC ) -> ( _i x. ( B - F ) ) e. CC )
152	135, 150, 151	sylancr 674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( _i x. ( B - F ) ) e. CC )
153	149, 152, 34, 40	divdird 10449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( A - E ) + ( _i x. ( B - F ) ) ) / M ) = ( ( ( A - E ) / M ) + ( ( _i x. ( B - F ) ) / M ) ) )
154	144, 150, 34, 40	divassd 10446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( _i x. ( B - F ) ) / M ) = ( _i x. ( ( B - F ) / M ) ) )
155	154	oveq2d 6331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( A - E ) / M ) + ( ( _i x. ( B - F ) ) / M ) ) = ( ( ( A - E ) / M ) + ( _i x. ( ( B - F ) / M ) ) ) )
156	148, 153, 155	3eqtrd 2500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( A + ( _i x. B ) ) - ( E + ( _i x. F ) ) ) / M ) = ( ( ( A - E ) / M ) + ( _i x. ( ( B - F ) / M ) ) ) )
157	91	simprd 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A - E ) / M ) e. ZZ )
158	93	simprd 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( B - F ) / M ) e. ZZ )
159		gzreim 14932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A - E ) / M ) e. ZZ /\ ( ( B - F ) / M ) e. ZZ ) -> ( ( ( A - E ) / M ) + ( _i x. ( ( B - F ) / M ) ) ) e. ZZ[_i] )
160	157, 158, 159	syl2anc 671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( A - E ) / M ) + ( _i x. ( ( B - F ) / M ) ) ) e. ZZ[_i] )
161	156, 160	eqeltrd 2540	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( A + ( _i x. B ) ) - ( E + ( _i x. F ) ) ) / M ) e. ZZ[_i] )
162	11	zcnd 11070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. CC )
163	12	zcnd 11070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> D e. CC )
164		mulcl 9649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i e. CC /\ D e. CC ) -> ( _i x. D ) e. CC )
165	135, 163, 164	sylancr 674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( _i x. D ) e. CC )
166	109	zcnd 11070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G e. CC )
167	111	zcnd 11070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> H e. CC )
168		mulcl 9649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i e. CC /\ H e. CC ) -> ( _i x. H ) e. CC )
169	135, 167, 168	sylancr 674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( _i x. H ) e. CC )
170	162, 165, 166, 169	addsub4d 10059	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( C + ( _i x. D ) ) - ( G + ( _i x. H ) ) ) = ( ( C - G ) + ( ( _i x. D ) - ( _i x. H ) ) ) )
171	144, 163, 167	subdid 10102	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( _i x. ( D - H ) ) = ( ( _i x. D ) - ( _i x. H ) ) )
172	171	oveq2d 6331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( C - G ) + ( _i x. ( D - H ) ) ) = ( ( C - G ) + ( ( _i x. D ) - ( _i x. H ) ) ) )
173	170, 172	eqtr4d 2499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( C + ( _i x. D ) ) - ( G + ( _i x. H ) ) ) = ( ( C - G ) + ( _i x. ( D - H ) ) ) )
174	173	oveq1d 6330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( C + ( _i x. D ) ) - ( G + ( _i x. H ) ) ) / M ) = ( ( ( C - G ) + ( _i x. ( D - H ) ) ) / M ) )
175	162, 166	subcld 10012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C - G ) e. CC )
176	163, 167	subcld 10012	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( D - H ) e. CC )
177		mulcl 9649	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( _i e. CC /\ ( D - H ) e. CC ) -> ( _i x. ( D - H ) ) e. CC )
178	135, 176, 177	sylancr 674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( _i x. ( D - H ) ) e. CC )
179	175, 178, 34, 40	divdird 10449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( C - G ) + ( _i x. ( D - H ) ) ) / M ) = ( ( ( C - G ) / M ) + ( ( _i x. ( D - H ) ) / M ) ) )
