MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem15 Structured version   Unicode version

Theorem 4sqlem15 14012
Description: Lemma for 4sq 14017. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
4sq.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4sq.3  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4sq.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
4sq.5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
4sq.6  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
4sq.7  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
4sq.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
4sq.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sq.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
4sq.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
4sq.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
4sq.e  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.f  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.g  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.h  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.r  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
4sq.p  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem15  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 )  /\  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    B, n   
n, E    n, G    n, H    A, n    C, n    D, n    n, F    i, n, M    n, N    P, i, n    ph, n    S, i, n    R, i
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, i)    A( x, y, z, w, i)    B( x, y, z, w, i)    C( x, y, z, w, i)    D( x, y, z, w, i)    P( x, y, z, w)    R( x, y, z, w, n)    S( x, y, z, w)    T( x, y, z, w, i, n)    E( x, y, z, w, i)    F( x, y, z, w, i)    G( x, y, z, w, i)    H( x, y, z, w, i)    M( x, y, z, w)    N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem15
StepHypRef Expression
1 4sq.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2 eluz2b2 10919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  NN  /\  1  < 
M ) )
32simplbi 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  M  e.  NN )
41, 3syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
54nnred 10329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
65resqcld 12026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  RR )
76rehalfcld 10563 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  e.  RR )
87rehalfcld 10563 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  e.  RR )
98recnd 9404 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  e.  CC )
10 4sq.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
11 4sq.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
1210, 4, 114sqlem5 13995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  E )  /  M
)  e.  ZZ ) )
1312simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
14 zsqcl 11928 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  ZZ  ->  ( E ^ 2 )  e.  ZZ )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  ZZ )
1615zred 10739 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR )
1716recnd 9404 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  CC )
18 4sq.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
19 4sq.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
2018, 4, 194sqlem5 13995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ZZ  /\  ( ( B  -  F )  /  M
)  e.  ZZ ) )
2120simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
22 zsqcl 11928 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ZZ  ->  ( F ^ 2 )  e.  ZZ )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  ZZ )
2423zred 10739 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  RR )
2524recnd 9404 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  CC )
269, 9, 17, 25addsub4d 9758 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) )
277recnd 9404 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  e.  CC )
28272halvesd 10562 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  +  ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 ) )  =  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )
2928oveq1d 6101 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
3026, 29eqtr3d 2472 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( F ^
2 ) ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
3130adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) ) )
326recnd 9404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  e.  CC )
33322halvesd 10562 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )  =  ( M ^ 2 ) )
3433adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  +  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )  =  ( M ^
2 ) )
355recnd 9404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
3635sqvald 11997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
3736adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M
) )
38 4sq.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
39 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  R  =  M )
4038, 39syl5eqr 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M )  =  M )
4140oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  x.  M )  =  ( M  x.  M ) )
4216, 24readdcld 9405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  RR )
43 4sq.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
44 4sq.g . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4543, 4, 444sqlem5 13995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ZZ  /\  ( ( C  -  G )  /  M
)  e.  ZZ ) )
4645simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
47 zsqcl 11928 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  ZZ  ->  ( G ^ 2 )  e.  ZZ )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  ZZ )
4948zred 10739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  RR )
50 4sq.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
51 4sq.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
5250, 4, 514sqlem5 13995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ZZ  /\  ( ( D  -  H )  /  M
)  e.  ZZ ) )
5352simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  H  e.  ZZ )
54 zsqcl 11928 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( H  e.  ZZ  ->  ( H ^ 2 )  e.  ZZ )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  ZZ )
5655zred 10739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  RR )
5749, 56readdcld 9405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  e.  RR )
5842, 57readdcld 9405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  RR )
5958recnd 9404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  CC )
604nnne0d 10358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
6159, 35, 60divcan1d 10100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M )  x.  M
)  =  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
6261adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  x.  M )  =  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
6337, 41, 623eqtr2rd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  =  ( M ^
2 ) )
6434, 63oveq12d 6104 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( M ^ 2 )  -  ( M ^ 2 ) ) )
