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Theorem 4sqlem15 14141
Description: Lemma for 4sq 14146. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
4sq.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4sq.3  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4sq.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
4sq.5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
4sq.6  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
4sq.7  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
4sq.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
4sq.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sq.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
4sq.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
4sq.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
4sq.e  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.f  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.g  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.h  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.r  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
4sq.p  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem15  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 )  /\  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    B, n   
n, E    n, G    n, H    A, n    C, n    D, n    n, F    i, n, M    n, N    P, i, n    ph, n    S, i, n    R, i
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, i)    A( x, y, z, w, i)    B( x, y, z, w, i)    C( x, y, z, w, i)    D( x, y, z, w, i)    P( x, y, z, w)    R( x, y, z, w, n)    S( x, y, z, w)    T( x, y, z, w, i, n)    E( x, y, z, w, i)    F( x, y, z, w, i)    G( x, y, z, w, i)    H( x, y, z, w, i)    M( x, y, z, w)    N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem15
StepHypRef Expression
1 4sq.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2 eluz2b2 11041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  NN  /\  1  < 
M ) )
32simplbi 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  M  e.  NN )
41, 3syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
54nnred 10451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
65resqcld 12154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  RR )
76rehalfcld 10685 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  e.  RR )
87rehalfcld 10685 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  e.  RR )
98recnd 9526 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  e.  CC )
10 4sq.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
11 4sq.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
1210, 4, 114sqlem5 14124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  E )  /  M
)  e.  ZZ ) )
1312simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
14 zsqcl 12056 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  ZZ  ->  ( E ^ 2 )  e.  ZZ )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  ZZ )
1615zred 10861 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR )
1716recnd 9526 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  CC )
18 4sq.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
19 4sq.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
2018, 4, 194sqlem5 14124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ZZ  /\  ( ( B  -  F )  /  M
)  e.  ZZ ) )
2120simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
22 zsqcl 12056 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ZZ  ->  ( F ^ 2 )  e.  ZZ )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  ZZ )
2423zred 10861 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  RR )
2524recnd 9526 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  CC )
269, 9, 17, 25addsub4d 9880 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) )
277recnd 9526 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  e.  CC )
28272halvesd 10684 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  +  ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 ) )  =  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )
2928oveq1d 6218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
3026, 29eqtr3d 2497 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( F ^
2 ) ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
3130adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) ) )
326recnd 9526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  CC )
33322halvesd 10684 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )  =  ( M ^ 2 ) )
3433adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  +  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )  =  ( M ^
2 ) )
355recnd 9526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
3635sqvald 12125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
3736adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M
) )
38 4sq.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
39 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  R  =  M )
4038, 39syl5eqr 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M )  =  M )
4140oveq1d 6218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  x.  M )  =  ( M  x.  M ) )
4216, 24readdcld 9527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  RR )
43 4sq.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
44 4sq.g . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4543, 4, 444sqlem5 14124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ZZ  /\  ( ( C  -  G )  /  M
)  e.  ZZ ) )
4645simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
47 zsqcl 12056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  ZZ  ->  ( G ^ 2 )  e.  ZZ )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  ZZ )
4948zred 10861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  RR )
50 4sq.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
51 4sq.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
5250, 4, 514sqlem5 14124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ZZ  /\  ( ( D  -  H )  /  M
)  e.  ZZ ) )
5352simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  H  e.  ZZ )
54 zsqcl 12056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( H  e.  ZZ  ->  ( H ^ 2 )  e.  ZZ )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  ZZ )
5655zred 10861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  RR )
5749, 56readdcld 9527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  e.  RR )
5842, 57readdcld 9527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  RR )
5958recnd 9526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  CC )
604nnne0d 10480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
6159, 35, 60divcan1d 10222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M )  x.  M
)  =  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
6261adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  x.  M )  =  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
6337, 41, 623eqtr2rd 2502 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  =  ( M ^