180	144, 176, 34, 40	divassd 10446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( _i x. ( D - H ) ) / M ) = ( _i x. ( ( D - H ) / M ) ) )
181	180	oveq2d 6331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( C - G ) / M ) + ( ( _i x. ( D - H ) ) / M ) ) = ( ( ( C - G ) / M ) + ( _i x. ( ( D - H ) / M ) ) ) )
182	174, 179, 181	3eqtrd 2500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( C + ( _i x. D ) ) - ( G + ( _i x. H ) ) ) / M ) = ( ( ( C - G ) / M ) + ( _i x. ( ( D - H ) / M ) ) ) )
183	108	simprd 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( C - G ) / M ) e. ZZ )
184	110	simprd 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( D - H ) / M ) e. ZZ )
185		gzreim 14932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C - G ) / M ) e. ZZ /\ ( ( D - H ) / M ) e. ZZ ) -> ( ( ( C - G ) / M ) + ( _i x. ( ( D - H ) / M ) ) ) e. ZZ[_i] )
186	183, 184, 185	syl2anc 671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( C - G ) / M ) + ( _i x. ( ( D - H ) / M ) ) ) e. ZZ[_i] )
187	182, 186	eqeltrd 2540	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( C + ( _i x. D ) ) - ( G + ( _i x. H ) ) ) / M ) e. ZZ[_i] )
188	87	nnnn0d 10954	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. NN0 )
189	90, 188	eqeltrd 2540	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) e. NN0 )
190	1, 58, 71, 96, 113, 132, 133, 30, 161, 187, 189	mul4sqlem 14946	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( ( abs ` ( A + ( _i x. B ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( C + ( _i x. D ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) x. ( ( ( ( abs ` ( E + ( _i x. F ) ) ) ^ 2 ) + ( ( abs ` ( G + ( _i x. H ) ) ) ^ 2 ) ) / M ) ) e. S )
191	131, 190	eqeltrrd 2541	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R x. P ) e. S )
192		oveq1 6322	. . . . . . . . . 10 |- ( i = R -> ( i x. P ) = ( R x. P ) )
193	192	eleq1d 2524	. . . . . . . . 9 |- ( i = R -> ( ( i x. P ) e. S <-> ( R x. P ) e. S ) )
194	193, 6	elrab2 3210	. . . . . . . 8 |- ( R e. T <-> ( R e. NN /\ ( R x. P ) e. S ) )
195	56, 191, 194	sylanbrc 675	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. T )
196		infssuzle 11273	. . . . . . 7 |- ( ( T C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ R e. T ) -> inf ( T , RR , < ) <_ R )
197	24, 195, 196	sylancr 674	. . . . . 6 |- ( ph -> inf ( T , RR , < ) <_ R )
198	7, 197	syl5eqbr 4450	. . . . 5 |- ( ph -> M <_ R )
199	56	nnred 10652	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. RR )
200	199, 31	letri3d 9803	. . . . 5 |- ( ph -> ( R = M <-> ( R <_ M /\ M <_ R ) ) )
201	20, 198, 200	mpbir2and 938	. . . 4 |- ( ph -> R = M )
202	201	olcd 399	. . 3 |- ( ph -> ( R = 0 \/ R = M ) )
203	202, 53	mpd 15	. 2 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) )
204	203, 47	pm2.65i 178	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 374   = wceq 1455   e. wcel 1898   {cab 2448   =/= wne 2633   E.wrex 2750   {crab 2753   C_ wss 3416   (/)c0 3743   class class class wbr 4416   ` cfv 5601  (class class class)co 6315  infcinf 7981   CCcc 9563   RRcr 9564   0cc0 9565   1c1 9566   _ici 9567   + caddc 9568   x. cmul 9570   < clt 9701   <_ cle 9702   - cmin 9886   / cdiv 10297   NNcn 10637   2c2 10687   NN0cn0 10898   ZZcz 10966   ZZ>=cuz 11188   ...cfz 11813   mod cmo 12128   ^cexp 12304   Recre 13209   Imcim 13210   abscabs 13346   || cdvds 14354   Primecprime 14671   ZZ[_i]cgz 14922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-sup 7982  df-inf 7983  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-rp 11332  df-fz 11814  df-fl 12060  df-mod 12129  df-seq 12246  df-exp 12305  df-hash 12548  df-cj 13211  df-re 13212  df-im 13213  df-sqrt 13347  df-abs 13348  df-dvds 14355  df-gcd 14518  df-prm 14672  df-gz 14923

This theorem is referenced by:  4sqlem18  14961