6542recnd 9404 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  CC )
6657recnd 9404 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  e.  CC )
6727, 27, 65, 66addsub4d 9758 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  +  ( ( M ^
2 )  /  2
) )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
6867adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  +  ( ( M ^ 2 )  /  2 ) )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
6932subidd 9699 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
2 )  -  ( M ^ 2 ) )  =  0 )
7069adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( M ^ 2 )  -  ( M ^ 2 ) )  =  0 )
7164, 68, 703eqtr3d 2478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  0 )
727, 42resubcld 9768 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  e.  RR )
7310, 4, 114sqlem7 13997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
7418, 4, 194sqlem7 13997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
7516, 24, 8, 8, 73, 74le2addd 9949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
7675, 28breqtrd 4311 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) )
777, 42subge0d 9921 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  <-> 
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) ) )
7876, 77mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
797, 57resubcld 9768 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  RR )
8043, 4, 444sqlem7 13997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
8150, 4, 514sqlem7 13997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
8249, 56, 8, 8, 80, 81le2addd 9949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
8382, 28breqtrd 4311 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) )
847, 57subge0d 9921 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  <-> 
( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  <_  ( ( M ^ 2 )  / 
2 ) ) )
8583, 84mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
86 add20 9843 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )  /\  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )  -> 
( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  0  <-> 
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  0  /\  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 ) ) )
8772, 78, 79, 85, 86syl22anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  0  <-> 
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  0  /\  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 ) ) )
8887biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  +  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  =  0 )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  0  /\  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 ) )
8971, 88syldan 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  0  /\  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 ) )
9089simpld 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  =  0 )
9131, 90eqtrd 2470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  =  0 )
928, 16resubcld 9768 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  e.  RR )
938, 16subge0d 9921 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( E ^ 2 ) )  <-> 
( E ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )
9473, 93mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( E ^
2 ) ) )
958, 24resubcld 9768 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) )  e.  RR )
968, 24subge0d 9921 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( F ^ 2 ) )  <-> 
( F ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )
9774, 96mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( F ^
2 ) ) )
98 add20 9843 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) ) )  /\  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( F ^
2 ) ) )  =  0  <->  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
9992, 94, 95, 97, 98syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( E ^
2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  =  0  <->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
10099biimpa 484 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 ) )
10191, 100syldan 470 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 ) )
10249recnd 9404 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  CC )
10356recnd 9404 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  CC )
1049, 9, 102, 103addsub4d 9758 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) )
10528oveq1d 6101 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  +  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
106104, 105eqtr3d 2472 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( H ^
2 ) ) )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
107106adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )
10889simprd 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( M ^
2 )  /  2
)  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  =  0 )
109107, 108eqtrd 2470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 )
1108, 49resubcld 9768 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  e.  RR )
1118, 49subge0d 9921 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( G ^ 2 ) )  <-> 
( G ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )
11280, 111mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( G ^
2 ) ) )
1138, 56resubcld 9768 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) )  e.  RR )
1148, 56subge0d 9921 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( H ^ 2 ) )  <-> 
( H ^ 2 )  <_  ( (
( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) ) )
11581, 114mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( H ^
2 ) ) )
116 add20 9843 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) ) )  /\  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( H ^
2 ) ) )  =  0  <->  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
117110, 112, 113, 115, 116syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( M ^
2 )  /  2
)  /  2 )  -  ( G ^
2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  =  0  <->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
118117biimpa 484 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) )
119109, 118syldan 470 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  (
( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) )
120101, 119jca 532 1  |-  ( (
ph  /\  R  =  M )  ->  (
( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( E ^ 2 ) )  =  0  /\  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( F ^ 2 ) )  =  0 )  /\  ( ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  -  ( G ^ 2 ) )  =  0  /\  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( H ^ 2 ) )  =  0 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2424   E.wrex 2711   {crab 2714    C_ wss 3323   class class class wbr 4287   `'ccnv 4834   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   supcsup 7682   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429    mod cmo 11700   ^cexp 11857   Primecprime 13755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717
This theorem is referenced by:  4sqlem16  14013
  Copyright terms: Public domain W3C validator