2 ) )
6434, 63oveq12d 6221 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( M ^ 2 )  -  ( M ^ 2 ) ) )
6542recnd 9526 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  CC )
6657recnd 9526 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  e.  CC )
6727, 27, 65, 66addsub4d 9880 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  +  ( ( M ^
2 )  /  2
) )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
6867adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
6932subidd 9821 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  -  ( M ^ 2 ) )  =  0 )
7069adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( M ^ 2 )  -  ( M ^ 2 ) )  =  0 )
7164, 68, 703eqtr3d 2503 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  0 )
727, 42resubcld 9890 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  e.  RR )
7310, 4, 114sqlem7 14126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
7418, 4, 194sqlem7 14126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
7516, 24, 8, 8, 73, 74le2addd 10071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
7675, 28breqtrd 4427 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) )
777, 42subge0d 10043 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  <-> 
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) ) )
7876, 77mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
797, 57resubcld 9890 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  RR )
8043, 4, 444sqlem7 14126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
8150, 4, 514sqlem7 14126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
8249, 56, 8, 8, 80, 81le2addd 10071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
8382, 28breqtrd 4427 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) )
847, 57subge0d 10043 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  <-> 
( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) ) )
8583, 84mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
86 add20 9965 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )  /\  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )  -> 
( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  0  <-> 
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  0  /\  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 ) ) )
8772, 78, 79, 85, 86syl22anc 1220 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  0  <-> 
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  0  /\  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 ) ) )
8887biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  0 )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  0  /\  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 ) )
8971, 88syldan 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  0  /\  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 ) )
9089simpld 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  =  0 )
9131, 90eqtrd 2495 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  =  0 )
928, 16resubcld 9890 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  e.  RR )
938, 16subge0d 10043 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( E ^ 2 ) )  <-> 
( E ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )
9473, 93mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( E ^
2 ) ) )
958, 24resubcld 9890 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) )  e.  RR )
968, 24subge0d 10043 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( F ^ 2 ) )  <-> 
( F ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )
9774, 96mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( F ^
2 ) ) )
98 add20 9965 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) ) )  /\  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( F ^
2 ) ) )  =  0  <->  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
9992, 94, 95, 97, 98syl22anc 1220 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( E ^
2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  =  0  <->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
10099biimpa 484 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 ) )
10191, 100syldan 470 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 ) )
10249recnd 9526 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  CC )
10356recnd 9526 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  CC )
1049, 9, 102, 103addsub4d 9880 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) )
10528oveq1d 6218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
106104, 105eqtr3d 2497 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( H ^
2 ) ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
107106adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )
10889simprd 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  =  0 )
109107, 108eqtrd 2495 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 )
1108, 49resubcld 9890 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  e.  RR )
1118, 49subge0d 10043 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( G ^ 2 ) )  <-> 
( G ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )
11280, 111mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( G ^
2 ) ) )
1138, 56resubcld 9890 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) )  e.  RR )
1148, 56subge0d 10043 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( H ^ 2 ) )  <-> 
( H ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )
11581, 114mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( H ^
2 ) ) )
116 add20 9965 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) ) )  /\  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( H ^
2 ) ) )  =  0  <->  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
117110, 112, 113, 115, 116syl22anc 1220 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( G ^
2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  =  0  <->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
118117biimpa 484 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) )
119109, 118syldan 470 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) )
120101, 119jca 532 1  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 )  /\  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2439   E.wrex 2800   {crab 2803    C_ wss 3439   class class class wbr 4403   `'ccnv 4950   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   supcsup 7804   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397    + caddc 9399    x. cmul 9401    < clt 9532    <_ cle 9533    - cmin 9709    / cdiv 10107   NNcn 10436   2c2 10485   ZZcz 10760   ZZ>=cuz 10975   ...cfz 11557    mod cmo 11828   ^cexp 11985   Primecprime 13884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-rp 11106  df-fl 11762  df-mod 11829  df-seq 11927  df-exp 11986  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846
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